En matemáticas, la integral exponencial Ei es una función especial en el plano complejo . Se define como una integral definida particular de la razón entre una función exponencial y su argumento .
Definiciones
Para valores reales distintos de cero de x , la integral exponencial Ei ( x ) se define como
El algoritmo de Risch muestra que Ei no es una función elemental . La definición anterior se puede utilizar para valores positivos de x , pero la integral debe entenderse en términos del valor principal de Cauchy debido a la singularidad del integrando en cero.
Para valores complejos del argumento, la definición se vuelve ambigua debido a los puntos de bifurcación en 0 y. [1] En lugar de Ei, se usa la siguiente notación, [2]
Para valores positivos de x , tenemos.
En general, un corte de rama se toma en el eje real negativo y E 1 puede definirse mediante la continuación analítica en cualquier otro lugar del plano complejo.
Para valores positivos de la parte real de , esto se puede escribir [3]
El comportamiento de E 1 cerca del corte de la rama se puede ver mediante la siguiente relación: [4]
Propiedades
Varias propiedades de la integral exponencial a continuación, en ciertos casos, permiten evitar su evaluación explícita a través de la definición anterior.
Serie convergente
Para argumentos reales o complejos fuera del eje real negativo, se puede expresar como [5]
dónde es la constante de Euler-Mascheroni . La suma converge para todos los complejos, y tomamos el valor habitual del logaritmo complejo que tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo.
Esta fórmula se puede utilizar para calcular con operaciones de coma flotante de verdad entre 0 y 2,5. Para, el resultado es inexacto debido a la cancelación .
Ramanujan encontró una serie convergente más rápida :
Estas series alternas también se pueden usar para dar buenos límites asintóticos para x pequeña, por ejemplo, [ cita requerida ] :
por .
Serie asintótica (divergente)
Desafortunadamente, la convergencia de la serie anterior es lenta para argumentos de módulo mayor. Por ejemplo, para x = 10 se requieren más de 40 términos para obtener una respuesta correcta a tres cifras significativas para. [6] Sin embargo, existe una aproximación de series divergentes que se puede obtener integrandopor partes: [7]
que tiene error de orden y es válido para valores grandes de . El error relativo de la aproximación anterior se representa en la figura de la derecha para varios valores de, el número de términos en la suma truncada ( en rojo, en rosa).
Comportamiento exponencial y logarítmico: horquillado
De las dos series sugeridas en subsecciones anteriores, se deduce que se comporta como un exponencial negativo para valores grandes del argumento y como un logaritmo para valores pequeños. Para valores reales positivos del argumento,se puede poner entre corchetes por funciones elementales de la siguiente manera: [8]
El lado izquierdo de esta desigualdad se muestra en el gráfico de la izquierda en azul; la parte central se muestra en negro y el lado derecho se muestra en rojo.
Definición de Ein
Ambas cosas y se puede escribir de forma más sencilla utilizando toda la función [9] definido como
(tenga en cuenta que esta es solo la serie alterna en la definición anterior de ). Entonces nosotros tenemos
Relación con otras funciones
Ecuación de Kummer
generalmente se resuelve mediante las funciones hipergeométricas confluentes y Pero cuando y es decir,
tenemos
para todo z . Entonces, E 1 (- z ) da una segunda solución . De echo,
con la derivada evaluada en Otra conexión con las funciones hipergeométricas confluentes es que E 1 es un exponencial multiplicado por la función U (1,1, z ):
La integral exponencial está estrechamente relacionada con la función integral logarítmica li ( x ) por la fórmula
para valores reales distintos de cero de .
Generalización
La integral exponencial también se puede generalizar a
que se puede escribir como un caso especial de la función gamma incompleta : [10]
La forma generalizada a veces se denomina función Misra [11] , definido como
Muchas propiedades de esta forma generalizada se pueden encontrar en la Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST.
La inclusión de un logaritmo define la función integro-exponencial generalizada [12]
La integral indefinida:
es similar en forma a la función generadora ordinaria para, el número de divisores de:
Derivados
Las derivadas de las funciones generalizadas se puede calcular mediante la fórmula [13]
Tenga en cuenta que la función es fácil de evaluar (lo que hace que esta recursión sea útil), ya que es . [14]
Integral exponencial de argumento imaginario
Si es imaginario, tiene una parte real no negativa, por lo que podemos usar la fórmula
para obtener una relación con las integrales trigonométricas y :
Las partes reales e imaginarias de se trazan en la figura de la derecha con curvas negras y rojas.
Aproximaciones
Ha habido varias aproximaciones para la función integral exponencial. Éstas incluyen:
Aplicaciones
- Transferencia de calor dependiente del tiempo
- Flujo de agua subterránea sin equilibrio en la solución de Theis (llamada función de pozo )
- Transferencia radiativa en atmósferas estelares y planetarias
- Ecuación de difusividad radial para flujo en estado transitorio o inestable con fuentes de línea y sumideros
- Soluciones a la ecuación de transporte de neutrones en geometrías 1-D simplificadas [18]
Ver también
- Integral de Goodwin-Staton
- Funciones de Bickley-Naylor
Notas
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 228
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 228, 5.1.1
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 228, 5.1.4 con n = 1
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 228, 5.1.7
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 229, 5.1.11
- ^ Bleistein y Handelsman, p. 2
- ^ Bleistein y Handelsman, p. 3
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 229, 5.1.20
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 228, véase la nota al pie 3.
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 230, 5.1.45
- ^ Después de Misra (1940), p. 178
- ↑ Milgram (1985)
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 230, 5.1.26
- ^ Abramowitz y Stegun, p. 229, 5.1.24
- ↑ a b Giao, Pham Huy (1 de mayo de 2003). "Revisión de la aproximación de la función de pozo y una técnica de coincidencia de curvas gráficas fácil para la solución de Theis". Agua subterránea . 41 (3): 387–390. doi : 10.1111 / j.1745-6584.2003.tb02608.x . ISSN 1745-6584 .
- ^ a b Tseng, Peng-Hsiang; Lee, Tien-Chang (26 de febrero de 1998). "Evaluación numérica de la integral exponencial: aproximación de la función del pozo". Revista de hidrología . 205 (1–2): 38–51. Código bibliográfico : 1998JHyd..205 ... 38T . doi : 10.1016 / S0022-1694 (97) 00134-0 .
- ^ Barry, D. A; Parlange, J. -Y; Li, L (31 de enero de 2000). "Aproximación para la integral exponencial (función del pozo de Theis)". Revista de hidrología . 227 (1–4): 287–291. Código bibliográfico : 2000JHyd..227..287B . doi : 10.1016 / S0022-1694 (99) 00184-5 .
- ^ George I. Bell; Samuel Glasstone (1970). Teoría de los reactores nucleares . Van Nostrand Reinhold Company.
Referencias
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enlaces externos
- "Función exponencial integral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Documentación del NIST sobre la integral exponencial generalizada
- Weisstein, Eric W. "Integral exponencial" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. " En- Función" . MathWorld .
- "Integral exponencial Ei" . Sitio de Wolfram Functions.
- Integrales exponencial, logarítmica, seno y coseno en DLMF .