La ley de inducción de Faraday (brevemente, la ley de Faraday ) es una ley básica del electromagnetismo que predice cómo un campo magnético interactuará con un circuito eléctrico para producir una fuerza electromotriz (EMF), un fenómeno conocido como inducción electromagnética . Es el principio operativo fundamental de transformadores , inductores y muchos tipos de motores eléctricos , generadores y solenoides . [2] [3]
La ecuación de Maxwell-Faraday (listada como una de las ecuaciones de Maxwell ) describe el hecho de que un campo eléctrico que varía espacialmente (y también posiblemente varía en el tiempo, dependiendo de cómo un campo magnético varía en el tiempo) siempre acompaña a un campo magnético variable en el tiempo, mientras que La ley de Faraday establece que hay EMF (fuerza electromotriz, definida como trabajo electromagnético realizado en una unidad de carga cuando ha viajado una vuelta de un bucle conductor) en el bucle conductor cuando el flujo magnético a través de la superficie encerrada por el bucle varía en el tiempo.
Se había descubierto la ley de Faraday y un aspecto de ella (EMF del transformador) se formuló posteriormente como la ecuación de Maxwell-Faraday. La ecuación de la ley de Faraday puede derivarse de la ecuación de Maxwell-Faraday (que describe la EMF del transformador) y la fuerza de Lorentz (que describe la EMF de movimiento). La forma integral de la ecuación de Maxwell-Faraday describe solo la EMF del transformador, mientras que la ecuación de la ley de Faraday describe tanto la EMF del transformador como la EMF de movimiento.
Historia
La inducción electromagnética fue descubierta de forma independiente por Michael Faraday en 1831 y Joseph Henry en 1832. [5] Faraday fue el primero en publicar los resultados de sus experimentos. [6] [7] En la primera demostración experimental de inducción electromagnética de Faraday (29 de agosto de 1831), [8] envolvió dos cables alrededor de lados opuestos de un anillo de hierro ( toroide ) (una disposición similar a un transformador toroidal moderno ). Basado en su evaluación de las propiedades recientemente descubiertas de los electroimanes, esperaba que cuando la corriente comenzara a fluir en un cable, una especie de onda viajaría a través del anillo y causaría algún efecto eléctrico en el lado opuesto. Conectó un cable a un galvanómetro y lo observó mientras conectaba el otro cable a una batería. De hecho, vio una corriente transitoria (a la que llamó "onda de electricidad") cuando conectó el cable a la batería y otra cuando la desconectó. [9] : 182–183 Esta inducción se debió al cambio en el flujo magnético que se produjo cuando se conectó y desconectó la batería. [4] En dos meses, Faraday había encontrado varias otras manifestaciones de inducción electromagnética. Por ejemplo, vio corrientes transitorias cuando rápidamente deslizó una barra magnética dentro y fuera de una bobina de cables, y generó una corriente constante ( CC ) al girar un disco de cobre cerca de la barra magnética con un cable eléctrico deslizante ("Disco de Faraday "). [9] : 191-195
Michael Faraday explicó la inducción electromagnética utilizando un concepto que llamó líneas de fuerza . Sin embargo, los científicos de la época rechazaron ampliamente sus ideas teóricas, principalmente porque no estaban formuladas matemáticamente. [9] : 510 Una excepción fue James Clerk Maxwell , quien en 1861-1862 utilizó las ideas de Faraday como base de su teoría electromagnética cuantitativa. [9] : 510 [10] [11] En los artículos de Maxwell, el aspecto variable en el tiempo de la inducción electromagnética se expresa como una ecuación diferencial a la que Oliver Heaviside se refirió como ley de Faraday, aunque es diferente de la versión original de la ley de Faraday, y no describe EMF en movimiento . La versión de Heaviside (ver la ecuación de Maxwell-Faraday más abajo ) es la forma reconocida hoy en el grupo de ecuaciones conocidas como ecuaciones de Maxwell .
La ley de Lenz , formulada por Emil Lenz en 1834, [12] describe el "flujo a través del circuito" y da la dirección de la EMF inducida y la corriente resultante de la inducción electromagnética (desarrollada en los ejemplos siguientes).
Ley de Faraday
La versión más extendida de la ley de Faraday dice:
La fuerza electromotriz alrededor de un camino cerrado es igual al negativo de la tasa de cambio en el tiempo del flujo magnético encerrado por el camino. [13] [14]
El camino cerrado aquí es, de hecho, conductor.
Enunciado matemático
Para un bucle de alambre en un campo magnético , el flujo magnético Φ B se define para cualquier superficie Σ cuyo límite sea el bucle dado. Dado que el lazo de alambre puede estar en movimiento, escribimos Σ ( t ) para la superficie. El flujo magnético es la integral de superficie :
donde d A es un elemento de área de superficie de la superficie en movimiento Σ ( t ) , B es el campo magnético, y B · d A es un producto escalar del vector que representa el elemento de flujo a través de d A . En términos más visuales, el flujo magnético a través del bucle de alambre es proporcional al número de líneas de campo magnético que pasan a través del bucle.
Cuando el flujo cambia, porque B cambia, o porque el bucle del cable se mueve o deforma, o ambos, la ley de inducción de Faraday dice que el bucle del cable adquiere un EMF , definido como la energía disponible de una carga unitaria que ha viajado una vez alrededor del bucle de alambre. [15] : CH17 [16] [17] (Algunas fuentes declaran la definición diferente Esta expresión fue elegido para la compatibilidad con las ecuaciones de la relatividad especial.) De forma equivalente, es el voltaje que se mide mediante el corte del alambre para crear un abierto circuito y conectando un voltímetro a los cables.
La ley de Faraday establece que la EMF también viene dada por la tasa de cambio del flujo magnético:
dónde es la fuerza electromotriz (EMF) y Φ B es el flujo magnético .
La dirección de la fuerza electromotriz viene dada por la ley de Lenz .
Las leyes de inducción de corrientes eléctricas en forma matemática fueron establecidas por Franz Ernst Neumann en 1845. [18]
La ley de Faraday contiene la información sobre las relaciones entre las magnitudes y las direcciones de sus variables. Sin embargo, las relaciones entre las direcciones no son explícitas; están ocultos en la fórmula matemática.
Es posible averiguar la dirección de la fuerza electromotriz (EMF) directamente de la ley de Faraday, sin invocar la ley de Lenz. Una regla de la mano izquierda ayuda a hacer eso, de la siguiente manera: [19] [20]
- Alinee los dedos curvos de la mano izquierda con el lazo (línea amarilla).
- Estire su pulgar. El pulgar estirado indica la dirección de n (marrón), la normal al área encerrada por el bucle.
- Encuentre el signo de ΔΦ B , el cambio de flujo. Determine los flujos inicial y final (cuya diferencia es ΔΦ B ) con respecto al n normal , como lo indica el pulgar estirado.
- Si el cambio en el flujo, ΔΦ B , es positivo, los dedos curvos muestran la dirección de la fuerza electromotriz (puntas de flecha amarillas).
- Si ΔΦ B es negativo, la dirección de la fuerza electromotriz es opuesta a la dirección de los dedos curvos (opuesta a las puntas de flecha amarillas).
Para una bobina de alambre enrollada apretadamente , compuesta de N vueltas idénticas, cada una con el mismo Φ B , la ley de inducción de Faraday establece que [21] [22]
donde N es el número de vueltas del cable y Φ B es el flujo magnético a través de un solo bucle.
Ecuación de Maxwell-Faraday
La ecuación de Maxwell-Faraday establece que un campo magnético variable en el tiempo siempre acompaña a un campo eléctrico no conservador que varía espacialmente (también posiblemente varía en el tiempo) y viceversa. La ecuación de Maxwell-Faraday es
(en unidades SI ) donde ∇ × es el operador de rizo y nuevamente E ( r , t ) es el campo eléctrico y B ( r , t ) es el campo magnético . Estos campos generalmente pueden ser funciones de la posición ry el tiempo t .
La ecuación de Maxwell-Faraday es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell y, por tanto, juega un papel fundamental en la teoría del electromagnetismo clásico . También se puede escribir en forma integral mediante el teorema de Kelvin-Stokes , [23] reproduciendo así la ley de Faraday:
donde, como se indica en la figura, Σ es una superficie delimitada por el contorno cerrado ∂ Σ , d l es un elemento vectorial infinitesimal del contorno ∂Σ , y d A es un elemento vectorial infinitesimal de la superficie Σ . Su dirección es ortogonal a ese parche de superficie, la magnitud es el área de un parche infinitesimal de superficie.
Tanto d l como d A tienen una ambigüedad de signo; para obtener el signo correcto, se usa la regla de la mano derecha , como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes . Para una superficie plana Σ , un elemento de trayectoria positiva d l de la curva ∂ Σ se define por la regla de la mano derecha como uno que apunta con los dedos de la mano derecha cuando el pulgar apunta en la dirección de la normal n a la superficie Σ .
La integral de línea alrededor de ∂ Σ se llama circulación . [15] : ch3 Una circulación distinta de cero de E es diferente del comportamiento del campo eléctrico generado por cargas estáticas. Un campo E generado por carga se puede expresar como el gradiente de un campo escalar que es una solución a la ecuación de Poisson y tiene una integral de trayectoria cero. Vea el teorema del gradiente .
La ecuación integral es verdadera para cualquier camino ∂ Σ a través del espacio, y cualquier superficie Σ para la cual ese camino es un límite.
Si la superficie Σ no cambia en el tiempo, la ecuación se puede reescribir:
La integral de superficie en el lado derecho es la expresión explícita del flujo magnético Φ B a Σ .
El campo vectorial eléctrico inducido por un flujo magnético cambiante, el componente solenoidal del campo eléctrico general, se puede aproximar en el límite no relativista mediante la ecuación integral de volumen [24] : 321
Prueba
Las cuatro ecuaciones de Maxwell (incluida la ecuación de Maxwell-Faraday), junto con la ley de fuerza de Lorentz, son una base suficiente para derivar todo en el electromagnetismo clásico . [15] [16] Por lo tanto, es posible "probar" la ley de Faraday a partir de estas ecuaciones. [25] [26]
El punto de partida es la derivada en el tiempo del flujo a través de una superficie arbitraria Σ (que se puede mover o deformar) en el espacio:
(por definición). Esta derivada de tiempo total se puede evaluar y simplificar con la ayuda de la ecuación de Maxwell-Faraday y algunas identidades vectoriales; los detalles están en el cuadro a continuación:
Considere la derivada en el tiempo del flujo magnético a través de un límite cerrado (bucle) que puede moverse o deformarse. El área delimitada por el bucle se denota como Σ ( t ) ), luego la derivada del tiempo se puede expresar como La integral puede cambiar con el tiempo por dos razones: el integrando puede cambiar o la región de integración puede cambiar. Estos se suman linealmente, por lo tanto: donde t 0 es un tiempo fijo dado. Mostraremos que el primer término en el lado derecho corresponde a la EMF del transformador, el segundo a la EMF en movimiento (de la fuerza de Lorentz magnética en los portadores de carga debido al movimiento o deformación del bucle conductor en el campo magnético). El primer término del lado derecho se puede reescribir usando la forma integral de la ecuación de Maxwell-Faraday: A continuación, analizamos el segundo término del lado derecho: Aquí, se utilizan identidades de productos escalares triples . Por lo tanto, donde v l es la velocidad de una parte del bucle ∂ Σ . Ponerlos juntos da como resultado, |
El resultado es:
donde ∂Σ es el límite (bucle) de la superficie Σ , y v l es la velocidad de una parte del límite.
En el caso de un bucle conductor, EMF (fuerza electromotriz) es el trabajo electromagnético realizado en una carga unitaria cuando ha viajado alrededor del bucle una vez, y este trabajo lo realiza la fuerza de Lorentz . Por lo tanto, EMF se expresa como
dónde es EMF y v es la velocidad de carga unitaria.
En una vista macroscópica, para cargas en un segmento del bucle, v consta de dos componentes en promedio; una es la velocidad de la carga a lo largo del segmento v t , y la otra es la velocidad del segmento v l (el bucle se deforma o se mueve). v t no contribuye al trabajo realizado sobre la carga ya que la dirección de v t es la misma que la dirección de. Matemáticamente,
desde es perpendicular a como y están en la misma dirección. Ahora podemos ver que, para el bucle conductor, el EMF es el mismo que la derivada en el tiempo del flujo magnético a través del bucle, excepto por el signo. Por lo tanto, ahora llegamos a la ecuación de la ley de Faraday (para el bucle conductor) como
dónde . Con romper esta integral, es para el transformador EMF (debido a un campo magnético variable en el tiempo) y es para el EMF de movimiento (debido a la fuerza magnética de Lorentz sobre las cargas por el movimiento o la deformación del bucle en el campo magnético).
EMF para circuitos de cables no delgados
Es tentador generalizar la ley de Faraday para afirmar: Si ∂Σ es cualquier bucle cerrado arbitrario en el espacio, entonces la derivada del tiempo total del flujo magnético a través de Σ es igual a la EMF alrededor de ∂Σ . Sin embargo, esta afirmación no siempre es cierta y la razón no es solo por la razón obvia de que los campos electromagnéticos no están definidos en el espacio vacío cuando no hay ningún conductor presente. Como se señaló en la sección anterior, no se garantiza que la ley de Faraday funcione a menos que la velocidad de la curva abstracta ∂Σ coincida con la velocidad real del material que conduce la electricidad. [28] Los dos ejemplos ilustrados a continuación muestran que a menudo se obtienen resultados incorrectos cuando el movimiento de ∂Σ está divorciado del movimiento del material. [15]
Generador homopolar de Faraday . El disco gira con una velocidad angular ω , barriendo circularmente el radio conductor en el campo magnético estático B (cuya dirección es normal a lo largo de la superficie del disco). La fuerza magnética de Lorentz v × B impulsa una corriente a lo largo del radio conductor hasta el borde conductor, y desde allí el circuito se completa a través del cepillo inferior y el eje que sostiene el disco. Este dispositivo genera un EMF y una corriente, aunque la forma del "circuito" es constante y, por lo tanto, el flujo a través del circuito no cambia con el tiempo.
Un cable (líneas rojas continuas) se conecta a dos placas de metal en contacto (plateadas) para formar un circuito. Todo el sistema se encuentra en un campo magnético uniforme, normal a la página. Si la ruta abstracta ∂Σ sigue la ruta primaria del flujo de corriente (marcada en rojo), entonces el flujo magnético a través de esta ruta cambia drásticamente a medida que se giran las placas, pero la EMF es casi cero. Después de las Conferencias de Física de Feynman [15] : capítulo 17
Se pueden analizar ejemplos como estos teniendo cuidado de que la trayectoria ∂Σ se mueva con la misma velocidad que el material. [28] Alternativamente, siempre se puede calcular correctamente la EMF combinando la ley de fuerza de Lorentz con la ecuación de Maxwell-Faraday: [15] : ch17 [29]
donde "es muy importante notar que (1) [ v m ] es la velocidad del conductor ... no la velocidad del elemento de trayectoria d ly (2) en general, la derivada parcial con respecto al tiempo no puede ser movido fuera de la integral ya que el área es una función del tiempo ". [29]
Ley de Faraday y relatividad
Dos fenomenos
La ley de Faraday es una ecuación única que describe dos fenómenos diferentes: el EMF de movimiento generado por una fuerza magnética en un cable en movimiento (ver la fuerza de Lorentz ), y el EMF del transformador generado por una fuerza eléctrica debido a un campo magnético cambiante (descrito por Maxwell –Ecuación de Faraday ).
James Clerk Maxwell llamó la atención sobre este hecho en su artículo de 1861 On Physical Lines of Force . [30] En la última mitad de la Parte II de ese artículo, Maxwell da una explicación física separada para cada uno de los dos fenómenos.
En algunos libros de texto modernos se hace una referencia a estos dos aspectos de la inducción electromagnética. [31] Como afirma Richard Feynman:
Entonces, la "regla de flujo" de que la fem en un circuito es igual a la tasa de cambio del flujo magnético a través del circuito se aplica si el flujo cambia porque el campo cambia o porque el circuito se mueve (o ambos) ...
Sin embargo, en nuestra explicación de la regla hemos utilizado dos leyes completamente distintas para los dos casos: v × B para "movimientos de circuito" y ∇ × E = −∂ t B para "cambios de campo".
No conocemos otro lugar en física donde un principio general tan simple y preciso requiera para su comprensión real un análisis en términos de dos fenómenos diferentes .
- Richard P. Feynman, Las Conferencias Feynman de Física [15] : capítulo 17
El punto de vista de Einstein
La reflexión sobre esta aparente dicotomía fue uno de los principales caminos que llevaron a Albert Einstein a desarrollar la relatividad especial :
Se sabe que la electrodinámica de Maxwell —como se entiende habitualmente en la actualidad— cuando se aplica a los cuerpos en movimiento conduce a asimetrías que no parecen ser inherentes a los fenómenos. Tomemos, por ejemplo, la acción electrodinámica recíproca de un imán y un conductor.
El fenómeno observable aquí depende sólo del movimiento relativo del conductor y el imán, mientras que la visión habitual establece una clara distinción entre los dos casos en los que uno u otro de estos cuerpos está en movimiento. Porque si el imán está en movimiento y el conductor en reposo, en la vecindad del imán surge un campo eléctrico con cierta energía definida, produciendo una corriente en los lugares donde se encuentran las partes del conductor.
Pero si el imán está estacionario y el conductor en movimiento, no surge ningún campo eléctrico en la vecindad del imán. En el conductor, sin embargo, encontramos una fuerza electromotriz, a la que en sí misma no hay energía correspondiente, pero que da lugar, asumiendo igualdad de movimiento relativo en los dos casos discutidos, a corrientes eléctricas de la misma trayectoria e intensidad que las producidas. por las fuerzas eléctricas en el primer caso.
Ejemplos de este tipo, junto con intentos fallidos de descubrir cualquier movimiento de la tierra en relación con el "medio ligero", sugieren que los fenómenos de la electrodinámica, así como de la mecánica, no poseen propiedades correspondientes a la idea de reposo absoluto.
- Albert Einstein , Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento [32]
Ver también
- Corriente de Foucault
- Inductancia
- Ecuaciones de Maxwell
- Diafonía
- Paradoja de Faraday
Referencias
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Este ejemplo de la Ley de Faraday [el generador homopolar] deja muy claro que en el caso de cuerpos extendidos se debe tener cuidado de que el límite utilizado para determinar el flujo no debe ser estacionario sino que debe moverse con respecto al cuerpo.
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Tenga en cuenta que la ley que relaciona el flujo con los campos electromagnéticos, que este artículo llama "ley de Faraday", se denomina en la terminología de Griffiths la "regla de flujo universal". Griffiths usa el término "ley de Faraday" para referirse a lo que este artículo llama la "ecuación de Maxwell-Faraday". Entonces, de hecho, en el libro de texto, la declaración de Griffiths trata sobre la "regla del flujo universal". - ^ Einstein, Albert . "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" (PDF) .
Otras lecturas
- Secretario Maxwell, James (1881). Un tratado sobre electricidad y magnetismo, vol. II . Oxford: Clarendon Press. ch. III, sec. 530, pág. 178. ISBN 0-486-60637-6.
un tratado sobre electricidad y magnetismo.
enlaces externos
- Medios relacionados con la ley de inducción de Faraday en Wikimedia Commons
- Un sencillo tutorial interactivo sobre inducción electromagnética (haga clic y arrastre el imán hacia adelante y hacia atrás) Laboratorio Nacional de Alto Campo Magnético
- Roberto Vega. Inducción: ley de Faraday y ley de Lenz - Conferencia muy animada, con efectos de sonido , página del curso de Electricidad y Magnetismo
- Notas de la hiperfísica de física y astronomía en la Universidad Estatal de Georgia
- Tankersley y Mosca: Presentación de la ley de Faraday
- Una simulación gratuita de EMF en movimiento