En la teoría de números , último teorema de Fermat (a veces llamada la conjetura de Fermat , especialmente en los textos mayores) establece que no hay tres positivos enteros un , b , y c satisfacen la ecuación un n + b n = c n para cualquier valor entero de n mayor que 2 Se sabe desde la antigüedad que los casos n = 1 y n = 2 tienen infinitas soluciones. [1]
Campo | Teoría de los números |
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Declaración | Para cualquier número entero n > 2 , la ecuación a n + b n = c n no tiene soluciones enteras positivas. |
Primero declarado por | Pierre de Fermat |
Primero declarado en | C. 1637 |
Primera prueba por | Andrew Wiles |
Primera prueba en | Lanzado en 1994 Publicado 1995 |
Implicado por | |
Generalizaciones |
La proposición fue enunciada por primera vez como un teorema por Pierre de Fermat alrededor de 1637 en el margen de una copia de Arithmetica ; Fermat agregó que tenía una prueba que era demasiado grande para caber en el margen. Aunque otras afirmaciones reclamadas por Fermat sin prueba fueron posteriormente probadas por otros y acreditadas como teoremas de Fermat (por ejemplo, el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados ), el último teorema de Fermat se resistió a la prueba, lo que llevó a dudar de que Fermat alguna vez tuvo una prueba correcta y haciéndose conocido como una conjetura más que como un teorema. Después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos, la primera prueba exitosa fue lanzada en 1994 por Andrew Wiles y publicada formalmente en 1995; fue descrito como un "avance asombroso" en la mención para el premio Abel Prize de Wiles en 2016. [2] También demostró gran parte del teorema de modularidad y abrió enfoques completamente nuevos a muchos otros problemas y técnicas de elevación de modularidad matemáticamente poderosas .
El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de modularidad en el siglo XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas y antes de su demostración estaba en el Libro Guinness de los Récords Mundiales como el "problema matemático más difícil" en parte porque el teorema tiene el mayor número de demostraciones fallidas. [3]
Descripción general
Orígenes pitagóricos
La ecuación pitagórica , x 2 + y 2 = z 2 , tiene un número infinito de soluciones enteras positivas para x , y y z ; estas soluciones se conocen como triples pitagóricas (con el ejemplo más simple 3, 4, 5). Alrededor de 1637, Fermat escribió en el margen de un libro que la ecuación más general a n + b n = c n no tenía soluciones en números enteros positivos si n es un número entero mayor que 2. Aunque afirmó tener una prueba general de su conjetura Fermat no dejó detalles de su prueba y nunca se ha encontrado ninguna prueba suya. Su reclamo fue descubierto unos 30 años después, después de su muerte. Esta afirmación, que llegó a conocerse como el último teorema de Fermat , permaneció sin resolver durante los siguientes tres siglos y medio. [4]
La afirmación se convirtió finalmente en uno de los problemas matemáticos sin resolver más notables. Los intentos de demostrarlo impulsaron un desarrollo sustancial en la teoría de números y, con el tiempo, el último teorema de Fermat ganó prominencia como un problema no resuelto en matemáticas .
Desarrollos posteriores y solución
El caso especial n = 4 , probado por el propio Fermat, es suficiente para establecer que si el teorema es falso para algún exponente n que no es un número primo , también debe ser falso para algún n menor , por lo que solo los valores primos de n necesitan investigación exahustiva. [nota 1] Durante los dos siglos siguientes (1637-1839), la conjetura se demostró solo para los números primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain innovó y demostró un enfoque que era relevante para toda una clase de números primos. A mediados del siglo XIX, Ernst Kummer amplió esto y demostró el teorema para todos los números primos regulares , dejando que los primos irregulares se analicen individualmente. Sobre la base del trabajo de Kummer y utilizando sofisticados estudios informáticos, otros matemáticos pudieron extender la prueba para cubrir todos los exponentes primos hasta cuatro millones, pero una prueba para todos los exponentes era inaccesible (lo que significa que los matemáticos generalmente consideraban una prueba imposible, extremadamente difícil o inalcanzable con los conocimientos actuales). [5]
Por separado, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que podría existir un vínculo entre las curvas elípticas y las formas modulares , dos áreas de las matemáticas completamente diferentes. Conocida en ese momento como la conjetura de Taniyama-Shimura (eventualmente como el teorema de modularidad), se mantuvo por sí sola, sin conexión aparente con el último teorema de Fermat. Fue ampliamente visto como significativo e importante por derecho propio, pero fue (como el teorema de Fermat) ampliamente considerado completamente inaccesible a la demostración. [6]
En 1984, Gerhard Frey notó un vínculo aparente entre estos dos problemas no relacionados y sin resolver anteriormente. Frey dio un esquema que sugiere que esto podría probarse. La prueba completa de que los dos problemas estaban estrechamente relacionados la logró Ken Ribet en 1986 , basándose en una prueba parcial de Jean-Pierre Serre , quien demostró que todas menos una parte se conoce como la "conjetura épsilon" (ver: Teorema de Ribet y curva de Frey ). [2] Estos artículos de Frey, Serre y Ribet mostraron que si la conjetura de Taniyama-Shimura pudiera probarse para al menos la clase semi-estable de curvas elípticas, también se seguiría automáticamente una prueba del último teorema de Fermat. La conexión se describe a continuación : cualquier solución que pudiera contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir la conjetura de Taniyama-Shimura. Entonces, si se determinara que el teorema de modularidad es cierto, entonces, por definición, no podría existir ninguna solución que contradiga el último teorema de Fermat, que por lo tanto también debería ser cierto.
Aunque ambos problemas eran abrumadores y ampliamente considerados "completamente inaccesibles" a la prueba en ese momento, [2] esta fue la primera sugerencia de una ruta por la cual el Último Teorema de Fermat podría extenderse y probarse para todos los números, no solo algunos números. A diferencia del último teorema de Fermat, la conjetura de Taniyama-Shimura fue un área de investigación activa importante y se consideró más al alcance de las matemáticas contemporáneas. [7] Sin embargo, la opinión general fue que esto simplemente mostraba la impracticabilidad de probar la conjetura de Taniyama-Shimura. [8] La reacción citada por el matemático John Coates fue común: [8]
- "Yo mismo era muy escéptico de que el hermoso vínculo entre el último teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura en realidad condujera a algo, porque debo confesar que no pensé que la conjetura de Taniyama-Shimura fuera accesible a la prueba. Hermoso aunque este problema era , parecía imposible de probar. Debo confesar que pensé que probablemente no lo vería probado en mi vida ".
Al enterarse de que Ribet había demostrado que el vínculo de Frey era correcto, el matemático inglés Andrew Wiles , quien tenía una fascinación infantil por el último teorema de Fermat y tenía experiencia en el trabajo con curvas elípticas y campos relacionados, decidió intentar probar la conjetura de Taniyama-Shimura como una forma de demostrar el último teorema de Fermat. En 1993, después de seis años de trabajar en secreto en el problema, Wiles logró demostrar lo suficiente de la conjetura para demostrar el último teorema de Fermat. El artículo de Wiles era enorme en tamaño y alcance. Se descubrió una falla en una parte de su artículo original durante la revisión por pares y requirió un año más y la colaboración de un ex alumno, Richard Taylor , para resolverla. Como resultado, la prueba final en 1995 fue acompañada por un documento conjunto más pequeño que mostraba que los pasos fijados eran válidos. El logro de Wiles se informó ampliamente en la prensa popular y se popularizó en libros y programas de televisión. Las partes restantes de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ahora probada y conocida como el teorema de la modularidad, fueron probadas posteriormente por otros matemáticos, quienes se basaron en el trabajo de Wiles entre 1996 y 2001. [9] [10] [11] Para su demostración , Wiles fue honrado y recibió numerosos premios, incluido el Premio Abel 2016 . [12] [13] [14]
Declaraciones equivalentes del teorema
Hay varias formas alternativas de enunciar el último teorema de Fermat que son matemáticamente equivalentes al enunciado original del problema.
Para expresarlos usamos notación matemática: sea N el conjunto de números naturales 1, 2, 3, ..., sea Z el conjunto de enteros 0, ± 1, ± 2, ..., y sea Q el conjunto de los números racionales un / b , donde un y b están en Z con b ≠ 0 . En lo que sigue, llamaremos a una solución ax n + y n = z n donde uno o más de x , y o z es cero una solución trivial . Una solución en la que los tres son distintos de cero se llamará solución no trivial .
En aras de la comparación, comenzamos con la formulación original.
- Declaración original. Con n , x , y , z ∈ N (lo que significa que n , x , y , z son todos números enteros positivos) y n > 2 , la ecuación x n + y n = z n no tiene soluciones.
Los tratamientos más populares del tema lo expresan de esta manera. También se indica comúnmente sobre Z : [15]
- Declaración equivalente 1: x n + y n = z n , donde número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x , y , z ∈ Z .
La equivalencia es clara si n es par. Si n es impar y los tres de x , y , z son negativos, entonces se puede sustituir x , Y , Z con - x , - y , - z para obtener una solución en N . Si dos de ellos son negativos, debe ser x y z o Y y Z . Si x , z son negativos e y es positivo, entonces podemos reorganizar para obtener (- z ) n + y n = (- x ) n dando como resultado una solución en N ; el otro caso se trata de forma análoga. Ahora bien, si sólo uno es negativo, debe ser x o y . Si x es negativo, ey y z son positivos, entonces se puede reorganizar para obtener (- x ) n + z n = y n nuevamente, lo que da como resultado una solución en N ; si y es negativo, el resultado sigue simétricamente. Así, en todos los casos, una solución no trivial en Z también significaría que existe una solución en N , la formulación original del problema.
- Declaración Equivalente 2: x n + y n = z n , donde número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x , y , z ∈ Q .
Esto es porque el exponente de x , y , y z son iguales (a n ), así que si hay una solución en Q , entonces se puede multiplicarse por medio de por un denominador común adecuado para obtener una solución en Z , y por lo tanto en N .
- Declaración Equivalente 3: x n + y n = 1 , donde número entero n ≥ 3, no tiene soluciones no triviales x , Y ∈ Q .
Una solución no trivial una , b , c ∈ Z a x n + y n = z n se obtiene la solución no trivial un / c , b / c ∈ Q para v n + w n = 1 . A la inversa, una solución de un / b , c / d ∈ Q a v n + w n = 1 los rendimientos de la solución no trivial ad , cb , bd para x n + y n = z n .
Esta última formulación es particularmente fructífera, porque reduce el problema de un problema de superficies en tres dimensiones a un problema de curvas en dos dimensiones. Además, permite trabajar sobre el campo Q , en lugar de sobre el anillo Z ; Los campos exhiben más estructura que los anillos , lo que permite un análisis más profundo de sus elementos.
- Enunciado equivalente 4 - conexión con curvas elípticas: si a , b , c es una solución no trivial ax p + y p = z p , p primo impar, entonces y 2 = x ( x - a p ) ( x + b p ) ( Curva de Frey ) será una curva elíptica . [dieciséis]
El examen de esta curva elíptica con el teorema de Ribet muestra que no tiene una forma modular . Sin embargo, la demostración de Andrew Wiles demuestra que cualquier ecuación de la forma y 2 = x ( x - a n ) ( x + b n ) tiene una forma modular. Cualquier solución no trivial ax p + y p = z p (con p un primo impar) crearía una contradicción , lo que a su vez prueba que no existen soluciones no triviales. [17]
En otras palabras, cualquier solución que pudiera contradecir el último teorema de Fermat también podría usarse para contradecir el teorema de modularidad. Entonces, si se determinara que el teorema de modularidad es cierto, se deduciría que tampoco podría existir ninguna contradicción con el último teorema de Fermat. Como se describió anteriormente, el descubrimiento de esta declaración equivalente fue crucial para la eventual solución del último teorema de Fermat, ya que proporcionó un medio por el cual podría ser "atacado" para todos los números a la vez.
Historia matemática
Pitágoras y Diofanto
Triples pitagóricos
En la antigüedad se sabía que un triángulo cuyos lados estaban en la proporción 3: 4: 5 tendría un ángulo recto como uno de sus ángulos. Esto se utilizó en la construcción y más tarde en la geometría temprana . También se sabía que era un ejemplo de una regla general de que cualquier triángulo donde la longitud de dos lados, cada uno al cuadrado y luego sumados (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , es igual al cuadrado de la longitud del tercer lado (5 2 = 25) , también sería un triángulo rectángulo . Esto ahora se conoce como el teorema de Pitágoras , y un triple de números que cumple esta condición se llama triple de Pitágoras; ambos llevan el nombre del antiguo griego Pitágoras . Los ejemplos incluyen (3, 4, 5) y (5, 12, 13). Hay infinitos de estos triples, [18] y los métodos para generarlos se han estudiado en muchas culturas, comenzando con los babilonios [19] y más tarde con los antiguos matemáticos griegos , chinos e indios . [1] Matemáticamente, la definición de un triple pitagórico es un conjunto de tres enteros ( a , b , c ) que satisfacen la ecuación [20]
Ecuaciones diofánticas
La ecuación de Fermat, x n + y n = z n con soluciones enteras positivas , es un ejemplo de una ecuación diofántica , [21] llamada así por el matemático alejandrino del siglo III , Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos. de ecuaciones diofánticas. Un problema típico Diophantine es encontrar dos enteros x e y tales que su suma y la suma de sus cuadrados, la igualdad de dos números dados A y B , respectivamente:
La obra principal de Diofanto es la Arithmetica , de la que solo ha sobrevivido una parte. [22] La conjetura de Fermat de su último teorema se inspiró al leer una nueva edición de la Arithmetica , [23] que fue traducida al latín y publicada en 1621 por Claude Bachet . [24]
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática x 2 + y 2 = z 2 están dadas por las triples pitagóricas , originalmente resueltas por los babilonios (c. 1800 aC). [25] Las soluciones a las ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13, se pueden encontrar utilizando el algoritmo euclidiano (c. Siglo V a. C.). [26] Muchas ecuaciones diofánticas tienen una forma similar a la ecuación del último teorema de Fermat desde el punto de vista del álgebra, en el sentido de que no tienen términos cruzados que mezclen dos letras, sin compartir sus propiedades particulares. Por ejemplo, se sabe que hay infinitamente muchos números enteros positivos x , y , y z de tal manera que x n + y n = z m , donde n y m son primos entre números naturales. [nota 2]
Conjetura de Fermat
El problema II.8 de Arithmetica pregunta cómo se divide un número cuadrado dado en otros dos cuadrados; en otras palabras, para un determinado número racional k , encontrar los números racionales u y v que tal k 2 = T 2 + v 2 . Diofanto muestra cómo resolver este problema de suma de cuadrados para k = 4 (las soluciones son u = 16/5 y v = 12/5). [27]
Alrededor de 1637, Fermat escribió su Último Teorema en el margen de su copia de la Arithmetica junto al problema de suma de cuadrados de Diofanto : [28]
Cubum autem en dúos cubos, aut quadratoquadratum en dúos quadratoquadratos y generaliter nullam en infinitum ultra quadratum potestatem en dúos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demostrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. | Es imposible separar un cubo en dos cubos, o una cuarta potencia en dos cuartas potencias, o en general, cualquier potencia superior a la segunda, en dos potencias iguales. He descubierto una prueba verdaderamente maravillosa de esto, que este margen es demasiado estrecho para contener. [29] [30] |
Después de la muerte de Fermat en 1665, su hijo Clément-Samuel Fermat produjo una nueva edición del libro (1670) aumentada con los comentarios de su padre. [31] Aunque en realidad no era un teorema en ese momento (es decir, un enunciado matemático para el que existe prueba ), la nota al margen se conoció con el tiempo como el último teorema de Fermat , [32] ya que fue el último de los teoremas afirmados de Fermat que quedó sin demostrar. [33]
No se sabe si Fermat había encontrado realmente una prueba válida para todos los exponentes n , pero parece poco probable. Solo ha sobrevivido una prueba relacionada, a saber, para el caso n = 4, como se describe en la sección Pruebas para exponentes específicos . Si bien Fermat planteó los casos de n = 4 y de n = 3 como desafíos a sus corresponsales matemáticos, como Marin Mersenne , Blaise Pascal y John Wallis , [34] nunca planteó el caso general. [35] Además, en los últimos treinta años de su vida, Fermat nunca volvió a escribir sobre su "prueba verdaderamente maravillosa" del caso general, y nunca la publicó. Van der Poorten [36] sugiere que si bien la ausencia de una prueba es insignificante, la falta de impugnaciones significa que Fermat se dio cuenta de que no tenía una prueba; cita a Weil [37] diciendo que Fermat debe haberse engañado brevemente con una idea irrecuperable.
Se desconocen las técnicas que Fermat pudo haber utilizado en tan "maravillosa prueba".
La prueba de Taylor y Wiles se basa en técnicas del siglo XX. [38] La demostración de Fermat habría tenido que ser elemental en comparación, dado el conocimiento matemático de su época.
Si bien la gran conjetura de Harvey Friedman implica que cualquier teorema demostrable (incluido el último teorema de Fermat) puede demostrarse usando solo ' aritmética de función elemental ', tal demostración debe ser 'elemental' solo en un sentido técnico y podría involucrar millones de pasos, y por lo tanto, sería demasiado largo para haber sido la prueba de Fermat.
Pruebas de exponentes específicos
Exponente = 4
Solo ha sobrevivido una prueba relevante de Fermat , en la que usa la técnica del descenso infinito para mostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un número entero. [39] [40] Su demostración es equivalente a demostrar que la ecuación
no tiene soluciones primitivas en números enteros (no tiene soluciones coprimas por pares ). A su vez, esto prueba el último teorema de Fermat para el caso n = 4, ya que la ecuación a 4 + b 4 = c 4 se puede escribir como c 4 - b 4 = ( a 2 ) 2 .
Pruebas alternativas del caso n = 4 fueron desarrolladas más tarde [41] por Frénicle de Bessy (1676), [42] Leonhard Euler (1738), [43] Kausler (1802), [44] Peter Barlow (1811), [45 ] Adrien-Marie Legendre (1830), [46] Schopis (1825), [47] Olry Terquem (1846), [48] Joseph Bertrand (1851), [49] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), [50 ] Théophile Pépin (1883), [51] Tafelmacher (1893), [52] David Hilbert (1897), [53] Bendz (1901), [54] Gambioli (1901), [55] Leopold Kronecker (1901), [ 56] Bang (1905), [57] Sommer (1907), [58] Bottari (1908), [59] Karel Rychlík (1910), [60] Nutzhorn (1912), [61] Robert Carmichael (1913), [ 62] Hancock (1931), [63] Gheorghe Vrănceanu (1966), [64] Grant y Perella (1999), [65] Barbara (2007), [66] y Dolan (2011). [67]
Otros exponentes
Después de que Fermat probó el caso especial n = 4, la demostración general para todo n solo requería que se estableciera el teorema para todos los exponentes primos impares. [68] En otras palabras, fue necesario probar solo que la ecuación a n + b n = c n no tiene soluciones enteras positivas ( a , b , c ) cuando n es un número primo impar . Esto se sigue porque una solución ( a , b , c ) para un n dado es equivalente a una solución para todos los factores de n . A título de ejemplo, dejar que n tenerse en cuenta en d y e , n = de . La ecuación general
- una norte + b norte = c norte
implica que ( a d , b d , c d ) es una solución para el exponente e
- ( a re ) e + ( segundo re ) e = ( do re ) e .
Por tanto, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para n > 2, bastaría con demostrar que no tiene soluciones para al menos un factor primo de cada n . Cada número entero n > 2 es divisible por 4 o por un número primo impar (o ambos). Por lo tanto, el último teorema de Fermat podría demostrarse para todo n si pudiera demostrarse para n = 4 y para todos los primos impares p .
En los dos siglos siguientes a su conjetura (1637-1839), el último teorema de Fermat fue probado para tres exponentes primos impares p = 3, 5 y 7. El caso p = 3 fue establecido por primera vez por Abu-Mahmud Khojandi (siglo X), pero su intento de demostración del teorema era incorrecto. [69] En 1770, Leonhard Euler dio una prueba de p = 3, [70] pero su demostración por descendencia infinita [71] contenía una brecha importante. [72] Sin embargo, dado que el propio Euler había demostrado el lema necesario para completar la prueba en otro trabajo, generalmente se le atribuye la primera prueba. [73] Las pruebas independientes fueron publicadas [74] por Kausler (1802), [44] Legendre (1823, 1830), [46] [75] Calzolari (1855), [76] Gabriel Lamé (1865), [77] Peter Guthrie Tait (1872), [78] Günther (1878), [79] [ cita completa necesaria ] Gambioli (1901), [55] Krey (1909), [80] [ cita completa necesaria ] Rychlík (1910), [60 ] Stockhaus (1910), [81] Carmichael (1915), [82] Johannes van der Corput (1915), [83] Axel Thue (1917), [84] [ cita completa necesaria ] y Duarte (1944). [85]
El caso p = 5 se demostró [86] de forma independiente por Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet alrededor de 1825. [87] se desarrollaron pruebas alternativas [88] por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), [89] Lebesgue (1843), [ 90] Lamé (1847), [91] Gambioli (1901), [55] [92] Werebrusow (1905), [93] [ cita completa necesaria ] Rychlík (1910), [94] [ dudoso ] [ cita completa necesario ] van der Corput (1915), [83] y Guy Terjanian (1987). [95]
El caso p = 7 fue probado [96] por Lamé en 1839. [97] Su prueba bastante complicada fue simplificada en 1840 por Lebesgue, [98] y pruebas aún más simples [99] fueron publicadas por Angelo Genocchi en 1864, 1874 y 1876. . [100] pruebas alternativas fueron desarrolladas por Théophile Pépin (1876) [101] y Edmond Maillet (1897). [102]
El último teorema de Fermat también se demostró para los exponentes n = 6, 10 y 14. Las pruebas para n = 6 fueron publicadas por Kausler, [44] Thue, [103] Tafelmacher, [104] Lind, [105] Kapferer, [106 ] Swift, [107] y Breusch. [108] De manera similar, Dirichlet [109] y Terjanian [110] demostraron cada uno el caso n = 14, mientras que Kapferer [106] y Breusch [108] demostraron cada uno el caso n = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que los casos se siguen de las demostraciones para n = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas pruebas de exponente par difiere de sus contrapartes de exponente impar. La prueba de Dirichlet para n = 14 se publicó en 1832, antes de la prueba de Lamé de 1839 para n = 7. [111]
Todas las pruebas para exponentes específicos utilizaron la técnica de Fermat de descenso infinito , [ cita requerida ] ya sea en su forma original, o en forma de descenso en curvas elípticas o variedades abelianas. Sin embargo, los detalles y los argumentos auxiliares a menudo eran ad hoc y estaban vinculados al exponente individual en consideración. [112] Dado que se volvieron cada vez más complicados a medida que aumentaba p , parecía poco probable que el caso general del último teorema de Fermat pudiera probarse basándose en las pruebas de exponentes individuales. [112] Aunque algunos resultados generales sobre el último teorema de Fermat fueron publicados a principios del siglo XIX por Niels Henrik Abel y Peter Barlow , [113] [114] el primer trabajo significativo sobre el teorema general fue realizado por Sophie Germain . [115]
Avances modernos tempranos
Sophie Germain
A principios del siglo XIX, Sophie Germain desarrolló varios enfoques novedosos para probar el último teorema de Fermat para todos los exponentes. [116] Primero, definió un conjunto de primos auxiliares construido a partir del exponente primo por la ecuación , dónde es cualquier número entero no divisible por tres. Ella demostró que, si no hay números enteros elevados al poder eran módulo adyacente (la condición de no consecutividad ), entonces debe dividir el producto . Su objetivo era utilizar la inducción matemática para demostrar que, para cualquier, infinitos primos auxiliares satisfecho la condición de no consecutividad y, por tanto, dividido ; desde el productopuede tener como máximo un número finito de factores primos, tal demostración habría establecido el último teorema de Fermat. Aunque desarrolló muchas técnicas para establecer la condición de no consecutividad, no logró su objetivo estratégico. También trabajó para establecer límites más bajos en el tamaño de las soluciones de la ecuación de Fermat para un exponente dado., cuya versión modificada fue publicada por Adrien-Marie Legendre . Como subproducto de este último trabajo, demostró el teorema de Sophie Germain , que verificó el primer caso del último teorema de Fermat (es decir, el caso en el que no divide ) para cada exponente primo impar menor que , [116] [117] y para todos los números primos tal que al menos uno de , , , , y es primo (especialmente, los primos tal que es primo se llaman primos de Sophie Germain ). Germain intentó sin éxito probar el primer caso del último teorema de Fermat para todos los exponentes pares, específicamente para, que fue probado por Guy Terjanian en 1977. [118] En 1985, Leonard Adleman , Roger Heath-Brown y Étienne Fouvry demostraron que el primer caso del último teorema de Fermat es válido para infinitos números primos impares. [119]
Ernst Kummer y la teoría de los ideales
En 1847, Gabriel Lamé esbozó una prueba del último teorema de Fermat basada en factorizar la ecuación x p + y p = z p en números complejos, específicamente el campo ciclotómico basado en las raíces del número 1 . Sin embargo, su demostración falló porque asumió incorrectamente que tales números complejos se pueden factorizar únicamente en números primos, similares a los números enteros. Esta brecha fue señalada inmediatamente por Joseph Liouville , quien más tarde leyó un artículo que demostró este fracaso de la factorización única, escrito por Ernst Kummer .
Kummer se propuso la tarea de determinar si el campo ciclotómico podría generalizarse para incluir nuevos números primos de modo que se restableciera la factorización única. Logró esa tarea desarrollando los números ideales .
(Nota: A menudo se afirma que Kummer fue llevado a sus "números complejos ideales" por su interés en el último teorema de Fermat; incluso hay una historia que se cuenta a menudo que Kummer, como Lamé , creía que había probado el último teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet dijo él, su argumento se basó en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el último teorema de Fermat " seguramente está equivocado ". [120] Consulte la historia de los números ideales ).
Utilizando el enfoque general delineado por Lamé, Kummer probó ambos casos del último teorema de Fermat para todos los números primos regulares . Sin embargo, no pudo probar el teorema de los primos excepcionales (primos irregulares) que, conjeturalmente, ocurren aproximadamente el 39% del tiempo ; los únicos números primos irregulares por debajo de 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 y 263.
Conjetura de Mordell
En la década de 1920, Louis Mordell planteó una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat tiene como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas no triviales, si el exponente n es mayor que dos. [121] Esta conjetura fue probada en 1983 por Gerd Faltings , [122] y ahora se conoce como teorema de Faltings .
Estudios computacionales
En la segunda mitad del siglo XX, se utilizaron métodos computacionales para extender el enfoque de Kummer a los números primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver usó una computadora SWAC para probar el último teorema de Fermat para todos los números primos hasta 2521. [123] En 1978, Samuel Wagstaff había extendido esto a todos los números primos inferiores a 125.000. [124] En 1993, el último teorema de Fermat había sido probado para todos los números primos inferiores a cuatro millones. [125]
Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos y sus resultados, no existía ninguna prueba del último teorema de Fermat. Las pruebas de exponentes individuales por su naturaleza nunca podrían probar el caso general : incluso si todos los exponentes se verificaran hasta un número X extremadamente grande, aún podría existir un exponente más alto más allá de X para el cual la afirmación no fuera cierta. (Este había sido el caso con algunas otras conjeturas pasadas, y no podía descartarse en esta conjetura). [126]
Conexión con curvas elípticas
La estrategia que finalmente condujo a una prueba exitosa del último teorema de Fermat surgió de la conjetura "asombrosa" [127] : 211 de Taniyama-Shimura-Weil , propuesta alrededor de 1955, que muchos matemáticos creían que sería casi imposible de probar, [127] : 223 y fue vinculado en la década de 1980 por Gerhard Frey , Jean-Pierre Serre y Ken Ribet a la ecuación de Fermat. Al realizar una prueba parcial de esta conjetura en 1994, Andrew Wiles finalmente logró demostrar el último teorema de Fermat, así como liderar el camino hacia una prueba completa por parte de otros de lo que ahora se conoce como el teorema de la modularidad .
Conjetura de Taniyama – Shimura – Weil
Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas aparentemente completamente distintas de las matemáticas, las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .
El vínculo fue inicialmente descartado como improbable o altamente especulativo, pero se tomó más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo apoyaba, aunque no lo probaba; como resultado, la conjetura se conocía a menudo como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. [127] : 211–215
Incluso después de recibir una atención seria, los matemáticos contemporáneos consideraron la conjetura como extraordinariamente difícil o quizás inaccesible a la prueba. [127] : 203-205, 223, 226 Por ejemplo, el supervisor de doctorado de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de probar realmente", [127] : 226 y Ken Ribet se consideraba a sí mismo "una de la gran mayoría de las personas que creían [fue] completamente inaccesible ", y agregó que" Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y probarlo ". [127] : 223
Teorema de Ribet para curvas de Frey
En 1984, Gerhard Frey notó un vínculo entre la ecuación de Fermat y el teorema de modularidad, que seguía siendo una conjetura. Si la ecuación de Fermat tuviera alguna solución ( a , b , c ) para el exponente p > 2, entonces se podría demostrar que la curva elíptica semi-estable (ahora conocida como Frey-Hellegouarch [nota 3] )
- y 2 = x ( x - una p ) ( x + b p )
tendría propiedades tan inusuales que era poco probable que fuera modular. [128] Esto entraría en conflicto con el teorema de modularidad, que afirmaba que todas las curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observó que una prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil también podría probar simultáneamente el último teorema de Fermat. [129] Por contraposición , una refutación o refutación del último teorema de Fermat se refutar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil.
En un lenguaje sencillo, Frey había demostrado que, si esta intuición sobre su ecuación era correcta, entonces cualquier conjunto de 4 números (a, b, c, n) capaces de refutar el último teorema de Fermat, también podría usarse para refutar el Taniyama-Shimura. –Conjetura de Weil. Por lo tanto, si lo último fuera cierto, lo primero no podría refutarse y también tendría que ser cierto.
Siguiendo esta estrategia, una demostración del último teorema de Fermat requirió dos pasos. Primero, era necesario probar el teorema de la modularidad, o al menos probarlo para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ). Los matemáticos contemporáneos creían que esto era inaccesible a la prueba. [127] : 203-205, 223, 226 En segundo lugar, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que si se construía una curva elíptica de esta manera, utilizando un conjunto de números que eran una solución de la ecuación de Fermat, el resultado La curva elíptica no puede ser modular. Frey demostró que esto era plausible, pero no llegó a dar una prueba completa. La pieza faltante (la llamada " conjetura épsilon ", ahora conocida como teorema de Ribet ) fue identificada por Jean-Pierre Serre quien también dio una prueba casi completa y el vínculo sugerido por Frey fue finalmente probado en 1986 por Ken Ribet . [130]
Siguiendo el trabajo de Frey, Serre y Ribet, aquí era donde estaban las cosas:
- El último teorema de Fermat necesitaba ser probado para todos los exponentes n que eran números primos.
- El teorema de modularidad, si se demuestra para curvas elípticas semiestables, significaría que todas las curvas elípticas semiestables deben ser modulares.
- El teorema de Ribet mostró que cualquier solución a la ecuación de Fermat para un número primo podría usarse para crear una curva elíptica semiestable que no podría ser modular;
- La única forma en que ambas afirmaciones podrían ser verdaderas era si no existían soluciones para la ecuación de Fermat (porque entonces no se podría crear tal curva), que era lo que decía el último teorema de Fermat. Como ya se demostró el teorema de Ribet, esto significaba que una prueba del teorema de modularidad demostraría automáticamente que el último teorema de Fermat también era cierto.
Prueba general de Wiles
La prueba de Ribet de la conjetura épsilon en 1986 logró el primero de los dos objetivos propuestos por Frey. Al enterarse del éxito de Ribet, Andrew Wiles , un matemático inglés con una fascinación infantil por el último teorema de Fermat, y que había trabajado en curvas elípticas, decidió comprometerse a lograr la segunda mitad: demostrar un caso especial del teorema de modularidad (entonces conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) para curvas elípticas semiestables. [131]
Wiles trabajó en esa tarea durante seis años en casi total secreto, encubriendo sus esfuerzos al publicar trabajos anteriores en pequeños segmentos como documentos separados y confiando solo en su esposa. [127] : 229-230 Su estudio inicial sugirió la prueba por inducción , [127] : 230-232, 249-252 y basó su trabajo inicial y el primer avance significativo en la teoría de Galois [127] : 251-253, 259 antes de cambiar a un intento de extender la teoría horizontal de Iwasawa para el argumento inductivo alrededor de 1990-1991 cuando parecía que no existía un enfoque adecuado al problema. [127] : 258-259 Sin embargo, a mediados de 1991, la teoría de Iwasawa tampoco parecía estar llegando a los temas centrales del problema. [127] : 259-260 [132] En respuesta, se acercó a sus colegas para buscar pistas de investigación de vanguardia y nuevas técnicas, y descubrió un sistema Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su prueba. [127] : 260-261 Wiles estudió y amplió este enfoque, que funcionó. Dado que su trabajo se basaba en gran medida en este enfoque, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a verificar su razonamiento en busca de errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que usó Wiles parecían funcionar correctamente. [127] : 261–265 [133]
A mediados de mayo de 1993, Wiles se sintió capaz de decirle a su esposa que pensaba que había resuelto la prueba del último teorema de Fermat, [127] : 265 y en junio se sintió lo suficientemente seguro como para presentar sus resultados en tres conferencias dictadas el 21 y 23 de junio. 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas . [134] Específicamente, Wiles presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables; junto con la prueba de Ribet de la conjetura épsilon, esto implicaba el último teorema de Fermat. Sin embargo, se hizo evidente durante la revisión por pares que un punto crítico en la prueba era incorrecto. Contenía un error en un límite en el orden de un grupo en particular . El error fue detectado por varios matemáticos que arbitraron el manuscrito de Wiles, incluido Katz (en su papel de revisor), [135] quien alertó a Wiles el 23 de agosto de 1993 [136].
El error no habría dejado su trabajo sin valor: cada parte del trabajo de Wiles fue muy significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. [127] : 289, 296–297 Sin embargo, sin esta parte probada, no había prueba real del último teorema de Fermat. Wiles pasó casi un año tratando de reparar su prueba, inicialmente solo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor , sin éxito. [137] [138] [139] A fines de 1993, se habían difundido rumores de que, bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía con qué gravedad. Los matemáticos estaban comenzando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, ya fuera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y usar todo lo que había logrado. Pero en lugar de solucionarse, el problema, que originalmente parecía menor, ahora parecía muy importante, mucho más grave y menos fácil de resolver. [140]
Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994 estuvo a punto de darse por vencido y estuvo casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran construir sobre él y corregir el error. Añade que estaba teniendo una última mirada para tratar de comprender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando tuvo una idea repentina : que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que sus intentos originales usando la teoría de Iwasawa podrían funcionar, si la fortalecía usando su experiencia obtenida del enfoque de Kolyvagin-Flach. Arreglar un enfoque con herramientas del otro enfoque resolvería el problema para todos los casos que aún no fueron probados por su artículo arbitrado. [137] [141] Describió más tarde que la teoría de Iwasawa y el enfoque de Kolyvagin-Flach eran inadecuados por sí mismos, pero juntos podrían hacerse lo suficientemente poderosos para superar este obstáculo final. [137]
- "Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podría hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podría explicar por qué no funcionó. De repente tuve esta increíble revelación. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para que mi teoría original de Iwasawa funcionara tres años antes. Así que de las cenizas de Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema . Era tan indescriptiblemente hermoso; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo me lo había perdido y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminé por el departamento y Seguía regresando a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada que vuelva a hacer significará tanto ".
- - Andrew Wiles, citado por Simon Singh [142]
El 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y último teorema de Fermat" [143] [144] y "Propiedades teóricas del anillo de ciertas álgebras de Hecke", [145] el segundo de los cuales fue coautor con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el documento principal. Los dos artículos fueron examinados y publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su conjetura.
Desarrollos posteriores
La conjetura completa de Taniyama-Shimura-Weil fue finalmente probada por Diamond (1996), [9] Conrad et al. (1999), [10] y Breuil et al. (2001) [11] quien, basándose en el trabajo de Wiles, fue reduciendo gradualmente los casos restantes hasta que se probó el resultado completo. La conjetura ahora totalmente probada se conoció como el teorema de modularidad .
Varios otros teoremas de la teoría de números similares al último teorema de Fermat también se siguen del mismo razonamiento, utilizando el teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo puede escribirse como la suma de dos n -ésimas potencias coprimas, n ≥ 3. ( Euler ya conocía el caso n = 3 ).
Relación con otros problemas y generalizaciones.
Último teorema de Fermat considera soluciones a la ecuación de Fermat: un n + b n = c n con números enteros positivos a , b , y c y un número entero n mayor que 2. Hay varias generalizaciones de la ecuación de Fermat a las ecuaciones más generales que permiten la exponente n para ser un número entero negativo o racional, o para considerar tres exponentes diferentes.
Ecuación de Fermat generalizada
La ecuación de Fermat generalizada generaliza el enunciado del último teorema de Fermat considerando soluciones enteras positivas a, b, c, m, n, k que satisfacen [146]
( 1 )
En particular, los exponentes m , n , k no necesitan ser iguales, mientras que el último teorema de Fermat considera el caso m = n = k .
La conjetura de Beal , también conocida como la conjetura de Mauldin [147] y la conjetura de Tijdeman-Zagier, [148] [149] [150] establece que no hay soluciones para la ecuación de Fermat generalizada en números enteros positivos a , b , c , m , n , k con un , b , y c ser primos entre sí por pares y todos m , n , k es mayor que 2. [151]
La conjetura de Fermat-catalán generaliza el último teorema de Fermat con las ideas de la conjetura catalana . [152] [153] La conjetura establece que la ecuación de Fermat generalizada solo tiene un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con tripletes distintos de valores ( a m , b n , c k ), donde a , b , c son enteros coprimos positivos y m , n , k son enteros positivos que satisfacen
( 2 )
El enunciado trata sobre la finitud del conjunto de soluciones porque hay 10 soluciones conocidas . [146]
Ecuación de Fermat inversa
Cuando permitimos que el exponente n sea el recíproco de un número entero, es decir, n = 1 / m para algún número entero m , tenemos la ecuación de Fermat inversaTodas las soluciones de esta ecuación fueron calculadas por Hendrik Lenstra en 1992. [154] En el caso en el que se requiere que las raíces m ésimas sean reales y positivas, todas las soluciones están dadas por [155]
para enteros positivos r, s, t con s y t coprimos.
Exponentes racionales
Para la ecuación diofántica con n no es igual a 1, Bennett, el vidrio, y Székely demostró en 2004 para n > 2, que si n y m son primos entre sí, entonces hay número entero soluciones si y sólo si 6 divide m , y, y son sextas raíces complejas diferentes del mismo número real. [156]
Exponentes enteros negativos
n = −1
Todas las soluciones enteras primitiva (es decir, los que no tienen factor común prime a todos un , b , y c ) a la ecuación óptica se puede escribir como [157]
para enteros coprimos positivos m , k .
n = −2
El caso n = −2 también tiene una infinitud de soluciones, y estas tienen una interpretación geométrica en términos de triángulos rectángulos con lados enteros y una altitud entera a la hipotenusa . [158] [159] Todas las soluciones primitivas para son dadas por
para enteros coprimos u , v con v > u . La interpretación geométrica es que una y b son las piernas enteros de un triángulo rectángulo y d es la altitud número entero a la hipotenusa. Entonces la hipotenusa en sí es el número entero
entonces ( a, b, c ) es un triple pitagórico .
n <−2
No hay soluciones en enteros para para enteros n <−2. Si lo hubiera, la ecuación podría multiplicarse por para obtener , lo cual es imposible según el último teorema de Fermat.
conjetura abc
El abc conjetura estados más o menos que si tres números enteros positivos a , b y c (de ahí el nombre) son primos entre sí y satisfacer un + b = c , entonces el radical d de abc no suele ser mucho menor que c . En particular, la conjetura abc en su formulación más estándar implica el último teorema de Fermat para n que son suficientemente grandes. [160] [161] [162] La conjetura de Szpiro modificada es equivalente a la conjetura abc y por lo tanto tiene la misma implicación. [163] [162] Una versión efectiva de la conjetura abc, o una versión efectiva de la conjetura modificada de Szpiro, implica el último teorema de Fermat directamente. [162]
Premios y pruebas incorrectas
En 1816, y nuevamente en 1850, la Academia de Ciencias de Francia ofreció un premio por una prueba general del último teorema de Fermat. [164] En 1857, la Academia otorgó 3.000 francos y una medalla de oro a Kummer por su investigación sobre los números ideales, aunque no había presentado una entrada para el premio. [165] Otro premio fue ofrecido en 1883 por la Academia de Bruselas. [166]
En 1908, el industrial y matemático aficionado alemán Paul Wolfskehl legó 100.000 marcos de oro —una gran suma en ese momento— a la Academia de Ciencias de Gotinga para ofrecer como premio una prueba completa del último teorema de Fermat. [167] El 27 de junio de 1908, la Academia publicó nueve reglas para la concesión del premio. Entre otras cosas, estas reglas requerían que la prueba se publicara en una revista revisada por pares; el premio no se entregaría hasta dos años después de la publicación; y que no se entregaría ningún premio después del 13 de septiembre de 2007, aproximadamente un siglo después de que comenzara la competencia. [168] Wiles recogió el dinero del premio Wolfskehl, entonces valorado en 50.000 dólares, el 27 de junio de 1997. [169] En marzo de 2016, Wiles recibió el premio Abel del gobierno noruego por valor de 600.000 € por "su impresionante demostración del último teorema de Fermat a través de la conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, abriendo una nueva era en la teoría de números ". [170]
Antes de la prueba de Wiles, se enviaron miles de pruebas incorrectas al comité de Wolfskehl, lo que equivale aproximadamente a 10 pies (3 metros) de correspondencia. [171] Solo en el primer año (1907-1908), se presentaron 621 intentos de prueba, aunque en la década de 1970, la tasa de presentación había disminuido a aproximadamente 3-4 intentos de prueba por mes. Según F. Schlichting, un revisor de Wolfskehl, la mayoría de las pruebas se basaron en métodos elementales enseñados en las escuelas, y a menudo presentados por "personas con una educación técnica pero una carrera fallida". [172] En palabras del historiador matemático Howard Eves , "el último teorema de Fermat tiene la peculiar distinción de ser el problema matemático para el que se ha publicado el mayor número de demostraciones incorrectas". [166]
En la cultura popular
En el episodio de Los Simpson " El mago de Evergreen Terrace ", Homer Simpson escribe la ecuaciónen una pizarra, que parece ser un contraejemplo del último teorema de Fermat. La ecuación es incorrecta, pero parece correcta si se ingresa en una calculadora con 10 cifras significativas . [173]
En " The Royale ", un episodio de 1989 de la serie de televisión del siglo 24 Star Trek: The Next Generation , Picard le cuenta al comandante Riker sobre sus intentos de resolver el teorema, aún sin resolver después de 800 años. Concluye: "En nuestra arrogancia, sentimos que estamos muy avanzados. Y, sin embargo, no podemos deshacer un simple nudo atado por un matemático francés a tiempo parcial que trabaja solo sin una computadora". [174] (La percepción de Andrew Wiles que condujo a su prueba de avance ocurrió cuatro meses después de que terminara la serie. [175] )
Ver también
- conjetura abc
- Conjetura de Beal
- Diofanto II.VIII
- Conjetura de la suma de potencias de Euler
- Conjetura fermat-catalana
- Teorema de modularidad
- Prueba de imposibilidad
- Triple pitagórica
- Sophie Germain de primera
- Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados
- Muro – Sol – Sol prima
Notas al pie
- ^ Si el exponente n no fuera primo o 4, entonces sería posible escribir n como un producto de dos números enteros más pequeños ( n = PQ ), en los que P es un número primo mayor que 2, y luego a n = a PQ = ( una Q ) P para cada una de una , b , y c . Es decir, también deberíaexistiruna solución equivalentepara la potencia prima P que sea menor que n ; o de lo contrario, como n sería una potencia de 2 mayor que 4, y escribiendo n = 4 Q , se mantendría el mismo argumento.
- ^ Por ejemplo,
- ↑ Esta curva elíptica fue sugerida por primera vez en la década de 1960 por Yves Hellegouarch , pero no llamó la atención sobre su no modularidad. Para obtener más detalles, consulte Hellegouarch, Yves (2001). Invitación a las Matemáticas de Fermat-Wiles . Prensa académica. ISBN 978-0-12-339251-0.
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- ^ Singh, pág. 144 cita la reacción de Wiles a esta noticia: "Estaba electrizado. En ese momento supe que el curso de mi vida estaba cambiando porque esto significaba que para probar el último teorema de Fermat todo lo que tenía que hacer era probar la conjetura de Taniyama-Shimura. que mi sueño de la infancia era ahora algo respetable en el que trabajar ".
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enlaces externos
- Medios relacionados con el último teorema de Fermat en Wikimedia Commons
- El último teorema de Fermat en la Encyclopædia Britannica
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