El teorema del triángulo rectángulo de Fermat es una prueba de inexistencia en la teoría de números , publicada en 1670 entre las obras de Pierre de Fermat , poco después de su muerte. Es la única prueba completa que ofrece Fermat. [1] Tiene varias formulaciones equivalentes, una de las cuales fue declarada (pero no probada) en 1225 por Fibonacci . En sus formas geométricas, dice:
- Un triángulo rectángulo en el plano euclidiano para el cual las tres longitudes de los lados son números racionales no puede tener un área que sea el cuadrado de un número racional. El área de un triángulo rectángulo de lados racionales se llama número congruente , por lo que ningún número congruente puede ser cuadrado.
- Un triángulo rectángulo y un cuadrado con áreas iguales no pueden tener todos los lados proporcionales entre sí.
- No existen dos triángulos rectángulos de lados enteros en los que los dos catetos de un triángulo sean el cateto y la hipotenusa del otro triángulo.
De manera más abstracta, como resultado de las ecuaciones diofánticas (soluciones de números enteros o racionales a ecuaciones polinómicas), es equivalente a los enunciados que:
- Si tres números cuadrados forman una progresión aritmética , entonces la brecha entre los números consecutivos en la progresión (llamada congruum ) no puede ser cuadrada en sí misma.
- Los únicos puntos racionales en la curva elíptica. son los tres puntos triviales con y .
- La ecuación cuártica no tiene una solución entera distinta de cero.
Una consecuencia inmediata de la última de estas formulaciones es que el último teorema de Fermat es verdadero en el caso especial de que su exponente sea 4.
Formulación
Cuadrados en progresión aritmética
En 1225, el emperador Federico II desafió al matemático Fibonacci a participar en un concurso matemático contra varios otros matemáticos, con tres problemas planteados por su filósofo de la corte, Juan de Palermo. El primero de estos problemas pedía tres números racionales cuyos cuadrados estaban igualmente espaciados a cinco unidades, resuelto por Fibonacci con los tres números., , y . En The Book of Squares , publicado más tarde el mismo año por Fibonacci, resolvió el problema más general de encontrar triples de números cuadrados que están igualmente espaciados entre sí, formando una progresión aritmética . Fibonacci llamó a la brecha entre estos números un congruum . [2] Una forma de describir la solución de Fibonacci es que los números que se van a elevar al cuadrado son la diferencia de catetos, hipotenusa y la suma de catetos de un triángulo pitagórico , y que el congruum es cuatro veces el área del mismo triángulo. [3] Fibonacci observó que es imposible que un congruum sea un número cuadrado en sí mismo, pero no presentó una prueba satisfactoria de este hecho. [4]
Si tres cuadrados , , y podría formar una progresión aritmética cuyo congruum era también un cuadrado , entonces estos números cumplirían las ecuaciones diofánticas
Áreas de triángulos rectángulos
Debido a que los congrua son exactamente los números que son cuatro veces el área de un triángulo pitagórico, y la multiplicación por cuatro no cambia si un número es cuadrado, la existencia de un congruum cuadrado es equivalente a la existencia de un triángulo pitagórico con un área cuadrada. . Es esta variante del problema lo que concierne a la demostración de Fermat: muestra que no existe tal triángulo. Al considerar este problema, Fermat no se inspiró en Fibonacci, sino en una edición de Arithmetica de Diphantus , publicada en una traducción al francés en 1621 por Claude Gaspar Bachet de Méziriac . [6] Este libro describió varios triángulos rectángulos especiales cuyas áreas tenían formas relacionadas con cuadrados, pero no consideró el caso de áreas que eran cuadradas en sí mismas. [7]
Al reorganizar las ecuaciones de los dos triángulos pitagóricos anteriores y luego multiplicarlos, se obtiene la ecuación diofántica única
Otra formulación equivalente del mismo problema involucra números congruentes , los números que son áreas de triángulos rectángulos cuyos tres lados son todos números racionales . Al multiplicar los lados por un denominador común, cualquier número congruente puede transformarse en el área de un triángulo pitagórico, de lo cual se deduce que los números congruentes son exactamente los números formados al multiplicar un congrueo por el cuadrado de un número racional. [8] Por lo tanto, la existencia de un congruum cuadrado es equivalente a la afirmación de que el número 1 no es un número congruente. [9] Otra forma más geométrica de enunciar esta formulación es que es imposible que un cuadrado (la forma geométrica) y un triángulo rectángulo tengan áreas iguales y todos los lados conmensurables entre sí. [10]
Curva elíptica
Sin embargo, otra forma equivalente del teorema de Fermat implica la curva elíptica que consta de los puntos cuyas coordenadas cartesianas satisfacer la ecuación
La prueba de Fermat
Durante su vida, Fermat desafió a varios otros matemáticos a probar la inexistencia de un triángulo pitagórico con área cuadrada, pero no publicó la prueba él mismo. Sin embargo, escribió una prueba en su copia de Arithmetica de Diofanto , la misma copia en la que escribió que podía probar el último teorema de Fermat . El hijo de Fermat, Clement-Samuel, publicó una edición de este libro, incluidas las notas marginales de Fermat con la prueba del teorema del triángulo rectángulo, en 1670. [12]
La prueba de Fermat es una prueba por descenso infinito . Muestra que, de cualquier ejemplo de un triángulo pitagórico con área cuadrada, se puede derivar un ejemplo más pequeño. Dado que los triángulos pitagóricos tienen áreas enteras positivas y no existe una secuencia descendente infinita de números enteros positivos, tampoco puede existir un triángulo pitagórico con área cuadrada. [13]
Con más detalle, suponga que , , y son los lados enteros de un triángulo rectángulo con área cuadrada. Al dividir por cualquier factor común, se puede suponer que este triángulo es primitivo [10] y de la forma conocida de todas las triples pitagóricas primitivas, se puede establecer, , y , por el cual el problema se transforma en encontrar enteros primos relativamente y (uno de los cuales es par) tal que el área es cuadrado. Para que este número sea un cuadrado, sus cuatro factores lineales, , , y (que son relativamente primos) deben ser en sí mismos cuadrados; dejar y . Ambas cosas y debe ser extraño ya que exactamente uno de o es par y el otro es impar. Por lo tanto, ambos y son pares, y uno de ellos es divisible por 4. Dividirlos entre dos produce dos enteros más y , uno de los cuales es incluso por la oración anterior. Porque es un cuadrado, y son los catetos de otro triángulo pitagórico primitivo cuya área es . Desde es en sí mismo un cuadrado y desde incluso, es un cuadrado. Por lo tanto, cualquier triángulo pitagórico con área cuadrada conduce a un triángulo pitagórico más pequeño con área cuadrada, completando la demostración. [14]
Notas
- ^ Edwards (2000) . Muchos matemáticos posteriores publicaron pruebas, incluidos Gottfried Wilhelm Leibniz (1678), Leonhard Euler (1747) y Bernard Frenicle de Bessy (antes de 1765); véase Dickson (1920) y Goldstein (1995) .
- ^ Bradley (2006) .
- ^ Beiler (1964) .
- ↑ Ore (2012) ; Dickson (1920) .
- ^ El hecho de que no puede haber dos triángulos rectángulos que compartan dos de sus lados, y la conexión entre este problema y el problema de los cuadrados en la progresión aritmética, es descrito como "bien conocido" por Cooper & Poirel (2008).
- ^ Edwards (2000) .
- ↑ a b Stillwell (1998) .
- ^ Conrad (2008) ; Koblitz (1993 , pág. 3).
- ^ Conrad (2008) , Teorema 2; Koblitz (1993) , ejercicio 3, pág. 5.
- ↑ a b Dickson (1920) .
- ^ Koblitz (1993) , Proposición 19, págs. 46–47; Kato y Saitō (2000) .
- ^ Edwards (2000) ; Dickson (1920) . Para otras pruebas, vea Grant & Perella (1999) y Barbara (2007) .
- ^ Edwards (2000) ; Dickson (1920) .
- ^ Edwards (2000) ; Dickson (1920) ; Stillwell (1998) .
Referencias
- Barbara, Roy (julio de 2007), "91.33 El último teorema de Fermat en el caso ", Notas, The Mathematical Gazette , 91 : 260-262, JSTOR 40378352
- Beiler, Albert H. (1964), Recreaciones en la teoría de los números: la reina de las matemáticas entretiene , Dover Books, p. 153, ISBN 978-0-486-21096-4
- Bradley, Michael John (2006), El nacimiento de las matemáticas: tiempos antiguos hasta 1300 , Infobase Publishing, p. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7
- Conrad, Keith (otoño de 2008), "The congruent number problem" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, archivado desde el original (PDF) en 2013-01-20
- Cooper, Joshua; Poirel, Chris (2008), Regularidad de partición pitagórica y sistemas triples ordenados con la propiedad de suma , arXiv : 0809.3478
- Dickson, Leonard Eugene (1920), "La suma o diferencia de dos bicuadrados nunca es un cuadrado; el área de un triángulo rectángulo racional nunca es un cuadrado" , Historia de la teoría de los números, Volumen II: Análisis diofántico , Carnegie Institution de Washington, págs. 615–620
- Edwards, Harold M. (2000), "1.6 Una prueba de Fermat " , Último teorema de Fermat: Una introducción genética a la teoría algebraica de números , Textos de posgrado en matemáticas, 50 , Springer, págs. 10-14, ISBN 978-0-387-95002-0
- Goldstein, Catherine (1995), Un théorème de Fermat et ses lecteurs , Saint-Denis: Presses Universaires de Vincennes
- Grant, Mike; Perella, Malcolm (julio de 1999), "83.25 Descending to the irrational", Notes, The Mathematical Gazette , 83 : 263-267, doi : 10.2307 / 3619054 , JSTOR 3619054
- Kato, Kazuya; Saitō, Takeshi (2000), Teoría de números: el sueño de Fermat , Traducciones de monografías matemáticas, traducido por Nobushige Kurokawa, American Mathematical Society, p. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4
- Koblitz, Neal (1993), Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Textos de posgrado en matemáticas, 97 (2a ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
- Ore, Øystein (2012), Teoría de números y su historia , Dover Books, págs. 202-203, ISBN 978-0-486-13643-1
- Stillwell, John (1998), "4.7 El área de los triángulos rectángulos racionales" , Números y geometría , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, págs. 131-133, ISBN 978-0-387-98289-2