Un gas de Fermi ideal es un estado de la materia que es un conjunto de muchos fermiones que no interactúan . Los fermiones son partículas que obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac , como electrones , protones y neutrones y, en general, partículas con espín medio entero . Estas estadísticas determinan la distribución de energía de los fermiones en un gas de Fermi en equilibrio térmico y se caracterizan por su densidad numérica , temperatura y el conjunto de estados de energía disponibles. El modelo lleva el nombre del físico italiano Enrico Fermi.. [1]
Este modelo físico se puede aplicar con precisión a muchos sistemas con muchos fermiones. Algunos ejemplos clave son el comportamiento de los portadores de carga en un metal , los nucleones en un núcleo atómico , los neutrones en una estrella de neutrones y los electrones en una enana blanca .
Descripción
Un gas Fermi ideal o un gas Fermi libre es un modelo físico que supone una colección de fermiones que no interactúan en un pozo de potencial constante . Los fermiones son partículas elementales o compuestas con espín medio entero , por lo tanto, siga las estadísticas de Fermi-Dirac . El modelo equivalente para partículas de espín entero se llama gas de Bose (un conjunto de bosones que no interactúan ). Con una densidad de partículas lo suficientemente baja y una temperatura alta, tanto el gas Fermi como el gas Bose se comportan como un gas ideal clásico . [2]
Según el principio de exclusión de Pauli , ningún estado cuántico puede ser ocupado por más de un fermión con un conjunto idéntico de números cuánticos . Por lo tanto, un gas Fermi que no interactúa, a diferencia de un gas Bose, concentra una pequeña cantidad de partículas por energía. Por lo tanto, se prohíbe que un gas de Fermi se condense en un condensado de Bose-Einstein , aunque los gases de Fermi de interacción débil pueden formar un par de Cooper y un condensado (también conocido como régimen de cruce BCS- BEC). [3] La energía total del gas Fermi en el cero absoluto es mayor que la suma de los estados fundamentales de una sola partícula porque el principio de Pauli implica una especie de interacción o presión que mantiene a los fermiones separados y en movimiento. Por esta razón, la presión de un gas de Fermi es distinta de cero incluso a temperatura cero, en contraste con la de un gas ideal clásico. Por ejemplo, esta llamada presión de degeneración estabiliza una estrella de neutrones (un gas Fermi de neutrones) o una estrella enana blanca (un gas Fermi de electrones) contra la atracción hacia adentro de la gravedad , que aparentemente colapsaría la estrella en un agujero negro . Solo cuando una estrella es lo suficientemente masiva para superar la presión de la degeneración puede colapsar en una singularidad.
Es posible definir una temperatura de Fermi por debajo de la cual el gas puede considerarse degenerado (su presión deriva casi exclusivamente del principio de Pauli). Esta temperatura depende de la masa de los fermiones y de la densidad de estados energéticos .
La suposición principal del modelo de electrones libres para describir los electrones deslocalizados en un metal se puede derivar del gas de Fermi. Dado que las interacciones se ignoran debido al efecto de cribado , el problema de tratar las propiedades de equilibrio y la dinámica de un gas de Fermi ideal se reduce al estudio del comportamiento de partículas independientes individuales. En estos sistemas, la temperatura de Fermi es generalmente de muchos miles de kelvin , por lo que en aplicaciones humanas el gas de electrones puede considerarse degenerado. La energía máxima de los fermiones a temperatura cero se llama energía de Fermi . La superficie de energía de Fermi en el espacio recíproco se conoce como superficie de Fermi .
El modelo de electrones casi libres adapta el modelo de gas de Fermi para considerar la estructura cristalina de metales y semiconductores , donde los electrones en una red cristalina son sustituidos por electrones de Bloch con un momento cristalino correspondiente . Como tal, los sistemas periódicos todavía son relativamente manejables y el modelo forma el punto de partida para teorías más avanzadas que tratan con interacciones, por ejemplo, usando la teoría de la perturbación .
Gas uniforme 1D
El pozo cuadrado infinito unidimensional de longitud L es un modelo para una caja unidimensional con la energía potencial:
Es un sistema modelo estándar en mecánica cuántica cuya solución para una sola partícula es bien conocida. Dado que el potencial dentro de la caja es uniforme, este modelo se conoce como gas uniforme 1D, [4] aunque el perfil de densidad numérica real del gas puede tener nodos y antinodos cuando el número total de partículas es pequeño.
Los niveles están etiquetados por un solo número cuántico ny las energías están dadas por:
dónde es la energía de punto cero (que se puede elegir arbitrariamente como una forma de fijación del medidor ), la masa de un solo fermión, y es la constante de Planck reducida .
Para N fermiones con spin -½ en la caja, no más de dos partículas pueden tener la misma energía, es decir, dos partículas pueden tener la energía de, otras dos partículas pueden tener energía Etcétera. Las dos partículas de la misma energía tienen giro ½ (giro hacia arriba) o −½ (giro hacia abajo), lo que lleva a dos estados para cada nivel de energía. En la configuración para la que la energía total es más baja (el estado fundamental), todos los niveles de energía hasta n = N / 2 están ocupados y todos los niveles más altos están vacíos.
Definiendo la referencia para la energía de Fermi a ser , la energía de Fermi viene dada por
dónde es la función de piso evaluada en n = N / 2.
Límite termodinámico
En el límite termodinámico , el número total de partículas N es tan grande que el número cuántico n puede tratarse como una variable continua. En este caso, el perfil de densidad numérica general en el cuadro es realmente uniforme.
El número de estados cuánticos en el rango. es:
Sin pérdida de generalidad , la energía del punto cero se elige como cero, con el siguiente resultado:
Por tanto, en el rango:
el número de estados cuánticos es:
Aquí, el grado de degeneración es:
Y la densidad de estados es:
En la literatura moderna, [4] lo anteriora veces también se denomina "densidad de estados". Sin embargo, difiere de por un factor del volumen del sistema (que es en este caso 1D).
Basado en la siguiente fórmula:
la energía de Fermi en el límite termodinámico se puede calcular como:
Gas uniforme 3D
El caso de gas de Fermi uniforme tridimensional isotrópico y no relativista se conoce como la esfera de Fermi .
Un pozo cuadrado infinito tridimensional (es decir, una caja cúbica que tiene un lado de longitud L ) tiene la energía potencial
Los estados ahora están etiquetados con tres números cuánticos n x , n y y n z . Las energías de una sola partícula son
- ,
donde n x , n y , n z son números enteros positivos. En este caso, varios estados tienen la misma energía (conocidos como niveles de energía degenerados ), por ejemplo.
Límite termodinámico
Cuando la caja contiene N fermiones de espín ½ que no interactúan, es interesante calcular la energía en el límite termodinámico, donde N es tan grande que los números cuánticos n x , n y , n z pueden tratarse como variables continuas.
Con el vector , cada estado cuántico corresponde a un punto en el 'espacio n' con energía
Con que denota el cuadrado de la longitud euclidiana habitual . El número de estados con energía menor que E F + E 0 es igual al número de estados que se encuentran dentro de una esfera de radioen la región del espacio n donde n x , n y , n z son positivos. En el estado fundamental, este número es igual al número de fermiones en el sistema:
El factor de dos expresa los dos estados de espín y el factor de 1/8 expresa la fracción de la esfera que se encuentra en la región donde todos los n son positivos.
La energía de Fermi viene dada por
Lo que da como resultado una relación entre la energía de Fermi y el número de partículas por volumen (cuando L 2 se reemplaza con V 2/3 ):
Esta es también la energía de la partícula de mayor energía (la th partícula), por encima de la energía del punto cero . LaLa partícula tiene una energía de
La energía total de una esfera Fermi de fermiones (que ocupan todos estados de energía dentro de la esfera de Fermi) viene dada por:
Por tanto, la energía media por partícula viene dada por:
Densidad de estados
Para el gas Fermi uniforme 3D, con fermiones de spin-½, el número de partículas en función de la energía se obtiene sustituyendo la energía de Fermi por una energía variable :
- ,
de donde la densidad de estados (número de estados de energía por energía por volumen)Puede ser obtenido. Se puede calcular diferenciando el número de partículas con respecto a la energía:
- .
Este resultado proporciona una forma alternativa de calcular la energía total de una esfera de Fermi de fermiones (que ocupan todos estados de energía dentro de la esfera de Fermi):
Cantidades termodinámicas
Presión degenerativa
Utilizando la primera ley de la termodinámica , esta energía interna se puede expresar como presión, es decir
donde esta expresión sigue siendo válida para temperaturas mucho menores que la temperatura de Fermi. Esta presión se conoce como presión degenerativa . En este sentido, los sistemas compuestos por fermiones también se denominan materia degenerada .
Las estrellas estándar evitan el colapso al equilibrar la presión térmica ( plasma y radiación) con las fuerzas gravitacionales. Al final de la vida de la estrella, cuando los procesos térmicos son más débiles, algunas estrellas pueden convertirse en enanas blancas, que solo se sostienen contra la gravedad por la presión de degeneración de electrones . Usando el gas de Fermi como modelo, es posible calcular el límite de Chandrasekhar , es decir, la masa máxima que puede adquirir cualquier estrella (sin una presión generada térmicamente significativa) antes de colapsar en un agujero negro o una estrella de neutrones. Esta última, es una estrella compuesta principalmente por neutrones, donde también se evita el colapso por la presión de degeneración neutrónica.
Para el caso de los metales, la presión de degeneración de electrones contribuye a la compresibilidad o módulo de volumen del material.
Potencial químico
Suponiendo que la concentración de fermiones no cambia con la temperatura, entonces el potencial químico total µ (nivel de Fermi) del gas de Fermi ideal tridimensional está relacionado con la energía de Fermi de temperatura cero E F por una expansión de Sommerfeld (asumiendo):
- ,
donde T es la temperatura . [5] [6]
Por lo tanto, el potencial químico interno , μ - E 0 , es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas que son mucho más bajos que la característica de temperatura Fermi T F . Esta temperatura característica es del orden de 10 5 K para un metal, por lo tanto, a temperatura ambiente (300 K), la energía de Fermi y el potencial químico interno son esencialmente equivalentes.
Valores típicos
Rieles
En el modelo de electrones libres , se puede considerar que los electrones de un metal forman un gas de Fermi uniforme. La densidad numéricade electrones de conducción en metales varía entre aproximadamente 10 28 y 10 29 electrones por m 3 , que es también la densidad típica de átomos en la materia sólida ordinaria. Esta densidad numérica produce una energía de Fermi del orden:
- ,
donde m e es la masa en reposo del electrón . [7] Esta energía de Fermi corresponde a una temperatura de Fermi del orden de 10 6 kelvins, mucho más alta que la temperatura de la superficie del sol . Cualquier metal hervirá antes de alcanzar esta temperatura bajo presión atmosférica. Por lo tanto, para cualquier propósito práctico, un metal puede considerarse como un gas de Fermi a temperatura cero como una primera aproximación (las temperaturas normales son pequeñas en comparación con T F ).
Enanas blancas
Las estrellas conocidas como enanas blancas tienen una masa comparable a la de nuestro Sol , pero tienen alrededor de una centésima parte de su radio. Las altas densidades significan que los electrones ya no están unidos a núcleos individuales y, en cambio, forman un gas de electrones degenerado. La densidad numérica de electrones en una enana blanca es del orden de 10 36 electrones / m 3 . Esto significa que su energía Fermi es:
Núcleo
Otro ejemplo típico es el de las partículas en el núcleo de un átomo. El radio del núcleo es aproximadamente:
- donde A es el número de nucleones .
Por tanto, la densidad numérica de nucleones en un núcleo es:
Esta densidad debe dividirse por dos, porque la energía de Fermi solo se aplica a fermiones del mismo tipo. La presencia de neutrones no afecta la energía de Fermi de los protones en el núcleo y viceversa.
La energía de Fermi de un núcleo es aproximadamente:
- ,
donde m p es la masa del protón.
El radio del núcleo admite desviaciones alrededor del valor mencionado anteriormente, por lo que un valor típico para la energía de Fermi suele ser de 38 MeV .
Gas uniforme de dimensión arbitraria
Densidad de estados
Usando una integral de volumen en dimensiones, la densidad de estados es:
La energía de Fermi se obtiene al buscar la densidad numérica de partículas:
Llegar:
dónde es el volumen d- dimensional correspondiente ,es la dimensión del espacio interno de Hilbert. Para el caso de spin-½, cada energía está dos veces degenerada, por lo que en este caso.
Se obtiene un resultado particular para , donde la densidad de estados se vuelve constante (no depende de la energía):
- .
Fermi gas en trampa armónica
El potencial de trampa armónica :
es un sistema modelo con muchas aplicaciones [4] en la física moderna. La densidad de estados (o más exactamente, el grado de degeneración) para una especie de espín dada es:
dónde es la frecuencia de oscilación armónica.
La energía de Fermi para una especie de espín dada es:
Cantidades de Fermi relacionadas
En relación con la energía de Fermi, algunas cantidades útiles también se encuentran a menudo en la literatura moderna.
La temperatura de Fermi se define como, dónde es la constante de Boltzmann . La temperatura de Fermi se puede considerar como la temperatura a la que los efectos térmicos son comparables a los efectos cuánticos asociados con las estadísticas de Fermi. [8] La temperatura de Fermi de un metal es un par de órdenes de magnitud por encima de la temperatura ambiente. Otras cantidades definidas en este contexto son el impulso de Fermi y velocidad de Fermi [9] , que son el momento y la velocidad de grupo , respectivamente, de un fermión en la superficie de Fermi . El impulso de Fermi también se puede describir como, dónde es el radio de la esfera de Fermi y se llama vector de onda de Fermi . [10]
Tenga en cuenta que estas cantidades no están bien definidas en los casos en que la superficie de Fermi no es esférica.
Tratamiento a temperatura finita
Gran conjunto canónico
La mayoría de los cálculos anteriores son exactos a temperatura cero, pero siguen siendo buenas aproximaciones para temperaturas inferiores a la temperatura de Fermi. Para otras variables termodinámicas, es necesario escribir un potencial termodinámico . Para un conjunto de fermiones idénticos , la mejor manera de derivar un potencial es a partir del gran conjunto canónico con temperatura, volumen y potencial químico fijos µ . La razón se debe al principio de exclusión de Pauli, ya que los números de ocupación de cada estado cuántico están dados por 1 o 0 (o hay un electrón ocupando el estado o no), por lo que la función de partición (gran) Se puede escribir como
dónde , indexa los conjuntos de todos los microestados posibles que dan la misma energía total y número de partículas , es la energía de una sola partícula del estado (cuenta dos veces si la energía del estado está degenerada) y , su ocupación. Por tanto, el gran potencial se escribe como
- .
El mismo resultado se puede obtener en el conjunto canónico y microcanónico , ya que el resultado de cada conjunto debe dar el mismo valor en el límite termodinámico. . El conjunto canónico magnífico se recomienda aquí, ya que evita el uso de la combinatoria y factoriales .
Como se exploró en secciones anteriores, en el límite macroscópico podemos usar una aproximación continua (aproximación de Thomas-Fermi ) para convertir esta suma en una integral:
donde D ( ε ) es la densidad total de estados.
Relación con la distribución de Fermi-Dirac
El gran potencial está relacionado con el número de partículas a temperatura finita de la siguiente manera
donde la derivada se toma a temperatura y volumen fijos, y aparece
también conocida como distribución de Fermi – Dirac .
De manera similar, la energía interna total es
Solución exacta para densidad de estados según la ley de potencias
Muchos sistemas de interés tienen una densidad total de estados con la forma de ley de potencias:
para algunos valores de g 0 , α , ε 0 . Los resultados de las secciones anteriores se generalizan ad dimensiones, dando una ley de potencia con:
- α = d / 2 para partículas no relativistas en unacaja d- dimensional,
- α = d para partículas no relativistas en unpozo de potencial armónico d- dimensional,
- α = d para partículas hiperrelativistas en unacaja d- dimensional.
Para tal densidad de estados de ley de potencias, la integral de gran potencial se evalúa exactamente como: [11]
dónde es la integral de Fermi-Dirac completa (relacionada con el polilogaritmo ). A partir de este gran potencial y sus derivados, se pueden recuperar todas las cantidades termodinámicas de interés.
Extensiones al modelo
Gas de Fermi relativista
El artículo solo ha tratado el caso en el que las partículas tienen una relación parabólica entre energía y momento, como es el caso de la mecánica no relativista. Para partículas con energías cercanas a su respectiva masa en reposo , se aplican las ecuaciones de la relatividad especial . Donde la energía de una sola partícula viene dada por:
- .
Para este sistema, la energía de Fermi viene dada por:
- ,
donde el la igualdad sólo es válida en el límite ultrarelativista , y
- . [12]
El modelo relativista de gas de Fermi también se utiliza para la descripción de grandes enanas blancas que están cerca del límite de Chandresekhar. Para el caso ultrarelativista, la presión de degeneración es proporcional a.
Líquido fermi
En 1956, Lev Landau desarrolló la teoría del líquido de Fermi , donde trató el caso de un líquido de Fermi, es decir, un sistema con interacciones repulsivas, no necesariamente pequeñas, entre fermiones. La teoría muestra que las propiedades termodinámicas de un gas de Fermi ideal y un líquido de Fermi no difieren mucho. Se puede demostrar que el líquido de Fermi es equivalente a un gas de Fermi compuesto por excitaciones colectivas o cuasipartículas , cada una con una masa efectiva y un momento magnético diferentes .
Ver también
- Bose gas
- Condensado fermiónico
- Gas en una caja
- Gelatina
- Gas de electrones bidimensionales
Referencias
- ↑ Fermi, E. (1 de noviembre de 1926). "Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases" (PDF) . Zeitschrift für Physik (en alemán). 36 (11-12): 902-912. Bibcode : 1926ZPhy ... 36..902F . doi : 10.1007 / BF01400221 . ISSN 0044-3328 . S2CID 123334672 . Archivado desde el original (PDF) el 6 de abril de 2019.
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Otras lecturas
- Neil W. Ashcroft y N. David Mermin , Física del estado sólido (Harcourt: Orlando, 1976).
- Charles Kittel , Introducción a la física del estado sólido , 1ª ed. 1953 - 8a ed. 2005, ISBN 0-471-41526-X