Campo (física)

Cantidades físicas tomando valores en cada punto en el espacio y el tiempo.

Ilustración del campo eléctrico que rodea una carga positiva (roja) y una negativa (azul).

En física, un campo es una cantidad física , representada por un número u otro tensor , que tiene un valor para cada punto en el espacio y el tiempo . ^{[1] [2] [3]} Por ejemplo, en un mapa meteorológico, la temperatura de la superficie se describe asignando un número a cada punto del mapa; la temperatura se puede considerar en un momento determinado o durante un intervalo de tiempo, para estudiar la dinámica del cambio de temperatura. Un mapa de viento de superficie , asignando una flecha a cada punto en un mapa que describe la velocidad y dirección del viento.en ese punto, sería un ejemplo de un campo vectorial , es decir, un campo tensorial unidimensional. Las teorías de campo, descripciones matemáticas de cómo cambian los valores de campo en el espacio y el tiempo, son omnipresentes en la física. Por ejemplo, el campo eléctrico es otro campo tensorial de rango 1, y la descripción completa de la electrodinámica se puede formular en términos de dos campos vectoriales que interactúan en cada punto del espacio-tiempo, o como una teoría de campo de 2 tensores de rango único . ^{[4] [5] [6]}

En el marco moderno de la teoría cuántica de campos , incluso sin referirse a una partícula de prueba, un campo ocupa espacio, contiene energía y su presencia excluye un "verdadero vacío" clásico. ^[7] Esto ha llevado a los físicos a considerar los campos electromagnéticos como una entidad física, haciendo del concepto de campo un paradigma de apoyo del edificio de la física moderna. "El hecho de que el campo electromagnético pueda poseer impulso y energía lo hace muy real ... una partícula crea un campo, y un campo actúa sobre otra partícula, y el campo tiene propiedades tan familiares como el contenido de energía y el impulso, al igual que las partículas pueden tengo." ^[8]En la práctica, se ha descubierto que la intensidad de la mayoría de los campos disminuye con la distancia hasta el punto de ser indetectable. Por ejemplo, la fuerza de muchos campos clásicos relevantes, como el campo gravitacional en la teoría de la gravedad de Newton o el campo electrostático en el electromagnetismo clásico, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente (es decir, siguen la ley de Gauss ). Una consecuencia es que la magnitud del campo gravitacional de la Tierra se vuelve rápidamente indetectable a escalas cósmicas.

Un campo se puede clasificar en un campo escalar , un campo vectorial , un campo espinor o un campo tensorial según que la cantidad física representada sea un escalar , un vector , un espinor o un tensor , respectivamente. Un campo tiene un carácter tensorial único en cada punto donde está definido: es decir, un campo no puede ser un campo escalar en alguna parte y un campo vectorial en otra parte. Por ejemplo, el campo gravitacional newtoniano es un campo vectorial: especificar su valor en un punto en el espacio-tiempo requiere tres números, los componentes del vector del campo gravitacional en ese punto. Además, dentro de cada categoría (escalar, vector, tensor), un campo puede ser un campo clásico o un campo cuántico , dependiendo de si se caracteriza por números u operadores cuánticos, respectivamente. De hecho, en esta teoría, una representación equivalente de campo es una partícula de campo , por ejemplo, un bosón . ^[9]

Historia

Para Isaac Newton , su ley de gravitación universal simplemente expresaba la fuerza gravitacional que actuaba entre cualquier par de objetos masivos. Al observar el movimiento de muchos cuerpos que interactúan entre sí, como los planetas del Sistema Solar , lidiar con la fuerza entre cada par de cuerpos por separado se convierte rápidamente en un inconveniente computacional. En el siglo XVIII, se ideó una nueva cantidad para simplificar la contabilidad de todas estas fuerzas gravitacionales. Esta cantidad, el campo gravitacional, dio en cada punto del espacio la aceleración gravitacional total que sentiría un objeto pequeño en ese punto. Esto no cambió la física de ninguna manera: no importaba si todas las fuerzas gravitacionales sobre un objeto se calculaban individualmente y luego se sumaban, o si todas las contribuciones se sumaban primero como un campo gravitacional y luego se aplicaban a un objeto. ^[10]

El desarrollo del concepto independiente de campo realmente comenzó en el siglo XIX con el desarrollo de la teoría del electromagnetismo . En las primeras etapas, André-Marie Ampère y Charles-Augustin de Coulomb pudieron arreglárselas con leyes al estilo de Newton que expresaban las fuerzas entre pares de cargas eléctricas o corrientes eléctricas . Sin embargo, se volvió mucho más natural adoptar el enfoque de campo y expresar estas leyes en términos de campos eléctricos y magnéticos ; en 1849 Michael Faraday se convirtió en el primero en acuñar el término "campo". ^[10]

La naturaleza independiente del campo se hizo más evidente con el descubrimiento de James Clerk Maxwell de que las ondas en estos campos se propagaban a una velocidad finita. En consecuencia, las fuerzas sobre cargas y corrientes ya no solo dependían de las posiciones y velocidades de otras cargas y corrientes al mismo tiempo, sino también de sus posiciones y velocidades en el pasado. ^[10]

Maxwell, al principio, no adoptó el concepto moderno de campo como una cantidad fundamental que podría existir independientemente. En cambio, supuso que el campo electromagnético expresaba la deformación de algún medio subyacente, el éter luminífero, muy parecido a la tensión en una membrana de goma. Si ese fuera el caso, la velocidad observada de las ondas electromagnéticas debería depender de la velocidad del observador con respecto al éter. A pesar de mucho esfuerzo, nunca se encontró evidencia experimental de tal efecto; la situación se resolvió con la introducción de la teoría especial de la relatividad por Albert Einsteinen 1905. Esta teoría cambió la forma en que los puntos de vista de los observadores en movimiento se relacionaban entre sí. Se relacionaron entre sí de tal manera que la velocidad de las ondas electromagnéticas en la teoría de Maxwell sería la misma para todos los observadores. Al eliminar la necesidad de un medio de fondo, este desarrollo abrió el camino para que los físicos comenzaran a pensar en los campos como entidades verdaderamente independientes. ^[10]

A finales de la década de 1920, las nuevas reglas de la mecánica cuántica se aplicaron por primera vez al campo electromagnético. En 1927, Paul Dirac utilizó campos cuánticos para explicar con éxito cómo la desintegración de un átomo a un estado cuántico inferior condujo a la emisión espontánea de un fotón , el cuanto del campo electromagnético. Esto fue seguido pronto por la comprensión (siguiendo el trabajo de Pascual Jordan , Eugene Wigner , Werner Heisenberg y Wolfgang Pauli ) de que todas las partículas, incluidos los electrones y protones, podría entenderse como los cuantos de algún campo cuántico, elevando los campos al estado de los objetos más fundamentales de la naturaleza. ^[10] Dicho esto, John Wheeler y Richard Feynman consideraron seriamente el concepto de acción a distancia pre-campo de Newton (aunque lo dejaron de lado debido a la utilidad continua del concepto de campo para la investigación en relatividad general y electrodinámica cuántica ).

Campos clásicos

Artículo principal: teoría clásica de campos

Hay varios ejemplos de campos clásicos . Las teorías de campo clásicas siguen siendo útiles donde no surgen propiedades cuánticas y pueden ser áreas activas de investigación. La elasticidad de los materiales, la dinámica de fluidos y las ecuaciones de Maxwell son algunos ejemplos.

Algunos de los campos físicos más simples son los campos de fuerza vectorial. Históricamente, la primera vez que los campos se tomaron en serio fue con las líneas de fuerza de Faraday al describir el campo eléctrico . El campo gravitacional se describió luego de manera similar.

Gravitación newtoniana

En la gravitación clásica , la masa es la fuente de un atractivo campo gravitacional g .

Una teoría de campo clásica que describe la gravedad es la gravitación newtoniana , que describe la fuerza gravitacional como una interacción mutua entre dos masas .

Cualquier cuerpo con masa M está asociado con un campo gravitacional g que describe su influencia sobre otros cuerpos con masa. El campo gravitacional de M en un punto r en el espacio corresponde a la relación entre la fuerza F que M ejerce sobre una masa de prueba pequeña o despreciable m ubicada en r y la masa de prueba en sí: ^[11]

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$

Estipulando que m es mucho menor que M asegura que la presencia de m tiene una influencia insignificante sobre el comportamiento de M .

Según la ley de Newton de la gravitación universal , F ( r ) viene dada por ^[11]

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$

donde es un vector unitario que se extiende a lo largo de la línea que une M y my apunta de M a m . Por tanto, el campo gravitacional de M es ^[11]${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

La observación experimental de que la masa inercial y la masa gravitacional son iguales a un nivel de precisión sin precedentes conduce a la identidad de que la fuerza del campo gravitacional es idéntica a la aceleración experimentada por una partícula. Este es el punto de partida del principio de equivalencia , que conduce a la relatividad general .

Debido a que la fuerza gravitacional F es conservadora , el campo gravitacional g se puede reescribir en términos del gradiente de una función escalar, el potencial gravitacional Φ ( r ):

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$

Electromagnetismo

Artículo principal: electromagnetismo

Michael Faraday se dio cuenta por primera vez de la importancia de un campo como cantidad física, durante sus investigaciones sobre el magnetismo . Se dio cuenta de que los campos eléctricos y magnéticos no solo son campos de fuerza que dictan el movimiento de las partículas, sino que también tienen una realidad física independiente porque transportan energía.

Estas ideas finalmente llevaron a la creación, por James Clerk Maxwell , de la primera teoría de campo unificado en física con la introducción de ecuaciones para el campo electromagnético . La versión moderna de estas ecuaciones se llama ecuaciones de Maxwell .

Electrostática

Artículo principal: Electrostática

Una partícula de prueba cargada con carga q experimenta una fuerza F basada únicamente en su carga. Podemos describir de manera similar el campo eléctrico E de manera que F = q E . Usando esto y la ley de Coulomb nos dice que el campo eléctrico debido a una sola partícula cargada es

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$

El campo eléctrico es conservador y, por lo tanto, puede describirse mediante un potencial escalar, V ( r ):

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).}$

Magnetostática

Artículo principal: magnetostática

Una corriente constante I que fluye a lo largo de una trayectoria ℓ creará un campo B, que ejerce una fuerza sobre las partículas cargadas en movimiento cercanas que es cuantitativamente diferente de la fuerza del campo eléctrico descrita anteriormente. La fuerza ejercida por I sobre una carga cercana q con velocidad v es

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=q\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ),}$

donde B ( r ) es el campo magnético , que está determinado a partir de I por la ley de Biot-Savart :

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {Id{\boldsymbol {\ell }}\times {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}.}$

El campo magnético no es conservador en general y, por lo tanto, generalmente no se puede escribir en términos de un potencial escalar. Sin embargo, se puede escribir en términos de un potencial vectorial , A ( r ):

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} (\mathbf {r} )}$

Los E campos y B campos debido a las cargas eléctricas (negro / blanco) y los polos magnéticos (rojo / azul). ^{[12] [13]} Arriba: campo E debido a un momento dipolar eléctrico d . Abajo a la izquierda: campo B debido a un dipolo magnético matemático m formado por dos monopolos magnéticos. Abajo a la derecha: campo B debido a un momento dipolar magnético puro m que se encuentra en la materia ordinaria ( no en los monopolos).

Electrodinámica

Artículo principal: Electrodinámica

En general, en presencia de una densidad de carga ρ ( r , t ) y una densidad de corriente J ( r , t ), habrá un campo eléctrico y uno magnético, y ambos variarán con el tiempo. Están determinados por las ecuaciones de Maxwell , un conjunto de ecuaciones diferenciales que relacionan directamente E y B de p y J . ^[14]

Alternativamente, se puede describir el sistema en términos de su escalares y vectoriales potenciales V y A . Un conjunto de ecuaciones integrales conocidas como potenciales retardados permiten calcular V y A a partir de ρ y J , ^{[nota 1]} ya partir de ahí los campos eléctricos y magnéticos se determinan mediante las relaciones ^[15]

${\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}V-{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} .}$

A finales del siglo XIX, el campo electromagnético se entendía como una colección de dos campos vectoriales en el espacio. Hoy en día, se reconoce esto como un único campo tensorial antisimétrico de segundo rango en el espacio-tiempo.

Los E campos y B campos debido a las cargas eléctricas (negro / blanco) y los polos magnéticos (rojo / azul). ^{[12] [13]} Campos E debidos a cargas eléctricas estacionarias y campos B debidos a cargas magnéticas estacionarias (tenga en cuenta que en la naturaleza los monopolos N y S no existen). En movimiento ( velocidad v ), una carga eléctrica induce un campo B mientras que una carga magnética (que no se encuentra en la naturaleza) induciría un campo E. Se utiliza corriente convencional .

Gravitación en la relatividad general

En relatividad general , la masa-energía deforma el espacio-tiempo ( tensor de Einstein G ), ^[16] y las distribuciones de masa-energía asimétricas rotativas con momento angular J generan campos GEM H ^[17]

La teoría de la gravedad de Einstein, llamada relatividad general , es otro ejemplo de teoría de campos. Aquí el campo principal es el tensor métrico , un campo tensorial simétrico de segundo rango en el espacio-tiempo . Esto reemplaza la ley de gravitación universal de Newton .

Olas como campos

Waves se pueden construir como campos físicos, debido a su finita velocidad de propagación y la naturaleza causal cuando un simplificado modelo físico de un sistema cerrado aislado se establece ^{[ aclaración necesaria ]} . También están sujetos a la ley del cuadrado inverso .

Para las ondas electromagnéticas, existen campos ópticos y términos como límites de campo cercano y lejano para la difracción. Sin embargo, en la práctica, las teorías de campo de la óptica son reemplazadas por la teoría de campos electromagnéticos de Maxwell.

Campos cuánticos

Artículo principal: teoría cuántica de campos

Ahora se cree que la mecánica cuántica debería ser la base de todos los fenómenos físicos, de modo que una teoría de campo clásica debería, al menos en principio, permitir una refundición en términos de la mecánica cuántica; el éxito produce la correspondiente teoría cuántica de campos . Por ejemplo, cuantificar la electrodinámica clásica da electrodinámica cuántica . La electrodinámica cuántica es posiblemente la teoría científica más exitosa; Los datos experimentales confirman sus predicciones con una precisión más alta (con dígitos más significativos ) que cualquier otra teoría. ^[18] Las otras dos teorías fundamentales del campo cuántico son la cromodinámica cuántica.y la teoría electrodébil .

Campos debidos a cargas de color , como en los quarks ( G es el tensor de intensidad de campo de gluones ). Estas son combinaciones "incoloras". Arriba: la carga de color tiene "estados ternarios neutros", así como neutralidad binaria (análoga a la carga eléctrica ). Abajo: las combinaciones de quark / antiquark. ^{[12] [13]}

En la cromodinámica cuántica, las líneas del campo de color están acopladas a distancias cortas por gluones , que están polarizados por el campo y se alinean con él. Este efecto aumenta en una distancia corta (alrededor de 1 fm de la vecindad de los quarks) haciendo que la fuerza del color aumente dentro de una distancia corta, confinando los quarks dentro de los hadrones . Como las líneas de campo son unidas fuertemente por los gluones, no se "arquean" hacia afuera tanto como un campo eléctrico entre cargas eléctricas. ^[19]

Estas tres teorías cuánticas de campos pueden derivarse todas como casos especiales del llamado modelo estándar de física de partículas . La relatividad general , la teoría de campo de la gravedad de Einstein, aún no se ha cuantificado con éxito. Sin embargo, una extensión, la teoría del campo térmico , se ocupa de la teoría cuántica de campos a temperaturas finitas , algo que rara vez se considera en la teoría cuántica de campos.

En la teoría BRST uno trata con campos extraños, por ejemplo, los fantasmas de Faddeev-Popov . Hay diferentes descripciones de campos clásicos impares tanto en variedades graduadas como en supervariedades .

Como anteriormente con los campos clásicos, es posible abordar sus contrapartes cuánticas desde una vista puramente matemática utilizando técnicas similares a las anteriores. Las ecuaciones que gobiernan los campos cuánticos son de hecho PDE (específicamente, ecuaciones de onda relativistas (RWE)). Por tanto, se puede hablar de los campos de Yang-Mills , Dirac , Klein-Gordon y Schrödinger como soluciones a sus respectivas ecuaciones. Un posible problema es que estos RWE pueden tratar con objetos matemáticos complicados con propiedades algebraicas exóticas (p. Ej., Los espinores no son tensores , por lo que pueden necesitar cálculo para campos de espino), pero estos, en teoría, aún pueden someterse a métodos analíticos si se les da una generalización matemática adecuada .

Teoría de campo

La teoría de campos generalmente se refiere a una construcción de la dinámica de un campo, es decir, una especificación de cómo un campo cambia con el tiempo o con respecto a otras variables físicas independientes de las que depende el campo. Por lo general, esto se hace escribiendo un lagrangiano o hamiltoniano del campo y tratándolo como un sistema mecánico clásico o cuántico con un número infinito de grados de libertad . Las teorías de campo resultantes se denominan teorías de campo clásicas o cuánticas.

La dinámica de un campo clásico suele estar especificada por la densidad lagrangiana en términos de los componentes del campo; la dinámica se puede obtener utilizando el principio de acción .

Es posible construir campos simples sin ningún conocimiento previo de física utilizando solo matemáticas de cálculo de varias variables , teoría de potencial y ecuaciones diferenciales parciales (PDE). Por ejemplo, las PDE escalares pueden considerar cantidades tales como campos de amplitud, densidad y presión para la ecuación de onda y la dinámica de fluidos ; Campos de temperatura / concentración para las ecuaciones de calor / difusión . Fuera de la física propiamente dicha (por ejemplo, radiometría y gráficos por computadora), hay incluso campos de luz . Todos estos ejemplos anteriores son campos escalares. De manera similar para los vectores, existen PDE vectoriales para campos de desplazamiento, velocidad y vorticidad en la dinámica de fluidos (matemática aplicada), pero el cálculo vectorial ahora puede ser necesario además, siendo cálculo para campos vectoriales (al igual que estas tres cantidades y las de PDE vectoriales). en general). De manera más general, los problemas en la mecánica del continuo pueden involucrar, por ejemplo, elasticidad direccional (de donde proviene el término tensor , derivado de la palabra latina para estiramiento), flujos de fluidos complejos o difusión anisotrópica , que se enmarcan como PDE de tensor de matriz, y luego requieren matrices o campos tensoriales, de ahí el cálculo matricial o tensorial. Los escalares (y por lo tanto los vectores, matrices y tensores) pueden ser reales o complejos ya que ambos son campos en el sentido algebraico abstracto / teórico de anillos .

En general, los campos clásicos se describen mediante secciones de haces de fibras y su dinámica se formula en términos de colectores de chorro ( teoría de campo clásica covariante ). ^[20]

En la física moderna , los campos más estudiados son aquellos que modelan las cuatro fuerzas fundamentales que un día pueden conducir a la Teoría del Campo Unificado .

Simetrías de campos

Una forma conveniente de clasificar un campo (clásico o cuántico) es por las simetrías que posee. Las simetrías físicas suelen ser de dos tipos:

Simetrías del espacio-tiempo

Artículos principales: simetría global y simetrías espaciotemporales

Los campos a menudo se clasifican por su comportamiento bajo transformaciones del espacio-tiempo . Los términos utilizados en esta clasificación son:

• campos escalares (como la temperatura ) cuyos valores vienen dados por una sola variable en cada punto del espacio. Este valor no cambia con las transformaciones del espacio.
• Campos vectoriales (como la magnitud y la dirección de la fuerza en cada punto de un campo magnético ) que se especifican adjuntando un vector a cada punto del espacio. Los componentes de este vector se transforman entre sí de forma contravariable bajo rotaciones en el espacio. De manera similar, un campo de vector dual (o co-) adjunta un vector dual a cada punto del espacio, y los componentes de cada vector dual se transforman de forma covariable.
• campos tensoriales , (como el tensor de tensión de un cristal) especificado por un tensor en cada punto del espacio. Bajo rotaciones en el espacio, los componentes del tensor se transforman de una manera más general que depende del número de índices covariantes e índices contravariantes.
• los campos de espinor (como el espinor de Dirac ) surgen en la teoría cuántica de campos para describir partículas con espín que se transforman como vectores excepto el de su componente; en otras palabras, cuando se gira un campo vectorial 360 grados alrededor de un eje específico, el campo vectorial gira hacia sí mismo; sin embargo, los espinores volverían a sus negativos en el mismo caso.

Simetrías internas

Artículo principal: simetría interna

Los campos pueden tener simetrías internas además de simetrías espaciotemporales. En muchas situaciones, se necesitan campos que son una lista de escalares espaciotemporales: (φ ₁ , φ ₂ , ... φ _N ). Por ejemplo, en la predicción meteorológica, estos pueden ser temperatura, presión, humedad, etc. En física de partículas , la simetría de color de la interacción de los quarks es un ejemplo de una simetría interna, la de la interacción fuerte . Otros ejemplos son isospin , isospin débil , extrañeza y cualquier otra simetría de sabor .

Si hay una simetría del problema, que no involucra el espacio-tiempo, bajo la cual estos componentes se transforman entre sí, entonces este conjunto de simetrías se llama simetría interna . También se puede hacer una clasificación de los cargos de los campos bajo simetrías internas.

Teoría del campo estadístico

Artículo principal: teoría del campo estadístico

La teoría del campo estadístico intenta extender el paradigma de la teoría del campo hacia los sistemas de muchos cuerpos y la mecánica estadística . Como antes, se puede abordar mediante el argumento habitual del número infinito de grados de libertad.

Al igual que la mecánica estadística tiene cierta superposición entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, la teoría de campos estadísticos tiene vínculos con las teorías de campos cuántica y clásica, especialmente con la primera con la que comparte muchos métodos. Un ejemplo importante es la teoría del campo medio .

Campos aleatorios continuos

Los campos clásicos como el anterior, como el campo electromagnético , suelen ser funciones infinitamente diferenciables, pero en cualquier caso casi siempre son dos veces diferenciables. Por el contrario, las funciones generalizadas no son continuas. Cuando se trata con cuidado con campos clásicos a temperatura finita, se utilizan los métodos matemáticos de campos aleatorios continuos, porque los campos clásicos térmicamente fluctuantes no son diferenciables en ninguna parte . Los campos aleatorios son conjuntos indexados de variables aleatorias ; un campo aleatorio continuo es un campo aleatorio que tiene un conjunto de funciones como su conjunto de índices. En particular, a menudo es matemáticamente conveniente tomar un campo aleatorio continuo para tener unEl espacio de Schwartz de funciones como su conjunto de índices, en cuyo caso el campo aleatorio continuo es una distribución templada .

Podemos pensar en un campo aleatorio continuo, de una manera (muy) aproximada, como una función ordinaria que está casi en todas partes, pero tal que cuando tomamos un promedio ponderado de todos los infinitos sobre cualquier región finita, obtenemos un resultado finito. Los infinitos no están bien definidos; pero los valores finitos pueden asociarse con las funciones utilizadas como funciones de ponderación para obtener los valores finitos, y eso puede estar bien definido. Podemos definir un campo aleatorio continuo lo suficientemente bien como un mapa lineal de un espacio de funciones a los números reales .${\displaystyle \pm \infty }$

Ver también

• Teoría de campos conformales
• Teoría del campo covariante hamiltoniano
• Campo de fuerza
• Historia de la filosofía de la teoría de campos
• Especificación lagrangiana y euleriana de un campo
• Teoría del campo escalar
• Campo de velocidad

Notas

1. Esto depende de la elección correcta del calibre . V y A no están completamente determinados por ρ y J ; más bien, solo se determinan hasta alguna función escalar f ( r , t ) conocida como calibre. El formalismo de potencial retardado requiere que uno elija el medidor de Lorenz .

Referencias

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Lectura adicional

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• Jepsen, Kathryn (18 de julio de 2013). "Charla real: todo está hecho de campos" (PDF) . Revista Symmetry .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la teoría de campos (física) .

• Teorías de campos de partículas y polímeros