El término número figurado es utilizado por diferentes escritores para miembros de diferentes conjuntos de números, generalizando desde números triangulares a diferentes formas (números poligonales) y diferentes dimensiones (números poliédricos). El término puede significar
- número poligonal
- un número representado como un patrón geométrico regular discreto r - dimensional de bolas r- dimensionales , como un número poligonal (para r = 2 ) o un número poliédrico (para r = 3 ).
- un miembro del subconjunto de los conjuntos anteriores que contiene solo números triangulares, números piramidales y sus análogos en otras dimensiones. [1]
Terminología
Algunos tipos de números figurados se discutieron en los siglos XVI y XVII bajo el nombre de "número figurativo". [2]
En obras históricas sobre matemáticas griegas, el término preferido solía ser número calculado . [3] [4]
En un uso de vuelta va a Jakob Bernoulli 's Ars Conjectandi , [1] el término número figurado se utiliza para números triangulares compone de sucesivas números enteros , números tetraédricos componen de números triangulares sucesivos, etc. Estos resultan ser los coeficientes binomiales . En este uso, los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) no se considerarían números figurados cuando se ven dispuestos en un cuadrado.
Varias otras fuentes usan el término número figurado como sinónimo de los números poligonales , ya sea solo del tipo habitual o tanto esos como los números poligonales centrados . [5]
Historia
Se dice que el estudio matemático de los números figurados se originó con Pitágoras , posiblemente basado en precursores babilónicos o egipcios. La generación de cualquier clase de números figurados que los pitagóricos estudiaron usando gnomones también se atribuye a Pitágoras. Desafortunadamente, no existe una fuente confiable para estas afirmaciones, porque todos los escritos sobrevivientes sobre los pitagóricos [6] son de siglos posteriores. [7] Parece seguro que el cuarto número triangular de diez objetos, llamado tetractys en griego, era una parte central de la religión pitagórica , junto con varias otras figuras también llamadas tetractys. [ cita requerida ] Los números figurados eran una preocupación de la geometría pitagórica.
El estudio moderno de los números figurados se remonta a Pierre de Fermat , específicamente al teorema del número poligonal de Fermat . Más tarde, se convirtió en un tema importante para Euler , quien dio una fórmula explícita para todos los números triangulares que también son cuadrados perfectos , entre muchos otros descubrimientos relacionados con los números figurados.
Los números figurados han jugado un papel importante en las matemáticas recreativas modernas. [8] En la investigación matemática, los números figurados se estudian mediante los polinomios de Ehrhart , polinomios que cuentan el número de puntos enteros en un polígono o poliedro cuando se expande por un factor dado. [9]
Números triangulares y sus análogos en dimensiones superiores.
Los números triangulares para n = 1, 2, 3, ... son el resultado de la yuxtaposición de los números lineales (gnomones lineales) para n = 1, 2, 3, ... :
Estos son los coeficientes binomiales . Este es el caso r = 2 del hecho de que la r- ésima diagonal del triángulo de Pascal para r ≥ 0 consiste en los números figurados para los análogos r- dimensionales de los triángulos ( r -dimensionales simples ).
Los números politópicos simpliciales para r = 1, 2, 3, 4, ... son:
- (números lineales),
- ( números triangulares ),
- ( números tetraédricos ),
- (números pentacópicos , números pentatópicos , números 4-simplex),
- ( r : números de tema, r : números símplex ).
Los términos número cuadrado y número cúbico se derivan de su representación geométrica como un cuadrado o un cubo . La diferencia de dos números triangulares positivos es un número trapezoidal .
Estilo
El gnomon es la pieza que se agrega a un número figurado para transformarlo en el siguiente más grande.
Por ejemplo, el gnomon del número cuadrado es el número impar , de la forma general 2 n + 1 , n = 0, 1, 2, 3, ... . El cuadrado de tamaño 8 compuesto por gnomones se ve así:
8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1
Para transformar de la n -square (el cuadrado de tamaño n ) a la ( n + 1) -square, uno colinda 2 n + 1 elementos: una para el final de cada fila ( n elementos), uno al final de cada columna ( n elementos), y uno solo en la esquina. Por ejemplo, al transformar el cuadrado de 7 en el cuadrado de 8, agregamos 15 elementos; estos adjuntos son los 8 en la figura anterior.
Esta técnica gnomónica también proporciona una prueba matemática de que la suma de los primeros n números impares es n 2 ; la figura ilustra 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8 2 .
Notas
- ^ a b Dickson, LE , Historia de la teoría de los números
- ^ Simpson, JA; Weiner, ESC, eds. (1992). The Compact Oxford English Dictionary (2ª ed.). Oxford, Inglaterra: Clarendon Press. pag. 587. Falta o vacío
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( ayuda ) - ^ Heath, T. , Una historia de las matemáticas griegas por
- ^ Maziarz, EA, Filosofía Matemática Griega
- ^ "Números figurados" . Mathigon . Consultado el 6 de febrero de 2019 .
- ^ Taylor, Thomas, La aritmética teórica de los pitagóricos
- ^ Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C. , A History of Mathematics (Segunda ed.), P. 48
- ^ Kraitchik, Maurice (2006), Recreaciones matemáticas (segunda edición revisada), Dover Books , ISBN 978-0-486-45358-3
- ^ Beck, M .; De Loera, JA ; Develin, M .; Pfeifle, J .; Stanley, RP (2005), "Coeficientes y raíces de polinomios de Ehrhart", Puntos enteros en poliedros: geometría, teoría de números, álgebra, optimización , Contemp. Math., 374 , Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., Págs. 15–36, MR 2134759.
Referencias
- Gazalé, Midhat J. (1999), Gnomon: De los faraones a los fractales , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-00514-0
- Deza, Elena; Deza, Michel Marie (2012), Números figurados, Primera edición , World Scientific , ISBN 978-981-4355-48-3
- Heath, Thomas Little (2000), Una historia de las matemáticas griegas: Volumen 1. De Thales a Euclid , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-97448-8
- Heath, Thomas Little (2000), Una historia de las matemáticas griegas: Volumen 2. De Aristarco a Diofanto , Adamant Media Corporation , ISBN 978-0-543-96877-7
- Dickson, Leonard Eugene (1923), Historia de la teoría de los números , Chelsea Publishing Co , ASIN B000OKO3TK
- Boyer, Carl B .; Merzbach, Uta C., A History of Mathematics (2da ed.)