En matemáticas , una fracción continua es una expresión obtenida a través de un proceso iterativo de representar un número como la suma de su parte entera y el recíproco de otro número, luego escribir este otro número como la suma de su parte entera y otro recíproco, y así en. [1] En una fracción continua finita (o fracción continua terminada ), la iteración / recursión se termina después de un número finito de pasos utilizando un número entero en lugar de otra fracción continua. En contraste, una fracción continua infinita es una expresión infinita. En cualquier caso, todos los números enteros de la secuencia, excepto el primero, deben ser positivos . Los enterosse denominan coeficientes o términos de la fracción continua. [2]
Generalmente se asume que el numerador de todas las fracciones es 1. Si se usan valores y / o funciones arbitrarios en lugar de uno o más de los numeradores o números enteros en los denominadores, la expresión resultante es una fracción continua generalizada . Cuando es necesario distinguir la primera forma de las fracciones continuas generalizadas, la primera puede llamarse fracción continua simple o regular , o puede decirse que está en forma canónica .
Las fracciones continuas tienen una serie de propiedades notables relacionadas con el algoritmo euclidiano para números enteros o reales . Cada número racional /tiene dos expresiones estrechamente relacionadas como una fracción continua finita, cuyos coeficientes a i se pueden determinar aplicando el algoritmo euclidiano a. El valor numérico de una fracción continua infinita es irracional ; se define a partir de su secuencia infinita de números enteros como el límite de una secuencia de valores para fracciones continuas finitas. Cada fracción continua finita de la secuencia se obtiene mediante el uso de un prefijo finito de la secuencia de números enteros que define la fracción continua infinita. Además, cada número irracionales el valor de una fracción continua regular infinita única , cuyos coeficientes se pueden encontrar usando la versión no terminante del algoritmo euclidiano aplicado a los valores inconmensurablesy 1. Esta forma de expresar números reales (racional e irracional) se llama su representación de fracción continua .
El término fracción continua también puede referirse a representaciones de funciones racionales que surgen en su teoría analítica . Para este uso del término, consulte Aproximación de Padé y Funciones racionales de Chebyshev .
Motivación y notación
Considere, por ejemplo, el número racional415/93, que ronda los 4,4624. Como primera aproximación , comience con 4, que es la parte entera ;415/93 = 4 + 43/93. La parte fraccionaria es el recíproco de 93/43que es aproximadamente 2.1628. Utilice la parte entera, 2, como una aproximación del recíproco para obtener una segunda aproximación de 4 + 1/2 = 4,5; 93/43 = 2 + 7/43. La parte fraccionaria restante, 7/43, es el recíproco de 43/7, y 43/7es de alrededor de 6,1429. Utilice 6 como aproximación para obtener 2 + 1/6 como una aproximación para 93/43y 4 + 1/2 + 1/6, alrededor de 4,4615, como tercera aproximación; 43/7 = 6 + 1/7. Finalmente, la parte fraccionaria, 1/7, es el recíproco de 7, por lo que su aproximación en este esquema, 7, es exacta (7/1 = 7 + 0/1) y produce la expresión exacta 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 por 415/93.
La expresión 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 se llama la representación de fracción continua de 415/93. Esto se puede representar mediante la notación abreviada 415/93= [4; 2, 6, 7]. (Se acostumbra reemplazar solo la primera coma por un punto y coma). Algunos libros de texto antiguos usan todas las comas en la tupla ( n + 1) , por ejemplo, [4, 2, 6, 7]. [3] [4]
Si el número inicial es racional, entonces este proceso es exactamente paralelo al algoritmo euclidiano aplicado al numerador y denominador del número. En particular, debe terminar y producir una representación de fracción continua finita del número. La secuencia de números enteros que ocurren en esta representación es la secuencia de cocientes sucesivos calculada por el algoritmo euclidiano. Si el número inicial es irracional , entonces el proceso continúa indefinidamente. Esto produce una secuencia de aproximaciones, todos los cuales son números racionales, y estos convergen al número inicial como límite. Esta es la representación de fracción continua (infinita) del número. Ejemplos de representaciones de fracciones continuas de números irracionales son:
- √ 19 = [4; 2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8, ...] (secuencia A010124 en la OEIS ). El patrón se repite indefinidamente con un período de 6.
- e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, ...](secuencia A003417 en laOEIS). El patrón se repite indefinidamente con un período de 3, excepto que se agrega 2 a uno de los términos en cada ciclo.
- π = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1, ...] (secuencia A001203 en la OEIS ). Nunca se ha encontrado ningún patrón en esta representación.
- ϕ = [1; 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1, ...] (secuencia A000012 en la OEIS ). La proporción áurea , el número irracional que es el "más difícil" de aproximar racionalmente. Ver: Una propiedad de la proporción áurea φ .
Las fracciones continuas son, de alguna manera, representaciones más "matemáticamente naturales" de un número real que otras representaciones como las representaciones decimales , y tienen varias propiedades deseables:
- La representación de fracción continua para un número racional es finita y solo los números racionales tienen representaciones finitas. Por el contrario, la representación decimal de un número racional puede ser finita, por ejemplo137/1600= 0.085625 , o infinito con un ciclo repetido, por ejemplo4/27 = 0,148148148148 ...
- Cada número racional tiene una representación de fracción continua esencialmente única. Cada racional se puede representar exactamente de dos formas, ya que [ a 0 ; a 1 , ... a n −1 , a n ] = [ a 0 ; a 1 , ... a n −1 , ( a n −1), 1] . Por lo general, se elige la primera, más corta, como representación canónica .
- La representación de fracción continua de un número irracional es única.
- Los números reales cuya fracción continua finalmente se repite son precisamente los irracionales cuadráticos . [5] Por ejemplo, la fracción continua repetida [1; 1,1,1, ...] es la proporción áurea , y la fracción continua repetida [1; 2,2,2, ...] es la raíz cuadrada de 2 . En contraste, las representaciones decimales de irracionales cuadráticas son aparentemente aleatorias . Las raíces cuadradas de todos los números enteros (positivos), que no son cuadrados perfectos, son irracionales cuadráticas, por lo que son fracciones continuas periódicas únicas.
- Las aproximaciones sucesivas generadas al encontrar la representación de fracción continua de un número, es decir, al truncar la representación de fracción continua, son en cierto sentido (descrito a continuación) las "mejores posibles".
Fórmula básica
Una fracción continua es una expresión de la forma
donde a i y b i pueden ser números complejos. Por lo general, se requiere que sean números enteros. Si b i = 1 para todo i, la expresión se llama fracción continua simple . Si la expresión contiene un número finito de términos, se denomina fracción continua finita . Si la expresión contiene un número infinito de términos, se denomina fracción continua infinita . [6]
Por lo tanto, todo lo siguiente ilustra fracciones continuas simples finitas válidas:
Fórmula | Numérico | Observaciones |
---|---|---|
Todos los enteros son un caso degenerado | ||
Forma fraccionaria más simple posible | ||
El primer número entero puede ser negativo | ||
El primer número entero puede ser cero |
Para fracciones continuas simples de la forma
la El término también se puede calcular utilizando las siguientes fórmulas recursivas:
dónde y
De lo cual se puede entender que el la secuencia se detiene si .
Calcular representaciones de fracciones continuas
Considere un número real r . Dejarsea la parte entera de ry seaser la parte fraccionaria de r . Entonces la representación de fracción continua de r es, dónde es la representación de fracción continua de .
Para calcular una representación fraccionaria continua de un número r , escriba la parte entera (técnicamente el piso ) de r . Reste esta parte entera de r . Si la diferencia es 0, deténgase; de lo contrario, encuentre el recíproco de la diferencia y repita. El procedimiento se detendrá si y solo si r es racional. Este proceso se puede implementar de manera eficiente utilizando el algoritmo euclidiano cuando el número es racional. La siguiente tabla muestra una implementación de este procedimiento para el número 3.245, lo que resulta en la expansión de fracción continua [3; 4,12,4].
Encuentra la fracción continua para Paso
Número real
Parte entera
Parte fraccionariaSimplificado Recíproco
de f1 2 3 4 DETENER Forma de fracción continua para = 3 + 1/4 + 1/12 + 1/4
Notaciones
Los enteros , etc., se denominan coeficientes o términos de la fracción continua. [2] Se puede abreviar la fracción continua
en la notación de Carl Friedrich Gauss
o como
- ,
o en la notación de Pringsheim como
o en otra notación relacionada como
A veces se utilizan corchetes angulares, como este:
El punto y coma en las notaciones de corchetes y corchetes a veces se reemplaza por una coma. [3] [4]
También se pueden definir fracciones continuas simples infinitas como límites :
Este límite existe para cualquier elección de y enteros positivos [7] [8]
Fracciones continuas finitas
Cada fracción continua finita representa un número racional , y cada número racional puede representarse exactamente de dos formas diferentes como una fracción continua finita, con la condición de que el primer coeficiente sea un número entero y los otros coeficientes sean números enteros positivos. Estas dos representaciones concuerdan excepto en sus términos finales. En la representación más larga, el término final en la fracción continua es 1; la representación más corta elimina el 1 final, pero aumenta el nuevo término final en 1. Por lo tanto, el elemento final en la representación corta es siempre mayor que 1, si está presente. En símbolos:
- [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n , 1] = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a n - 1 , a n + 1] .
- [ a 0 ; 1] = [ a 0 + 1] .
Recíprocos
Las representaciones de fracción continua de un número racional positivo y su recíproco son idénticas excepto por un desplazamiento un lugar hacia la izquierda o hacia la derecha dependiendo de si el número es menor o mayor que uno respectivamente. En otras palabras, los números representados por y son recíprocos.
Por ejemplo, si es un número entero y luego
- y .
Si luego
- y .
El último número que genera el resto de la fracción continua es el mismo para ambos y su recíproco.
Por ejemplo,
- y .
Fracciones continuas infinitas y convergentes
Cada fracción continua infinita es irracional , y cada número irracional se puede representar de una manera precisa como una fracción continua infinita.
Una representación de fracción continua infinita para un número irracional es útil porque sus segmentos iniciales proporcionan aproximaciones racionales al número. Estos números racionales se denominan convergentes de la fracción continua. [9] [10] Cuanto más grande es un término en la fracción continua, más cerca está el convergente correspondiente al número irracional que se aproxima. Números como π tienen términos grandes ocasionales en su fracción continua, lo que los hace fáciles de aproximar con números racionales. Otros números como e tienen solo términos pequeños al principio de su fracción continua, lo que los hace más difíciles de aproximar racionalmente. La proporción áurea ϕ tiene términos iguales a 1 en todas partes, los valores más pequeños posibles, lo que hace que ϕ sea el número más difícil de aproximar racionalmente. En este sentido, por tanto, es el "más irracional" de todos los números irracionales. Los convergentes pares son más pequeños que el número original, mientras que los impares son más grandes.
Para una fracción continua [ a 0 ; a 1 , a 2 , ...] , los primeros cuatro convergentes (numerados del 0 al 3) son
- un 0/1, a 1 a 0 + 1/un 1, un 2 ( un 1 un 0 + 1) + un 0/a 2 a 1 + 1, una 3 ( una 2 ( una 1 una 0 + 1) + una 0 ) + ( una 1 una 0 + 1)/ un 3 ( un 2 un 1 + 1) + un 1.
El numerador del tercer convergente se forma multiplicando el numerador del segundo convergente por el tercer coeficiente y sumando el numerador del primer convergente. Los denominadores se forman de manera similar. Por lo tanto, cada convergente se puede expresar explícitamente en términos de la fracción continua como la razón de ciertos polinomios multivariados llamados continuos .
Si se encuentran convergentes sucesivos, con numeradores h 1 , h 2 , ... y denominadores k 1 , k 2 , ... entonces la relación recursiva relevante es:
- h norte = una norte h norte - 1 + h norte - 2 ,
- k norte = una norte k norte - 1 + k norte - 2 .
Los sucesivos convergentes vienen dados por la fórmula
- h n/k n = a n h n - 1 + h n - 2/una n k norte - 1 + k norte - 2.
Por tanto, para incorporar un nuevo término en una aproximación racional, solo son necesarios los dos convergentes anteriores. Los "convergentes" iniciales (requeridos para los dos primeros términos) son 0 ⁄ 1 y 1 ⁄ 0 . Por ejemplo, aquí están los convergentes para [0; 1,5,2,2].
norte −2 −1 0 1 2 3 4 un n 0 1 5 2 2 h n 0 1 0 1 5 11 27 k n 1 0 1 1 6 13 32
Cuando se usa el método babilónico para generar aproximaciones sucesivas a la raíz cuadrada de un número entero, si uno comienza con el número entero más bajo como primer aproximado, todos los racionales generados aparecen en la lista de convergentes para la fracción continua. Específicamente, las aproximantes aparecerán en la lista de convergentes en las posiciones 0, 1, 3, 7, 15, ..., 2 k −1 , ... Por ejemplo, la expansión de fracción continua para √ 3 es [1; 1, 2,1,2,1,2,1,2, ...]. Comparando los convergentes con los aproximados derivados del método babilónico:
norte −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 un n 1 1 2 1 2 1 2 1 h n 0 1 1 2 5 7 19 26 71 97 k n 1 0 1 1 3 4 11 15 41 56
- x 0 = 1 = 1/1
- x 1 = 1/2(1 + 3/1) = 2/1 = 2
- x 2 = 1/2(2 + 3/2) = 7/4
- x 3 = 1/2( 7/4 + 3/7/4) = 97/56
Propiedades
Un espacio de Baire es un espacio topológico sobre infinitas secuencias de números naturales. La fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo desde el espacio de Baire al espacio de los números reales irracionales (con la topología subespacial heredada de la topología habitual en los reales). La fracción continua infinita también proporciona un mapa entre los irracionales cuadráticos y los racionales diádicos , y de otros irracionales al conjunto de cadenas infinitas de números binarios (es decir, el conjunto de Cantor ); este mapa se llama función de signo de interrogación de Minkowski . El mapeo tiene interesantes propiedades fractales auto-similares ; estos están dados por el grupo modular , que es el subgrupo de transformaciones de Möbius que tienen valores enteros en la transformada. En términos generales, los convergentes de fracciones continuas pueden tomarse como transformaciones de Möbius que actúan en el semiplano superior (hiperbólico) ; esto es lo que conduce a la auto-simetría fractal.
La distribución de probabilidad límite de los coeficientes en la expansión fraccionaria continua de una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0, 1) es la distribución de Gauss-Kuzmin .
Algunos teoremas útiles
Si , , , es una secuencia infinita de enteros positivos, define las secuencias y recursivamente:
Teorema 1. Para cualquier número real positivo
Teorema 2. Los convergentes de [; , , ] son dados por
Teorema 3. Si elth convergente a una fracción continua es /, luego
Corolario 1: Cada convergente está en sus términos más bajos (porque si y tenía un divisor común no trivial que dividiría , que es imposible).
Corolario 2: La diferencia entre convergentes sucesivos es una fracción cuyo numerador es la unidad:
Corolario 3: La fracción continua es equivalente a una serie de términos alternos:
Corolario 4: La matriz
tiene determinante más o menos uno, y por lo tanto pertenece al grupo de matrices unimodulares .
Teorema 4. Cada (th) convergente está más cerca de un subsiguiente (th) convergente que cualquier precedente (th) convergente es. En símbolos, si elth convergente se toma como , luego
para todos .
Corolario 1: Los convergentes pares (antes de lath) aumentan continuamente, pero siempre son menores que .
Corolario 2: Los convergentes impares (antes de lath) disminuyen continuamente, pero siempre son mayores que .
Teorema 5.
Corolario 1: Una convergente está más cerca del límite de la fracción continua que cualquier fracción cuyo denominador sea menor que el de la convergente.
Corolario 2: Un convergente obtenido al terminar la fracción continua justo antes de un término grande es una aproximación cercana al límite de la fracción continua.
Semiconvergentes
Si
son convergentes consecutivos, entonces cualquier fracción de la forma
dónde es un número entero tal que , se denominan semiconvergentes , convergentes secundarios o fracciones intermedias . Lasemiconvergent -st es igual a la mediant de la-th uno y el convergente . A veces, se considera que el término significa que ser semiconvergente excluye la posibilidad de ser convergente (es decir,), en lugar de que un convergente sea una especie de semiconvergente.
De ello se deduce que los semiconvergentes representan una secuencia monótona de fracciones entre los convergentes. (correspondiente a ) y (correspondiente a ). Los semiconvergentes consecutivos y satisfacer la propiedad .
Si una aproximación racional a un número real es tal que el valor es más pequeño que el de cualquier aproximación con un denominador más pequeño, entonces es un semiconvergente de la expansión de fracción continua de . Sin embargo, lo contrario no es cierto.
Mejores aproximaciones racionales
Se puede optar por definir una mejor aproximación racional a un número real x como un número racional norte/D, d > 0 , que está más cerca de x que cualquier aproximación con un denominador menor o igual. La fracción continua simple para x se puede utilizar para generar todas las mejores aproximaciones racionales para x aplicando estas tres reglas:
- Truncar la fracción continua y reducir su último término en una cantidad elegida (posiblemente cero).
- El plazo reducido no puede tener menos de la mitad de su valor original.
- Si el término final es par, la mitad de su valor es admisible solo si el semiconvergente correspondiente es mejor que el convergente anterior. (Vea abajo.)
Por ejemplo, 0.84375 tiene la fracción continua [0; 1,5,2,2]. Aquí están todas sus mejores aproximaciones racionales.
Fracción continua [0; 1] [0; 1,3] [0; 1,4] [0; 1,5] [0; 1,5,2] [0; 1,5,2,1] [0; 1,5,2,2] Aproximación racional 1 3/4 4/5 5/6 11/13 dieciséis/19 27/32 Equivalente decimal 1 0,75 0,8 ~ 0.83333 ~ 0,84615 ~ 0.84211 0.84375 Error + 18,519% −11,111% −5,1852% −1,2346% + 0,28490% −0,19493% 0%
El aumento estrictamente monótono de los denominadores a medida que se incluyen términos adicionales permite que un algoritmo imponga un límite, ya sea en el tamaño del denominador o en la cercanía de la aproximación.
La "regla de la mitad" mencionada anteriormente requiere que cuando a k es par, el término reducido a la mitad a k / 2 es admisible si y solo si | x - [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 ] | > | x - [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k / 2] | [11] Esto equivale [11] a: [12]
- [ a k ; a k - 1 , ..., a 1 ]> [ a k ; a k + 1 , ...] .
Los convergentes ax son "mejores aproximaciones" en un sentido mucho más fuerte que el definido anteriormente. Es decir, n / d es un convergente para x si y solo si | dx - n | tiene el valor más pequeño entre las expresiones análogas para todas las aproximaciones racionales m / c con c ≤ d ; es decir, tenemos | dx - n | <| cx - m | siempre que c < d . (Tenga en cuenta también que | d k x - n k | → 0 cuando k → ∞ .)
Mejor racional dentro de un intervalo
Un racional que cae dentro del intervalo ( x , y ) , para 0 < x < y , se puede encontrar con las fracciones continuas para x e y . Cuando tanto x como y son irracionales y
- x = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , a k , a k + 1 , ...]
- y = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , b k , b k + 1 , ...]
donde x y y tienen idénticas expansiones fracción continua a través de un k -1 , un racional que cae dentro del intervalo ( x , y ) viene dado por la finita fracción continua,
- z ( x , y ) = [ a 0 ; a 1 , a 2 , ..., a k - 1 , min ( a k , b k ) + 1]
Este racional será mejor en el sentido de que ningún otro racional en ( x , y ) tendrá un numerador más pequeño o un denominador más pequeño. [ cita requerida ]
Si x es racional, tendrá dos representaciones de fracciones continuas que son finitas , x 1 y x 2 , y de manera similar, una y racional tendrá dos representaciones, y 1 e y 2 . Los coeficientes más allá del último en cualquiera de estas representaciones deben interpretarse como + ∞ ; y el mejor racional será uno de z ( x 1 , y 1 ) , z ( x 1 , y 2 ) , z ( x 2 , y 1 ) o z ( x 2 , y 2 ) .
Por ejemplo, la representación decimal 3,1416 podría redondearse a partir de cualquier número en el intervalo [3,14155, 3,14165) . Las representaciones de fracción continua de 3.14155 y 3.14165 son
- 3,14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]
- 3,14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]
y el mejor racional entre estos dos es
- [3; 7, 16] = 355/113 = 3,1415929 ....
Por lo tanto, 355/113 es el mejor número racional correspondiente al número decimal redondeado 3,1416, en el sentido de que ningún otro número racional que se redondearía a 3,1416 tendrá un numerador o denominador más pequeño.
Intervalo para un convergente
Un número racional, que se puede expresar como una fracción continua finita de dos formas,
- z = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k , 1] = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k + 1]
será uno de los convergentes para la expansión fraccionaria continua de un número, si y solo si el número está estrictamente entre
- x = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k , 2] y
- y = [ a 0 ; a 1 , ..., a k - 1 , a k + 2]
Los números de x y y se forman incrementando el último coeficiente en las dos representaciones para z . Es el caso de que x < y cuando k es par, y x > y cuando k es impar.
Por ejemplo, el número 355/113 tiene las representaciones de fracción continua
- 355/113= [3; 7, 15, 1] = [3; 7, 16]
y por lo tanto 355/113 es un convergente de cualquier número estrictamente entre
[3; 7, 15, 2] = 688/219 ≈ 3,1415525 [3; 7, 17] = 377/120 ≈ 3,1416667
Comparación
Considere x = [ a 0 ; un 1 , ...] y Y = [ b 0 ; b 1 , ...] . Si k es el índice más pequeño para el cual a k es diferente de b k entonces x < y si (−1) k ( a k - b k ) <0 y y < x en caso contrario.
Si no existe tal k , pero una expansión es más corta que la otra, digamos x = [ a 0 ; a 1 , ..., a n ] y y = [ b 0 ; b 1 , ..., b n , b n + 1 , ...] con a i = b i para 0 ≤ i ≤ n , entonces x < y si n es par y y < x si n es impar.
Expansiones de fracción continua de π
Para calcular los convergentes de π podemos establecer a 0 = ⌊ π ⌋ = 3 , definir u 1 = 1/π - 3≈ 7.0625 y a 1 = ⌊ u 1 ⌋ = 7 , u 2 = 1/u 1 - 7≈ 15.9966 y a 2 = ⌊ u 2 ⌋ = 15 , u 3 = 1/u 2 - 15≈ 1,0034 . Continuando así, se puede determinar la fracción continua infinita de π como
- [3; 7,15,1,292,1,1, ...] (secuencia A001203 en la OEIS ).
El cuarto convergente de π es [3; 7,15,1] = 355/113= 3,14159292035 ..., a veces llamado Milü , que está bastante cerca del valor real de π .
Supongamos que los cocientes encontrados son, como arriba, [3; 7,15,1]. La siguiente es una regla por la cual podemos escribir de una vez las fracciones convergentes que resultan de estos cocientes sin desarrollar la fracción continua.
El primer cociente, que se supone dividido por la unidad, dará la primera fracción, que será demasiado pequeña, a saber, 3/1. Luego, multiplicando el numerador y denominador de esta fracción por el segundo cociente y sumando la unidad al numerador, tendremos la segunda fracción, 22/7, que será demasiado grande. Multiplicando igualmente el numerador y denominador de esta fracción por el tercer cociente, y sumando al numerador el numerador de la fracción anterior, y al denominador el denominador de la fracción anterior, tendremos la tercera fracción, que también será pequeña. Por lo tanto, el tercer cociente es 15, tenemos para nuestro numerador (22 × 15 = 330) + 3 = 333 , y para nuestro denominador, (7 × 15 = 105) + 1 = 106 . El tercer convergente, por lo tanto, es 333/106. Procedemos de la misma manera para el cuarto convergente. El cuarto cociente es 1, decimos que 333 por 1 es 333, y este más 22, el numerador de la fracción anterior, es 355; de manera similar, 106 por 1 es 106, y este más 7 es 113. De esta manera, al emplear los cuatro cocientes [3; 7,15,1], obtenemos las cuatro fracciones:
- 3/1, 22/7, 333/106, 355/113, ....
En resumen, el patrón es
Estos convergentes son alternativamente más pequeños y más grandes que el valor real de π , y se acercan cada vez más a π . La diferencia entre un convergente dado y π es menor que el recíproco del producto de los denominadores de ese convergente y el siguiente convergente. Por ejemplo, la fracción 22/7es mayor que π , pero 22/7- π es menor que 1/7 × 106 = 1/742 (De hecho, 22/7- π es más que 1/791 = 1/7 × 113).
La demostración de las propiedades anteriores se deduce del hecho de que si buscamos la diferencia entre una de las fracciones convergentes y la siguiente adyacente a ella obtendremos una fracción de la cual el numerador es siempre la unidad y el denominador el producto de los dos denominadores. . Por lo tanto, la diferencia entre 22/7 y 3/1 es 1/7, en exceso; Entre 333/106 y 22/7, 1/742, en déficit; Entre 355/113 y 333/106, 1/11978, en exceso; y así. El resultado es que, empleando esta serie de diferencias, podemos expresar de otra manera muy sencilla las fracciones que aquí nos interesan, por medio de una segunda serie de fracciones de las cuales los numeradores son todos unidad y los denominadores sucesivamente. producto de cada dos denominadores adyacentes. En lugar de las fracciones escritas arriba, tenemos la serie:
- 3/1 + 1/1 × 7 - 1/7 × 106 + 1/106 × 113 - ...
El primer término, como vemos, es la primera fracción; el primero y el segundo juntos dan la segunda fracción, 22/7; el primero, el segundo y el tercero dan la tercera fracción 333/106y así sucesivamente con el resto; el resultado es que toda la serie es equivalente al valor original.
Fracción continua generalizada
Una fracción continua generalizada es una expresión de la forma
donde a n ( n > 0) son los numeradores parciales, b n son los denominadores parciales y el término inicial b 0 se denomina parte entera de la fracción continua.
Para ilustrar el uso de fracciones continuas generalizadas, considere el siguiente ejemplo. La secuencia de denominadores parciales de la fracción continua simple de π no muestra ningún patrón obvio:
o
Sin embargo, varias fracciones continuas generalizadas para π tienen una estructura perfectamente regular, como:
Los dos primeros son casos especiales de la función arcotangente con π = 4 arctan (1) y el cuarto y quinto se pueden derivar usando el producto de Wallis . [13] [14]
La fracción continua de arriba que consta de cubos utiliza la serie Nilakantha y un exploit de Leonhard Euler. [15]
Otras expansiones continuas de fracciones
Fracciones continuas periódicas
Los números con expansión fraccionaria continua periódica son precisamente las soluciones irracionales de ecuaciones cuadráticas con coeficientes racionales; las soluciones racionales tienen expansiones de fracciones continuas finitas como se indicó anteriormente. Los ejemplos más simples son la proporción áurea φ = [1; 1,1,1,1,1, ...] y √ 2 = [1; 2,2,2,2, ...], mientras que √ 14 = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6 ...] y √ 42 = [6; 2,12,2,12,2,12 ...]. Todas las raíces cuadradas irracionales de números enteros tienen una forma especial para el período; una cadena simétrica, como la cadena vacía (para √ 2 ) o 1,2,1 (para √ 14 ), seguida del doble del entero inicial .
Una propiedad de la proporción áurea φ
Debido a que la expansión de fracción continua para φ no usa números enteros mayores que 1, φ es uno de los números reales más "difíciles" de aproximar con números racionales. El teorema de Hurwitz [16] establece que cualquier número irracional k puede aproximarse por infinitos números racionales. metro/norte con
Mientras que virtualmente todos los números reales k eventualmente tendrán infinitos convergentes metro/nortecuya distancia de k es significativamente menor que este límite, los convergentes para φ (es decir, los números 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, etc.) consistentemente "de acuerdo con el límite", manteniendo una distancia de casi exactamente lejos de φ, por lo que nunca se produce una aproximación tan impresionante como, por ejemplo, 355/113para π . También se puede demostrar que cada número real de la forma a + b φ/c + d φ, Donde un , b , c , y d son números enteros tales que un d - b c = ± 1 , las acciones de esta propiedad con la relación φ de oro; y que todos los demás números reales pueden aproximarse más.
Patrones regulares en fracciones continuas
Si bien no hay un patrón discernible en la expansión de fracción continua simple de π , hay uno para e , la base del logaritmo natural :
que es un caso especial de esta expresión general para el entero positivo n :
Otro patrón más complejo aparece en esta expansión de fracción continua para n impar positivo :
con un caso especial para n = 1 :
Otras fracciones continuas de este tipo son
donde n es un número entero positivo; también, para el entero n :
con un caso especial para n = 1 :
Si I n ( x ) es la función de Bessel modificada o hiperbólica del primer tipo, podemos definir una función en los racionales pag/q por
que se define para todos los números racionales, con p y q en su mínima expresión. Entonces, para todos los racionales no negativos, tenemos
con fórmulas similares para los racionales negativos; en particular tenemos
Muchas de las fórmulas se pueden probar usando la fracción continua de Gauss .
Fracciones continuas típicas
La mayoría de los números irracionales no tienen ningún comportamiento periódico o regular en su expansión fraccionaria continua. Sin embargo, Khinchin demostró que para casi todos los números reales x , las a i (para i = 1, 2, 3, ... ) tienen una propiedad asombrosa: su media geométrica tiende a una constante (conocida como constante de Khinchin , K ≈ 2.6854520010 ... ) independiente del valor de x . Paul Lévy mostró que la raíz n -ésima del denominador del convergente n- ésimo de la expansión fraccionaria continua de casi todos los números reales se acerca a un límite asintótico, aproximadamente 3,27582, que se conoce como constante de Lévy . El teorema de Lochs establece que el n- ésimo convergente de la expansión fraccionaria continua de casi todos los números reales determina el número con una precisión promedio de poco más de n lugares decimales.
Aplicaciones
Raíces cuadradas
Las fracciones continuas generalizadas se utilizan en un método para calcular raíces cuadradas .
La identidad
( 1 )
conduce mediante recursividad a la fracción continua generalizada para cualquier raíz cuadrada: [17]
( 2 )
Ecuación de Pell
Las fracciones continuas juegan un papel esencial en la solución de la ecuación de Pell . Por ejemplo, para números enteros positivos p y q , y no cuadrada n , es cierto que si p 2 - nq 2 = ± 1 , entoncespag/qes un convergente de la fracción continua regular para √ n . Lo contrario se cumple si el período de la fracción continua regular para √ n es 1 y, en general, el período describe qué convergentes dan soluciones a la ecuación de Pell. [18]
Sistemas dinámicos
Las fracciones continuas también juegan un papel en el estudio de los sistemas dinámicos , donde unen las fracciones de Farey que se ven en el conjunto de Mandelbrot con la función de signo de interrogación de Minkowski y el grupo modular Gamma.
El operador de desplazamiento hacia atrás para fracciones continuas es el mapa h ( x ) = 1 / x - ⌊1 / x ⌋ llamado mapa de Gauss , que corta los dígitos de una expansión de fracción continua: h ([0; a 1 , a 2 , a 3 , ...]) = [0; un 2 , un 3 , ...] . El operador de transferencia de este mapa se denomina operador Gauss-Kuzmin-Wirsing . La distribución de los dígitos en fracciones continuas viene dada por el vector propio cero de este operador y se denomina distribución de Gauss-Kuzmin .
Valores propios y vectores propios
El algoritmo de Lanczos utiliza una expansión de fracción continua para aproximar iterativamente los autovalores y autovectores de una gran matriz dispersa. [19]
Aplicaciones de redes
Las fracciones continuas también se han utilizado en el modelado de problemas de optimización para la virtualización de redes inalámbricas para encontrar una ruta entre un origen y un destino. [20]
Ejemplos de números racionales e irracionales
Número | r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
123 | un r | 123 | ||||||||||
real academia de bellas artes | 123 | |||||||||||
12,3 | un r | 12 | 3 | 3 | ||||||||
real academia de bellas artes | 12 | 37/3 | 123/10 | |||||||||
1,23 | un r | 1 | 4 | 2 | 1 | 7 | ||||||
real academia de bellas artes | 1 | 5/4 | 11/9 | dieciséis/13 | 123/100 | |||||||
0,123 | un r | 0 | 8 | 7 | 1 | 2 | 5 | |||||
real academia de bellas artes | 0 | 1/8 | 7/57 | 8/sesenta y cinco | 23/187 | 123/1000 | ||||||
ϕ = √ 5 + 1/2 | un r | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
real academia de bellas artes | 1 | 2 | 3/2 | 5/3 | 8/5 | 13/8 | 21/13 | 34/21 | 55/34 | 89/55 | 144/89 | |
- ϕ = - √ 5 + 1/2 | un r | −2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
real academia de bellas artes | −2 | - 3/2 | - 5/3 | - 8/5 | - 13/8 | - 21/13 | - 34/21 | - 55/34 | - 89/55 | - 144/89 | - 233/144 | |
√ 2 | un r | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
real academia de bellas artes | 1 | 3/2 | 7/5 | 17/12 | 41/29 | 99/70 | 239/169 | 577/408 | 1 393/985 | 3 363/2 378 | 8 119/5 741 | |
1 ⁄ √ 2 | un r | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
real academia de bellas artes | 0 | 1 | 2/3 | 5/7 | 12/17 | 29/41 | 70/99 | 169/239 | 408/577 | 985/1 393 | 2 378/3 363 | |
√ 3 | un r | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
real academia de bellas artes | 1 | 2 | 5/3 | 7/4 | 19/11 | 26/15 | 71/41 | 97/56 | 265/153 | 362/209 | 989/571 | |
1 ⁄ √ 3 | un r | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
real academia de bellas artes | 0 | 1 | 1/2 | 3/5 | 4/7 | 11/19 | 15/26 | 41/71 | 56/97 | 153/265 | 209/362 | |
√ 3 ⁄ 2 | un r | 0 | 1 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 |
real academia de bellas artes | 0 | 1 | 6/7 | 13/15 | 84/97 | 181/209 | 1 170/1 351 | 2 521/2 911 | 16 296/18 817 | 35 113/40 545 | 226974/262087 | |
3 √ 2 | un r | 1 | 3 | 1 | 5 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 8 | 1 |
real academia de bellas artes | 1 | 4/3 | 5/4 | 29/23 | 34/27 | 63/50 | 286/227 | 349/277 | 635/504 | 5 429/4 309 | 6 064/4 813 | |
mi | un r | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 6 | 1 | 1 |
real academia de bellas artes | 2 | 3 | 8/3 | 11/4 | 19/7 | 87/32 | 106/39 | 193/71 | 1 264/465 | 1 457/536 | 2 721/1 001 | |
π | un r | 3 | 7 | 15 | 1 | 292 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 |
real academia de bellas artes | 3 | 22/7 | 333/106 | 355/113 | 103 993/33 102 | 104 348/33 215 | 208 341/66 317 | 312 689/99 532 | 833 719/265 381 | 1146 408/364 913 | 4 272 943/1 360 120 | |
Número | r | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
ra : aproximante racional obtenido al expandir la fracción continua hasta un r
Historia
- 300 a. C. Euclid's Elements contiene un algoritmo para el máximo común divisor , cuya versión moderna genera una fracción continua como la secuencia de cocientes de sucesivas divisiones euclidianas que ocurren en ella.
- 499 El Aryabhatiya contiene la solución de ecuaciones indeterminadas usando fracciones continuas
- 1572 Rafael Bombelli , L'Algebra Opera - método de extracción de raíces cuadradas que se relaciona con fracciones continuas
- 1613 Pietro Cataldi , Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - primera notación para fracciones continuas
- Cataldi representó una fracción continua como Y Y Y con los puntos indicando dónde fueron las siguientes fracciones.
- 1695 John Wallis , Opera Mathematica - introducción del término "fracción continua"
- 1737 Leonhard Euler , De fraccionibus continuis dissertatio - Proporcionó el primer relato completo de las propiedades de las fracciones continuas e incluyó la primera prueba de que el número e es irracional. [21]
- 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum . Vol. I, Capítulo 18 - probé la equivalencia de una cierta forma de fracción continua y una serie infinita generalizada , probé que todo número racional se puede escribir como una fracción continua finita y probé que la fracción continua de un número irracional es infinita. [22]
- 1761 Johann Lambert - dio la primera prueba de la irracionalidad de π usando una fracción continua para tan (x) .
- 1768 Joseph-Louis Lagrange : proporcionó la solución general a la ecuación de Pell utilizando fracciones continuas similares a las de Bombelli.
- 1770 Lagrange: demostró que los irracionales cuadráticos se expanden a fracciones continuas periódicas .
- 1813 Carl Friedrich Gauss , Werke , vol. 3, págs. 134-138 - derivó una fracción continua de valor complejo muy general a través de una identidad inteligente que involucra la función hipergeométrica
- 1892 Henri Padé define la aproximación de Padé
- 1972 Bill Gosper - Primeros algoritmos exactos para aritmética de fracciones continua.
Ver también
- Cociente completo
- Calcular fracciones continuas de raíces cuadradas
- Fracción egipcia
- Expansión de Engel
- Fórmula de fracción continua de Euler
- Composiciones infinitas de funciones analíticas
- Producto infinito
- Operación binaria iterada
- Poliedro de Klein
- Constantes matemáticas por representación continua de fracciones
- Cocientes parciales restringidos
- Árbol de popa-brocot
- Teorema de Śleszyński-Pringsheim
Notas
- ^ "Fracción continuada - matemáticas" .
- ↑ a b Pettofrezzo y Byrkit (1970 , p. 150)
- ↑ a b Long (1972 , p. 173)
- ↑ a b Pettofrezzo y Byrkit (1970 , p. 152)
- ^ Weisstein, Eric W. "Fracción continua periódica" . MathWorld .
- ^ Collins, Darren C. "Fracciones continuas" (PDF) . Revista de pregrado de matemáticas del MIT . Archivado desde el original (PDF) el 20 de noviembre de 2001.
- ↑ Long (1972 , p. 183)
- ^ Pettofrezzo y Byrkit (1970 , p. 158)
- ↑ Long (1972 , p. 177)
- ^ Pettofrezzo y Byrkit (1970 , págs. 162-163)
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Referencias
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- Pettofrezzo, Anthony J .; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN 77-81766
- Rockett, Andrew M .; Szüsz, Peter (1992). Fracciones continuas . Prensa científica mundial. ISBN 981-02-1047-7.
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- Rieger, GJ (1982). "Un nuevo enfoque de los números reales (motivado por fracciones continuas)". Abh. Braunschweig.Wiss. Ges . 33 . págs. 205–217.
enlaces externos
- "Fracción continua" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Introducción a la fracción continua
- Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) revisa estructuras caóticas en fracciones continuas.
- Fracciones continuas en el árbol Stern-Brocot al cortar el nudo
- El mecanismo de Antikythera I: relaciones de transmisión y fracciones continuas
- Calculadora de fracciones continuas , WIMS.
- Aritmética de fracciones continuas Primer artículo de Gosper sobre fracciones continuas, inédito. Almacenado en caché en el Archivo de Internet 's Wayback Machine
- Weisstein, Eric W. "Fracción continuada" . MathWorld .
- Fracciones continuas de Stephen Wolfram y Aproximaciones de fracciones continuas de la función tangente de Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project .
- Secuencia OEIS A133593 (fracción continua "exacta" para pi)
- Una vista de la "interpolación fraccional" de una fracción continua {1; 1, 1, 1, ... }
- Mejor aproximación racional mediante fracciones continuas