El teorema de Fitting es un teorema matemático probado por Hans Fitting . Puede expresarse de la siguiente manera:
- Si M y N son subgrupos normales nilpotentes de un grupo G , entonces su producto MN es también un subgrupo normal nilpotente de G ; Si, además, M es nilpotente de clase m y N es nilpotente de clase n , entonces MN es nilpotente de clase como máximo m + n .
Por inducción se deduce también que el subgrupo generado por una colección finita de subgrupos normales nilpotentes es nilpotente. Esto se puede utilizar para mostrar que el subgrupo de ajuste de ciertos tipos de grupos (incluidos todos los grupos finitos ) es nilpotente. Sin embargo, un subgrupo generado por una colección infinita de subgrupos normales nilpotentes no necesita ser nilpotente.
Enunciado de la teoría del orden
En términos de la teoría del orden , (parte del) teorema de Fitting se puede establecer como:
- El conjunto de subgrupos normales nilpotentes forma una red de subgrupos .
Por lo tanto, los subgrupos normales nilpotentes de un grupo finito también forman una red acotada y tienen un elemento superior, el subgrupo Adecuado.
Sin embargo, los subgrupos normales nilpotentes no forman en general una red completa , ya que un subgrupo generado por una colección infinita de subgrupos normales nilpotentes no necesita ser nilpotente, aunque será normal. La unión de todos los subgrupos normales nilpotentes todavía se define como el subgrupo Adecuado, pero no es necesario que sea nilpotente.