En matemáticas e informática , la función de piso es la función que toma como entrada un número real , y da como salida el mayor entero menor o igual que, denotado o . Del mismo modo, la función de techo se asigna al menor número entero mayor o igual que , denotado o . [1]
Por ejemplo, y , tiempo .
La parte integral o parte entera de x , a menudo denotada es si x no es negativo, yde lo contrario. En palabras, este es el número entero que tiene el mayor valor absoluto menor o igual que el valor absoluto de x .
Notación
La parte integral o parte entera de un número ( partie entière en el original) fue definida por primera vez en 1798 por Adrien-Marie Legendre en su prueba de la fórmula de Legendre .
Carl Friedrich Gauss introdujo la notación de corchetesen su tercera prueba de reciprocidad cuadrática (1808). [2] Esto siguió siendo el estándar [3] en matemáticas hasta que Kenneth E. Iverson introdujo, en su libro de 1962 A Programming Language , los nombres "piso" y "techo" y las notaciones correspondientes y . [4] [5] Ambas notaciones se utilizan ahora en matemáticas, [6] aunque en este artículo se seguirá la notación de Iverson.
En algunas fuentes, negrita o corchetes dobles se utilizan para suelo y soportes invertidos o] x [para techo. [7] [8] A vecesse toma en el sentido de la función de redondeo hacia cero. [ cita requerida ]
La parte fraccionaria es la función de diente de sierra , denotada porpara x real y definido por la fórmula [9]
Para todo x ,
Ejemplos de
X | Suelo | Techo | Parte fraccional |
---|---|---|---|
2 | 2 | 2 | 0 |
2.4 | 2 | 3 | 0.4 |
2.9 | 2 | 3 | 0,9 |
−2,7 | −3 | −2 | 0,3 |
−2 | −2 | −2 | 0 |
Tipografía
Las funciones de piso y techo generalmente se componen con corchetes izquierdo y derecho, donde faltan las barras horizontales superior (para función de piso) o inferior (para función de techo) ( para piso y para techo). Estos caracteres se proporcionan en Unicode:
- U + 2308 ⌈ TECHO IZQUIERDO (HTML
⌈
·⌈, &LeftCeiling
) - U + 2309 ⌉ TECHO DERECHO (HTML
⌉
·⌉, &RightCeiling
) - U + 230A ⌊ PISO IZQUIERDO (HTML
⌊
·&LeftFloor, ⌊
) - U + 230B ⌋ PISO DERECHO (HTML
⌋
·⌋, &RightFloor
)
En el sistema de composición tipográfica LaTeX , estos símbolos se pueden especificar con los comandos y en modo matemático, y ampliar su tamaño usando y según sea necesario.\lfloor, \rfloor, \lceil
\rceil
\left\lfloor, \right\rfloor, \left\lceil
\right\rceil
Definición y propiedades
Dadas números reales x y y , números enteros k , m , n y el conjunto de números enteros , el suelo y el techo pueden definirse mediante las ecuaciones
Puesto que no es exactamente un número entero en un intervalo semiabierto de longitud uno, para cualquier número real x , hay números enteros únicos m y n satisface la ecuación
dónde y también puede tomarse como la definición de suelo y techo.
Equivalencias
Estas fórmulas se pueden usar para simplificar expresiones que involucran pisos y techos. [10]
En el lenguaje de la teoría del orden , la función de piso es un mapeo residuo , es decir, parte de una conexión de Galois : es el adjunto superior de la función que incrusta los enteros en los reales.
Estas fórmulas muestran cómo la suma de números enteros a los argumentos afecta a las funciones:
Lo anterior nunca es cierto si n no es un número entero; Sin embargo, para cada x e y , las siguientes desigualdades se cumplen:
Relaciones entre las funciones
De las definiciones se desprende claramente que
- con igualdad si y solo si x es un número entero, es decir
De hecho, para números enteros n , las funciones de piso y techo son la identidad :
Negar el argumento cambia piso y techo y cambia el letrero:
y:
Negar el argumento complementa la parte fraccionaria:
Las funciones de piso, techo y parte fraccionaria son idempotentes :
El resultado de las funciones de piso o techo anidadas es la función más interna:
debido a la propiedad de identidad de los números enteros.
Cocientes
Si m y n son números enteros y n ≠ 0,
Si n es un número entero positivo [11]
Si m es positivo [12]
Para m = 2, esto implica
De manera más general, [13] para m positivo (Ver identidad de Hermite )
Lo siguiente se puede utilizar para convertir suelos en techos y viceversa ( m positivo) [14]
Para todos m y n enteros positivos estrictamente: [15] [ mejor fuente necesario ]
que, para m y n positivos y coprimos , se reduce a
Puesto que el lado derecho del caso general es simétrica en m y n , esto implica que
Más en general, si m y n son positivos,
A esto a veces se le llama ley de reciprocidad . [dieciséis]
Divisiones anidadas
Para un entero positivo n y números reales arbitrarios m , x : [17]
Continuidad y expansiones de series
Ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua , pero todas son lineales por partes : las funciones, , y tienen discontinuidades en los enteros.
es semicontinuo superior y y son semicontinuos inferiores.
Dado que ninguna de las funciones discutidas en este artículo es continua, ninguna de ellas tiene una expansión en serie de potencias . Dado que el piso y el techo no son periódicos, no tienen expansiones de la serie de Fourier uniformemente convergentes . La función de parte fraccionaria tiene expansión de la serie de Fourier [18]
para x no es un número entero.
En los puntos de discontinuidad, una serie de Fourier converge a un valor que es el promedio de sus límites a la izquierda y a la derecha, a diferencia de las funciones piso, techo y parte fraccionaria: para y fijo y x un múltiplo de y, la serie de Fourier dada converge a y / 2, en lugar de a x mod y = 0. En los puntos de continuidad, la serie converge al valor verdadero.
Usando la fórmula floor (x) = x - {x} da
para x no es un número entero.
Aplicaciones
Operador de mod
Para un entero x y un entero positivo y , la operación de módulo , denotada por x mod y , da el valor del resto cuando x se divide por y . Esta definición se puede extender a bienes x y y , y ≠ 0, por la fórmula
Luego, de la definición de función de piso se deduce que esta operación extendida satisface muchas propiedades naturales. En particular, x mod y siempre está entre 0 e y , es decir,
si y es positivo,
y si y es negativo,
Reciprocidad cuadrática
La tercera prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss , modificada por Eisenstein, tiene dos pasos básicos. [19] [20]
Deje que p y q sean distintos números primos impares positivos, y dejar
Primero, el lema de Gauss se usa para mostrar que los símbolos de Legendre están dados por
y
El segundo paso es usar un argumento geométrico para demostrar que
La combinación de estas fórmulas da reciprocidad cuadrática en la forma
Hay fórmulas que usan floor para expresar el carácter cuadrático de números pequeños mod primos impares p : [21]
Redondeo
Para un número real arbitrario , redondeo al entero más cercano con la ruptura del empate hacia el infinito positivo está dado por; el redondeo hacia el infinito negativo se da como.
Si el desempate está lejos de 0, entonces la función de redondeo es , y el redondeo hacia pares se puede expresar con los más engorrosos, que es la expresión anterior para redondear hacia infinito positivo menos un indicador de integralidad para.
Truncamiento
El truncamiento de un número positivo viene dado por El truncamiento de un número negativo viene dado por . Obviamente el truncamiento de es en si mismo .
El truncamiento de cualquier número real puede estar dado por: , donde sgn es la función de signo .
Número de dígitos
El número de dígitos en la base b de un entero positivo k es
Factores de factoriales
Sea n un número entero positivo yp un número primo positivo. El exponente de la mayor potencia de p que divide n ! viene dada por una versión de la fórmula de Legendre [22]
dónde es la forma de escribir n en base p . Esta es una suma finita, ya que los pisos son cero cuando p k > n .
Secuencia de Beatty
La secuencia de Beatty muestra cómo cada número irracional positivo da lugar a una partición de los números naturales en dos secuencias a través de la función de piso. [23]
Constante de Euler (γ)
Hay fórmulas para la constante de Euler γ = 0.57721 56649 ... que involucran el piso y el techo, por ejemplo [24]
y
Función zeta de Riemann (ζ)
La función de parte fraccionaria también se muestra en representaciones integrales de la función zeta de Riemann . Es sencillo demostrar (utilizando la integración por partes) [25] que sies cualquier función con una derivada continua en el intervalo cerrado [ a , b ],
Dejando para la parte real de s mayor que 1 y dejando un y b son enteros, y dejando b enfoque infinito da
Esta fórmula es válida para todos los s con parte real mayor que -1, (excepto s = 1, donde hay un polo) y combinada con la expansión de Fourier para { x } se puede usar para extender la función zeta a todo el plano complejo. y probar su ecuación funcional. [26]
Para s = σ + it en la franja crítica 0 < σ <1,
En 1947, van der Pol utilizó esta representación para construir una computadora analógica para encontrar raíces de la función zeta. [27]
Fórmulas para números primos
La función de piso aparece en varias fórmulas que caracterizan los números primos. Por ejemplo, desdees igual a 1 si m divide n , y a 0 en caso contrario, se deduce que un entero positivo n es primo si y solo si [28]
También se pueden dar fórmulas para producir los números primos. Por ejemplo, sea p n el n- ésimo primo, y para cualquier entero r > 1, defina el número real α por la suma
Entonces [29]
Un resultado similar es que hay un número θ = 1.3064 ... ( constante de Mills ) con la propiedad de que
son todos de primera. [30]
También hay un número ω = 1.9287800 ... con la propiedad que
son todos de primera. [30]
Sea π ( x ) el número de primos menores o iguales que x . Es una deducción sencilla del teorema de Wilson que [31]
Además, si n ≥ 2, [32]
Ninguna de las fórmulas de esta sección tiene ningún uso práctico. [33] [34]
Problemas resueltos
Ramanujan envió estos problemas al Journal of the Indian Mathematical Society . [35]
Si n es un entero positivo, demuestre que
(I)
(ii)
(iii)
Problema no resuelto
El estudio del problema de Waring ha llevado a un problema sin resolver:
¿Hay algún número entero positivo k ≥ 6 tal que [36]
- ?
Mahler [37] ha demostrado que sólo puede haber un número finito de tales k ; ninguno es conocido.
Implementaciones informáticas
En la mayoría de los lenguajes de programación, el método más simple para convertir un número de punto flotante en un entero no es piso o techo, sino truncamiento . La razón de esto es histórica, ya que las primeras máquinas utilizaron el complemento de unos y el truncamiento fue más sencillo de implementar (el suelo es más sencillo en el complemento de dos ). FORTRAN se definió para requerir este comportamiento y, por lo tanto, casi todos los procesadores implementan la conversión de esta manera. Algunos consideran que esta es una decisión de diseño histórica desafortunada que ha provocado errores en el manejo de compensaciones negativas y gráficos en el lado negativo del origen. [ cita requerida ]
Un desplazamiento a la derecha bit a bit de un entero con signo por es lo mismo que . La división por una potencia de 2 a menudo se escribe como un desplazamiento a la derecha, no por optimización como podría suponerse, sino porque se requiere el piso de resultados negativos. Asumir que tales cambios son una "optimización prematura" y reemplazarlos con una división puede romper el software. [ cita requerida ]
Muchos lenguajes de programación (incluidos C , C ++ , [38] [39] C # , [40] [41] Java , [42] [43] PHP , [44] [45] R , [46] y Python [47] ) proporcionan funciones estándar para piso y techo, generalmente llamadas floor
y ceil
, o con menos frecuencia ceiling
. [48] El lenguaje que utiliza APL⌊x
para suelo. El lenguaje de programación J , una continuación de APL que está diseñado para usar símbolos de teclado estándar, se usa <.
para piso y >.
techo. [49] ALGOL utiliza entier
para suelos.
Hoja de cálculo
La mayoría de los programas de hojas de cálculo admiten algún tipo de ceiling
función. Aunque los detalles difieren entre los programas, la mayoría de las implementaciones admiten un segundo parámetro, un múltiplo del cual se redondeará el número dado. Por ejemplo, ceiling(2, 3)
redondea 2 al múltiplo más cercano de 3, dando 3. La definición de lo que significa "redondear", sin embargo, difiere de un programa a otro.
Microsoft Excel usó casi exactamente lo opuesto a la notación estándar, con INT
para piso, que FLOOR
significa redondeo hacia cero y CEILING
significa redondeo desde cero. [50] Esto se ha aplicado al formato de archivo Office Open XML . Excel 2010 ahora sigue la definición estándar. [51]
El formato de archivo OpenDocument , utilizado por OpenOffice.org , Libreoffice y otros, sigue la definición matemática de techo para su ceiling
función, con un parámetro opcional para la compatibilidad con Excel. Por ejemplo, CEILING(-4.5)
devuelve −4.
Ver también
- Soporte (matemáticas)
- Función de valor entero
- Función de paso
Notas
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, cap. 3.1
- ^ Lemmermeyer, págs.10, 23.
- ↑ Por ejemplo, Cassels, Hardy & Wright y Ribenboim usan la notación de Gauss, Graham, Knuth & Patashnik y Crandall & Pomerance usan la notación de Iverson.
- ^ Iverson, pág. 12.
- ^ Higham, p. 25.
- ^ Consulte el artículo de Wolfram MathWorld.
- ^ Mathwords: función de piso .
- ^ Mathwords: función de techo
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 70.
- ^ Graham, Knuth y Patashink, cap. 3
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 73
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 85
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 85 y Ex. 3,15
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, ej. 3.12
- ^ JEblazek, Combinatoire de N-modules de Catalan , Tesis de maestría, página 17.
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 94
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, p. 71, aplique el teorema 3.10 con x / m como entrada y la división por n como función
- ^ Marisma de Titch, p. 15, ec. 2.1.7
- ^ Lemmermeyer, § 1.4, Ej. 1,32–1,33
- ^ Hardy y Wright, §§ 6.11–6.13
- ^ Lemmermeyer, pág. 25
- ^ Hardy y Wright, Th. 416
- ^ Graham, Knuth y Patashnik, págs. 77–78
- ^ Estas fórmulas son del artículo de Wikipedia La constante de Euler , que tiene muchas más.
- ^ Marisma de Titch, p. 13
- ↑ Titchmarsh, págs. 14-15
- ^ Crandall y Pomerance, p. 391
- ^ Crandall y Pomerance, ej. 1.3, pág. 46. El límite superior infinito de la suma se puede reemplazar con n . Una condición equivalente es n > 1 es primo si y solo si .
- ^ Hardy y Wright, § 22.3
- ^ a b Ribenboim, pág. 186
- ^ Ribenboim, pág. 181
- ^ Crandall y Pomerance, ej. 1.4, pág. 46
- ↑ Ribenboim, p.180 dice que "A pesar del nulo valor práctico de las fórmulas ... [ellas] pueden tener alguna relevancia para los lógicos que deseen comprender claramente cómo se pueden deducir varias partes de la aritmética a partir de diferentes axiomatizaciones ..."
- ↑ Hardy & Wright, pp.344-345 "Cualquiera de estas fórmulas (o cualquiera similar) alcanzaría un estatus diferente si el valor exacto del número α ... pudiera expresarse independientemente de los números primos. No parece probable de esto, pero no se puede descartar como del todo imposible ".
- ^ Ramanujan, Pregunta 723, Documentos p. 332
- ^ Hardy y Wright, p. 337
- ^ Mahler, K. Sobre las partes fraccionarias de las potencias de un número racional II , 1957, Mathematika, 4 , páginas 122-124
- ^ "Referencia de floorfunción de C ++ " . Consultado el 5 de diciembre de 2010 .
- ^ "Referencia de ceilfunción de C ++ " . Consultado el 5 de diciembre de 2010 .
- ^ dotnet-bot. "Método Math.Floor (Sistema)" . docs.microsoft.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ^ dotnet-bot. "Método Math.Ceiling (Sistema)" . docs.microsoft.com . Consultado el 28 de noviembre de 2019 .
- ^ "Matemáticas (Java SE 9 y JDK 9)" . docs.oracle.com . Consultado el 20 de noviembre de 2018 .
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- ^ "Manual de PHP para ceilfunciones" . Consultado el 18 de julio de 2013 .
- ^ "Manual de PHP para floorfunciones" . Consultado el 18 de julio de 2013 .
- ^ "R: Redondeo de números" .
- ^ "Manual de Python para el mathmódulo" . Consultado el 18 de julio de 2013 .
- ^ Sullivan, pág. 86.
- ^ "Vocabulario" . J Idioma . Consultado el 6 de septiembre de 2011 .
- ^ "Descripción general de las funciones de redondeo de Excel" .
- ^ Pero la ayuda en línea proporcionada en 2010 no refleja este comportamiento.
Referencias
- JWS Cassels (1957), Introducción a la aproximación diofántica , Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, 45 , Cambridge University Press
- Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001), Números primos: una perspectiva computacional , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-94777-9
- Graham, Ronald L .; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1994), Matemáticas concretas , Reading Ma .: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5
- Hardy, GH; Wright, EM (1980), Introducción a la teoría de los números (quinta edición) , Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5
- Nicholas J. Higham, Manual de redacción para las ciencias matemáticas , SIAM. ISBN 0-89871-420-6 , pág. 25
- ISO / IEC . ISO / IEC 9899 :: 1999 (E): Lenguajes de programación - C (2ª ed.), 1999; Sección 6.3.1.4, p. 43.
- Iverson, Kenneth E. (1962), Un lenguaje de programación , Wiley
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
- Ramanujan, Srinivasa (2000), Collected Papers , Providence RI: AMS / Chelsea, ISBN 978-0-8218-2076-6
- Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-94457-5
- Michael Sullivan. Precálculo , octava edición, pág. 86
- Titchmarsh, Edward Charles; Heath-Brown, David Rodney ("Roger") (1986), The Theory of the Riemann Zeta-function (2a ed.), Oxford: Oxford UP, ISBN 0-19-853369-1
enlaces externos
- "Función de piso" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Štefan Porubský, "Funciones de redondeo de enteros" , Portal de información interactivo para matemáticas algorítmicas , Instituto de Ciencias de la Computación de la Academia Checa de Ciencias, Praga, República Checa, consultado el 24 de octubre de 2008
- Weisstein, Eric W. "Función de suelo" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Función de techo" . MathWorld .