La teoría de Floquet es una rama de la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias relacionada con la clase de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales periódicas de la forma
con una función periódica continua por partes con período y define el estado de estabilidad de las soluciones.
El teorema principal de la teoría de Floquet, el teorema de Floquet , debido a Gaston Floquet ( 1883 ), da una forma canónica para cada solución de matriz fundamental de este sistema lineal común . Da un cambio de coordenadas con que transforma el sistema periódico en un sistema lineal tradicional con coeficientes reales constantes .
Cuando se aplica a sistemas físicos con potenciales periódicos, como los cristales en la física de la materia condensada , el resultado se conoce como teorema de Bloch .
Tenga en cuenta que las soluciones de la ecuación diferencial lineal forman un espacio vectorial. Una matrizse denomina solución matricial fundamental si todas las columnas son soluciones linealmente independientes. Una matrizse llama solución de matriz fundamental principal si todas las columnas son soluciones linealmente independientes y existe tal que es la identidad. Se puede construir una matriz fundamental principal a partir de una matriz fundamental utilizando. La solución de la ecuación diferencial lineal con la condición inicial es dónde es cualquier solución matricial fundamental.
Teorema de floquet
Dejar ser una ecuación diferencial lineal de primer orden, donde es un vector de columna de longitud y un matriz periódica con período (es decir para todos los valores reales de ). Dejarser una solución matricial fundamental de esta ecuación diferencial. Entonces, para todos,
Aquí
se conoce como la matriz de monodromía . Además, para cada matriz (posiblemente complejo) tal que
hay un período periódico ) función de matriz tal que
Además, hay una matriz realy un verdadero periódico (período-) función de matriz tal que
En lo de arriba , , y están matrices.
Consecuencias y aplicaciones
Este mapeo da lugar a un cambio de coordenadas dependiente del tiempo (), bajo el cual nuestro sistema original se convierte en un sistema lineal con coeficientes constantes reales . Desdees continuo y periódico debe estar acotado. Así, la estabilidad de la solución cero para y está determinada por los valores propios de .
La representación se llama una forma normal de Floquet para la matriz fundamental.
Los valores propios dese denominan multiplicadores característicos del sistema. También son los valores propios de los mapas de Poincaré (lineales) . Un exponente de Floquet (a veces llamado exponente característico), es un complejo tal que es un multiplicador característico del sistema. Observe que los exponentes de Floquet no son únicos, ya que, dónde es un número entero. Las partes reales de los exponentes de Floquet se denominan exponentes de Lyapunov . La solución cero es asintóticamente estable si todos los exponentes de Lyapunov son negativos, Lyapunov es estable si los exponentes de Lyapunov son no positivos e inestables en caso contrario.
- La teoría de Floquet es muy importante para el estudio de sistemas dinámicos .
- La teoría de Floquet muestra estabilidad en la ecuación diferencial de Hill (introducida por George William Hill ) aproximando el movimiento de la luna como un oscilador armónico en un campo gravitacional periódico .
- El ablandamiento y el endurecimiento de los enlaces en campos láser intensos se pueden describir en términos de soluciones obtenidas del teorema de Floquet.
Referencias
- C. Chicone. Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones. Springer-Verlag, Nueva York 1999.
- Ekeland, Ivar (1990). "Uno". Métodos de convexidad en la mecánica hamiltoniana . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en matemáticas y áreas relacionadas (3)]. 19 . Berlín: Springer-Verlag. págs. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. Señor 1051888 .
- Floquet, Gaston (1883), "Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques" (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033 / asens.220
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- W. Magnus, S. Winkler. Ecuación de Hill , Ediciones Dover-Phoenix, ISBN 0-486-49565-5 .
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- MSP Eastham, "La teoría espectral de las ecuaciones diferenciales periódicas", Textos en matemáticas, Scottish Academic Press, Edimburgo, 1973. ISBN 978-0-7011-1936-2 .
enlaces externos
- "Teoría de Floquet" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]