El teorema de fluctuación-disipación ( FDT ) o la relación de fluctuación-disipación ( FDR ) es una herramienta poderosa en física estadística para predecir el comportamiento de sistemas que obedecen al equilibrio detallado . Dado que un sistema obedece al equilibrio detallado, el teorema es una prueba general de que las fluctuaciones termodinámicas en una variable física predicen la respuesta cuantificada por la admitancia o impedancia (debe entenderse en su sentido general, no solo en términos electromagnéticos) de la misma variable física. (como voltaje, diferencia de temperatura, etc.) y viceversa. El teorema de fluctuación-disipación se aplica tanto asistemas mecánicos clásicos y cuánticos .
El teorema de fluctuación-disipación fue probado por Herbert Callen y Theodore Welton en 1951 [1] y ampliado por Ryogo Kubo . Hay antecedentes del teorema general, incluida la explicación de Einstein del movimiento browniano [2] durante su annus mirabilis y la explicación de Harry Nyquist en 1928 del ruido de Johnson en resistencias eléctricas. [3]
Resumen cualitativo y ejemplos
El teorema de fluctuación-disipación dice que cuando hay un proceso que disipa energía, convirtiéndola en calor (por ejemplo, fricción), hay un proceso inverso relacionado con las fluctuaciones térmicas . Esto se comprende mejor considerando algunos ejemplos:
- Si un objeto se mueve a través de un fluido, experimenta arrastre (resistencia al aire o resistencia a los fluidos). El arrastre disipa la energía cinética y la convierte en calor. La fluctuación correspondiente es el movimiento browniano . Un objeto en un fluido no se queda quieto, sino que se mueve con una velocidad pequeña y que cambia rápidamente, cuando las moléculas del fluido chocan contra él. El movimiento browniano convierte la energía térmica en energía cinética, lo contrario de la resistencia.
- Si la corriente eléctrica pasa a través de un circuito de alambre con una resistencia en él, la corriente irá rápidamente a cero debido a la resistencia. La resistencia disipa la energía eléctrica y la convierte en calor ( calentamiento Joule ). La fluctuación correspondiente es el ruido de Johnson . Un circuito de alambre con una resistencia en él no tiene corriente cero, tiene una corriente pequeña y de fluctuación rápida causada por las fluctuaciones térmicas de los electrones y átomos en la resistencia. El ruido de Johnson convierte la energía térmica en energía eléctrica, lo contrario de la resistencia.
- Cuando la luz incide en un objeto, se absorbe una fracción de la luz, lo que hace que el objeto se caliente. De esta forma, la absorción de luz convierte la energía luminosa en calor. La fluctuación correspondiente es la radiación térmica (por ejemplo, el resplandor de un objeto "al rojo vivo"). La radiación térmica convierte la energía térmica en energía luminosa, lo contrario de la absorción de luz. De hecho, la ley de radiación térmica de Kirchhoff confirma que cuanto más efectivamente absorbe un objeto la luz, más radiación térmica emite.
Ejemplos en detalle
El teorema de fluctuación-disipación es un resultado general de la termodinámica estadística que cuantifica la relación entre las fluctuaciones en un sistema que obedece al equilibrio detallado y la respuesta del sistema a las perturbaciones aplicadas.
movimiento browniano
Por ejemplo, Albert Einstein señaló en su artículo de 1905 sobre el movimiento browniano que las mismas fuerzas aleatorias que causan el movimiento errático de una partícula en el movimiento browniano también causarían arrastre si la partícula fuera arrastrada a través del fluido. En otras palabras, la fluctuación de la partícula en reposo tiene el mismo origen que la fuerza de fricción disipativa contra la que se debe trabajar si se intenta perturbar el sistema en una dirección particular.
A partir de esta observación, Einstein pudo utilizar la mecánica estadística para derivar la relación de Einstein-Smoluchowski.
que conecta la constante de difusión D y la movilidad de la partícula μ , la relación entre la velocidad de deriva terminal de la partícula y una fuerza aplicada. k B es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .
Ruido térmico en una resistencia
En 1928, John B. Johnson descubrió y Harry Nyquist explicó el ruido de Johnson-Nyquist . Sin corriente aplicada, el voltaje cuadrático medio depende de la resistencia, y el ancho de banda sobre el cual se mide el voltaje: [4]
Esta observación puede entenderse a través de la lente del teorema de fluctuación-disipación. Tomemos, por ejemplo, un circuito simple que consta de una resistencia con una resistenciay un condensador con una pequeña capacitancia. La ley de Kirchhoff cede
y entonces la función de respuesta para este circuito es
En el límite de baja frecuencia , su parte imaginaria es simplemente
que luego se puede vincular a la función de autocorrelación del voltaje a través del teorema de fluctuación-disipación
El ruido de voltaje de Johnson-Nyquist se observó dentro de un pequeño ancho de banda de frecuencia centrado alrededor . Por eso
Formulación general
El teorema de fluctuación-disipación se puede formular de muchas formas; una forma particularmente útil es la siguiente: [ cita requerida ]
Dejar ser un observable de un sistema dinámico con hamiltoniano sujeto a fluctuaciones térmicas. Lo observable fluctuará alrededor de su valor medio con fluctuaciones caracterizadas por un espectro de potencia . Supongamos que podemos activar un campo espacialmente constante variable en el tiempo que altera el hamiltoniano a . La respuesta de lo observable a un campo dependiente del tiempo se caracteriza de primer orden por la susceptibilidad o función de respuesta lineal del sistema
donde la perturbación se enciende adiabáticamente (muy lentamente) en .
El teorema de fluctuación-disipación relaciona el espectro de potencia de dos lados (es decir, frecuencias positivas y negativas) de a la parte imaginaria de la transformada de Fourier de la susceptibilidad :
El lado izquierdo describe las fluctuaciones en , el lado derecho está estrechamente relacionado con la energía disipada por el sistema cuando es bombeada por un campo oscilatorio .
Ésta es la forma clásica del teorema; Las fluctuaciones cuánticas se tienen en cuenta reemplazando con (cuyo límite para es ). Se puede encontrar una prueba mediante la reducción LSZ , una identidad de la teoría cuántica de campos. [ cita requerida ]
El teorema de fluctuación-disipación se puede generalizar de manera sencilla al caso de campos dependientes del espacio, al caso de varias variables o al entorno de la mecánica cuántica. [1]
Derivación
Versión clásica
Derivamos el teorema de fluctuación-disipación en la forma dada anteriormente, usando la misma notación. Considere el siguiente caso de prueba: el campo f ha estado encendido durante un tiempo infinito y está apagado en t = 0
dónde es la función Heaviside . Podemos expresar el valor esperado depor la distribución de probabilidad W ( x , 0) y la probabilidad de transición
La función de distribución de probabilidad W ( x , 0) es una distribución de equilibrio y, por lo tanto, está dada por la distribución de Boltzmann para el hamiltoniano
dónde . Por un campo débil, podemos expandir el lado derecho
aquí es la distribución de equilibrio en ausencia de un campo. Conectando esta aproximación en la fórmula para rendimientos
( * )
donde A ( t ) es la función de autocorrelación de x en ausencia de un campo:
Tenga en cuenta que en ausencia de un campo, el sistema es invariante bajo turnos de tiempo. Podemos reescribirutilizando la susceptibilidad del sistema y, por tanto, encontrar con la ecuación anterior (*)
Como consecuencia,
( ** )
Para hacer un enunciado sobre la dependencia de la frecuencia, es necesario tomar la transformada de Fourier de la ecuación (**) . Integrando por partes, es posible demostrar que
Desde es real y simétrico, se sigue que
Finalmente, para procesos estacionarios , el teorema de Wiener-Khinchin establece que la densidad espectral bilateral es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación:
Por tanto, se sigue que
Versión cuántica
El teorema de fluctuación-disipación relaciona la función de correlación del observable de interés(una medida de fluctuación) a la parte imaginaria de la función de respuesta en el dominio de la frecuencia (una medida de disipación). Se puede encontrar un vínculo entre estas cantidades a través de la denominada fórmula de Kubo [5].
que sigue, bajo los supuestos de la teoría de la respuesta lineal , a partir de la evolución en el tiempo del promedio del conjunto de las variables observablesen presencia de una fuente perturbadora. Una vez transformada de Fourier, la fórmula de Kubo permite escribir la parte imaginaria de la función de respuesta como
En el conjunto canónico , el segundo término se puede reexpresar como
donde en la segunda igualdad nos reposicionamos usando la propiedad cíclica de trace (en este paso también hemos asumido que el operador es bosónico, es decir, no introduce un cambio de signo bajo permutación). A continuación, en la tercera igualdad, insertamos junto al rastro e interpretado como operador de evolución temporal con intervalo de tiempo imaginario. El cambio de tiempo imaginario se convierte en un factor después de la transformada de Fourier
y así la expresión para se puede reescribir fácilmente como la relación de fluctuación-disipación cuántica [6]
donde la densidad espectral de potencia es la transformada de Fourier de la autocorrelación y es la función de distribución de Bose-Einstein . El mismo cálculo también produce
así, a diferencia de lo que se obtuvo en el caso clásico, la densidad espectral de potencia no es exactamente simétrica en frecuencia en el límite cuántico. Consecuentemente,tiene una parte imaginaria que se origina en las reglas de conmutación de los operadores. [7] El adicional ""término en la expresión de a frecuencias positivas también se puede pensar que está vinculado a la emisión espontánea . Un resultado que se cita con frecuencia es también la densidad espectral de potencia simétricamente
La ""se puede pensar que está vinculado a las fluctuaciones cuánticas , o al movimiento de punto cero del observable. A temperaturas suficientemente altas,, es decir, la contribución cuántica es insignificante, y recuperamos la versión clásica.
Violaciones en sistemas vidriosos
Mientras que el teorema de fluctuación-disipación proporciona una relación general entre la respuesta de los sistemas que obedecen al equilibrio detallado , cuando se viola el equilibrio detallado, la comparación de fluctuaciones con la disipación es más compleja. Por debajo de la llamada temperatura del vidrio , los sistemas vidriosos no están equilibrados y se acercan lentamente a su estado de equilibrio. Este lento acercamiento al equilibrio es sinónimo de violación del equilibrio detallado . Por lo tanto, estos sistemas requieren grandes escalas de tiempo para ser estudiados mientras se mueven lentamente hacia el equilibrio.
Estudiar la violación de la relación fluctuación-disipación en sistemas vidriosos, particularmente vidrios giratorios , Ref. [8] realizó simulaciones numéricas de sistemas macroscópicos (es decir, grandes en comparación con sus longitudes de correlación) descritos por el modelo tridimensional de Edwards-Anderson utilizando supercomputadoras. En sus simulaciones, el sistema se prepara inicialmente a alta temperatura, se enfría rápidamente a una temperaturapor debajo de la temperatura del vidrio , y se dejó equilibrar durante mucho tiempo bajo un campo magnético . Luego, en un momento posterior, se prueban dos observables dinámicos, a saber, la función de respuesta
y la función de correlación espín-temporal
dónde es el giro que vive en el nodo de la celosía cúbica de volumen , y es la densidad de magnetización. La relación de fluctuación-disipación en este sistema se puede escribir en términos de estos observables como
Sus resultados confirman la expectativa de que a medida que se deja que el sistema se equilibre durante períodos más prolongados, la relación fluctuación-disipación está más cerca de satisfacerse.
A mediados de la década de 1990, en el estudio de la dinámica de los modelos de vidrio de espín , se descubrió una generalización del teorema de fluctuación-disipación [9] que se aplica a los estados asintóticos no estacionarios, donde la temperatura que aparece en la relación de equilibrio es sustituida por una temperatura efectiva con una dependencia no trivial de las escalas de tiempo. Se propone que esta relación se mantenga en sistemas vidriosos más allá de los modelos para los que se encontró inicialmente.
Versión cuántica
La entropía de Rényi y la entropía de von Neumann en la física cuántica no son observables, ya que dependen de forma no lineal de la matriz de densidad. Recientemente, Ansari y Nazarov demostraron una correspondencia exacta que revela el significado físico del flujo de entropía de Rényi en el tiempo. Esta correspondencia es similar al teorema de fluctuación-disipación en espíritu y permite la medición de la entropía cuántica utilizando las estadísticas de conteo completo (FCS) de las transferencias de energía. [10] [11] [12]
Ver también
- Termodinámica de desequilibrio
- Relaciones Green-Kubo
- Onsager relaciones recíprocas
- Teorema de equipartición
- Distribución de Boltzmann
- Sistema disipativo
Notas
- ^ a b H.B. Callen ; TA Welton (1951). "Irreversibilidad y ruido generalizado". Revisión física . 83 (1): 34–40. Código Bibliográfico : 1951PhRv ... 83 ... 34C . doi : 10.1103 / PhysRev.83.34 .
- ^ Einstein, Albert (mayo de 1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" . Annalen der Physik . 322 (8): 549–560. Código Bib : 1905AnP ... 322..549E . doi : 10.1002 / yp.19053220806 .
- ^ Nyquist H (1928). "Agitación Térmica de Carga Eléctrica en Conductores". Revisión física . 32 (1): 110-113. Código Bibliográfico : 1928PhRv ... 32..110N . doi : 10.1103 / PhysRev.32.110 .
- ^ Blundell, Stephen J .; Blundell, Katherine M. (2009). Conceptos de física térmica . OUP Oxford.
- ^ Kubo R (1966). "El teorema de fluctuación-disipación". Informes sobre avances en física . 29 (1): 255–284. Código Bibliográfico : 1966RPPh ... 29..255K . doi : 10.1088 / 0034-4885 / 29/1/306 .
- ^ Hänggi Peter, Ingold Gert-Ludwig (2005). "Aspectos fundamentales del movimiento browniano cuántico" . Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 15 (2): 026105. arXiv : quant-ph / 0412052 . Código bibliográfico : 2005Chaos..15b6105H . doi : 10.1063 / 1.1853631 . PMID 16035907 . S2CID 9787833 .
- ^ Secretario, AA; Devoret, MH; Girvin, SM; Marquardt, Florian; Schoelkopf, RJ (2010). "Introducción a la amplificación, medición y ruido cuántico". Reseñas de Física Moderna . 82 (2): 1155. arXiv : 0810.4729 . Código Bibliográfico : 2010RvMP ... 82.1155C . doi : 10.1103 / RevModPhys.82.1155 . S2CID 119200464 .
- ^ Baity-Jesi Marco, Calore Enrico, Cruz Andres, Antonio Fernandez Luis, Miguel Gil-Narvión José, Gordillo-Guerrero Antonio, Iñiguez David, Maiorano Andrea, Marinari Enzo, Martin-Mayor Victor, Monforte-García Jorge, Muñoz Sudupe Antonio, Navarro Denis, Parisi Giorgio, Perez-Gaviro Sergio, Ricci-Tersenghi Federico, Jesus Ruiz-Lorenzo Juan, Fabio Schifano Sebastiano, Seoane Beatriz, Tarancón Alfonso, Tripiccione Raffaele, Yllanes David (2017). "Una equivalencia estática-dinámica a través de la relación de fluctuación-disipación proporciona una ventana a la fase de vidrio giratorio desde las mediciones de no equilibrio" . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 114 (8): 1838–1843. arXiv : 1610.01418 . Código Bibliográfico : 2017PNAS..114.1838B . doi : 10.1073 / pnas.1621242114 . PMC 5338409 . PMID 28174274 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ Cugliandolo LF ; Kurchan J. (1993). "Solución analítica de la dinámica fuera de equilibrio de un modelo de vidrio giratorio de largo alcance". Cartas de revisión física . 71 (1): 173-176. arXiv : cond-mat / 9303036 . Código Bibliográfico : 1993PhRvL..71..173C . doi : 10.1103 / PhysRevLett.71.173 . PMID 10054401 . S2CID 8591240 .
- ↑ Ansari Nazarov (2016)
- ↑ Ansari Nazarov (2015a)
- ↑ Ansari Nazarov (2015b)
Referencias
- HB Callen, TA Welton (1951). "Irreversibilidad y ruido generalizado". Revisión física . 83 (1): 34–40. Código Bibliográfico : 1951PhRv ... 83 ... 34C . doi : 10.1103 / PhysRev.83.34 .
- LD Landau, EM Lifshitz (1980). Física estadística . Curso de Física Teórica . 5 (3 ed.).
- Umberto Marini Bettolo Marconi; Andrea Puglisi; Lamberto Rondoni; Angelo Vulpiani (2008). "Fluctuación-disipación: teoría de la respuesta en física estadística". Informes de física . 461 (4–6): 111–195. arXiv : 0803.0719 . Código bibliográfico : 2008PhR ... 461..111M . doi : 10.1016 / j.physrep.2008.02.002 . S2CID 118575899 .
Otras lecturas
- Grabación de audio de una conferencia del Prof. EW Carlson de Purdue University
- El famoso texto de Kubo: teorema de fluctuación-disipación
- Weber J (1956). "Teorema de disipación de fluctuación". Revisión física . 101 (6): 1620–1626. arXiv : 0710.4394 . Código Bibliográfico : 1956PhRv..101.1620W . doi : 10.1103 / PhysRev.101.1620 .
- Felderhof BU (1978). "Sobre la derivación del teorema de fluctuación-disipación". Journal of Physics A . 11 (5): 921–927. Código bibliográfico : 1978JPhA ... 11..921F . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 11/5/021 .
- Cristani A, Ritort F (2003). "Violación del teorema de fluctuación-disipación en sistemas vidriosos: nociones básicas y la evidencia numérica". Journal of Physics A . 36 (21): R181 – R290. arXiv : cond-mat / 0212490 . Bibcode : 2003JPhA ... 36R.181C . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 36/21/201 . S2CID 14144683 .
- Chandler D (1987). Introducción a la mecánica estadística moderna . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 231-265 . ISBN 978-0-19-504277-1.
- Reichl LE (1980). Un curso moderno de física estadística . Austin TX: Prensa de la Universidad de Texas. págs. 545–595. ISBN 0-292-75080-3.
- Plischke M, Bergersen B (1989). Física estadística de equilibrio . Englewood Cliffs, Nueva Jersey: Prentice Hall. págs. 251-296. ISBN 0-13-283276-3.
- Pathria RK (1972). Mecánica estadística . Oxford: Pergamon Press. págs. 443, 474–477. ISBN 0-08-018994-6.
- Huang K (1987). Mecánica estadística . Nueva York: John Wiley and Sons. págs. 153, 394–396. ISBN 0-471-81518-7.
- Callen HB (1985). Termodinámica e Introducción a la Termostatística . Nueva York: John Wiley and Sons. págs. 307–325. ISBN 0-471-86256-8.
- Mazonka, Oleg (2016). "Fácil como Pi: la relación fluctuación-disipación" (PDF) . Revista de referencia . 16 .
- Ansari, Mohammad H .; Nazarov, Yuli V. (2015). "Correspondencia exacta entre los flujos de entropía de Rényi y los flujos físicos". Physical Review B . 91 (17): 174307. arXiv : 1502.08020 . Código bibliográfico : 2015PhRvB..91q4307A . doi : 10.1103 / PhysRevB.91.174307 . S2CID 36847902 .