En geometría , se centra o focos ( UK : / f oʊ k aɪ / , Estados Unidos : / f oʊ s aɪ / ), singular enfoque , son puntos especiales con referencia a que cualquiera de una variedad de curvas se construye. Por ejemplo, se pueden usar uno o dos focos para definir secciones cónicas , los cuatro tipos de los cuales son el círculo , elipse , parábola e hipérbola.. Además, se utilizan dos focos para definir el óvalo de Cassini y el óvalo cartesiano , y se utilizan más de dos focos para definir una n-elipse .
Secciones cónicas [ editar ]
Definición de cónicas en términos de dos focos [ editar ]
Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales la suma de las distancias a dos focos dados es una constante.
Un círculo es el caso especial de una elipse en la que los dos focos coinciden entre sí. Por lo tanto, un círculo puede definirse más simplemente como el lugar geométrico de los puntos, cada uno de los cuales está a una distancia fija de un único foco dado. Un círculo también se puede definir como el círculo de Apolonio , en términos de dos focos diferentes, como el conjunto de puntos que tienen una relación fija de distancias a los dos focos.
Una parábola es un caso límite de una elipse en la que uno de los focos es un punto en el infinito .
Una hipérbola se puede definir como el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos focos dados es una constante.
Definiendo cónicas en términos de un foco y una directriz [ editar ]
También es posible describir todas las secciones cónicas en términos de un solo foco y una sola directriz , que es una línea dada que no contiene el foco. Una cónica se define como el lugar geométrico de puntos para cada uno de los cuales la distancia al foco dividida por la distancia a la directriz es una constante positiva fija, llamada excentricidad e . Si e está entre cero y uno, la cónica es una elipse; si e = 1 la cónica es una parábola; y si e > 1 la cónica es una hipérbola. Si la distancia al foco es fija y la directriz es una línea en el infinito , entonces la excentricidad es cero, entonces la cónica es un círculo.
Definición de cónicas en términos de un foco y un círculo directriz [ editar ]
También es posible describir todas las secciones cónicas como lugares de puntos que son equidistantes de un solo foco y una sola directriz circular. Para la elipse, tanto el foco como el centro del círculo directriz tienen coordenadas finitas y el radio del círculo directriz es mayor que la distancia entre el centro de este círculo y el foco; por lo tanto, el foco está dentro del círculo directriz. La elipse así generada tiene su segundo foco en el centro del círculo directriz, y la elipse se encuentra completamente dentro del círculo.
Para la parábola, el centro de la directriz se mueve al punto en el infinito (ver geometría proyectiva ). La directriz 'círculo' se convierte en una curva con curvatura cero, indistinguible de una línea recta. Los dos brazos de la parábola se vuelven cada vez más paralelos a medida que se extienden, y "en el infinito" se vuelven paralelos; utilizando los principios de la geometría proyectiva, los dos paralelos se cruzan en el punto en el infinito y la parábola se convierte en una curva cerrada (proyección elíptica).
Para generar una hipérbola, se elige que el radio del círculo directriz sea menor que la distancia entre el centro de este círculo y el foco; por lo tanto, el foco está fuera del círculo directriz. Los brazos de la hipérbola se acercan a las líneas asintóticas y el brazo "derecho" de una rama de una hipérbola se encuentra con el brazo "izquierdo" de la otra rama de una hipérbola en el punto en el infinito; esto se basa en el principio de que, en geometría proyectiva, una sola línea se encuentra en un punto en el infinito. Las dos ramas de una hipérbola son, por tanto, las dos mitades (retorcidas) de una curva cerrada sobre el infinito.
En geometría proyectiva, todas las cónicas son equivalentes en el sentido de que todos los teoremas que se pueden establecer para uno pueden expresarse para los demás.
Importancia astronómica [ editar ]
En el problema gravitacional de dos cuerpos , las órbitas de los dos cuerpos entre sí se describen mediante dos secciones cónicas superpuestas con uno de los focos de uno coincidiendo con uno de los focos del otro en el centro de masa ( baricentro ) de los dos cuerpos.
Así, por ejemplo, Caronte, la luna más grande del planeta menor de Plutón , tiene una órbita elíptica que tiene un foco en el baricentro del sistema Plutón-Caronte, que es un punto que está en el espacio entre los dos cuerpos; y Plutón también se mueve en una elipse con uno de sus focos en ese mismo baricentro entre los cuerpos. La elipse de Plutón está completamente dentro de la elipse de Caronte, como se muestra en esta animación del sistema.
En comparación, la Luna de la Tierra se mueve en una elipse con uno de sus focos en el baricentro de la Luna y la Tierra , este baricentro está dentro de la Tierra misma, mientras que la Tierra (más precisamente, su centro) se mueve en una elipse con un foco. en ese mismo baricentro dentro de la Tierra. El baricentro está aproximadamente a las tres cuartas partes de la distancia del centro de la Tierra a su superficie.
Además, el sistema Plutón-Caronte se mueve en una elipse alrededor de su baricentro con el Sol , al igual que el sistema Tierra-Luna (y cualquier otro sistema planeta-luna o planeta sin luna en el sistema solar). En ambos casos, el baricentro está bien dentro del cuerpo del Sol.
Dos estrellas binarias también se mueven en elipses compartiendo un foco en su baricentro; para ver una animación, consulte aquí .
Óvalos cartesianos y de Cassini [ editar ]
Un óvalo cartesiano es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales la suma ponderada de las distancias a dos focos dados es una constante. Si los pesos son iguales, resulta el caso especial de una elipse.
Un óvalo de Cassini es el conjunto de puntos para cada uno de los cuales el producto de las distancias a dos focos dados es una constante.
Generalizaciones [ editar ]
Una n- elipse es el conjunto de puntos que tienen todos la misma suma de distancias a n focos. (El caso n = 2 es la elipse convencional).
El concepto de foco se puede generalizar a curvas algebraicas arbitrarias. Sea C una curva de clase my sean I y J los puntos circulares en el infinito . Dibujar las m tangentes a C a través de cada uno de I y J . Hay dos conjuntos de m líneas que tendrán m 2 puntos de intersección, con excepciones en algunos casos debido a las singularidades, etc. Estos puntos de intersección se la define como la focos de C . En otras palabras, un punto P es un foco si tanto PI como PJson tangentes a C . Cuando C es una curva real, solo las intersecciones de los pares conjugados son reales, por lo que hay m en focos reales y m 2 - m focos imaginarios. Cuando C es una cónica, los focos verdadero define de esta manera son exactamente los focos que se puede utilizar en la construcción geométrica de C .
Curvas confocales [ editar ]
Sean P 1 , P 2 , ..., P m como focos de una curva C de clase m . Sea P el producto de las ecuaciones tangenciales de estos puntos y Q el producto de las ecuaciones tangenciales de los puntos circulares en el infinito. Entonces todas las líneas que son tangentes comunes a ambos P = 0 y Q = 0 son tangentes a C . Entonces, según el teorema AF + BG , la ecuación tangencial de C tiene la forma HP + KQ = 0. Dado que C tiene clase m ,H debe ser una constante y K pero tener un grado menor o igual que m −2. El caso H = 0 se puede eliminar como degenerado, por lo que la ecuación tangencial de C se puede escribir como P + fQ = 0 donde f es un polinomio arbitrario de grado m −2. [1]
Por ejemplo, sea P 1 = (1,0), P 2 = (- 1,0). Las ecuaciones tangenciales son X + 1 = 0 y X −1 = 0 entonces P = X 2 -1 = 0. Las ecuaciones tangenciales para los puntos circulares en el infinito son X + iY = 0 y X - iY = 0 entonces Q = X 2 + Y 2 . Por lo tanto, la ecuación tangencial para una cónica con los focos dados es X 2 -1+ c ( X 2 + Y 2 ) = 0, o (1+ c) X 2 + cY 2 = 1 donde c es una constante arbitraria. En coordenadas puntuales esto se convierte en
Referencias [ editar ]
- ^ Sigue a Hilton p. 69 con un llamamiento a AF + BG para simplificación.
- Hilton, Harold (1920). Planos de curvas algebraicas . Oxford. pag. 69 .
- Weisstein, Eric W. "Focus" . MathWorld .
