Forzar ha sido considerablemente reelaborado y simplificado en los años siguientes, y desde entonces ha servido como una técnica poderosa, tanto en la teoría de conjuntos como en áreas de la lógica matemática como la teoría de la recursividad . La teoría descriptiva de conjuntos utiliza las nociones de forzamiento tanto de la teoría de recursividad como de la teoría de conjuntos. El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos , pero es común en la teoría de modelos definir la genéricaidad directamente sin mencionar el forzamiento.
Intuición
Intuitivamente, forzar consiste en expandir el universo teórico establecido a un universo más grande . En este universo más grande, por ejemplo, uno podría tener muchos nuevos subconjuntos deque no estaban en el universo antiguo y, por tanto, violan la hipótesis del continuo .
Si bien es imposible cuando se trata de conjuntos finitos , esta es solo otra versión de la paradoja de Cantor sobre el infinito. En principio, se podría considerar:
identificar con y luego introducir una relación de membresía ampliada que incluya conjuntos "nuevos" de la forma . Forzar es una versión más elaborada de esta idea, que reduce la expansión a la existencia de un nuevo conjunto y permite un control preciso sobre las propiedades del universo expandido.
La técnica original de Cohen, ahora llamada forzamiento ramificado , es ligeramente diferente del forzamiento no ramificado expuesto aquí. Forzar también es equivalente al método de los modelos con valores booleanos , que algunos sienten que es conceptualmente más natural e intuitivo, pero generalmente mucho más difícil de aplicar.
Forzar posets
Un poset forzado es un triple ordenado,, dónde es un pedido anticipado enque no tiene átomos , lo que significa que satisface la siguiente condición:
Para cada , existen tal que , sin tal que . El elemento más grande de es , es decir, para todos .
Miembros de se denominan condiciones forzosas o simplemente condiciones . Uno lee como "es mas fuerte que". Intuitivamente, la condición" menor "proporciona" más "información, al igual que el intervalo más pequeño proporciona más información sobre el número que el intervalo lo hace.
Hay varias convenciones en uso. Algunos autores requierenser también antisimétrico , por lo que la relación es un orden parcial . Algunos usan el término orden parcial de todos modos, en conflicto con la terminología estándar, mientras que otros usan el término preorden . Se puede prescindir del elemento más grande. El orden inverso también se utiliza, sobre todo por Saharon Shelah y sus coautores.
P-nombres
Asociado con un poset forzado es la clase de - nombres . A-nombre es un conjunto de la forma
En realidad, esta es una definición por recursividad transfinita. Más precisamente, primero se usa la recursividad transfinita para definir la siguiente jerarquía:
Entonces la clase de -nombres se define como
La -los nombres son, de hecho, una expansión del universo . Dado, uno define ser el -nombre
Una vez más, esta es realmente una definición por recursividad transfinita.
Interpretación
Dado cualquier subconjunto de , a continuación se define el mapa de interpretación o valoración de-nombres por
Esta es de nuevo una definición por recursividad transfinita. Tenga en cuenta que si, luego . Uno luego define
así que eso .
Ejemplo
Un buen ejemplo de un poset forzado es , dónde y es la colección de subconjuntos de Borel deque tiene una medida de Lebesgue distinta de cero . En este caso, se puede hablar de las condiciones como probabilidades, y una-nombre asigna membresía en un sentido probabilístico. Debido a la intuición que este ejemplo puede proporcionar, el lenguaje probabilístico a veces se usa con otros postulados de forzamiento divergentes.
Modelos transitivos contables y filtros genéricos
El paso clave para forzar es, dado un universo , para encontrar un objeto apropiado no en . La clase resultante de todas las interpretaciones de-los nombres serán un modelo de que extiende adecuadamente el original (desde ).
En lugar de trabajar con , es útil considerar un modelo transitivo contable con . "Modelo" se refiere a un modelo de teoría de conjuntos, ya sea de todos, o un modelo de un subconjunto grande pero finito de , o alguna variante del mismo. "Transitividad" significa que si, luego . El lema del colapso de Mostowski establece que esto puede asumirse si la relación de membresía está bien fundada . El efecto de la transitividad es que la membresía y otras nociones elementales pueden manejarse intuitivamente. La contabilización del modelo se basa en el teorema de Löwenheim-Skolem .
Como es un conjunto, hay conjuntos que no están en - esto se sigue de la paradoja de Russell . El conjunto apropiado para recoger y unir a es un filtro genérico en. La condición de "filtro" significa que:
Si , luego
Si , entonces existe un tal que
Para ser "genérico" significa:
Si es un subconjunto "denso" de (es decir, para cada , existe un tal que ), luego .
La existencia de un filtro genérico se sigue del lema Rasiowa-Sikorski . De hecho, un poco más es cierto: dada una condición, se puede encontrar un filtro genérico tal que . Debido a la condición de división en (denominado arriba 'sin átomos'), si es un filtro, entonces es denso. Si, luego porque es un modelo de . Por esta razón, un filtro genérico nunca está en.
Forzar
Dado un filtro genérico , se procede de la siguiente manera. La subclase de-nombres en se denota . Dejar
Reducir el estudio de la teoría de conjuntos de A la de , se trabaja con el "lenguaje forzado", que se construye como la lógica ordinaria de primer orden , con la pertenencia como la relación binaria y todas las-nombres como constantes.
Definir (leerse como " efectivo en el modelo con poset "), dónde es una condición, es una fórmula en el lenguaje forzado, y el son -nombres, en el sentido de que si es un filtro genérico que contiene , luego . El caso especial a menudo se escribe como "" o simplemente "". Tales declaraciones son verdaderas en , no importa qué es.
Lo importante es que esta definicin externa de la relacin de forzamientoes equivalente a una definición interna dentro de, definido por la inducción transfinita sobre el -nombres en instancias de y , y luego por inducción ordinaria sobre la complejidad de fórmulas. Esto tiene el efecto de que todas las propiedades de son realmente propiedades de , y la verificación de en se vuelve sencillo. Esto generalmente se resume en las siguientes tres propiedades clave:
Verdad :si y solo si es forzado por, es decir, por alguna condición , tenemos .
Definibilidad : la declaración ""es definible en .
Coherencia :.
Definimos la relación de forzamiento en por inducción sobre la complejidad de las fórmulas, en la que primero definimos la relación para las fórmulas atómicas por -inducción y luego definirlo para fórmulas arbitrarias por inducción sobre su complejidad.
Primero definimos la relación de forzamiento en fórmulas atómicas, haciéndolo para ambos tipos de fórmulas, y , simultaneamente. Esto significa que definimos una relación dónde denota el tipo de fórmula de la siguiente manera:
medio .
medio .
medio .
Aquí es una condición y y están -nombres. Dejar ser una fórmula definida por -inducción:
R1. si y solo si .
R2. si y solo si .
R3. si y solo si .
Más formalmente, usamos la siguiente relación binaria -nombres: Let se mantiene para los nombres y si y solo si por al menos una condición . Esta relación está bien fundada, lo que significa que para cualquier nombre la clase de todos los nombres , tal que sostiene, es un conjunto y no hay función tal que .
En general, una relación bien fundada no es un preorden, porque podría no ser transitiva. Pero, si lo consideramos como un "ordenamiento", es una relación sin infinitas secuencias decrecientes y donde para cualquier elemento la clase de elementos por debajo es un conjunto.
Es fácil cerrar cualquier relación binaria de transitividad. Para los nombres y , se cumple si hay al menos una secuencia finita (como mapa con dominio ) para algunos tal que , y para cualquier , sostiene. Este ordenamiento también está bien fundado.
Definimos el siguiente orden bien definido en pares de nombres: si se cumple una de las siguientes condiciones:
,
y ,
y y .
La relación se define por recursividad en pares de nombres. Para cualquier par, se define por la misma relación en pares "más simples". En realidad, según el teorema de recursividad hay una fórmulatal que R1, R2 y R3 son teoremas porque su valor de verdad en algún punto se define por sus valores de verdad en puntos "más pequeños" en relación con alguna relación bien fundada utilizada como un "ordenamiento". Ahora, estamos listos para definir la relación forzada:
medio .
medio .
medio .
medio .
medio .
En realidad, esta es una transformación de una fórmula arbitraria. a la fórmula dónde y son variables adicionales. Esta es la definición de la relación forzada en el universo.de todos los conjuntos independientemente de cualquier modelo transitivo contable. Sin embargo, existe una relación entre esta formulación "sintáctica" de forzar y la formulación "semántica" de forzar sobre algún modelo transitivo contable..
1. Para cualquier fórmula hay un teorema de la teoria (por ejemplo, conjunción de un número finito de axiomas) tal que para cualquier modelo transitivo contable tal que y cualquier orden parcial sin átomos y cualquier -filtro genérico encima
Esto se denomina propiedad de definibilidad de la relación de forzamiento.
Consistencia
La discusión anterior se puede resumir por el resultado de consistencia fundamental que, dado un poset forzado , podemos asumir la existencia de un filtro genérico , que no pertenece al universo , tal que es de nuevo un universo teórico de conjuntos que modela . Además, todas las verdades en puede reducirse a verdades en que implica la relación forzada.
Ambos estilos, contiguos a un modelo transitivo contable o el universo entero , se utilizan comúnmente. Menos comúnmente visto es el enfoque que utiliza la definición "interna" de forzamiento, en la que no se hace mención de modelos de conjuntos o clases. Este fue el método original de Cohen, y en una elaboración, se convierte en el método de análisis con valores booleanos.
Cohen forzando
El poset de forzamiento no trivial más simple es , las funciones parciales finitas de a bajo inclusión inversa . Es decir, una condición es esencialmente dos subconjuntos finitos disjuntos y de , para ser considerado como las partes "sí" y "no" de , sin información proporcionada sobre valores fuera del dominio de. " es mas fuerte que " significa que , en otras palabras, las partes "sí" y "no" de son superconjuntos de las partes "sí" y "no" de , y en ese sentido, brindar más información.
Dejar ser un filtro genérico para este poset. Si y ambos están en , luego es una condición porque es un filtro. Esto significa que es una función parcial bien definida de a porque cualesquiera dos condiciones en acordar su dominio común.
De echo, es una función total. Dado, dejar . Luegoes denso. (Dado cualquier, Si no está dentro dominio de, adjunte un valor para —El resultado está en .) Una condición posee en su dominio, y desde , encontramos eso se define.
Dejar , el conjunto de todos los miembros "sí" de las condiciones genéricas. Es posible dar un nombre adirectamente. Dejar
Luego Ahora suponga que en . Afirmamos que. Dejar
Luego es denso. (Dado cualquier, encontrar que no está en su dominio, y se unen a un valor para contrario al estado de "".) Entonces cualquier testigos . Para resumir, es un subconjunto "nuevo" de , necesariamente infinito.
Reemplazo con , es decir, considere en cambio funciones parciales finitas cuyas entradas son de la forma , con y , y cuyas salidas son o , uno obtiene nuevos subconjuntos de . Todos son distintos, por un argumento de densidad: Dado, dejar
entonces cada es denso, y una condición genérica en él prueba que el α-ésimo nuevo conjunto no está de acuerdo en alguna parte con el th nuevo conjunto.
Esta no es todavía la falsificación de la hipótesis del continuo. Hay que demostrar que no se han introducido nuevos mapas que sobre , o sobre . Por ejemplo, si uno considera en cambio, funciones parciales finitas de a , el primer ordinal incontable , uno entra en una biyección de a . En otras palabras,ha colapsado , y en la extensión forzada, es un ordinal contable.
El último paso para mostrar la independencia de la hipótesis del continuo, entonces, es mostrar que el forzamiento de Cohen no colapsa a los cardenales. Para ello, una propiedad combinatoria suficiente es que todas las antichains del poset forzado son contables.
La condición de la cadena contable
Un antichain (fuerte) de es un subconjunto tal que si , luego y son incompatibles (escrito), lo que significa que no hay en tal que y . En el ejemplo de conjuntos de Borel, la incompatibilidad significa quetiene medida cero. En el ejemplo de funciones parciales finitas, la incompatibilidad significa que no es una función, en otras palabras, y asignar diferentes valores a alguna entrada de dominio.
satisface la condición de cadena contable (ccc) si y solo si cada antichain enes contable. (El nombre, que obviamente es inapropiado, es un vestigio de terminología más antigua. Algunos matemáticos escriben "cac" para "condición contable antichain".)
Es fácil ver eso satisface el ccc porque las medidas suman como máximo . También, satisface el ccc, pero la prueba es más difícil.
Dada una subfamilia incontable , encogerse a una subfamilia incontable de conjuntos de tamaño , para algunos . Si para incontables muchos , reduzca esto a una subfamilia incontable y repetir, obteniendo un conjunto finito y una familia incontable de condiciones incompatibles de tamaño tal que cada es en para como mucho muchos contables . Ahora, elija un arbitrarioy elige de alguna que no es uno de los innumerables miembros que tienen un miembro de dominio en común con . Luego y son compatibles, entonces no es un antichain. En otras palabras,-Las anticadenas son contables.
La importancia de los antichains en el forzamiento es que, para la mayoría de los propósitos, los conjuntos densos y los antichains máximos son equivalentes. Un antichain máximoes uno que no se puede extender a un antichain más grande. Esto significa que cada elemento es compatible con algún miembro de . La existencia de un antichain máximo se deriva del Lema de Zorn . Dado un antichain máximo, dejar
Luego es denso, y si y solo si . Por el contrario, dado un conjunto denso, El lema de Zorn muestra que existe un antichain máximo , y entonces si y solo si .
Asumir que satisface el ccc dado , con una función en , se puede aproximar adentro como sigue. Dejar ser un nombre para (por la definición de ) y deja ser una condición que obliga ser una función de a . Definir una función, cuyo dominio es , por
Por la definibilidad de forzar, esta definición tiene sentido dentro de . Por la coherencia de forzar, una diferente vienen de un incompatible . Por ccc, es contable.
En resumen, es desconocido en ya que depende de , pero no es completamente desconocido para un forzado de ccc. Uno puede identificar un conjunto contable de conjeturas para lo que el valor de está en cualquier entrada, independiente de .
Esto tiene la siguiente consecuencia muy importante. Si en, es una sobreyección de un ordinal infinito a otro, entonces hay una sobreyección en , y en consecuencia, una sobreyección en . En particular, los cardenales no pueden colapsar. La conclusión es que en .
Easton forzando
El valor exacto del continuo en el modelo de Cohen anterior y variantes como para cardenales en general, fue elaborado por Robert M. Solovay , quien también descubrió cómo violar(la hipótesis del continuo generalizado ), solo para los cardenales regulares , un número finito de veces. Por ejemplo, en el modelo de Cohen anterior, si aguanta , luego aguanta .
William B. Easton elaboró la versión de clase adecuada de violar elpara los cardenales regulares, mostrando básicamente que las restricciones conocidas, (monotonicidad, teorema de Cantor y teorema de König ), eran las únicas-restricciones demostrables (ver el teorema de Easton ).
El trabajo de Easton fue notable porque implicó forzar con una clase adecuada de condiciones. En general, el método de forzar con una clase adecuada de condiciones no da un modelo de. Por ejemplo, forzar con, dónde es la clase adecuada de todos los ordinales, hace que el continuo sea una clase adecuada. Por otro lado, forzando conintroduce una enumeración contable de los ordinales. En ambos casos, el resultado no es visiblemente un modelo de .
En un momento, se pensó que un forzamiento más sofisticado también permitiría una variación arbitraria en los poderes de los cardenales singulares . Sin embargo, esto ha resultado ser un problema difícil, sutil e incluso sorprendente, con varias restricciones más demostrables eny con los modelos de forzamiento dependiendo de la consistencia de varias propiedades cardinales grandes . Quedan muchos problemas abiertos.
Reales aleatorios
El forzamiento aleatorio se puede definir como forzar sobre el conjunto de todos los subconjuntos compactos de de medida positiva ordenada por relación (el conjunto más pequeño en el contexto de inclusión es un conjunto más pequeño en el orden y representa la condición con más información). Hay dos tipos de conjuntos densos importantes:
1. Para cualquier número entero positivo el conjunto
es denso, donde es el diámetro del conjunto .
2. Para cualquier subconjunto de Borel de la medida 1, el conjunto
es denso.
Para cualquier filtro y para un número finito de elementos hay tal que aguanta . En el caso de este orden, esto significa que cualquier filtro es un conjunto de conjuntos compactos con propiedad de intersección finita. Por esta razón, la intersección de todos los elementos de cualquier filtro no está vacía. Si es un filtro que se cruza con el conjunto denso para cualquier entero positivo , luego el filtro contiene condiciones de diámetro positivo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, la intersección de todas las condiciones detiene diámetro 0. Pero los únicos conjuntos no vacíos de diámetro 0 son singletons. Entonces hay exactamente un número real tal que .
Dejar ser cualquier conjunto de medida Borel 1. Si se cruza , luego .
Sin embargo, un filtro genérico sobre un modelo transitivo contable no está dentro . El Real definido por Probablemente no es un elemento de . El problema es que si, luego " es compacto ", pero desde el punto de vista de un universo más grande , puede ser no compacto y la intersección de todas las condiciones del filtro genérico está realmente vacío. Por esta razón, consideramos el conjuntode cierres topológicos de condiciones de G. [ aclaración necesaria ] Debido a y la propiedad de intersección finita de , el conjunto también tiene la propiedad de intersección finita. Elementos del conjuntoson conjuntos cerrados delimitados como cierres de conjuntos delimitados. [ aclaración necesaria ] Por lo tanto,es un conjunto de conjuntos compactos [ aclaración necesaria ] con la propiedad de intersección finita y, por lo tanto, no tiene una intersección vacía. Desde y el modelo de tierra hereda una métrica del universo , el conjunto tiene elementos de diámetro arbitrariamente pequeño. Finalmente, hay exactamente un real que pertenece a todos los miembros del conjunto.. El filtro genérico se puede reconstruir a partir de como .
Si es el nombre de , [ aclaración necesaria ] y para sostiene " es el conjunto de compás de Borel 1 ", luego se mantiene
para algunos . Hay nombre tal que para cualquier filtro genérico sostiene
Luego
se mantiene para cualquier condición .
Cada conjunto de Borel puede construirse, de forma no única, a partir de intervalos con puntos finales racionales y aplicando las operaciones de complemento y uniones contables, un número contable de veces. El registro de tal construcción se llama código Borel . Dado un conjunto de Borel en , se recupera un código Borel y luego se aplica la misma secuencia de construcción en , obteniendo un set de Borel . Se puede demostrar que se obtiene el mismo conjunto independientemente de la construcción dey que se conserven las propiedades básicas. Por ejemplo, si, luego . Si tiene medida cero, entonces tiene medida cero. Este mapeo es inyectable.
Para cualquier conjunto tal que y " es un conjunto de medida Borel de 1 "que se mantiene .
Esto significa que es "secuencia aleatoria infinita de 0 y 1" desde el punto de vista de , lo que significa que satisface todas las pruebas estadísticas del modelo de suelo .
Tan dado , un real aleatorio, se puede demostrar que
Debido a la interdefinibilidad mutua entre y , generalmente se escribe por .
Una interpretación diferente de los reales en fue proporcionado por Dana Scott . Números racionales en tienen nombres que corresponden a numerables -muchos valores racionales distintos asignados a un antichain máximo de conjuntos de Borel; en otras palabras, una cierta función de valor racional en . Números reales enluego corresponden a cortes de Dedekind de tales funciones, es decir, funciones mensurables .
Modelos con valores booleanos
Quizás más claramente, el método se puede explicar en términos de modelos con valores booleanos. En estos, a cualquier declaración se le asigna un valor de verdad de algún álgebra booleana sin átomos completa , en lugar de solo un valor verdadero / falso. Luego, se elige un ultrafiltro en este álgebra booleana, que asigna valores verdadero / falso a los enunciados de nuestra teoría. El caso es que la teoría resultante tiene un modelo que contiene este ultrafiltro, que puede entenderse como un nuevo modelo obtenido ampliando el anterior con este ultrafiltro. Al elegir un modelo con valor booleano de una manera adecuada, podemos obtener un modelo que tenga la propiedad deseada. En él, solo las declaraciones que deben ser verdaderas (están "forzadas" a ser verdaderas) serán verdaderas, en cierto sentido (ya que tiene esta propiedad de extensión / minimidad).
Explicación metamatemática
Al forzar, generalmente buscamos mostrar que alguna oración es consistente con (u opcionalmente alguna extensión de ). Una forma de interpretar el argumento es asumir que es consistente y luego demostrar que combinado con la nueva oración también es consistente.
Cada "condición" es una pieza finita de información; la idea es que sólo las piezas finitas son relevantes para la consistencia, ya que, según el teorema de la compacidad , una teoría es satisfactoria si y sólo si cada subconjunto finito de sus axiomas es satisfactorio. Entonces podemos elegir un conjunto infinito de condiciones consistentes para extender nuestro modelo. Por tanto, asumiendo la consistencia de, probamos la consistencia de extendido por este conjunto infinito.
Explicación lógica
Según el segundo teorema de incompletitud de Gödel , no se puede probar la consistencia de ninguna teoría formal suficientemente sólida, como, usando solo los axiomas de la teoría misma, a menos que la teoría sea inconsistente. En consecuencia, los matemáticos no intentan probar la consistencia de usando solo los axiomas de , o para probar que es consistente para cualquier hipótesis usando solo . Por esta razón, el objetivo de una prueba de coherencia es demostrar la coherencia de relativo a la consistencia de . Estos problemas se conocen como problemas de coherencia relativa , uno de los cuales demuestra
(*)
A continuación se muestra el esquema general de las pruebas de coherencia relativa. Como cualquier prueba es finita, usa solo un número finito de axiomas:
Para cualquier prueba dada, puede verificar la validez de esta prueba. Esto se puede demostrar por inducción sobre la longitud de la prueba.
Entonces resuelve
Al demostrar lo siguiente
(**)
se puede concluir que
que es equivalente a
lo que da (*). El núcleo de la prueba de coherencia relativa está demostrando (**). A prueba de se puede construir para cualquier subconjunto finito dado de El axiomas (por instrumentos, por supuesto). (No hay prueba universal de por supuesto.)
En , es comprobable que para cualquier condición , el conjunto de fórmulas (evaluadas por nombres) forzadas por está deductivamente cerrado. Además, para cualquier axioma, prueba que este axioma es forzado por . Entonces basta con probar que existe al menos una condición que obliga a.
En el caso del forzamiento con valor booleano, el procedimiento es similar: probar que el valor booleano de no es .
Otro enfoque utiliza el teorema de reflexión. Para cualquier conjunto finito dado de axiomas, hay un prueba de que este conjunto de axiomas tiene un modelo transitivo contable. Para cualquier conjunto finito dado de axiomas, hay un conjunto finito de axiomas tales que prueba que si un modelo transitivo contable satisface , luego satisface . Al demostrar que existe un conjunto finito de axiomas tales que si un modelo transitivo contable satisface , luego satisface la hipótesis . Entonces, para cualquier conjunto finito dado de axiomas, prueba .
A veces en (**), una teoría más fuerte que se utiliza para probar . Entonces tenemos prueba de la consistencia de relativo a la consistencia de . Tenga en cuenta que, dónde es (el axioma de la constructibilidad).
Ver también
Lista de nociones forzadas
Bonito nombre
Referencias
Bell, JL (1985). Modelos con valores booleanos y pruebas de independencia en la teoría de conjuntos , Oxford. ISBN 0-19-853241-5
Cohen, PJ (1966). Teoría de conjuntos e hipótesis del continuo . Addison – Wesley. ISBN 978-0-8053-2327-6.
Grishin, VN (2001) [1994], "Método de fuerza" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
Kunen, K. (1980). Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia . Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-85401-8.
Jech, Thomas (2002). Teoría de conjuntos: The Third Millennium Edition . Spring-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
enlaces externos
El libro Forcing for Mathematicians de Nik Weaver fue escrito para matemáticos que quieren aprender la maquinaria básica del forzamiento. No se asume ningún antecedente en lógica, más allá de la facilidad con la sintaxis formal que debería ser una segunda naturaleza para cualquier matemático bien entrenado.
El artículo de Timothy Chow Una guía para principiantes sobre el forzado es una buena introducción a los conceptos de forzado que evita muchos detalles técnicos. Este artículo surgió del artículo del grupo de noticias de Chow Forcing for dummies . Además de una exposición mejorada, la Guía para principiantes incluye una sección sobre modelos con valor booleano.
Ver también Kenny Easwaran 's artículo Un Alegre Introducción a Forzar y la hipótesis del continuo , que también está dirigido a los principiantes, pero incluye más detalles técnicos que el artículo de Chow.
Cohen, PJ The Independence of the Continuum Hypothesis , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América, vol. 50, núm. 6. (15 de diciembre de 1963), págs. 1143-1148.
Cohen, PJ The Independence of the Continuum Hypothesis, II , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América, vol. 51, núm. 1. (15 de enero de 1964), págs. 105-110.
Paul Cohen dio una conferencia histórica The Discovery of Forcing (Rocky Mountain J. Math. Volumen 32, Número 4 (2002), 1071-1100) sobre cómo desarrolló su prueba de independencia. La página vinculada tiene un enlace de descarga para un acceso PDF abierto, pero su navegador debe enviar un árbitro de cabeza desde la página vinculada a recuperarlo.
Akihiro Kanamori: teoría de conjuntos de Cantor a Cohen