El teorema de reactancia de Foster es un teorema importante en los campos del análisis y síntesis de redes eléctricas . El teorema establece que la reactancia de una red pasiva de dos terminales ( un puerto ) sin pérdidas siempre aumenta estrictamente de forma monótona con la frecuencia. Se ve fácilmente que las reactancias de los inductores y condensadores aumentan individualmente con la frecuencia y, a partir de esa base, generalmente se puede construir una prueba para redes pasivas sin pérdidas. La prueba del teorema fue presentada por Ronald Martin Foster en 1924, aunque el principio había sido publicado anteriormente por colegas de Foster enAmerican Telephone & Telegraph .
El teorema puede extenderse a admitancias y al concepto abarcador de immitancias . Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y polos de la reactancia deben alternar con la frecuencia. Foster utilizó esta propiedad para desarrollar dos formas canónicas para realizar estas redes. El trabajo de Foster fue un importante punto de partida para el desarrollo de la síntesis de redes .
Es posible construir redes que no sean Foster utilizando componentes activos como amplificadores. Estos pueden generar una impedancia equivalente a una inductancia o capacitancia negativa. El convertidor de impedancia negativa es un ejemplo de tal circuito.
Explicación
La reactancia es la parte imaginaria de la impedancia eléctrica compleja . Tanto los condensadores como los inductores poseen reactancia (pero de signo opuesto) y dependen de la frecuencia. La especificación de que la red debe ser pasiva y sin pérdidas implica que no hay resistencias (sin pérdidas), ni amplificadores ni fuentes de energía (pasivas) en la red. En consecuencia, la red debe constar completamente de inductores y condensadores y la impedancia será puramente un número imaginario con una parte real cero. El teorema de Foster se aplica igualmente a la admitancia de una red, es decir, la susceptancia (parte imaginaria de la admitancia) de un puerto único pasivo y sin pérdidas aumenta monótonamente con la frecuencia. Este resultado puede parecer contradictorio ya que la admitancia es el recíproco de la impedancia, pero se prueba fácilmente. Si la impedancia es
dónde es reactancia y es la unidad imaginaria , entonces la admitancia viene dada por
dónde es susceptancia.
Si X aumenta monótonamente con la frecuencia, entonces 1 / X debe disminuir monótonamente. −1 / X debe, en consecuencia, aumentar monótonamente y, por lo tanto, se demuestra que B también aumenta.
A menudo, en la teoría de redes, un principio o procedimiento se aplica igualmente bien a la impedancia o la admitancia, lo que refleja el principio de dualidad para las redes eléctricas. En estas circunstancias, es conveniente utilizar el concepto de inmitancia , que puede significar impedancia o admitancia. Las matemáticas se realizan sin especificar unidades hasta que se desee calcular un ejemplo específico. Por tanto, el teorema de Foster puede enunciarse en una forma más general como,
- Teorema de Foster (forma de inmitancia)
- La immitancia imaginaria de un puerto único pasivo y sin pérdidas aumenta estrictamente de forma monótona con la frecuencia.
El teorema de Foster es bastante general. En particular, se aplica a las redes de elementos distribuidos , aunque Foster lo formuló en términos de inductores y condensadores discretos. Por lo tanto, es aplicable a frecuencias de microondas tanto como a frecuencias más bajas. [1] [2]
Ejemplos de
Los siguientes ejemplos ilustran este teorema en varios circuitos simples.
Inductor
La impedancia de un inductor viene dada por,
entonces la reactancia es,
que por inspección puede verse que aumenta monótona (y linealmente) con la frecuencia. [3]
Condensador
La impedancia de un condensador está dada por,
- es capacitancia
entonces la reactancia es,
que de nuevo aumenta monótonamente con la frecuencia. La función de impedancia del condensador es idéntica a la función de admitancia del inductor y viceversa. Es un resultado general que el dual de cualquier función de inmitancia que obedece al teorema de Foster también seguirá el teorema de Foster. [3]
Circuito resonante en serie
Un circuito LC en serie tiene una impedancia que es la suma de las impedancias de un inductor y un condensador,
A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el condensador y, por lo tanto, es grande y negativa. Esto aumenta monótonamente hacia cero (la magnitud de la reactancia del capacitor es cada vez menor). La reactancia pasa por cero en el punto donde las magnitudes de las reactancias del capacitor y del inductor son iguales (la frecuencia resonante ) y luego continúa aumentando monótonamente a medida que la reactancia del inductor se vuelve progresivamente dominante. [4]
Circuito resonante paralelo
Un circuito LC paralelo es el dual del circuito en serie y, por lo tanto, su función de admitancia es la misma forma que la función de impedancia del circuito en serie,
La función de impedancia es,
A bajas frecuencias, la reactancia está dominada por el inductor y es pequeña y positiva. Este aumenta monotónicamente hacia un polo en el anti-resonante de frecuencia donde la susceptancia del inductor y el condensador son iguales y opuestas y Cancelar. Más allá del polo, la reactancia es grande y negativa y aumenta hacia cero donde está dominada por la capacitancia. [4]
Ceros y polos
Una consecuencia del teorema de Foster es que los ceros y los polos de cualquier función de inmitancia pasiva deben alternarse a medida que aumenta la frecuencia. Después de pasar por un polo, la función será negativa y estará obligada a pasar por cero antes de llegar al siguiente polo si ha de aumentar monótonamente. [1]
Los polos y ceros de una función de inmitancia determinan completamente las características de frecuencia de una red Foster. Dos redes Foster que tienen polos y ceros idénticos serán circuitos equivalentes en el sentido de que sus funciones de inmitancia serán idénticas. Puede haber una diferencia de factor de escala entre ellos (todos los elementos de la inmitancia multiplicados por el mismo factor de escala) pero la forma de las dos funciones de inmitancia será idéntica. [5]
Otra consecuencia del teorema de Foster es que la fase de una inmitancia debe aumentar monótonamente con la frecuencia. En consecuencia, el gráfico de una función de inmitancia de Foster en un gráfico de Smith siempre debe viajar alrededor del gráfico en el sentido de las agujas del reloj con una frecuencia creciente. [2]
Realización
Una immitancia pasiva de un puerto que consta de elementos discretos (es decir, elementos no distribuidos ) se puede representar como una función racional de s ,
- dónde,
- es immitancia
- son polinomios con coeficientes positivos reales
- es la variable de la transformada de Laplace , que se puede reemplazar con cuando se trata de señales de CA de estado estable .
Esto se sigue del hecho de que la impedancia de los elementos L y C son en sí mismos funciones racionales simples y cualquier combinación algebraica de funciones racionales da como resultado otra función racional.
Esto a veces se denomina impedancia del punto de activación porque es la impedancia en el lugar de la red en el que está conectado el circuito externo y lo "impulsa" con una señal. En su artículo, Foster describe cómo esta función racional sin pérdidas puede realizarse (si puede realizarse) de dos maneras. La primera forma de Foster consta de varios circuitos LC en paralelo conectados en serie. La segunda forma de impedancia de punto de activación de Foster consta de varios circuitos LC en serie conectados en paralelo. La realización de la impedancia del punto de activación no es de ninguna manera única. La realización de Foster tiene la ventaja de que los polos y / o ceros están directamente asociados con un circuito resonante particular, pero hay muchas otras realizaciones. Quizás el más conocido es la realización de la escalera de Wilhelm Cauer a partir del diseño de filtros. [6] [7] [8]
Redes que no son de Foster
Una red de Foster debe ser pasiva, por lo que una red activa, que contiene una fuente de energía, puede no obedecer el teorema de Foster. Se denominan redes que no son de Foster. [9] En particular, los circuitos que contienen un amplificador con retroalimentación positiva pueden tener una reactancia que declina con la frecuencia. Por ejemplo, es posible crear capacitancia e inductancia negativas con circuitos convertidores de impedancia negativa . Estos circuitos tendrán una función de inmitancia con una fase de ± π / 2 como una reactancia positiva pero una amplitud de reactancia con una pendiente negativa contra la frecuencia. [6]
Estos son de interés porque pueden realizar tareas que una red de Foster no puede. Por ejemplo, las redes habituales de adaptación de impedancia Foster pasiva solo pueden emparejar la impedancia de una antena con una línea de transmisión a frecuencias discretas, lo que limita el ancho de banda de la antena. Una red que no sea de Foster podría coincidir con una antena en una banda continua de frecuencias. [9] Esto permitiría la creación de antenas compactas que tienen un ancho de banda amplio, violando el límite de Chu-Harrington . Las redes prácticas que no son de Foster son un área activa de investigación.
Historia
El teorema fue desarrollado en American Telephone & Telegraph como parte de investigaciones en curso sobre filtros mejorados para aplicaciones de multiplexación telefónica . Este trabajo fue comercialmente importante; Se podrían ahorrar grandes sumas de dinero aumentando el número de conversaciones telefónicas que se pueden realizar en una línea. [10] El teorema fue publicado por primera vez por Campbell en 1922 pero sin una prueba. [11] Inmediatamente se hizo un gran uso del teorema en el diseño de filtros, aparece de manera prominente, junto con una prueba, en el documento histórico de Zobel de 1923 que resumía el estado del arte del diseño de filtros en ese momento. [12] Foster publicó su artículo al año siguiente que incluía sus formas de realización canónica. [13]
Cauer en Alemania comprendió la importancia del trabajo de Foster y lo utilizó como base de la síntesis de redes . Entre las muchas innovaciones de Cauer estaba la extensión del trabajo de Foster a todas las redes de dos elementos después de descubrir un isomorfismo entre ellas. Cauer estaba interesado en encontrar la condición necesaria y suficiente para la realizabilidad de una red racional de un puerto a partir de su función polinomial, una condición que ahora se sabe que es una función real positiva , y el problema inverso de qué redes eran equivalentes, es decir, tenían la misma función polinomial. Ambos fueron problemas importantes en la teoría de redes y el diseño de filtros. Las redes de fomento son solo un subconjunto de redes realizables, [14]
Referencias
- ↑ a b Aberle y Loepsinger-Romak, págs. 8-9.
- ↑ a b Radmanesh, p.459.
- ↑ a b Cherry, págs. 100-101.
- ↑ a b Cherry, págs. 100-102.
- ^ Smith y Alley, p.173.
- ↑ a b Aberle y Loepsinger-Romak, p.9.
- ^ Cereza, págs. 106-108.
- ^ Montgomery y col. , págs. 157-158.
- ↑ a b Aberle y Loepsinger-Romak, p.8.
- ↑ Bray, p.62.
- ^ Cereza, p.62.
- ^ Zobel, págs. 5, 35-37.
- ^ Foster, 1924.
- ^ E. Cauer y col. , pág.5.
Bibliografía
- Foster, RM, " Un teorema de reactancia ", Bell System Technical Journal , vol.3 , no. 2, págs. 259-267, noviembre de 1924.
- Campbell, GA, " Teoría física del filtro de ondas eléctricas ", Bell System Technical Journal , vol.1 , no. 2, págs. 1–32, noviembre de 1922.
- Zobel, DO, " Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos ", Revista técnica de Bell System , vol.2 , no. 1, págs. 1-46, enero de 1923.
- Matthew M. Radmanesh, Fundamentos de diseño de microondas y RF , AuthorHouse, 2007 ISBN 1-4259-7242-X .
- James T. Aberle, Robert Loepsinger-Romak, Antennas with non-Foster Matching Networks , Morgan & Claypool Publishers, 2007 ISBN 1-59829-102-5 .
- Colin Cherry, pulsos y transitorios en circuitos de comunicación , Taylor & Francis, 1950.
- KCA Smith, RE Alley, Circuitos eléctricos: introducción , Cambridge University Press, 1992 ISBN 0-521-37769-2 .
- Carol Gray Montgomery, Robert Henry Dicke, Edward M. Purcell, Principios de los circuitos de microondas , IET, 1987 ISBN 0-86341-100-2 .
- E. Cauer, W. Mathis y R. Pauli, " Life and Work of Wilhelm Cauer (1900-1945) ", Actas del XIV Simposio Internacional de Teoría Matemática de Redes y Sistemas (MTNS2000) , Perpignan, junio de 2000. Consultado el 19 de septiembre de 2008.
- Bray, J, Innovación y la revolución de las comunicaciones , Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2002 ISBN 0-85296-218-5 .