Péndulo de foucault

Dispositivo para demostrar la rotación de la Tierra

Este artículo trata sobre el experimento y la implementación de la física. Para la novela de Umberto Eco, vea El péndulo de Foucault .

Péndulo de Foucault en el Panteón, París

El péndulo de Foucault o péndulo de Foucault es un dispositivo simple que lleva el nombre del físico francés Léon Foucault y fue concebido como un experimento para demostrar la rotación de la Tierra . El péndulo se introdujo en 1851 y fue el primer experimento que proporcionó evidencia simple y directa de la rotación de la Tierra. Los péndulos de Foucault hoy en día son exhibiciones populares en museos de ciencia y universidades. ^[1]

Péndulo de Foucault original

Una impresión del péndulo de Foucault, 1895

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Péndulo de Foucault en COSI Columbus derribando una pelota

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Péndulo de Foucault en el Panteón, París

La primera exposición pública de un péndulo de Foucault tuvo lugar en febrero de 1851 en el Meridiano del Observatorio de París . Unas semanas más tarde, Foucault hizo su más famoso péndulo cuando se suspende un 28 kilogramos (62 libras) de latón recubierto de plomo sacudida con un cable de 67 metros de largo (220 pies) de la cúpula del Panteón, París . El período adecuado del péndulo fue de segundos. Debido a que la latitud de su ubicación era = 48 ° 52 'N, el plano de oscilación del péndulo hizo un círculo completo en aproximadamente = 31,8 horas (31 horas 50 minutos), girando en el sentido de las agujas del reloj aproximadamente 11,3 ° por hora.${\displaystyle 2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}=16.5}$${\displaystyle \phi \,}$${\displaystyle {\frac {23h56'}{\sin \phi }}}$

El bob original utilizado en 1851 en el Panthéon se trasladó en 1855 al Conservatoire des Arts et Métiers de París. Se realizó una segunda instalación temporal para el 50 aniversario en 1902. ^[2]

Durante la reconstrucción del museo en la década de 1990, el péndulo original se exhibió temporalmente en el Panthéon (1995), pero luego fue devuelto al Musée des Arts et Métiers antes de reabrirse en 2000. ^[3] El 6 de abril de 2010, el cable que suspendía el bob en el Musée des Arts et Métiers se rompió, causando daños irreparables en el péndulo y en el suelo de mármol del museo. ^{[4] [5]} El péndulo original, ahora dañado, se muestra en una caja separada junto a la pantalla del péndulo actual.

Una copia exacta del péndulo original ha estado operando bajo la cúpula del Panteón, París desde 1995. ^[6]

Explicación de la mecánica

Animación de un péndulo de Foucault en el hemisferio norte, con la velocidad de rotación y la amplitud de la Tierra muy exageradas. El trazo verde muestra la trayectoria del péndulo sobre el suelo (un marco de referencia giratorio), mientras se encuentra en cualquier plano vertical. El plano real de oscilación parece girar en relación con la Tierra: sentado a horcajadas sobre el bob como un columpio, la fuerza ficticia de Coriolis desaparece: el observador está en una referencia de "rotación libre" donde, según la relatividad general, las métricas del espacio-tiempo curvas no euclidianas deben ser usó. El cable debe ser lo más largo posible; son habituales longitudes de 12 a 30 m (40 a 100 pies). ^[7]

Ya sea en el Polo Norte Geográfico o en el Polo Sur Geográfico , el plano de oscilación de un péndulo permanece fijo en relación con las masas distantes del universo mientras la Tierra gira debajo de él, tomando un día sideral para completar una rotación. Entonces, en relación con la Tierra, el plano de oscilación de un péndulo en el Polo Norte, visto desde arriba, experimenta una rotación completa en el sentido de las agujas del reloj durante un día; un péndulo en el Polo Sur gira en sentido antihorario.

Cuando un péndulo de Foucault está suspendido en el ecuador , el plano de oscilación permanece fijo con respecto a la Tierra. En otras latitudes, el plano de oscilación se desplaza con relación a la Tierra, pero más lentamente que en el polo; la velocidad angular, ω (medida en grados en el sentido de las agujas del reloj por día sidéreo), es proporcional al seno de la latitud , φ :

${\displaystyle \Phi =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} }$,

donde las latitudes al norte y al sur del ecuador se definen como positivas y negativas, respectivamente. Un "día del péndulo" es el tiempo necesario para que el plano de un péndulo de Foucault suspendido libremente complete una rotación aparente alrededor de la vertical local. Este es un día sideral dividido por el seno de la latitud. ^{[8] [9]} Por ejemplo, un péndulo de Foucault a 30 ° de latitud sur, visto desde arriba por un observador terrestre, gira 360 ° en sentido antihorario en dos días.

Usando una longitud de cable suficiente, el círculo descrito puede ser lo suficientemente ancho como para que el desplazamiento tangencial a lo largo del círculo de medición entre dos oscilaciones pueda ser visible a simple vista, lo que hace que el péndulo de Foucault sea un experimento espectacular: por ejemplo, para el péndulo de Foucault original en Panthéon se mueve circularmente, con una amplitud de péndulo de 6 metros, de aproximadamente 5 mm en cada período.

Un péndulo de Foucault en el Polo Norte: el péndulo oscila en el mismo plano en el que la Tierra gira debajo de él.

Extracto del suplemento ilustrado de la revista Le Petit Parisien fechado el 2 de noviembre de 1902, en el 50 aniversario del experimento de Léon Foucault que demuestra la rotación de la tierra.

Un péndulo de Foucault requiere un montaje cuidadoso porque una construcción imprecisa puede causar un desvío adicional que enmascara el efecto terrestre. Como observó el posterior premio Nobel Heike Kamerlingh Onnes , quien desarrolló una teoría más completa del péndulo de Foucault para su tesis doctoral (1879), la imperfección geométrica del sistema o la elasticidad del cable de soporte pueden causar una interferencia entre dos modos horizontales de oscilación, lo que provocó Péndulo de Onnes para pasar de oscilación lineal a elíptica en una hora. ^[10] El lanzamiento inicial del péndulo también es crítico; La forma tradicional de hacer esto es usar una llama para quemar a través de un hilo que mantiene temporalmente la bobina en su posición inicial, evitando así movimientos laterales no deseados (ver undetalle del lanzamiento en el 50 aniversario en 1902 ).

En particular, Vincenzo Viviani , un discípulo de Galileo , ya observó el desvío del péndulo en 1661 , pero no hay evidencia de que conectara el efecto con la rotación de la Tierra; más bien, lo consideró como una molestia en su estudio que debería superarse suspendiendo el bob con dos cuerdas en lugar de una.

La resistencia del aire amortigua la oscilación, por lo que algunos péndulos de Foucault en los museos incorporan un impulso electromagnético o de otro tipo para mantener el movimiento oscilante; otros se reinician con regularidad, a veces con una ceremonia de lanzamiento como atracción adicional. Además de la resistencia del aire (el uso de una sacudida simétrica pesada es para reducir las fuerzas de fricción, principalmente la resistencia del aire mediante una sacudida simétrica y aerodinámica), el otro problema de ingeniería principal en la creación de un péndulo de Foucault de 1 metro hoy en día es garantizar que no haya ningún dirección de oscilación. ^[11]

La animación describe el movimiento de un péndulo de Foucault a una latitud de 30 ° N. El plano de oscilación gira en un ángulo de -180 ° durante un día, por lo que después de dos días, el avión vuelve a su orientación original.

Giroscopio de Foucault

Para demostrar la rotación directamente en lugar de indirectamente a través del péndulo oscilante, Foucault usó un giroscopio (una palabra acuñada por Foucault en 1852) ^[12]en un experimento de 1852. El cardán interior del giroscopio de Foucault estaba equilibrado sobre cojinetes de borde de cuchillo en el cardán exterior y el cardán exterior estaba suspendido por un hilo fino sin torsión de tal manera que el punto de pivote inferior casi no soportaba peso. El giróscopo se hizo girar a 9.000-12.000 revoluciones por minuto con una disposición de engranajes antes de colocarlo en su posición, tiempo suficiente para equilibrar el giroscopio y llevar a cabo 10 minutos de experimentación. El instrumento se puede observar con un microscopio que mira una escala de décimas de grado o con un puntero largo. Al menos tres copias más de un giróscopo Foucault se hicieron en cómodas cajas de viaje y demostración, y las copias sobreviven en el Reino Unido, Francia y los Estados Unidos. El giroscopio de Foucault se convirtió en un desafío y una fuente de inspiración para los aficionados a la ciencia expertos comoDB Adamson . ^[13]

La precesión como forma de transporte paralelo

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado en la esfera: el ángulo por el cual gira, α , es proporcional al área dentro del bucle.

En un marco casi inercial que se mueve en tándem con la Tierra, pero sin compartir la rotación de la Tierra sobre su propio eje, el punto de suspensión del péndulo traza una trayectoria circular durante un día sidéreo.

En la latitud de París, 48 ​​grados 51 minutos al norte, un ciclo de precesión completo toma poco menos de 32 horas, por lo que después de un día sidéreo, cuando la Tierra está de vuelta en la misma orientación que un día sidéreo anterior, el plano de oscilación ha cambiado apenas más de 270 grados. Si el plano de oscilación era norte-sur al principio, es este-oeste un día sideral después.

Esto también implica que ha habido un intercambio de impulso ; la Tierra y el péndulo han intercambiado impulso. La Tierra es mucho más masiva que la oscilación del péndulo que el cambio de impulso de la Tierra es imperceptible. No obstante, dado que el plano de oscilación del péndulo se ha desplazado, las leyes de conservación implican que debe haber ocurrido un intercambio.

En lugar de seguir el cambio de impulso, la precesión del plano de oscilación se puede describir de manera eficiente como un caso de transporte paralelo . Para eso, se puede demostrar, al componer las rotaciones infinitesimales, que la tasa de precesión es proporcional a la proyección de la velocidad angular de la Tierra en la dirección normal a la Tierra, lo que implica que la traza del plano de oscilación sufrirá un transporte paralelo. . Después de 24 horas, la diferencia entre las orientaciones inicial y final de la traza en el marco de la Tierra es α = −2π sin φ , que corresponde al valor dado por el teorema de Gauss-Bonnet . αTambién se le llama holonomía o fase geométrica del péndulo. Al analizar los movimientos terrestres, el marco de la Tierra no es un marco inercial , sino que gira alrededor de la vertical local a una tasa efectiva de 2π sin φ radianes por día. Se puede utilizar un método simple que emplea transporte paralelo dentro de conos tangentes a la superficie de la Tierra para describir el ángulo de rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault. ^{[14] [15]}

Desde la perspectiva de un sistema de coordenadas delimitado por la Tierra (el círculo de medición y el espectador están delimitados por la Tierra, también si el espectador no percibe la reacción del terreno a la fuerza de Coriolis cuando se mueve), utilizando un sistema de coordenadas rectangular con su eje x apuntando hacia el este y su eje y apunta al norte, la precesión del péndulo se debe a la fuerza de Coriolis (otras fuerzas ficticias como la gravedad y la fuerza centrífuga no tienen componente de precesión directa, la fuerza de Euler es baja porque la velocidad de rotación de la Tierra es casi constante). Considere un péndulo plano con frecuencia natural constante ω en la aproximación de ángulo pequeño. Hay dos fuerzas que actúan sobre el péndulo: la fuerza restauradora proporcionada por la gravedad y el alambre, y la fuerza de Coriolis (la fuerza centrífuga, opuesta a la fuerza restauradora gravitacional, puede despreciarse). La fuerza de Coriolis en la latitud φ es horizontal en la aproximación de ángulo pequeño y está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{c,x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\F_{c,y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi \end{aligned}}}$

donde Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, F _{c , x} es el componente de la fuerza de Coriolis en la dirección x y F _{c , y} es el componente de la fuerza de Coriolis en la dirección y .

La fuerza de restauración, en la aproximación de ángulo pequeño y despreciando la fuerza centrífuga, está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}}$

Gráficos de período de precesión y precesión por día sidéreo vs latitud. El signo cambia cuando un péndulo de Foucault gira en sentido antihorario en el hemisferio sur y en el sentido de las agujas del reloj en el hemisferio norte. El ejemplo muestra que uno en París avanza 271 ° cada día sidéreo, tomando 31,8 horas por rotación.

Usando las leyes del movimiento de Newton, esto conduce al sistema de ecuaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi \\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}}$

Al cambiar a coordenadas complejas z = x + iy , las ecuaciones se leen

${\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0\,.}$

Al primer pedido en Ω/ω esta ecuación tiene la solución

${\displaystyle z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right)\,.}$

Si el tiempo se mide en días, entonces Ω = 2π y el péndulo gira en un ángulo de −2π sin φ durante un día.

Sistemas físicos relacionados

El dispositivo descrito por Wheatstone.

Muchos sistemas físicos precesan de manera similar a un péndulo de Foucault. Ya en 1836, el escocés matemático Edward Sang ideó y explicó la precesión de un hilado superior . En 1851, Charles Wheatstone ^[16] describió un aparato que consiste en un resorte vibratorio que se monta en la parte superior de un disco de modo que forma un ángulo fijo φ con el disco. El resorte se golpea para que oscile en un plano. Cuando se gira el disco, el plano de oscilación cambia al igual que el de un péndulo de Foucault en la latitud φ .

De manera similar, considere una rueda de bicicleta que no gira y perfectamente equilibrada montada en un disco de modo que su eje de rotación forme un ángulo φ con el disco. Cuando el disco experimenta una revolución completa en el sentido de las agujas del reloj, la rueda de la bicicleta no volverá a su posición original, sino que habrá experimentado una rotación neta de 2π sin φ .

La precesión de tipo Foucault se observa en un sistema virtual en el que una partícula sin masa está obligada a permanecer en un plano giratorio que está inclinado con respecto al eje de rotación. ^[17]

El giro de una partícula relativista que se mueve en una órbita circular tiene precesos similares al plano de oscilación del péndulo de Foucault. El espacio de velocidad relativista en el espacio-tiempo de Minkowski se puede tratar como una esfera S ³ en el espacio euclidiano de 4 dimensiones con radio imaginario y coordenada temporal imaginaria. El transporte paralelo de vectores de polarización a lo largo de dicha esfera da lugar a la precesión de Thomas , que es análoga a la rotación del plano de oscilación del péndulo de Foucault debido al transporte paralelo a lo largo de una esfera S ² en el espacio euclidiano tridimensional. ^[18]

En física, la evolución de tales sistemas está determinada por fases geométricas . ^{[19] [20]} Matemáticamente se entienden a través del transporte paralelo.

Péndulos de Foucault alrededor del mundo

Más información: Lista de péndulos de Foucault

Existen numerosos péndulos de Foucault en universidades, museos de ciencia y similares en todo el mundo. La sede de las Naciones Unidas en la ciudad de Nueva York tiene una; el más grande está en el Centro de Convenciones de Oregón : su longitud es de aproximadamente 27 m (89 pies). ^{[21] [22]} Sin embargo, solía haber péndulos mucho más largos, como el péndulo de 98 m (322 pies) en la Catedral de San Isaac , San Petersburgo , Rusia . ^{[23] [24]}

• Péndulo de Foucault en el Musée des Arts et Métiers

• Péndulo de Foucault en el Centro de Ciencias de Ranchi

• Péndulo de Foucault en la Academia de Ciencias de California

• Péndulo de Foucault en Devonshire Dome , Universidad de Derby

Polo Sur

El experimento también se llevó a cabo en el Polo Sur , donde se asumió que la rotación de la Tierra tendría el máximo efecto ^{[25] [26]} en la Estación Amundsen-Scott del Polo Sur , en una escalera de seis pisos de un nuevo estacion en construccion. El péndulo tenía una longitud de 33 m (108 pies) y la bobina pesaba 25 kg (55 lb). La ubicación era ideal: ningún aire en movimiento podía perturbar el péndulo y la baja viscosidad del aire frío reducía la resistencia del aire. Los investigadores confirmaron alrededor de 24 horas como el período de rotación del plano de oscilación.

Ver también

• Rotación absoluta
• efecto Coriolis
• La rotación de la tierra
• Experimento de Eötvös
• Sistema inercial
• Cadena Lariat
• Precesión

Referencias

1. Oprea, John (1995). "Geometría y péndulo de Foucault" . Amer. Matemáticas. Mensual . 102 (6): 515-522. doi : 10.2307 / 2974765 . JSTOR  2974765 . Archivado desde el original el 2 de abril de 2015.
2. "El Péndulo de Foucault del Panteón. Ceremonia de inauguración por M. Chaumié, ministro de Educación del Estado, quemó el alambre de equilibrio, para poner en marcha el péndulo. 1902" . Paris en imágenes. Archivado desde el original el 21 de agosto de 2014.
3. Kissell, Joe (8 de noviembre de 2004). "Péndulo de Foucault: prueba de baja tecnología de la rotación de la Tierra" . Interesante cosa del día. Archivado desde el original el 12 de marzo de 2012 . Consultado el 21 de marzo de 2012 .
4. Thiolay, Boris (28 de abril de 2010). "Le pendule de Foucault perd la boule" . L'Express (en francés). Archivado desde el original el 10 de julio de 2010.
5. "El péndulo de Foucault se envía estrellándose a la Tierra" . Times Higher Education . 13 de mayo de 2010. Archivado desde el original el 20 de marzo de 2012 . Consultado el 21 de marzo de 2012 .
6. "Péndulo de Foucault y el Panteón de París" . Atlas Obscura . Archivado desde el original el 12 de enero de 2018 . Consultado el 12 de enero de 2018 .
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13. Julie Evans (2005). Diccionario australiano de biografías: Adamson, David Beveridge (1823–1891) . Centro Nacional de Biografía, Universidad Nacional de Australia . Consultado el 28 de octubre de 2020 .
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23. "El primer péndulo de Foucault en Rusia, más allá del Círculo Polar Ártico" . 2018-06-14.
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25. Johnson, George (24 de septiembre de 2002). "Aquí están, los 10 experimentos más bellos de la ciencia" . The New York Times . Archivado desde el original el 31 de mayo de 2012 . Consultado el 20 de septiembre de 2012 .
26. Baker, GP (2011). Siete cuentos del péndulo . Prensa de la Universidad de Oxford . pag. 388. ISBN 978-0-19-958951-7.

Lectura adicional

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• Marion, Jerry B .; Thornton, Stephen T. (1995). Dinámica clásica de partículas y sistemas (4ª ed.). Brooks Cole. págs.  398–401 . ISBN 978-0-03-097302-4.
• Persson, Anders O. (2005). "El efecto Coriolis: Cuatro siglos de conflicto entre el sentido común y las matemáticas, Parte I: Una historia hasta 1885" (PDF) . Historia de la Meteorología . 2 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de abril de 2014 . Consultado el 27 de abril de 2006 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los péndulos de Foucault .

• Wolfe, Joe, " Una derivación de la precesión del péndulo de Foucault ".
• " El Péndulo de Foucault ", derivación de la precesión en coordenadas polares.
• " El péndulo de Foucault " de Joe Wolfe, con clip de película y animaciones.
• " Péndulo de Foucault " de Jens-Peer Kuska con Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project : un modelo informático del péndulo que permite la manipulación de la frecuencia del péndulo, la frecuencia de rotación de la Tierra, la latitud y el tiempo.
• " Webcam Kirchhoff-Institut für Physik, Universität Heidelberg ".
• Academia de Ciencias de California , Explicación del péndulo de CA Foucault, en formato amistoso
• Modelo de péndulo de Foucault Exposition que incluye un dispositivo de sobremesa que muestra el efecto Foucault en segundos.
• Foucault, ML, Demostración física de la rotación de la Tierra por medio del péndulo , Instituto Franklin, 2000, consultado el 31 de octubre de 2007. Traducción de su artículo sobre el péndulo de Foucault.
• Tobin, William. "La vida y la ciencia de Léon Foucault" .
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• Péndulo de Foucault-inga Párizsban Foucault en París - vídeo del péndulo de Foucault en funcionamiento en el Panteón (en húngaro) .
• Pendolo nel Salone El péndulo de Foucault dentro del Palazzo della Ragione en Padova, Italia
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