Espacio de cuatro dimensiones

Un espacio de cuatro dimensiones ( 4D ) es una extensión matemática del concepto de espacio tridimensional o 3D. El espacio tridimensional es la abstracción más simple posible de la observación de que solo se necesitan tres números, llamados dimensiones , para describir los tamaños o ubicaciones de los objetos en el mundo cotidiano. Por ejemplo, el volumen de una caja rectangular se calcula midiendo y multiplicando su largo, ancho y alto (a menudo etiquetados como x , y , y z ).

El equivalente 4D de un cubo se conoce como tesseract , visto aquí girando en un espacio de cuatro dimensiones, pero proyectado en dos dimensiones para su visualización.

La idea de agregar una cuarta dimensión comenzó con "Dimensiones" de Jean le Rond d'Alembert , publicada en 1754, ^{[1] [2]} fue seguida por Joseph-Louis Lagrange a mediados de 1700, y culminó con una formalización precisa de el concepto en 1854 por Bernhard Riemann . En 1880, Charles Howard Hinton popularizó estas ideas en un ensayo titulado " ¿Qué es la Cuarta Dimensión? ", Que explicaba el concepto de un " cubo de cuatro dimensiones " con una generalización paso a paso de las propiedades de las líneas, cuadrados, y cubos. La forma más simple del método de Hinton es dibujar dos cubos 3D ordinarios en el espacio 2D, uno que abarca al otro, separados por una distancia "invisible", y luego dibujar líneas entre sus vértices equivalentes. Esto se puede ver en la animación adjunta siempre que muestre un cubo interior más pequeño dentro de un cubo exterior más grande. Las ocho líneas que conectan los vértices de los dos cubos en este caso representan una sola dirección en la cuarta dimensión "invisible".

Los espacios dimensionales superiores (es decir, mayores de tres) se han convertido desde entonces en uno de los fundamentos para expresar formalmente la matemática y la física modernas. Gran parte de estos temas no podrían existir en sus formas actuales sin el uso de dichos espacios. El concepto de espacio-tiempo de Einstein utiliza un espacio 4D de este tipo, aunque tiene una estructura de Minkowski que es un poco más complicada que el espacio 4D euclidiano .

Las ubicaciones individuales en el espacio 4D se pueden dar como vectores o n-tuplas , es decir, como listas ordenadas de números como ( t , x , y , z ) . Es solo cuando tales ubicaciones se unen entre sí en formas más complicadas que emergen la riqueza total y la complejidad geométrica de los espacios de dimensiones superiores. Una pista de esa complejidad se puede ver en la animación 2D adjunta de uno de los objetos 4D más simples posibles, el tesseract (equivalente al cubo 3D ; ver también Hypercube ).

Historia

Lagrange escribió en su Mécanique analytique (publicada en 1788, basada en un trabajo realizado alrededor de 1755) que se puede considerar que la mecánica opera en un espacio de cuatro dimensiones: tres dimensiones del espacio y una del tiempo. ^[3] En 1827 Möbius se dio cuenta de que una cuarta dimensión permitiría rotar una forma tridimensional sobre su imagen especular, ^{[4] : 141} y en 1853 Ludwig Schläfli había descubierto muchos politopos en dimensiones superiores, aunque su trabajo no era publicado hasta después de su muerte. ^{[4] : 142-143} La tesis de 1854 de Bernhard Riemann , Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen , estableció pronto dimensiones superiores sobre una base firme , en la que consideraba un "punto" cualquier secuencia de coordenadas ( x ₁ , ..., x _n ). Se estableció así la posibilidad de geometría en dimensiones superiores , incluyendo cuatro dimensiones en particular.

William Rowan Hamilton definió una aritmética de cuatro dimensiones llamada cuaterniones en 1843. Esta álgebra asociativa fue la fuente de la ciencia del análisis vectorial en tres dimensiones, como se relata en A History of Vector Analysis . Poco después de tessarines y coquaternions fueron introducidos como otros cuatro dimensiones álgebra sobre R .

Uno de los primeros grandes expositores de la cuarta dimensión fue Charles Howard Hinton , que comenzó en 1880 con su ensayo ¿Qué es la cuarta dimensión? ; publicado en la revista de la Universidad de Dublín . ^[5] Acuñó los términos tesseract , ana y kata en su libro A New Era of Thought , e introdujo un método para visualizar la cuarta dimensión usando cubos en el libro Fourth Dimension . ^{[6] [7]}

Las ideas de Hinton inspiraron una fantasía sobre una "Iglesia de la Cuarta Dimensión" presentada por Martin Gardner en su " columna de Juegos Matemáticos " de enero de 1962 en Scientific American . En 1886, Victor Schlegel describió ^[8] su método de visualizar objetos de cuatro dimensiones con diagramas de Schlegel .

En 1908, Hermann Minkowski presentó un artículo ^{[9] que} consolidaba el papel del tiempo como la cuarta dimensión del espacio-tiempo , la base de las teorías de la relatividad especial y general de Einstein . ^[10] Pero la geometría del espacio-tiempo, al no ser euclidiana , es profundamente diferente de la popularizada por Hinton. El estudio del espacio de Minkowski requirió nuevas matemáticas bastante diferentes de las del espacio euclidiano tetradimensional y, por lo tanto, se desarrolló en líneas muy diferentes. Esta separación era menos clara en la imaginación popular, con obras de ficción y filosofía que desdibujaban la distinción, por lo que en 1973 HSM Coxeter se sintió obligado a escribir:

Se gana poco, si es que se gana algo, al representar la cuarta dimensión euclidiana como tiempo . De hecho, esta idea, tan atractiva desarrollada por HG Wells en La máquina del tiempo , ha llevado a autores como John William Dunne ( Un experimento con el tiempo ) a una concepción errónea de la teoría de la relatividad. La geometría del espacio-tiempo de Minkowski no es euclidiana y, en consecuencia, no tiene conexión con la presente investigación.

-  HSM Coxeter , politopos regulares ^{[4] : 119}

Vectores

Matemáticamente, el espacio tetradimensional es un espacio con cuatro dimensiones espaciales, es decir, un espacio que necesita cuatro parámetros para especificar un punto en él. Por ejemplo, un punto general podría tener un vector de posición a , igual a

${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.}$

Esto se puede escribir en términos de los cuatro vectores básicos estándar ( e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ), dados por

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},}$

entonces el vector general a es

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.}$

Los vectores suman, restan y escalan como en tres dimensiones.

El producto escalar del espacio tridimensional euclidiano se generaliza a cuatro dimensiones como

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.}$

Se puede utilizar para calcular la norma o la longitud de un vector,

${\displaystyle \left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},}$

y calcular o definir el ángulo entre dos vectores distintos de cero como

${\displaystyle \theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.}$

El espacio-tiempo de Minkowski es un espacio de cuatro dimensiones con geometría definida por un emparejamiento no degenerado diferente del producto escalar:

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.}$

Como ejemplo, la distancia al cuadrado entre los puntos (0,0,0,0) y (1,1,1,0) es 3 en los 4 espacios euclidianos y minkowskianos, mientras que la distancia al cuadrado entre (0,0 , 0,0) y (1,1,1,1) es 4 en el espacio euclidiano y 2 en el espacio de Minkowski; creciente${\displaystyle b_{4}}$en realidad, disminuye la distancia métrica. Esto conduce a muchas de las conocidas "paradojas" aparentes de la relatividad.

El producto cruzado no se define en cuatro dimensiones. En cambio, el producto exterior se utiliza para algunas aplicaciones y se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}}$

Se trata de un bivector valorado, con bivectores en cuatro dimensiones formando un espacio lineal de seis dimensiones con base ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ). Se pueden utilizar para generar rotaciones en cuatro dimensiones.

Ortogonalidad y vocabulario

En el espacio tridimensional familiar de la vida diaria, hay tres ejes de coordenadas — normalmente etiquetados como x , y y z — con cada eje ortogonal (es decir, perpendicular) a los otros dos. Las seis direcciones cardinales en este espacio se pueden llamar hacia arriba , hacia abajo , este , oeste , norte y sur . Las posiciones a lo largo de estos ejes se pueden llamar altitud , longitud y latitud . Las longitudes medidas a lo largo de estos ejes se pueden llamar altura , ancho y profundidad .

Comparativamente, el espacio de cuatro dimensiones tiene un eje de coordenadas extra, ortogonal a los otros tres, que generalmente se denomina w . Para describir las dos direcciones cardinales adicionales, Charles Howard Hinton acuñó los términos ana y kata , de las palabras griegas que significan "arriba hacia" y "abajo desde", respectivamente. Una posición a lo largo del eje w puede denominarse spissitude , como la acuñó Henry More .

Como se mencionó anteriormente, Herman Minkowski aprovechó la idea de las cuatro dimensiones para discutir la cosmología, incluida la velocidad finita de la luz . Al agregar una dimensión de tiempo al espacio tridimensional, especificó una perpendicularidad alternativa, la ortogonalidad hiperbólica . Esta noción proporciona a su espacio tetradimensional una simultaneidad modificada apropiada para las relaciones electromagnéticas en su cosmos. El mundo de Minkowski superó los problemas asociados con la cosmología del tiempo y el espacio absoluto absoluto tradicional previamente utilizada en un universo de tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

Geometría

La geometría del espacio tetradimensional es mucho más compleja que la del espacio tridimensional, debido al grado extra de libertad.

Así como en tres dimensiones hay poliedros hechos de polígonos bidimensionales , en cuatro dimensiones hay 4 politopos hechos de poliedros. En tres dimensiones, hay 5 poliedros regulares conocidos como sólidos platónicos . En cuatro dimensiones, hay 6 politopos regulares convexos , los análogos de los sólidos platónicos. La relajación de las condiciones para la regularidad genera otros 58 4 politopos convexos uniformes , análogos a los 13 sólidos de Arquímedes semirregulares en tres dimensiones. Al relajar las condiciones de convexidad se generan otros 10 politopos regulares no convexos.

Politopos regulares en cuatro dimensiones
(mostrados como proyecciones ortogonales en cada plano de simetría de Coxeter )

A 4 , [3,3,3]	B 4 , [4,3,3]		F 4 , [3,4,3]	H 4 , [5,3,3]
5 celdas {3,3,3}	tesseract {4,3,3}	16 celdas {3,3,4}	24 celdas {3,4,3}	120 celdas {5,3,3}	600 celdas {3,3,5}

En tres dimensiones, se puede extruir un círculo para formar un cilindro . En cuatro dimensiones, hay varios objetos diferentes en forma de cilindro. Se puede extruir una esfera para obtener un cilindro esférico (un cilindro con "tapas" esféricas, conocido como esférico ), y se puede extruir un cilindro para obtener un prisma cilíndrico (un cubindor). Se puede tomar el producto cartesiano de dos círculos para obtener un duocilindro . Los tres pueden "rodar" en un espacio de cuatro dimensiones, cada uno con sus propias propiedades.

En tres dimensiones, las curvas pueden formar nudos, pero las superficies no pueden (a menos que se intersequen por sí mismas). Sin embargo, en cuatro dimensiones, los nudos hechos usando curvas pueden desatarse trivialmente desplazándolos en la cuarta dirección, pero las superficies 2D pueden formar nudos no triviales y que no se cruzan automáticamente en el espacio 4D. ^{[11] [ página necesaria ]} Debido a que estas superficies son bidimensionales, pueden formar nudos mucho más complejos que las cuerdas en el espacio 3D. La botella de Klein es un ejemplo de una superficie tan anudada. ^{[ cita requerida ]} Otra de esas superficies es el plano proyectivo real . ^{[ cita requerida ]}

Hiperesfera

Proyección estereográfica de un toro de Clifford : el conjunto de puntos (cos ( a ), sin ( a ), cos ( b ), sin ( b )), que es un subconjunto de las 3 esferas .

El conjunto de puntos en el espacio 4 euclidiano que tienen la misma distancia R desde un punto fijo P ₀ forma una hipersuperficie conocida como 3 esferas . El hipervolumen del espacio cerrado es:

${\displaystyle \mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}}$

Esto es parte de la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker en la relatividad general, donde R se sustituye por la función R ( t ), donde t significa la edad cosmológica del universo. Aumentar o reducir R con el tiempo significa expandir o colapsar el universo, dependiendo de la densidad de masa en el interior. ^[12]

Cognición

La investigación que utiliza la realidad virtual encuentra que los humanos, a pesar de vivir en un mundo tridimensional, pueden, sin una práctica especial, hacer juicios espaciales sobre segmentos de línea, incrustados en un espacio de cuatro dimensiones, en función de su longitud (unidimensional) y el ángulo (bidimensional) entre ellos. ^[13] Los investigadores señalaron que "los participantes de nuestro estudio tenían una práctica mínima en estas tareas, y sigue siendo una pregunta abierta si es posible obtener representaciones 4D más sostenibles, definitivas y más ricas con una mayor experiencia perceptiva en entornos virtuales 4D". . ^[13] En otro estudio, ^[14] se ha probado la capacidad de los humanos para orientarse en laberintos 2D, 3D y 4D. Cada laberinto constaba de cuatro segmentos de trayectoria de longitud aleatoria y conectados con curvas aleatorias ortogonales, pero sin ramas ni bucles (es decir, en realidad laberintos ). La interfaz gráfica se basó en el juego gratuito 4D Maze de John McIntosh. ^[15] Las personas participantes tuvieron que navegar por el camino y finalmente estimar la dirección lineal de regreso al punto de partida. Los investigadores encontraron que algunos de los participantes pudieron integrar mentalmente su camino después de un poco de práctica en 4D (los casos de menor dimensión fueron para comparar y para que los participantes aprendieran el método).

Analogía dimensional

Una red de tesseract

Para comprender la naturaleza del espacio de cuatro dimensiones, comúnmente se emplea un dispositivo llamado analogía dimensional . La analogía dimensional es el estudio de cómo ( n - 1) dimensiones se relacionan con n dimensiones, y luego inferir cómo n dimensiones se relacionarían con ( n + 1) dimensiones. ^[dieciséis]

Edwin Abbott Abbott utilizó la analogía dimensional en el libro Flatland , que narra una historia sobre un cuadrado que vive en un mundo bidimensional, como la superficie de una hoja de papel. Desde la perspectiva de este cuadrado, un ser tridimensional tiene poderes aparentemente divinos, como la capacidad de sacar objetos de una caja fuerte sin abrirla (moviéndolos a través de la tercera dimensión), para ver todo lo que desde dos La perspectiva dimensional está encerrada detrás de las paredes y permanece completamente invisible estando a unos centímetros de distancia en la tercera dimensión.

Al aplicar la analogía dimensional, se puede inferir que un ser de cuatro dimensiones sería capaz de realizar hazañas similares desde la perspectiva tridimensional. Rudy Rucker ilustra esto en su novela Spaceland , en la que el protagonista se encuentra con seres de cuatro dimensiones que demuestran tales poderes.

Secciones cruzadas

Cuando un objeto tridimensional pasa a través de un plano bidimensional, los seres bidimensionales en este plano solo observarían una sección transversal del objeto tridimensional dentro de este plano. Por ejemplo, si un globo esférico pasara a través de una hoja de papel, los seres en el papel verían primero un solo punto, luego un círculo que se agranda gradualmente, hasta que alcanza el diámetro del globo, y luego se vuelve más pequeño, hasta que se encoge. hasta cierto punto y luego desapareció. Es importante recordar que los seres 2D no verían un círculo de la misma manera que nosotros, sino solo una proyección unidimensional del círculo en su "retina" 1D. De manera similar, si un objeto de cuatro dimensiones pasara a través de una (hiper) superficie tridimensional, se podría observar una sección transversal tridimensional del objeto de cuatro dimensiones; por ejemplo, una esfera de cuatro aparecería primero como un punto, luego como una esfera en crecimiento, con la esfera luego encogiéndose a un solo punto y luego desapareciendo. ^[17] Este medio de visualizar aspectos de la cuarta dimensión se utilizó en la novela Flatland y también en varias obras de Charles Howard Hinton . ^{[6] : 11-14} Y de la misma manera, los seres tridimensionales (como los humanos con retina 2D) son incapaces de ver una esfera en su totalidad, de la misma manera que lo harían los seres 4D con su retina sólida 3D.

Proyecciones

La proyección es una aplicación útil de la analogía dimensional para visualizar dimensiones superiores . Una proyección es una manera para representar una n objeto -dimensional en n - 1 dimensiones. Por ejemplo, las pantallas de las computadoras son bidimensionales y todas las fotografías de personas, lugares y cosas tridimensionales se representan en dos dimensiones proyectando los objetos sobre una superficie plana. Al hacer esto, la dimensión ortogonal a la pantalla ( profundidad ) se elimina y se reemplaza con información indirecta. La retina del ojo también es una matriz bidimensional de receptores, pero el cerebro puede percibir la naturaleza de los objetos tridimensionales por inferencia a partir de información indirecta (como sombreado, escorzo , visión binocular , etc.). Los artistas a menudo usan la perspectiva para dar una ilusión de profundidad tridimensional a imágenes bidimensionales. La sombra , proyectada por un modelo de cuadrícula ficticio de un tesseract giratorio sobre una superficie plana, como se muestra en las figuras, también es el resultado de proyecciones.

De manera similar, los objetos en la cuarta dimensión pueden proyectarse matemáticamente a las tres dimensiones familiares, donde pueden examinarse más convenientemente. En este caso, la "retina" del ojo tetradimensional es una matriz tridimensional de receptores. Un ser hipotético con tal ojo percibiría la naturaleza de los objetos de cuatro dimensiones al inferir la profundidad de cuatro dimensiones a partir de información indirecta en las imágenes tridimensionales de su retina.

La proyección en perspectiva de objetos tridimensionales en la retina del ojo introduce artefactos como el escorzo, que el cerebro interpreta como profundidad en la tercera dimensión. Del mismo modo, la proyección en perspectiva desde cuatro dimensiones produce efectos de escorzo similares. Al aplicar la analogía dimensional, se puede inferir una "profundidad" de cuatro dimensiones a partir de estos efectos.

Como ilustración de este principio, la siguiente secuencia de imágenes compara varias vistas del cubo tridimensional con proyecciones análogas del tesseract tetradimensional en el espacio tridimensional.

Cubo	Tesseract	Descripción
		La imagen de la izquierda es un cubo visto de frente. El punto de vista análogo del tesseract en 4 dimensiones es la proyección en perspectiva de la celda primero , que se muestra a la derecha. Se puede establecer una analogía entre los dos: así como el cubo se proyecta hacia un cuadrado, el tesseract se proyecta hacia un cubo. Tenga en cuenta que las otras 5 caras del cubo no se ven aquí. Están oscurecidos por la cara visible. De manera similar, las otras 7 celdas del tesseract no se ven aquí porque están oscurecidas por la celda visible.
		La imagen de la izquierda muestra el mismo cubo visto de borde. El punto de vista análogo de un tesseract es la proyección en perspectiva de la cara primero , que se muestra a la derecha. Así como la proyección de borde primero del cubo consta de dos trapezoides , la proyección de la cara primero del tesseract consta de dos troncos . El borde más cercano del cubo en este punto de vista es el que se encuentra entre las caras roja y verde. Asimismo, la cara más cercana del tesseract es la que se encuentra entre las células rojas y verdes.
		A la izquierda está el cubo visto en la esquina primero. Esto es análogo a la proyección en perspectiva de borde primero del tesseract, que se muestra a la derecha. Así como la proyección del primer vértice del cubo consta de 3 deltoides que rodean un vértice, la proyección del borde primero del tesseract consta de 3 volúmenes hexaédricos que rodean un borde. Así como el vértice más cercano del cubo es aquel en el que se encuentran las tres caras, el borde más cercano del tesseract es el que está en el centro del volumen de proyección, donde se unen las tres celdas.
		Se puede establecer una analogía diferente entre la proyección de borde primero del tesseract y la proyección de borde primero del cubo. La proyección de borde primero del cubo tiene dos trapecios que rodean un borde, mientras que el tesseract tiene tres volúmenes hexaédricos que rodean un borde.
		A la izquierda está el cubo visto en la esquina primero. La proyección en perspectiva del primer vértice del tesseract se muestra a la derecha. La proyección del primer vértice del cubo tiene tres tetragones que rodean un vértice, pero la proyección del primer vértice del tesseract tiene cuatro volúmenes hexaédricos que rodean un vértice. Así como la esquina más cercana del cubo es la que se encuentra en el centro de la imagen, el vértice más cercano del tesseract no se encuentra en el límite del volumen proyectado, sino en su centro interior , donde se encuentran las cuatro celdas. Tenga en cuenta que aquí solo se pueden ver tres caras de las 6 caras del cubo, porque las otras 3 se encuentran detrás de estas tres caras, en el lado opuesto del cubo. De manera similar, aquí solo se pueden ver 4 de las 8 células del tesseract; los 4 restantes se encuentran detrás de estos 4 en la cuarta dirección, en el lado más alejado del tesseract.

Oscuridad

Un concepto muy relacionado con la proyección es la proyección de sombras.

Si se ilumina un objeto tridimensional, se proyecta una sombra bidimensional. Por analogía dimensional, la luz que brilla sobre un objeto bidimensional en un mundo bidimensional proyectaría una sombra unidimensional, y la luz sobre un objeto unidimensional en un mundo unidimensional proyectaría una sombra dimensional cero, es decir. , un punto de no luz. Yendo en sentido contrario, se puede inferir que la luz que brilla sobre un objeto de cuatro dimensiones en un mundo de cuatro dimensiones arrojaría una sombra tridimensional.

Si la estructura de alambre de un cubo se ilumina desde arriba, la sombra resultante en una superficie plana bidimensional es un cuadrado dentro de un cuadrado con las esquinas correspondientes conectadas. De manera similar, si la estructura metálica de un tesseract se iluminara desde "arriba" (en la cuarta dimensión), su sombra sería la de un cubo tridimensional dentro de otro cubo tridimensional suspendido en el aire (una superficie "plana" de un cuatro -perspectiva dimensional). (Tenga en cuenta que, técnicamente, la representación visual que se muestra aquí es en realidad una imagen bidimensional de la sombra tridimensional de la figura de estructura metálica de cuatro dimensiones).

Límites de volúmenes

La analogía dimensional también ayuda a inferir propiedades básicas de objetos en dimensiones superiores. Por ejemplo, los objetos bidimensionales están delimitados por límites unidimensionales: un cuadrado está delimitado por cuatro bordes. Los objetos tridimensionales están delimitados por superficies bidimensionales: un cubo está delimitado por 6 caras cuadradas. Al aplicar la analogía dimensional, se puede inferir que un cubo de cuatro dimensiones, conocido como tesseract , está delimitado por volúmenes tridimensionales. Y, de hecho, este es el caso: las matemáticas muestran que el tesseract está delimitado por 8 cubos. Saber esto es clave para comprender cómo interpretar una proyección tridimensional del tesseract. Los límites del tesseract se proyectan a volúmenes en la imagen, no simplemente a superficies bidimensionales.

Alcance visual

Las personas tienen una autopercepción espacial como seres en un espacio tridimensional, pero están visualmente restringidas a una dimensión menos: el ojo ve el mundo como una proyección a dos dimensiones, en la superficie de la retina . Suponiendo que un ser de cuatro dimensiones pudiera ver el mundo en proyecciones a una hipersuperficie, también solo una dimensión menos, es decir, a tres dimensiones, sería capaz de ver, por ejemplo, los seis lados de una caja opaca simultáneamente, y en De hecho, lo que hay dentro de la caja al mismo tiempo, al igual que la gente puede ver los cuatro lados y simultáneamente el interior de un rectángulo en una hoja de papel. ^{[ cita requerida ]} El ser sería capaz de discernir todos los puntos en un subespacio tridimensional simultáneamente, incluida la estructura interna de objetos tridimensionales sólidos, cosas oscurecidas desde los puntos de vista humanos en tres dimensiones en proyecciones bidimensionales. Los cerebros reciben imágenes en dos dimensiones y usan el razonamiento para ayudar a imaginar objetos tridimensionales.

Limitaciones

Razonar por analogía a partir de dimensiones inferiores conocidas puede ser una excelente guía intuitiva, pero se debe tener cuidado de no aceptar resultados que no se prueben más rigurosamente. Por ejemplo, considere las fórmulas para la circunferencia de un círculo${\displaystyle C=2\pi r}$ y el área de la superficie de una esfera: ${\displaystyle A=4\pi r^{2}}$. Uno podría tener la tentación de suponer que el volumen superficial de un glome es${\displaystyle V=6\pi r^{3}}$, o quizás ${\displaystyle V=8\pi r^{3}}$, pero cualquiera de estos estaría mal. La fórmula correcta es${\displaystyle V=2\pi ^{2}r^{3}}$. ^{[4] : 119}

Ver también

• 4 colectores
• Exótico R 4
• Tetradimensionalismo
• Cuarta dimensión en el arte
• Cuarta dimensión en la literatura
• Lista de juegos de cuatro dimensiones
• Eugene el Jeep
• Tiempo en física
• Tiempo espacial

Referencias

1. Cajori, Florian (1926), "Origins of Fourth Dimension Concepts"  , The American Mathematical Monthly , 33 (8): 397–406, doi : 10.1080 / 00029890.1926.11986607
2. Cajori, Florian (1926). "Orígenes de conceptos de cuarta dimensión" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 33 (8): 397–406. doi : 10.1080 / 00029890.1926.11986607 . JSTOR  2298325 .
3. Bell, ET (1965). Hombres de Matemáticas (1ª ed.). Nueva York: Simon y Schuster. pag. 154. ISBN 978-0-671-62818-5.
4. Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Nueva York: Dover Publishing. ISBN 978-0-486-61480-9.
5. Hinton, Charles Howard (1980). Rucker, Rudolf v. B. (ed.). Especulaciones sobre la cuarta dimensión: escritos seleccionados de Charles H. Hinton . Nueva York: Dover. pag. vii. ISBN 978-0-486-23916-3.
6. Hinton, Charles Howard (1993) [1904]. La Cuarta Dimensión . Pomeroy, Washington: Investigación en salud. pag. 14. ISBN 978-0-7873-0410-2. Consultado el 17 de febrero de 2017 .
7. Gardner, Martin (1975). Carnaval matemático: de Penny Puzzles. Barajas de cartas y trucos de calculadoras relámpago para montar en la montaña rusa hacia la cuarta dimensión (1ª ed.). Nueva York: Knopf . págs. 42, 52–53. ISBN 978-0-394-49406-7.
8. Victor Schlegel (1886) Ueber Projectionsmodelle der regelmässigen vier-dimensionalen Körper , Waren
9. Minkowski, Hermann (1909), "Raum und Zeit"  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88
   • Varias traducciones al inglés en Wikisource: Space and Time
10. Møller, C. (1972). La teoría de la relatividad (2ª ed.). Oxford: Clarendon Press. pag. 93 . ISBN 978-0-19-851256-1.
11. Carter, J. Scott; Saito, Masahico. Superficies anudadas y sus diagramas . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-7491-2.
12. D'Inverno, Ray (1998). Introducción a la relatividad de Einstein (Reimpresión ed.). Oxford: Clarendon Press. pag. 319. ISBN 978-0-19-859653-0.
13. Ambinder, Michael S .; Wang, Ranxiao Frances; Crowell, James A .; Francis, George K .; Brinkmann, Peter (octubre de 2009). "Intuición espacial humana de cuatro dimensiones en realidad virtual" . Boletín y revisión psiconómica . 16 (5): 818–823. doi : 10.3758 / PBR.16.5.818 . PMID  19815783 .
14. Aflalo, TN; Graziano, MSA (2008). "Razonamiento espacial tetradimensional en humanos" (PDF) . Revista de psicología experimental: percepción y rendimiento humanos . 34 (5): 1066–1077. CiteSeerX  10.1.1.505.5736 . doi : 10.1037 / 0096-1523.34.5.1066 . PMID  18823195 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
15. "Juego de laberinto 4D" . urticator.net . Consultado el 16 de diciembre de 2016 .
16. Kaku, Michio (1995). Hiperespacio: una odisea científica a través de universos paralelos, distorsiones del tiempo y la décima dimensión (ed. Reeditado). Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. págs. Parte I, Capítulo 3. ISBN 978-0-19-286189-4.
17. Rucker, Rudy (1996). La cuarta dimensión: un recorrido guiado por el universo superior . Boston: Houghton Mifflin. pag. 18. ISBN 978-0-395-39388-8.

Otras lecturas

• Archibald, R. C (1914). "El tiempo como cuarta dimensión" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense : 409–412.
• Andrew Forsyth (1930) Geometría de cuatro dimensiones , enlace de Internet Archive .
• Gamow, George (1988). Uno dos tres . . . Infinity: Facts and Speculations of Science (3ª ed.). Publicaciones de Courier Dover. pag. 68. ISBN 978-0-486-25664-1. Extracto de la página 68
• EH Neville (1921) La Cuarta Dimensión , Cambridge University Press , enlace de la Colección Histórica de Matemáticas de la Universidad de Michigan .

enlaces externos

• Vídeos de "Dimensiones", que muestran varias formas diferentes de visualizar objetos de cuatro dimensiones
• Artículo de Science News que resume los videos de "Dimensiones", con clips
• Flatland: a Romance of Many Dimensions (segunda edición)
• Animaciones cuadro por cuadro de 4D - analogías 3D