En física , en particular en relatividad especial y relatividad general , una velocidad de cuatro es un vector de cuatro en el espacio - tiempo de cuatro dimensiones [nb 1] que representa la contraparte relativista de la velocidad , que es un vector tridimensional en el espacio.
Los eventos físicos corresponden a puntos matemáticos en el tiempo y el espacio, el conjunto de todos ellos juntos forma un modelo matemático de espacio-tiempo físico de cuatro dimensiones. La historia de un objeto traza una curva en el espacio-tiempo, llamada línea del mundo . Si el objeto tiene masa , por lo que su velocidad es necesariamente menor que la velocidad de la luz , la línea del mundo puede estar parametrizada por el tiempo adecuado del objeto. La cuatro velocidades es la tasa de cambio de cuatro posicionescon respecto al tiempo adecuado a lo largo de la curva. La velocidad, por el contrario, es la tasa de cambio de la posición en el espacio (tridimensional) del objeto, visto por un observador, con respecto al tiempo del observador.
El valor de la magnitud de la cuatro velocidades de un objeto, es decir, la cantidad obtenida aplicando el tensor métrico g a la cuatro velocidades U , es decir || U || 2 = U ⋅ U = g μν U ν U μ , es siempre igual a ± c 2 , donde c es la velocidad de la luz. La aplicación del signo más o menos depende de la elección de la firma métrica . Para un objeto en reposo, su cuatro velocidades es paralela a la dirección de la coordenada de tiempo con U 0 = c . Una velocidad de cuatro es, por lo tanto, el vector tangente de tiempo normalizado dirigido hacia el futuro a una línea del mundo, y es un vector contravariante . Aunque es un vector, la suma de dos cuatro velocidades no produce una cuatro velocidades: el espacio de cuatro velocidades no es en sí mismo un espacio vectorial . [nb 2]
Velocidad
La trayectoria de un objeto en el espacio tridimensional (en un marco inercial) puede expresarse en términos de tres funciones de coordenadas espaciales x i ( t ) de tiempo t , donde i es un índice que toma valores 1, 2, 3.
Las tres coordenadas forman el vector de posición 3d , escrito como un vector de columna
Los componentes de la velocidad (tangente a la curva) en cualquier punto de la línea mundial son
Cada componente está simplemente escrito
Teoría de la relatividad
En la teoría de la relatividad de Einstein , la trayectoria de un objeto que se mueve en relación con un marco de referencia particular se define mediante cuatro funciones de coordenadas x μ ( τ ), donde μ es un índice de espacio-tiempo que toma el valor 0 para el componente temporal, y 1, 2, 3 para las coordenadas espaciales. El componente cero se define como la coordenada de tiempo multiplicada por c ,
Cada función depende de un parámetro τ llamado su tiempo adecuado . Como vector de columna,
Dilatación del tiempo
A partir de la dilatación del tiempo , las diferencias en el tiempo de coordenadas t y el tiempo propio τ están relacionados por
donde el factor de Lorentz ,
es una función de la norma euclidiana u del vector de velocidad 3d:
Definición de las cuatro velocidades
La cuatro velocidades es el cuatro-vector tangente de una línea del mundo similar al tiempo . La cuatro velocidades en cualquier punto de la línea del mundo Se define como:
dónde es el de cuatro posiciones yes el momento adecuado . [1]
La cuatro velocidades definida aquí usando el tiempo apropiado de un objeto no existe para las líneas del mundo para objetos sin masa como los fotones que viajan a la velocidad de la luz; tampoco está definido para líneas de mundo taquiónicas , donde el vector tangente es similar a un espacio .
Componentes de las cuatro velocidades
La relación entre el tiempo t y el tiempo de coordenadas x 0 se define por
Tomando la derivada de esto con respecto al tiempo propio τ , encontramos la componente de velocidad U μ para μ = 0:
y para los otros 3 componentes al tiempo adecuado, obtenemos el componente de velocidad U μ para μ = 1, 2, 3:
donde hemos utilizado la regla de la cadena y las relaciones
Por lo tanto, encontramos para las cuatro velocidades :
Escrito en notación estándar de cuatro vectores, esto es:
dónde es el componente temporal y es el componente espacial.
En términos de los relojes sincronizados y las reglas asociadas con una porción particular de espacio-tiempo plano, los tres componentes espaciales de cuatro velocidades definen la velocidad adecuada de un objeto en movimiento. es decir, la velocidad a la que se cubre la distancia en el marco del mapa de referencia por unidad de tiempo adecuado transcurrido en los relojes que viajan con el objeto.
A diferencia de la mayoría de los otros cuatro vectores, la cuatro velocidades tiene solo 3 componentes independientes en lugar de 4. El el factor es una función de la velocidad tridimensional .
Cuando ciertos escalares de Lorentz se multiplican por las cuatro velocidades, se obtienen nuevos cuatro vectores físicos que tienen 4 componentes independientes.
Por ejemplo:
- Cuatro impulso : , dónde es la masa
- Densidad de cuatro corrientes : , dónde es la densidad de carga
Efectivamente, el El factor se combina con el término escalar de Lorentz para hacer el cuarto componente independiente
- y
Magnitud
Usando el diferencial de las cuatro posiciones, se puede obtener la magnitud de las cuatro velocidades:
en resumen, la magnitud de la velocidad de cuatro para cualquier objeto es siempre una constante fija:
La norma también es:
así que eso:
que se reduce a la definición del factor de Lorentz.
Ver también
- Cuatro aceleraciones
- Cuatro impulso
- Cuatro fuerzas
- Cuatro gradientes
- Álgebra del espacio físico
- Congruencia (relatividad general)
- Modelo hiperboloide
- Rapidez
Observaciones
- ↑ Técnicamente, se debería pensar que el cuatro-vector reside en el espacio tangente de un punto en el espacio-tiempo, siendo el espacio-tiempo mismo modelado como una variedad suave . Esta distinción es significativa en la relatividad general.
- ^ El conjunto de cuatro velocidades es un subconjunto del espacio tangente (que es un espacio vectorial) en un evento. La etiqueta de cuatro vectores proviene del comportamiento bajo las transformaciones de Lorentz , es decir, bajo qué representación particularse transforman.
Referencias
- Einstein, Albert (1920). Relatividad: la teoría especial y general . Traducido por Robert W. Lawson. Nueva York: Original: Henry Holt, 1920; Reimpreso: Prometheus Books, 1995.
- Rindler, Wolfgang (1991). Introducción a la relatividad especial (2º) . Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853952-5.
- ^ McComb, WD (1999). Dinámica y relatividad . Oxford [etc.]: Oxford University Press. pag. 230. ISBN 0-19-850112-9.