análisis de Fourier

Rama de las matemáticas

Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier continua
series de Fourier
Transformada de Fourier de tiempo discreto
Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier sobre un anillo
Transformada de Fourier en grupos finitos
análisis de Fourier
Transformaciones relacionadas

Señal de tiempo del bajo de la nota A de cuerda abierta (55 Hz).

Transformada de Fourier de la señal de tiempo del bajo de la nota A de la cuerda abierta (55 Hz). El análisis de Fourier revela los componentes oscilatorios de señales y funciones.

En matemáticas , el análisis de Fourier ( / f ʊr i eɪ , - i ər / ) ^[1] es el estudio de la forma generales funciones pueden ser representados o aproximadas por sumas de simples funciones trigonométricas . El análisis de Fourier surgió del estudio de las series de Fourier y lleva el nombre de Joseph Fourier , quien demostró que representar una función como una suma de funciones trigonométricas simplifica enormemente el estudio de la transferencia de calor .

Hoy, el tema del análisis de Fourier abarca un amplio espectro de matemáticas. En las ciencias y la ingeniería, el proceso de descomponer una función en componentes oscilatorios a menudo se denomina análisis de Fourier, mientras que la operación de reconstruir la función a partir de estas piezas se conoce como síntesis de Fourier . Por ejemplo, determinar qué frecuencias componentes están presentes en una nota musical implicaría calcular la transformada de Fourier de una nota musical muestreada. Luego, se podría volver a sintetizar el mismo sonido al incluir los componentes de frecuencia como se reveló en el análisis de Fourier. En matemáticas, el término análisis de Fourier a menudo se refiere al estudio de ambas operaciones.

El proceso de descomposición en sí se llama transformación de Fourier . Su salida, la transformada de Fourier , a menudo recibe un nombre más específico, que depende del dominio y otras propiedades de la función que se está transformando. Además, el concepto original del análisis de Fourier se ha extendido a lo largo del tiempo para aplicarse a situaciones cada vez más abstractas y generales, y el campo general a menudo se conoce como análisis armónico . Cada transformada utilizada para el análisis (consulte la lista de transformadas relacionadas con Fourier ) tiene una transformada inversa correspondiente que se puede utilizar para la síntesis.

Aplicaciones

El análisis de Fourier tiene muchas aplicaciones científicas - en la física , ecuaciones diferenciales parciales , teoría de números , combinatoria , procesamiento de señales , procesamiento digital de imágenes , teoría de la probabilidad , estadísticas , análisis forense , valoración de opciones , la criptografía , análisis numérico , la acústica , la oceanografía , el sonar , la óptica , la difracción , geometría , proteína análisis de estructuras y otras áreas.

Esta amplia aplicabilidad se debe a muchas propiedades útiles de las transformadas:

• Las transformadas son operadores lineales y, con la normalización adecuada, también son unitarias (una propiedad conocida como teorema de Parseval o, más generalmente, como el teorema de Plancherel , y más generalmente a través de la dualidad de Pontryagin ). ^[2]
• Las transformadas suelen ser invertibles.
• Las funciones exponenciales son funciones propias de diferenciación , lo que significa que esta representación transforma ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en algebraicas ordinarias. ^[3] Por lo tanto, el comportamiento de un sistema lineal invariante en el tiempo se puede analizar en cada frecuencia de forma independiente.
• Según el teorema de convolución , las transformadas de Fourier convierten la complicada operación de convolución en una multiplicación simple, lo que significa que proporcionan una forma eficiente de calcular operaciones basadas en convolución como la multiplicación de polinomios y la multiplicación de números grandes . ^[4]
• La versión discreta de la transformada de Fourier (ver más abajo) se puede evaluar rápidamente en computadoras usando algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT). ^[5]

En medicina forense, los espectrofotómetros infrarrojos de laboratorio utilizan el análisis de transformada de Fourier para medir las longitudes de onda de la luz a las que un material absorberá en el espectro infrarrojo. El método FT se utiliza para decodificar las señales medidas y registrar los datos de longitud de onda. Y al usar una computadora, estos cálculos de Fourier se llevan a cabo rápidamente, de modo que en cuestión de segundos, un instrumento FT-IR operado por computadora puede producir un patrón de absorción de infrarrojos comparable al de un instrumento de prisma. ^[6]

La transformación de Fourier también es útil como representación compacta de una señal. Por ejemplo, la compresión JPEG utiliza una variante de la transformación de Fourier ( transformada de coseno discreta ) de pequeñas piezas cuadradas de una imagen digital. Los componentes de Fourier de cada cuadrado se redondean para reducir la precisión aritmética y los componentes débiles se eliminan por completo, de modo que los componentes restantes se pueden almacenar de forma muy compacta. En la reconstrucción de imágenes, cada cuadrado de la imagen se vuelve a ensamblar a partir de los componentes conservados aproximadamente transformados de Fourier, que luego se transforman a la inversa para producir una aproximación de la imagen original.

Aplicaciones en procesamiento de señales

Al procesar señales, como audio , ondas de radio , ondas de luz, ondas sísmicas e incluso imágenes, el análisis de Fourier puede aislar componentes de banda estrecha de una forma de onda compuesta, concentrándolos para una detección o eliminación más fácil. Una gran familia de técnicas de procesamiento de señales consiste en transformar una señal de Fourier, manipular los datos transformados de Fourier de una manera simple e invertir la transformación. ^[7]

Algunos ejemplos incluyen:

• Ecualización de grabaciones de audio con una serie de filtros de paso de banda ;
• Recepción de radio digital sin un circuito superheterodino , como en un teléfono celular moderno o un escáner de radio ;
• Procesamiento de imágenes para eliminar artefactos periódicos o anisotrópicos tales como irregularidades de video entrelazado, artefactos de bandas de fotografías aéreas de bandas o patrones de ondas de interferencias de radiofrecuencia en una cámara digital;
• Correlación cruzada de imágenes similares para la co-alineación;
• Cristalografía de rayos X para reconstruir una estructura cristalina a partir de su patrón de difracción;
• Espectrometría de masas por resonancia de ciclotrón de iones por transformada de Fourier para determinar la masa de iones a partir de la frecuencia del movimiento del ciclotrón en un campo magnético;
• Muchas otras formas de espectroscopia, incluyendo infrarrojos y de resonancia magnética nuclear espectroscopias;
• Generación de espectrogramas de sonido utilizados para analizar sonidos;
• Sonar pasivo utilizado para clasificar objetivos según el ruido de la maquinaria.

Variantes del análisis de Fourier

Una transformada de Fourier y 3 variaciones causadas por muestreo periódico (en el intervalo T) y / o suma periódica (en el intervalo P) de la función subyacente en el dominio del tiempo. La relativa facilidad computacional de la secuencia DFT y la información que brinda sobre S (  f  ) la convierten en una herramienta de análisis popular.

(Continua) Transformada de Fourier

Artículo principal: transformada de Fourier

Muy a menudo, el término no calificado transformada de Fourier se refiere a la transformada de funciones de un argumento real continuo , y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencia . Una función se transforma en otra y la operación es reversible. Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo ( t ), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria , la transformada de la función s ( t ) a la frecuencia f viene dada por el número complejo:

${\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}$

La evaluación de esta cantidad para todos los valores de f produce la función en el dominio de la frecuencia . Entonces s ( t ) se puede representar como una recombinación de exponenciales complejos de todas las frecuencias posibles:

${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}$

que es la fórmula de transformación inversa. El número complejo, S (  f  ) , transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia f .

Consulte Transformada de Fourier para obtener mucha más información, que incluye:

• convenciones para la normalización de amplitud y unidades / escalas de frecuencia
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas
• una extensión / generalización para funciones de múltiples dimensiones, como imágenes.

Serie de Fourier

Artículo principal: serie de Fourier

La transformada de Fourier de una función periódica, s _P ( t ) , con período P , se convierte en una función de peine de Dirac , modulada por una secuencia de coeficientes complejos :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde ∫ _P es la integral sobre cualquier intervalo de longitud P ).

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier , es una representación de s _P ( t ) en términos de una suma de un número potencialmente infinito de sinusoides armónicamente relacionados o funciones exponenciales complejas , cada una con una amplitud y fase especificadas por uno de los coeficientes :

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Cualquier s _P ( t ) se puede expresar como una suma periódica de otra función, s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

y los coeficientes son proporcionales a las muestras de S (  f  ) a intervalos discretos de1/PAG:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[A]

Tenga en cuenta que cualquier s ( t ) cuya transformación tenga los mismos valores muestrales discretos se puede utilizar en la suma periódica. Una condición suficiente para recuperar s ( t ) (y por lo tanto S (  f  ) ) sólo de estas muestras (es decir, de la serie de Fourier) es que la parte distinta de cero de s ( t ) se limite a un intervalo conocido de duración P , que es el dominio dual de frecuencia del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon .

Consulte la serie de Fourier para obtener más información, incluido el desarrollo histórico.

Transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT)

Artículo principal: Transformada de Fourier de tiempo discreto

La DTFT es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo. Por lo tanto, una suma periódica convergente en el dominio de la frecuencia se puede representar mediante una serie de Fourier, cuyos coeficientes son muestras de una función de tiempo continuo relacionada :

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

que se conoce como DTFT. Por tanto, la DTFT de la secuencia s [ n ] es también la transformada de Fourier de la función de peine de Dirac modulada . ^[B]

Los coeficientes de la serie de Fourier (y transformada inversa), se definen por :

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

El parámetro T corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier ahora puede reconocerse como una forma de la fórmula de suma de Poisson . Por tanto, tenemos el resultado importante de que cuando una secuencia de datos discretos, s [ n ] , es proporcional a las muestras de una función continua subyacente, s ( t ) , se puede observar una suma periódica de la transformada de Fourier continua, S (  f  ) . Tenga en cuenta que cualquier s ( t ) con los mismos valores muestrales discretos produce la misma DTFT. Pero bajo ciertas condiciones idealizadas, teóricamente se puede recuperar S(  F  ) y s ( t ) exactamente. Una condición suficiente para una recuperación perfecta es que la parte distinta de cero de S (  f  ) se limite a un intervalo de frecuencia conocido de ancho.1/T. Cuando ese intervalo es [-1/2 T, 1/2 T] , la fórmula de reconstrucción aplicable es la fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon . Esta es una piedra angular en la base del procesamiento de señales digitales .

Otra razón para estar interesado en S _{1 / T} (  f  ) es que a menudo proporciona información sobre la cantidad de aliasing causado por el proceso de muestreo.

Las aplicaciones de DTFT no se limitan a funciones muestreadas. Consulte Transformada de Fourier de tiempo discreto para obtener más información sobre este y otros temas, que incluyen :

• unidades de frecuencia normalizadas
• ventanas (secuencias de longitud finita)
• transformar propiedades
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Transformada discreta de Fourier (DFT)

Artículo principal: Transformada discreta de Fourier

Similar a una serie de Fourier, la DTFT de una secuencia periódica, s _N [ n ] , con período N , se convierte en una función de peine de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos (ver DTFT § Datos periódicos ):

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (donde ∑ _n es la suma de cualquier secuencia de longitud N ).

El S [ k ] secuencia es lo que se llama comúnmente la DFT de un ciclo de s _N . También es N -periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de N coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier , viene dada por:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   donde Σ _k es la suma sobre cualquier secuencia de longitud N .

Cuando s _N [ n ] se expresa como una suma periódica de otra función:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   y   ^[C]${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

los coeficientes son proporcionales a las muestras de S _{1 / T} (  f  ) a intervalos discretos de1/PAG = 1/Nuevo Testamento:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[D]

Por el contrario, cuando se desea calcular un número arbitrario ( N ) de muestras discretas de un ciclo de una DTFT continua, S _{1 / T} (  f  ) , se puede calcular la DFT relativamente simple de s _N [ n ] , como definido anteriormente. En la mayoría de los casos, N se elige igual a la longitud de la porción distinta de cero de s [ n ] . El aumento de N , conocido como relleno de ceros o interpolación , da como resultado muestras más estrechamente espaciadas de un ciclo de S _{1 / T} (  f  ) . DecrecienteN , causa superposición (suma) en el dominio del tiempo (análogo al aliasing ), que corresponde a la diezmación en el dominio de la frecuencia. (ver DTFT § Muestreo de DTFT ) En la mayoría de los casos de interés práctico, la secuencia s [ n ] representa una secuencia más larga que fue truncada por la aplicación de una función de ventana de longitud finita o matriz de filtro FIR .

La DFT se puede calcular utilizando un algoritmo de transformación rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en las computadoras.

Consulte Transformada discreta de Fourier para obtener mucha más información, que incluye:

• transformar propiedades
• aplicaciones
• transformaciones tabuladas de funciones específicas

Resumen

Para las funciones periódicas, tanto la transformada de Fourier como la DTFT comprenden solo un conjunto discreto de componentes de frecuencia (serie de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias. Una práctica común (no discutida anteriormente) es manejar esa divergencia a través de las funciones de peine de Dirac y delta de Dirac . Pero la misma información espectral se puede discernir de un solo ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos. De manera similar, las funciones de duración finita se pueden representar como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, excepto que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.

Es común en la práctica para la duración de s (•) que se limita al período, P o N . Pero estas fórmulas no requieren esa condición.

s ( t ) transforma (tiempo continuo)

	Frecuencia continua	Frecuencias discretas
Transformar	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
Inverso	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}\,}$

s ( nT ) transforma (tiempo discreto)

	Frecuencia continua	Frecuencias discretas
Transformar	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}}$
Inverso	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} ^{\text{inverse DFT}}\\&={\tfrac {1}{P}}\sum _{k}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{aligned}}}$

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja : ^[8]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

A partir de esto, son evidentes varias relaciones, por ejemplo :

• La transformada de una función de valor real ( s _RE + s _RO ) es la función simétrica par S _RE + i S _IO . Por el contrario, una transformación par simétrica implica un dominio de tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i s _IE + i s _IO ) es la función simétrica impar S _RO + i S _IE , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función par-simétrica ( s _RE + i s _IO ) es la función de valor real S _RE + S _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función de simetría impar ( s _RO + i s _IE ) es la función con valores imaginarios i S _IE + i S _IO , y lo contrario es cierto.

Transformaciones de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios

Las variantes de Fourier también se pueden generalizar a transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios , que se estudian en el análisis armónico ; allí, la transformada de Fourier lleva funciones en un grupo a funciones en el grupo dual. Este tratamiento también permite una formulación general del teorema de convolución , que relaciona transformadas de Fourier y convoluciones . Véase también la dualidad de Pontryagin para los fundamentos generalizados de la transformada de Fourier.

Más específico, el análisis de Fourier se puede realizar en clases laterales, ^[9] incluso en clases sociales discretas.

Transformaciones de tiempo-frecuencia

Más información: análisis de frecuencia de tiempo

En términos de procesamiento de señales , una función (de tiempo) es una representación de una señal con una resolución de tiempo perfecta , pero sin información de frecuencia, mientras que la transformada de Fourier tiene una resolución de frecuencia perfecta , pero sin información de tiempo.

Como alternativas a la transformada de Fourier, en el análisis de tiempo-frecuencia , se usan transformadas de tiempo-frecuencia para representar señales en una forma que tiene alguna información de tiempo y alguna información de frecuencia - por el principio de incertidumbre , existe una compensación entre estos. Estas pueden ser generalizaciones de la transformada de Fourier, como la transformada de Fourier de tiempo corto , la transformada de Gabor o la transformada fraccional de Fourier (FRFT), o pueden usar diferentes funciones para representar señales, como en las transformadas de ondícula y chirplet , con el análogo de ondícula. siendo la transformada de Fourier (continua) la transformada de ondícula continua .

Historia

Ver también: Serie de Fourier § Desarrollo histórico

Una forma primitiva de series armónicas se remonta a las antiguas matemáticas babilónicas , donde se usaban para calcular efemérides (tablas de posiciones astronómicas). ^{[10] [11] [12] [13]}

Los conceptos griegos clásicos de deferente y epiciclo en el sistema astronómico ptolemaico estaban relacionados con las series de Fourier (véase Deferente y epiciclo § Formalismo matemático ).

En los tiempos modernos, Alexis Clairaut utilizó variantes de la transformada discreta de Fourier en 1754 para calcular una órbita, ^[14] que ha sido descrita como la primera fórmula para la DFT, ^[15] y en 1759 por Joseph Louis Lagrange , en informática los coeficientes de una serie trigonométrica para una cuerda vibrante. ^[15] Técnicamente, el trabajo de Clairaut era una serie de solo coseno (una forma de transformada de coseno discreta ), mientras que el trabajo de Lagrange era una serie de solo seno (una forma de transformada de seno discreta ); Gauss utilizó una verdadera DFT de coseno + seno en 1805 para la interpolación trigonométrica de las órbitas de los asteroides .^[16] Euler y Lagrange discretizaron el problema de las cuerdas vibrantes, utilizando lo que hoy se llamarían muestras. ^[15]

Un desarrollo moderno temprano hacia el análisis de Fourier fue el artículo de 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations de Lagrange, que en el método de los solventes de Lagrange utilizó una descomposición de Fourier compleja para estudiar la solución de un cúbico: ^[17] Lagrange transformó las raíces x ₁ , x ₂ , x ₃ en los solventes:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

donde ζ es una raíz cúbica de la unidad , que es la DFT de orden 3.

Varios autores, en particular Jean le Rond d'Alembert y Carl Friedrich Gauss, utilizaron series trigonométricas para estudiar la ecuación del calor , ^[18] pero el avance fue el artículo de 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides de Joseph. Fourier , cuya idea fundamental fue modelar todas las funciones mediante series trigonométricas, presentando la serie de Fourier.

Los historiadores están divididos en cuanto a cuánto dar crédito a Lagrange y a otros por el desarrollo de la teoría de Fourier: Daniel Bernoulli y Leonhard Euler habían introducido representaciones trigonométricas de funciones, y Lagrange había dado la solución de la serie de Fourier a la ecuación de onda, por lo que la contribución de Fourier fue principalmente la afirmación audaz de que una función arbitraria podría representarse mediante una serie de Fourier. ^[15]

El desarrollo posterior del campo se conoce como análisis armónico y también es una instancia temprana de la teoría de la representación .

El primer algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT) para el DFT fue descubierto alrededor de 1805 por Carl Friedrich Gauss al interpolar mediciones de la órbita de los asteroides Juno y Pallas , aunque ese algoritmo FFT en particular se atribuye más a menudo a sus redescubridores modernos Cooley y Tukey . ^{[16] [14]}

Interpretación en términos de tiempo y frecuencia

En el procesamiento de señales , la transformada de Fourier a menudo toma una serie de tiempo o una función de tiempo continuo y la mapea en un espectro de frecuencia . Es decir, toma una función del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia ; es una descomposición de una función en sinusoides de diferentes frecuencias; en el caso de una serie de Fourier o una transformada discreta de Fourier , las sinusoides son armónicos de la frecuencia fundamental de la función que se analiza.

Cuando la función f es una función del tiempo y representa una señal física , la transformada tiene una interpretación estándar como el espectro de frecuencia de la señal. La magnitud de la función de valor complejo resultante F a la frecuencia ω representa la amplitud de una componente de frecuencia cuya fase inicial está dada por la fase de  F .

Las transformadas de Fourier no se limitan a funciones de tiempo y frecuencias temporales. También se pueden aplicar para analizar frecuencias espaciales y, de hecho, para casi cualquier dominio de función. Esto justifica su uso en ramas tan diversas como el procesamiento de imágenes , la conducción de calor y el control automático .

Ver también

• Serie de Fourier generalizada
• Serie de Fourier-Bessel
• Transformadas relacionadas con Fourier
• Transformada de Laplace (LT)
• Transformada de Laplace de dos caras
• Transformada de Mellin
• Transformada discreta de Fourier no uniforme (NDFT)
• Transformada cuántica de Fourier (QFT)
• Transformada teórica de números
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Vectores de base
• Bispectrum
• Función característica (teoría de la probabilidad)
• Funciones ortogonales
• Espacio Schwartz
• Densidad espectral
• Estimación de densidad espectral
• Música espectral
• Wavelet

Notas

1. ${\displaystyle \int _{P}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt} _{\triangleq \,S\left({\frac {k}{P}}\right)}}$
2. También podemos notar que :

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(nT)\delta (t-nT)&=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }T\cdot s(t)\delta (t-nT)\\&=s(t)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (t-nT).\end{aligned}}}$

   En consecuencia, una práctica común es modelar el "muestreo" como una multiplicación por la función de peine de Dirac , que por supuesto sólo es "posible" en un sentido puramente matemático.
   
   
3. Tenga en cuenta que esta definición difiere intencionadamente desde la sección DTFT en un factor de T . Esto facilita latabla de"transformaciones". Alternativamente,se puede definir comoen cuyo caso${\displaystyle s(nT)}$${\displaystyle s[n]}$${\displaystyle T\cdot s(nT),}$${\displaystyle S[k]=S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$
   
   
4. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}\left(\sum _{m=-\infty }^{\infty }s([n-mN]T)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}=\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n}} _{\triangleq \,{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)}}$

Referencias

1. "Fourier" . Dictionary.com íntegro . Casa al azar .
2. Rudin, Walter (1990). Análisis de Fourier sobre grupos . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-52364-2.
3. Evans, L. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-3-540-76124-2.
4. Knuth, Donald E. (1997). El arte de la programación informática Volumen 2: Algoritmos seminuméricos (3ª ed.). Addison-Wesley Professional. Sección 4.3.3.C: Transformadas discretas de Fourier, pág.305. ISBN 978-0-201-89684-8.
5. Conte, SD; de Boor, Carl (1980). Análisis numérico elemental (Tercera ed.). Nueva York: McGraw Hill, Inc. ISBN 978-0-07-066228-5.
6. Saferstein, Richard (2013). Criminalística: una introducción a la ciencia forense .
7. Rabiner, Lawrence R .; Oro, Bernard (1975). Teoría y aplicación del procesamiento de señales digitales . Englewood Cliffs, Nueva Jersey.
8. Proakis, John G .; Manolakis, Dimitri G. (1996), Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3 ed.), Nueva Jersey: Prentice-Hall International, p. 291 , ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ
9. Forrest, Brian. (1998). Análisis de Fourier sobre espacios Coset. Revista de matemáticas de las Montañas Rocosas. 28. 10.1216 / rmjm / 1181071828.
10. Prestini, Elena (2004). La evolución del análisis armónico aplicado: modelos del mundo real . Birkhäuser. pag. 62. ISBN 978-0-8176-4125-2.
11. Rota, Gian-Carlo ; Palombi, Fabrizio (1997). Pensamientos indiscretos . Birkhäuser. pag. 11. ISBN 978-0-8176-3866-5.
12. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. Las Ciencias Exactas en la Antigüedad . Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium . 9 (2ª ed.). Publicaciones de Dover . págs. 1-191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID  14884919 .
13. Brack-Bernsen, Lis ; Brack, Matthias (2004). "Analizando la estructura de la cáscara de la época babilónica y moderna". International Journal of Modern Physics E . 13 (1): 247. arXiv : física / 0310126 . Código bibliográfico : 2004IJMPE..13..247B . doi : 10.1142 / S0218301304002028 . S2CID 15704235 . 
14. Terras, Audrey (1999). Análisis de Fourier sobre grupos finitos y aplicaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs.  30 -32. ISBN 978-0-521-45718-7.
15. Briggs, William L .; Henson, Van Emden (1995). El DFT: Manual del propietario de la transformada discreta de Fourier . SIAM. págs. 2–4. ISBN 978-0-89871-342-8.
16. Heideman, MT; Johnson, DH; Burrus, CS (1984). "Gauss y la historia de la transformada rápida de Fourier". Revista IEEE ASSP . 1 (4): 14-21. doi : 10.1109 / MASSP.1984.1162257 . S2CID 10032502 . 
17. Knapp, Anthony W. (2006). Álgebra básica . Saltador. pag. 501. ISBN 978-0-8176-3248-9.
18. Narasimhan, TN (febrero de 1999). "Ecuación de conducción de calor de Fourier: historia, influencia y conexiones". Reseñas de Geofísica . 37 (1): 151-172. Código Bibliográfico : 1999RvGeo..37..151N . CiteSeerX 10.1.1.455.4798 . doi : 10.1029 / 1998RG900006 . ISSN 1944-9208 . OCLC 5156426043 .   

Lectura adicional

• Howell, Kenneth B. (2001). Principios del análisis de Fourier . Prensa CRC. ISBN 978-0-8493-8275-8.
• Kamen, EW; Heck, BS (2 de marzo de 2000). Fundamentos de señales y sistemas que utilizan la web y Matlab (2 ed.). Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
• Müller, Meinard (2015). La transformada de Fourier en pocas palabras (PDF) . Saltador. En Fundamentos del procesamiento musical , Sección 2.1, págs. 40–56. doi : 10.1007 / 978-3-319-21945-5 . ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID  8691186 .
• Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
• Smith, Steven W. (1999). La guía del científico e ingeniero para el procesamiento de señales digitales (segunda ed.). San Diego: Publicaciones técnicas de California. ISBN 978-0-9660176-3-2.
• Stein, EM; Weiss, G. (1971). Introducción al análisis de Fourier sobre espacios euclidianos . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 978-0-691-08078-9.

Enlaces externos

• Tablas de transformaciones integrales en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Una explicación intuitiva de la teoría de Fourier por Steven Lehar.
• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 6 trata sobre la transformada de Fourier 1 y 2-D. Las lecciones 7 a 15 lo utilizan. , por Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "∑ Suma (y análisis de Fourier)" . Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .