series de Fourier

Descomposición de funciones periódicas en sumas de formas sinusoidales más simples

Transformadas de Fourier
Transformada de Fourier continua
series de Fourier
Transformada de Fourier de tiempo discreto
Transformada discreta de Fourier
Transformada discreta de Fourier sobre un anillo
Transformada de Fourier en grupos finitos
análisis de Fourier
Transformaciones relacionadas

En matemáticas , un Fourier series ( / f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una función periódica compuesta por armónicamente relacionadas sinusoides , combinado por una suma ponderada. Con pesos apropiados, se puede hacer un ciclo (o período ) de la suma para aproximar una función arbitraria en ese intervalo (o la función completa si también es periódica). Como tal, la suma es una síntesis de otra función. La transformada de Fourier de tiempo discretoes un ejemplo de la serie de Fourier. El proceso de derivar pesos que describen una función dada es una forma de análisis de Fourier . Para funciones en intervalos ilimitados, las analogías de análisis y síntesis son la transformada de Fourier y la transformada inversa.

La función (en rojo) es la suma de seis funciones sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias armónicamente relacionadas. Su suma se llama serie de Fourier. La transformada de Fourier, (en azul), que representa la amplitud frente a la frecuencia, revela las 6 frecuencias ( en armónicos impares ) y sus amplitudes ( 1 / número impar ).${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle S(f)}$

Historia

Ver también: Análisis de Fourier § Historia

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[A] Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos ) de 1807 , y publicando su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor ) en 1822. El Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier, se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua ^[2] y luego generalizada a cualquier función por partes -suave ^[3] ) se puede representar mediante una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento lo hizo Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[4] Las primeras ideas de descomponer una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los antiguos astrónomos propusieron un modelo empírico de movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque sí se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de forma sencilla, en particular, si la fuente de calor era una onda sinusoidal o cosenoidal . Estas soluciones simples ahora a veces se denominan soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas simples de seno y coseno, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes . Esta superposición o combinación lineal se denomina serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[5] y Bernhard Riemann ^{[6] [7] [8]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación de calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son sinusoides . La serie Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[9] teoría de capas , ^[10] etc.

Definición

Considere una función de valor real , que es integrable en un intervalo de longitud , que será el período de la serie de Fourier. Ejemplos comunes de intervalos de análisis son:${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle x\in [0,1],}$ y ${\displaystyle P=1.}$

${\displaystyle x\in [-\pi ,\pi ],}$ y ${\displaystyle P=2\pi .}$

El proceso de análisis determina los pesos, indexados por entero , que también es el número de ciclos del armónico en el intervalo de análisis. Por lo tanto, la duración de un ciclo, en unidades de , es . Y la frecuencia armónica correspondiente es . Los armónicos son y , y sus amplitudes (pesos) se encuentran por integración sobre el intervalo de longitud : ^[11]${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{\text{th}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P/n}$${\displaystyle n/P}$${\displaystyle n^{th}}$${\displaystyle \sin \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)}$${\displaystyle \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right)}$${\displaystyle P}$

Coeficientes de Fourier

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\,dx.\end{aligned}}}$

( Ecuación 1 )

• Si es -periódico, entonces cualquier intervalo de esa longitud es suficiente.${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle a_{0}}$y se puede reducir a y .${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx}$${\displaystyle b_{0}=0}$
• Muchos textos optan por simplificar el argumento de las funciones sinusoides.${\displaystyle P=2\pi }$

El proceso de síntesis (la serie de Fourier real) es:

Serie de Fourier, forma seno-coseno

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{_{N}}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\right).\end{aligned}}}$

( Ecuación 2 )

En general, el número entero es teóricamente infinito. Aun así, es posible que la serie no converja o no se iguale exactamente en todos los valores de (como una discontinuidad de un solo punto) en el intervalo de análisis. Para las funciones de "buen comportamiento" típicas de los procesos físicos, habitualmente se asume la igualdad.${\displaystyle N}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$

Si es una función contenida en un intervalo de longitud (y cero en cualquier otro lugar), el cuadrante superior derecho es un ejemplo de cómo podrían verse sus coeficientes de la serie de Fourier ( ) cuando se grafican contra sus correspondientes frecuencias armónicas. El cuadrante superior izquierdo es la transformada de Fourier correspondiente de La suma de la serie de Fourier (no se muestra) sintetiza una suma periódica de mientras que la transformada de Fourier inversa (no se muestra) sintetiza solo${\displaystyle s(t)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle s(t).}$${\displaystyle s(t),}$${\displaystyle s(t).}$

Usando una identidad trigonométrica:

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right),}$

y definiciones y , los pares de seno y coseno se pueden expresar como una sola sinusoide con un desplazamiento de fase, análoga a la conversión entre coordenadas ortogonales (cartesianas) y polares:${\displaystyle A_{n}\triangleq {\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$${\displaystyle \varphi _{n}\triangleq \operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$

Serie de Fourier, forma de fase de amplitud

${\displaystyle s_{_{N}}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right).}$

( Ecuación 3 )

La forma habitual para generalizar a valores complejos (siguiente sección) se obtiene utilizando la fórmula de Euler para dividir la función coseno en exponenciales complejos. Aquí, la conjugación compleja se indica con un asterisco:${\displaystyle s(x)}$

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(+n)x}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(-n)x}.\end{array}}}$

Por tanto, con definiciones:

${\displaystyle c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx,}$

el resultado final es:

Serie de Fourier, forma exponencial

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

( Ecuación 4 )

Funciones de valor complejo

Si es una función de valor complejo de una variable real, ambos componentes (parte real e imaginaria) son funciones de valor real que se pueden representar mediante una serie de Fourier. Los dos conjuntos de coeficientes y la suma parcial vienen dados por :${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x,}$

${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx}$     y     ${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx}$

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

Definición de rendimientos:${\displaystyle c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}}$

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

( Ecuación 5 )

Esto es idéntico a la ecuación 4 excepto que ya no son conjugados complejos. La fórmula de tampoco se modifica:${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{-n}}$${\displaystyle c_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx.\end{aligned}}}$

Otras notaciones comunes

La notación es inadecuada para discutir los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, habitualmente se reemplaza por una forma modificada de la función ( , en este caso), como o , y la notación funcional a menudo reemplaza el subíndice:${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle {\hat {s}}[n]}$${\displaystyle S[n]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, particularmente cuando la variable representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación en el dominio de la frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias.${\displaystyle x}$

Otra representación de dominio de frecuencia de uso común utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

donde representa un dominio de frecuencia continuo. Cuando la variable tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de , lo que se denomina frecuencia fundamental .    se puede recuperar de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa :${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle 1/P}$${\displaystyle s_{\infty }(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, la función construida se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[B]${\displaystyle S(f)}$

• Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada

Convergencia

Artículo principal: Convergencia de la serie de Fourier

En aplicaciones de ingeniería , generalmente se presume que la serie de Fourier converge en casi todas partes (las excepciones son discontinuidades discretas) ya que las funciones encontradas en ingeniería se comportan mejor que las funciones que los matemáticos pueden proporcionar como contraejemplos de esta presunción. En particular, si es continua y la derivada de (que puede no existir en todas partes) es cuadrática integrable, entonces la serie de Fourier de converge absoluta y uniformemente a . ^[12] Si una función es cuadrática integrable en el intervalo , entonces la serie de Fourier converge a la función en casi todos los puntos.${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$. La convergencia de las series de Fourier también depende del número finito de máximos y mínimos en una función que se conoce popularmente como una de las condiciones de Dirichlet para las series de Fourier . Ver serie Convergencia de Fourier . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en tales casos la convergencia en la norma o la convergencia débil suele ser de interés.

• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)

• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda de diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)

• Ejemplo de convergencia a una función algo arbitraria. Nótese el desarrollo del "zumbido" (fenómeno de Gibbs) en las transiciones hacia / desde las secciones verticales.

Aquí se puede ver una animación interactiva .

Ejemplos

Ejemplo 1: una serie simple de Fourier

Gráfico de la onda en diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal en el intervalo${\displaystyle s(x)=x/\pi }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier

Ahora usamos la fórmula anterior para dar una expansión en serie de Fourier de una función muy simple. Considere una onda de diente de sierra

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

En este caso, los coeficientes de Fourier están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Se puede comprobar que la serie de Fourier converge en todos los puntos donde es diferenciable y, por tanto:${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

( Ecuación 7 )

Cuando , la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma de los límites izquierdo y derecho de s en . Este es un ejemplo particular del teorema de Dirichlet para series de Fourier.${\displaystyle x=\pi }$${\displaystyle x=\pi }$

Este ejemplo nos lleva a una solución al problema de Basilea .

Ejemplo 2: la motivación de Fourier

Distribución de calor en una placa de metal, según el método de Fourier.

La expansión de la serie de Fourier de nuestra función en el ejemplo 1 parece más complicada que la fórmula simple , por lo que no es evidente de inmediato por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien hay muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, considere una placa de metal en forma de cuadrado cuyos lados miden metros, con coordenadas . Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por , se mantiene en el gradiente de temperatura grados Celsius, por adentro , entonces se puede demostrar que el La distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de un largo período de tiempo) viene dada por${\displaystyle s(x)=x/\pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$${\displaystyle y=\pi }$${\displaystyle T(x,\pi )=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (0,\pi )}$

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función del seno hiperbólico . Esta solución de la ecuación del calor se obtiene multiplicando cada término de la   ecuación 7 por . Si bien nuestra función de ejemplo parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución de calor no es trivial. La función no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier.${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle T(x,y)}$${\displaystyle T}$

Otras aplicaciones

Otra aplicación de esta serie de Fourier es resolver el problema de Basilea utilizando el teorema de Parseval . El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ (2 n ), para cualquier número entero positivo  n .

Inicios

Joseph Fourier escribió: ^{[ dudoso - discutir ]}

${\displaystyle \varphi (y)=a_{0}\cos {\frac {\pi y}{2}}+a_{1}\cos 3{\frac {\pi y}{2}}+a_{2}\cos 5{\frac {\pi y}{2}}+\cdots .}$

Multiplicar ambos lados por y luego integrar de a da como resultado:${\displaystyle \cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$${\displaystyle y=-1}$${\displaystyle y=+1}$

${\displaystyle a_{k}=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy.}$

-  Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides . (1807) ^{[13] [C]}

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente a _k de la serie trigonométrica para φ ( y ) para cualquier función que tenga tal expansión. Funciona porque si φ tiene tal expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{k}&=\int _{-1}^{1}\varphi (y)\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}\,dy\\&=\int _{-1}^{1}\left(a\cos {\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+a'\cos 3{\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}+\cdots \right)\,dy\end{aligned}}}$

se puede llevar a cabo término a término. Pero todos los términos que involucran para j ≠ k desaparecen cuando se integran de −1 a 1, dejando solo el k- ésimo término.${\displaystyle \cos(2j+1){\frac {\pi y}{2}}\cos(2k+1){\frac {\pi y}{2}}}$

En estas pocas líneas, cercanas al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto la matemática como la física. Aunque Euler , d'Alembert , Daniel Bernoulli y Gauss utilizaron previamente series trigonométricas similares , Fourier creía que tales series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido eso es realmente cierto es un tema algo sutil y los intentos durante muchos años para aclarar esta idea han llevado a importantes descubrimientos en las teorías de la convergencia , los espacios funcionales y el análisis armónico .

Cuando Fourier presentó un ensayo de concurso posterior en 1811, el comité (que incluía a Lagrange , Laplace , Malus y Legendre , entre otros) concluyó: ... la manera en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y ... su análisis para integrarlos todavía deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor . ^{[ cita requerida ]}

Nacimiento del análisis armónico

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos los cuales son consistentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más poderosos y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles cuando Fourier completó su trabajo original. Fourier originalmente definió la serie de Fourier para funciones de valores reales de argumentos reales, y utilizando las funciones seno y coseno como base para la descomposición.

Desde entonces se han definido muchas otras transformaciones relacionadas con Fourier , extendiendo la idea inicial a otras aplicaciones. Esta área general de investigación ahora se denomina a veces análisis armónico . Sin embargo, una serie de Fourier solo se puede utilizar para funciones periódicas o para funciones en un intervalo acotado (compacto).

Extensiones

Serie de Fourier en un cuadrado

También podemos definir la serie de Fourier para funciones de dos variables y en el cuadrado :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\times [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,y)&=\sum _{j,k\,\in \,\mathbb {Z} {\text{ (integers)}}}c_{j,k}e^{ijx}e^{iky},\\[5pt]c_{j,k}&={1 \over 4\pi ^{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }f(x,y)e^{-ijx}e^{-iky}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Además de ser útil para resolver ecuaciones diferenciales parciales como la ecuación de calor, una aplicación notable de la serie de Fourier en el cuadrado es la compresión de imágenes . En particular, el estándar de compresión de imágenes jpeg usa la transformada de coseno discreta bidimensional , que es una transformada relacionada con Fourier que usa solo las funciones de base de coseno. ^{[ cita requerida ]}

Serie de Fourier de función periódica de celosía de Bravais

La celosía de Bravais tridimensional se define como el conjunto de vectores de la forma:

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

donde son números enteros y tres vectores linealmente independientes. Suponiendo que tengamos alguna función, tal que obedezca la siguiente condición para cualquier vector de celosía de Bravais , podríamos hacer una serie de Fourier. Este tipo de función puede ser, por ejemplo, el potencial efectivo que un electrón "siente" dentro de un cristal periódico. Es útil hacer una serie de Fourier del potencial cuando se aplica el teorema de Bloch . Primero, podemos escribir cualquier vector arbitrario en el sistema de coordenadas de la red:${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {R} :f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {R} +\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} =x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$

dónde ${\displaystyle a_{i}\triangleq |\mathbf {a} _{i}|.}$

Así podemos definir una nueva función,

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})\triangleq f(\mathbf {r} )=f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right).}$

Esta nueva función`` ahora es una función de tres variables, cada una de las cuales tiene una periodicidad a ₁ , a ₂ , a ₃ respectivamente:${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1}+a_{1},x_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2}+a_{2},x_{3})=g(x_{1},x_{2},x_{3}+a_{3}).}$

Esto nos permite construir un conjunto de coeficientes de Fourier, cada uno de los cuales está indexado por tres números enteros independientes . En lo que sigue, usamos la notación de funciones para denotar estos coeficientes, donde anteriormente usamos subíndices. Si escribimos una serie para g en el intervalo [0, a ₁ ] para x ₁ , podemos definir lo siguiente:${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$

${\displaystyle h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\triangleq {\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\,dx_{1}}$

Y luego podemos escribir:

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}}$

Definiendo más:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}h^{\mathrm {one} }(m_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\,dx_{2}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}\right)}\end{aligned}}}$

Podemos escribir una vez más como:${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}}$

Finalmente aplicando lo mismo para la tercera coordenada, definimos:

${\displaystyle {\begin{aligned}h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})&\triangleq {\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}h^{\mathrm {two} }(m_{1},m_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}\,dx_{3}\\[12pt]&={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}g(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot e^{-i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}\end{aligned}}}$

Escribimos como:${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{2}=-\infty }^{\infty }\sum _{m_{3}=-\infty }^{\infty }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}}\cdot e^{i2\pi {\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}}}$

Reorganización:

${\displaystyle g(x_{1},x_{2},x_{3})=\sum _{m_{1},m_{2},m_{3}\in \mathbb {Z} }h^{\mathrm {three} }(m_{1},m_{2},m_{3})\cdot e^{i2\pi \left({\frac {m_{1}}{a_{1}}}x_{1}+{\frac {m_{2}}{a_{2}}}x_{2}+{\frac {m_{3}}{a_{3}}}x_{3}\right)}.}$

Ahora, cada vector de red recíproco se puede escribir como , donde son los números enteros y los vectores de red recíprocos, podemos usar el hecho de que para calcular eso para cualquier vector de red recíproco arbitrario y vector arbitrario en el espacio , su producto escalar es:${\displaystyle \mathbf {G} =\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}}$${\displaystyle l_{i}}$${\displaystyle \mathbf {g} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {g_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$${\displaystyle \mathbf {G} }$${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {G} \cdot \mathbf {r} =\left(\ell _{1}\mathbf {g} _{1}+\ell _{2}\mathbf {g} _{2}+\ell _{3}\mathbf {g} _{3}\right)\cdot \left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)=2\pi \left(x_{1}{\frac {\ell _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\ell _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\ell _{3}}{a_{3}}}\right).}$

Y entonces está claro que en nuestra expansión, la suma es en realidad sobre vectores de celosía recíprocos:

${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {G} }h(\mathbf {G} )\cdot e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} },}$

dónde

${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{a_{3}}}\int _{0}^{a_{3}}dx_{3}\,{\frac {1}{a_{2}}}\int _{0}^{a_{2}}dx_{2}\,{\frac {1}{a_{1}}}\int _{0}^{a_{1}}dx_{1}\,f\left(x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}}\right)\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }.}$

Asumiendo

${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=x_{1}{\frac {\mathbf {a} _{1}}{a_{1}}}+x_{2}{\frac {\mathbf {a} _{2}}{a_{2}}}+x_{3}{\frac {\mathbf {a} _{3}}{a_{3}}},}$

podemos resolver este sistema de tres ecuaciones lineales para , y en términos de , y con el fin de calcular el elemento de volumen en el original sistema de coordenadas cartesianas. Una vez que tenemos , y en términos de , y , podemos calcular el determinante jacobiano :${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial z}}\\[12pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial y}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial z}}\end{vmatrix}}}$

que después de algunos cálculos y la aplicación de algunas identidades de productos cruzados no triviales se puede demostrar que es igual a:

${\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$

(puede ser ventajoso para simplificar los cálculos, trabajar en un sistema de coordenadas cartesiano, en el que da la casualidad de que es paralelo al eje x, se encuentra en el plano x - y , y tiene componentes de los tres ejes ). El denominador es exactamente el volumen de la celda unitaria primitiva que está encerrada por los tres vectores primitivos , y . En particular, ahora sabemos que${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{2}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{3}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{2}} }$${\displaystyle \mathbf {a_{3}} }$

${\displaystyle dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}={\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\cdot dx\,dy\,dz.}$

Podemos escribir ahora como una integral con el sistema de coordenadas tradicional sobre el volumen de la celda primitiva, en lugar de con las variables , y :${\displaystyle h(\mathbf {G} )}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle h(\mathbf {G} )={\frac {1}{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}\int _{C}d\mathbf {r} f(\mathbf {r} )\cdot e^{-i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }}$

escribir para el elemento de volumen ; y donde es la celda unitaria primitiva, por lo tanto, es el volumen de la celda unitaria primitiva.${\displaystyle d\mathbf {r} }$${\displaystyle dx\,dy\,dz}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}$

Interpretación del espacio de Hilbert

Artículo principal: espacio de Hilbert

En el lenguaje de los espacios de Hilbert , el conjunto de funciones es una base ortonormal para el espacio de funciones integrables en cuadrados . Este espacio es en realidad un espacio de Hilbert con un producto interno dado para dos elementos cualesquiera y por :${\displaystyle \{e_{n}=e^{inx}:n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \langle f,\,g\rangle \;\triangleq \;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)g^{*}(x)\,dx,}$     donde esta el complejo conjugado de${\displaystyle g^{*}(x)}$${\displaystyle g(x).}$

El resultado básico de la serie de Fourier para espacios de Hilbert se puede escribir como

${\displaystyle f=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\langle f,e_{n}\rangle \,e_{n}.}$

Los senos y cosenos forman un conjunto ortonormal, como se ilustra arriba. La integral de seno, coseno y su producto es cero (las áreas verde y roja son iguales y se cancelan) cuando , o las funciones son diferentes, y pi solo si y son iguales, y la función utilizada es la misma.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

Esto corresponde exactamente a la formulación exponencial compleja dada anteriormente. La versión con senos y cosenos también se justifica con la interpretación del espacio de Hilbert. De hecho, los senos y cosenos forman un conjunto ortogonal :

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\cos(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)+\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1,\,}$

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\cos((n-m)x)-\cos((n+m)x)\,dx=\pi \delta _{mn},\quad m,n\geq 1}$

(donde δ _mn es el delta de Kronecker ), y

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(mx)\,\sin(nx)\,dx={\frac {1}{2}}\int _{-\pi }^{\pi }\sin((n+m)x)+\sin((n-m)x)\,dx=0;\,}$

además, los senos y cosenos son ortogonales a la función constante . Una base ortonormal para constar de funciones reales está formada por las funciones y , con n  = 1, 2, ... La densidad de su amplitud es una consecuencia del teorema de Stone-Weierstrass , pero se sigue también de las propiedades de los núcleos clásicos como el núcleo de Fejér .${\displaystyle 1}$${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\cos(nx)}$${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin(nx)}$

Propiedades

Tabla de propiedades básicas

Esta tabla muestra algunas operaciones matemáticas en el dominio del tiempo y el efecto correspondiente en los coeficientes de la serie de Fourier. Notación:

• La conjugación compleja se indica con un asterisco.
• ${\displaystyle f(x),g(x)}$designar -funciones periódicas o funciones definidas solo para .${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in [0,P]}$
• ${\displaystyle F[n],G[n]}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma exponencial) de y como se define en la ecuación 5 .${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

Propiedad	Dominio del tiempo	Dominio de frecuencia (forma exponencial)	Observaciones	Referencia
Linealidad	${\displaystyle a\cdot f(x)+b\cdot g(x)}$	${\displaystyle a\cdot F[n]+b\cdot G[n]}$	${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} }$
Inversión de tiempo / Inversión de frecuencia	${\displaystyle f(-x)}$	${\displaystyle F[-n]}$		[14] : pág. 610
Conjugación de tiempo	${\displaystyle f^{*}(x)}$	${\displaystyle F^{*}[-n]}$		[14] : pág. 610
Inversión del tiempo y conjugación	${\displaystyle f^{*}(-x)}$	${\displaystyle F^{*}[n]}$
Parte real en el tiempo	${\displaystyle \operatorname {Re} {(f(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(F[n]+F^{*}[-n])}$
Parte imaginaria en el tiempo	${\displaystyle \operatorname {Im} {(f(x))}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(F[n]-F^{*}[-n])}$
Parte real en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(f(x)+f^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Re} {(F[n])}}$
Parte imaginaria en frecuencia	${\displaystyle {\frac {1}{2i}}(f(x)-f^{*}(-x))}$	${\displaystyle \operatorname {Im} {(F[n])}}$
Cambio en el tiempo / Modulación en frecuencia	${\displaystyle f(x-x_{0})}$	${\displaystyle F[n]\cdot e^{-i{\frac {2\pi x_{0}}{P}}n}}$	${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} }$	[14] : pág. 610
Cambio de frecuencia / Modulación en el tiempo	${\displaystyle f(x)\cdot e^{i{\frac {2\pi n_{0}}{P}}x}}$	${\displaystyle F[n-n_{0}]\!}$	${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {Z} }$	[14] : pág. 610

Propiedades de simetría

Cuando las partes real e imaginaria de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares , hay cuatro componentes, indicados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO. Y hay un mapeo uno a uno entre los cuatro componentes de una función de tiempo compleja y los cuatro componentes de su transformada de frecuencia compleja: ^[15]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&f&=&f_{_{\text{RE}}}&+&f_{_{\text{RO}}}&+&if_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ f_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&F&=&F_{RE}&+&\overbrace {i\ F_{IO}} &+&i\ F_{IE}&+&F_{RO}\end{array}}}$

A partir de esto, son evidentes varias relaciones, por ejemplo:

• La transformada de una función de valor real ( f _RE + f _RO ) es la función simétrica par F _RE + i F _IO . Por el contrario, una transformación par simétrica implica un dominio de tiempo de valor real.
• La transformada de una función con valores imaginarios ( i f _IE + i f _IO ) es la función simétrica impar F _RO + i F _IE , y la inversa es verdadera.
• La transformada de una función par-simétrica ( f _RE + i f _IO ) es la función de valor real F _RE + F _RO , y lo contrario es cierto.
• La transformada de una función de simetría impar ( f _RO + i f _IE ) es la función con valores imaginarios i F _IE + i F _IO , y lo contrario es cierto.

Lema de Riemann-Lebesgue

Si es integrable , , y este resultado se conoce como la de Riemann-Lebesgue .${\displaystyle f}$${\displaystyle \lim _{|n|\rightarrow \infty }F[n]=0}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=0}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=0.}$

Teorema de Parseval

Si pertenece a (un intervalo de longitud ) entonces :${\displaystyle f}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigg |}F[n]{\bigg |}^{2}={\frac {1}{P}}\int _{P}|f(x)|^{2}\,dx.}$

Teorema de Plancherel

Si son coeficientes y luego hay una función única tal que para cada .${\displaystyle c_{0},\,c_{\pm 1},\,c_{\pm 2},\ldots }$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty }$${\displaystyle f\in L^{2}(P)}$${\displaystyle F[n]=c_{n}}$${\displaystyle n}$

Teoremas de convolución

Artículo principal: Convolution_theorem § Periodic_convolution_ (Fourier_series_coefficients)

Funciones periódicas dadas , y con coeficientes de la serie de Fourier y${\displaystyle P}$${\displaystyle f_{_{P}}}$${\displaystyle g_{_{P}}}$${\displaystyle F[n]}$${\displaystyle G[n],}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ,}$

• El producto puntiagudo :   ${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq f_{_{P}}(x)\cdot g_{_{P}}(x)}$

también es -periódica, y sus coeficientes de la serie de Fourier están dados por la convolución discreta de las secuencias y :${\displaystyle P}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle H[n]=\{F*G\}[n].}$

• La convolución periódica :   ${\displaystyle h_{_{P}}(x)\triangleq \int _{P}f_{_{P}}(\tau )\cdot g_{_{P}}(x-\tau )\,d\tau }$

es también -periódica, con coeficientes de la serie de Fourier :${\displaystyle P}$

${\displaystyle H[n]=P\cdot F[n]\cdot G[n].}$

• Una secuencia doblemente infinita en es la secuencia de coeficientes de Fourier de una función en si y solo si es una convolución de dos secuencias en . Ver ^[16]${\displaystyle \left\{c_{n}\right\}_{n\in Z}}$${\displaystyle c_{0}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle L^{1}([0,2\pi ])}$${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {Z} )}$

Propiedad derivada

Decimos que pertenece a si es una función periódica de 2 π en la que es diferenciable en tiempos, y su k- ^ésima derivada es continua.${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle k}$

• Si , entonces los coeficientes de Fourier de la derivada se pueden expresar en términos de los coeficientes de Fourier de la función , mediante la fórmula .${\displaystyle f\in C^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {f'}}[n]}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle {\widehat {f}}[n]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\widehat {f'}}[n]=in{\widehat {f}}[n]}$
• Si , entonces . En particular, dado que para un fijo tenemos como , se deduce que tiende a cero, lo que significa que los coeficientes de Fourier convergen a cero más rápido que la k- ésima potencia de n para cualquier .${\displaystyle f\in C^{k}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle {\widehat {f^{(k)}}}[n]=(in)^{k}{\widehat {f}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle {\widehat {f^{(k)}}}[n]\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle |n|^{k}{\widehat {f}}[n]}$${\displaystyle k\geq 1}$

Grupos compactos

Artículos principales: grupo compacto , grupo de Lie y teorema de Peter-Weyl

Una de las propiedades interesantes de la transformada de Fourier que hemos mencionado es que lleva convoluciones a productos puntiagudos. Si esa es la propiedad que buscamos preservar, se pueden producir series de Fourier en cualquier grupo compacto . Los ejemplos típicos incluyen aquellos grupos clásicos que son compactos. Esto generaliza la transformada de Fourier a todos los espacios de la forma L ² ( G ), donde G es un grupo compacto, de tal manera que la transformada de Fourier lleva convoluciones a productos puntuales. La serie de Fourier existe y converge de manera similar al caso [- π , π ].

Una extensión alternativa a los grupos compactos es el teorema de Peter-Weyl , que prueba resultados sobre representaciones de grupos compactos análogos a los de grupos finitos.

Los orbitales atómicos de la química se describen parcialmente mediante armónicos esféricos , que se pueden utilizar para producir series de Fourier en la esfera .

Variedades de Riemann

Artículos principales: operador de Laplace y colector de Riemann

Si el dominio no es un grupo, entonces no hay una convolución definida intrínsecamente. Sin embargo, si es una variedad compacta de Riemann , tiene un operador de Laplace-Beltrami . El operador de Laplace-Beltrami es el operador diferencial que corresponde al operador de Laplace para la variedad de Riemann . Entonces, por analogía, se pueden considerar las ecuaciones de calor . Dado que Fourier llegó a su base al intentar resolver la ecuación de calor, la generalización natural es utilizar las soluciones propias del operador de Laplace-Beltrami como base. Esto generaliza la serie de Fourier a espacios del tipo , donde es una variedad de Riemann. La serie de Fourier converge de manera similar a la${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{2}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$caso. Un ejemplo típico es tomar la esfera con la métrica habitual, en cuyo caso la base de Fourier consiste en armónicos esféricos .${\displaystyle X}$

Grupos abelianos localmente compactos

Artículo principal: dualidad Pontryagin

La generalización a grupos compactos discutida anteriormente no se generaliza a grupos no compactos, no belianos . Sin embargo, hay una generalización directa a los grupos abelianos localmente compactos (LCA).

Esto generaliza la transformada de Fourier a o , donde es un grupo LCA. Si es compacta, también se obtiene una serie de Fourier, que converge de manera similar al caso, pero si es no compacta, se obtiene en cambio una integral de Fourier . Esta generalización produce la transformada de Fourier habitual cuando el grupo abeliano localmente compacto subyacente es .${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Tabla de series comunes de Fourier

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de la serie de Fourier. Se aplica la siguiente notación:

• ${\displaystyle f(x)}$designa una función periódica definida en .${\displaystyle 0<x\leq T}$
• ${\displaystyle a_{0},a_{n},b_{n}}$designar los coeficientes de la serie de Fourier (forma seno-coseno) de la función periódica como se define en la ecuación 4 .${\displaystyle f}$

Dominio del tiempo ${\displaystyle f(x)}$	Trama	Dominio de la frecuencia (forma seno-coseno) ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}\\&a_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\\&b_{n}\quad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}$	Observaciones	Referencia
${\displaystyle f(x)=A\left|\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)\right|\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {4A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-4A}{\pi }}{\frac {1}{n^{2}-1}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$	Sinusoidal rectificada de onda completa	[17] : pág. 193
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}A\sin \left({\frac {2\pi }{T}}x\right)&\quad {\text{for }}0\leq x<T/2\\0&\quad {\text{for }}T/2\leq x<T\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{\pi }}\\a_{n}=&{\begin{cases}{\frac {-2A}{\pi }}{\frac {1}{1-n^{2}}}&\quad n{\text{ even}}\\0&\quad n{\text{ odd}}\end{cases}}\\b_{n}=&{\begin{cases}{\frac {A}{2}}&\quad n=1\\0&\quad n>1\end{cases}}\\\end{aligned}}}$	Sinusoidal rectificada de media onda	[17] : pág. 193
${\displaystyle f(x)={\begin{cases}A&\quad {\text{for }}0\leq x<D\cdot T\\0&\quad {\text{for }}D\cdot T\leq x<T\\\end{cases}}}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&2AD\\a_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\sin \left(2\pi nD\right)\\b_{n}=&{\frac {2A}{n\pi }}\left(\sin \left(\pi nD\right)\right)^{2}\\\end{aligned}}}$	${\displaystyle 0\leq D\leq 1}$
${\displaystyle f(x)={\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {-A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[17] : pág. 192
${\displaystyle f(x)=A-{\frac {Ax}{T}}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&A\\a_{n}=&0\\b_{n}=&{\frac {A}{n\pi }}\\\end{aligned}}}$		[17] : pág. 192
${\displaystyle f(x)={\frac {4A}{T^{2}}}\left(x-{\frac {T}{2}}\right)^{2}\quad {\text{for }}0\leq x<T}$		${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}=&{\frac {2A}{3}}\\a_{n}=&{\frac {4A}{\pi ^{2}n^{2}}}\\b_{n}=&0\\\end{aligned}}}$		[17] : pág. 193

Aproximación y convergencia de las series de Fourier

Artículo principal: Convergencia de la serie de Fourier

Recordando la ecuación 5 ,

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}S[n]\ e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx},}$

es un polinomio trigonométrico de grado , generalmente :${\displaystyle N}$

${\displaystyle p_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}p[n]\ e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

Propiedad de mínimos cuadrados

El teorema de Parseval implica que :

Teorema. El polinomio trigonométrico es el mejor polinomio trigonométrico de grado aproximado , en el sentido de que, para cualquier polinomio trigonométrico de grado , tenemos :${\displaystyle s_{_{N}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle s(x)}$${\displaystyle p_{_{N}}\neq s_{_{N}}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}<\|p_{_{N}}-s\|_{2},}$

donde la norma espacial de Hilbert se define como :

${\displaystyle \|g\|_{2}={\sqrt {{1 \over P}\int _{P}|g(x)|^{2}\,dx}}.}$

Convergencia

Ver también: fenómeno de Gibbs

Debido a la propiedad de mínimos cuadrados y debido a la integridad de la base de Fourier, obtenemos un resultado de convergencia elemental.

Teorema. Si pertenece a (un intervalo de longitud ), entonces converge a in , es decir,  converge a 0 como .${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle L^{2}(P)}$${\displaystyle \|s_{_{N}}-s\|_{2}}$${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

Ya hemos mencionado que si es continuamente diferenciable, entonces     es el n- ^ésimo coeficiente de Fourier de la derivada . Se sigue, esencialmente de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , que es absolutamente sumable. La suma de esta serie es una función continua, igual a , ya que la serie de Fourier converge en la media a :${\displaystyle s}$${\displaystyle (i\cdot n)S[n]}$${\displaystyle s'}$${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$

Teorema. Si , entonces converge de manera uniforme (y por lo tanto también puntual ).${\displaystyle s\in C^{1}(\mathbb {T} )}$${\displaystyle s_{\infty }}$${\displaystyle s}$

Este resultado se puede probar fácilmente si además se asume que lo es , ya que en ese caso tiende a cero como . De manera más general, la serie de Fourier es absolutamente sumable, por lo que converge uniformemente , siempre que satisfaga una condición de orden de Hölder . En el caso absolutamente sumable, la desigualdad :${\displaystyle s}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle n^{2}S[n]}$${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \alpha >1/2}$

${\displaystyle \sup _{x}|s(x)-s_{_{N}}(x)|\leq \sum _{|n|>N}|S[n]|}$   demuestra una convergencia uniforme.

Se conocen muchos otros resultados relacionados con la convergencia de las series de Fourier , que van desde el resultado moderadamente simple en el que la serie converge si es diferenciable , hasta el resultado mucho más sofisticado de Lennart Carleson de que la serie de Fourier de una función converge en casi todas partes .${\displaystyle x}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L^{2}}$

Estos teoremas, y las variaciones informales de ellos que no especifican las condiciones de convergencia, a veces se denominan genéricamente "teorema de Fourier" o "teorema de Fourier". ^{[18] [19] [20] [21]}

Divergencia

Dado que las series de Fourier tienen propiedades de convergencia tan buenas, muchos se sorprenden a menudo con algunos de los resultados negativos. Por ejemplo, la serie de Fourier de una función periódica T continua no necesita converger puntualmente. ^{[ cita requerida ]} El principio de delimitación uniforme produce una prueba simple no constructiva de este hecho.

En 1922, Andrey Kolmogorov publicó un artículo titulado Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout en el que dio un ejemplo de una función integrable de Lebesgue cuya serie de Fourier diverge casi en todas partes. Más tarde construyó un ejemplo de una función integrable cuya serie de Fourier diverge en todas partes ( Katznelson 1976 ).

Ver también

• Teorema de ATS
• Núcleo de Dirichlet
• Transformada discreta de Fourier
• Transformada rápida de Fourier
• Teorema de Fejér
• análisis de Fourier
• Serie seno y coseno de Fourier
• Transformada de Fourier
• Fenómeno de Gibbs
• Serie de Laurent : la sustitución q  =  e ^ix transforma una serie de Fourier en una serie de Laurent, o viceversa. Esto se usa en la expansión de la serie q de la invariante j .
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Transformación multidimensional
• Teoría espectral
• Teoría de Sturm-Liouville
• Integrales del teorema del residuo de f [z], singularidades, polos

Notas

1. Estos tres hicieron algunos trabajos iniciales importantes sobre la ecuación de onda , especialmente D'Alembert. El trabajo de Euler en esta área fue en su mayoría contemporáneo / en colaboración con Bernoulli , aunque este último hizo algunas contribuciones independientes a la teoría de ondas y vibraciones. (Véase Fetter y Walecka 2003 , págs. 209-210).
2. Dado que la integral que define la transformada de Fourier de una función periódica no es convergente, es necesario ver la función periódica y su transformada como distribuciones . En este sentidoes una función delta de Dirac , que es un ejemplo de distribución.${\displaystyle {\mathcal {F}}\{e^{i{\frac {2\pi nx}{P}}}\}}$
3. Estas palabras no son estrictamente de Fourier. Si bien el artículo citado enumera al autor como Fourier, una nota a pie de página indica que el artículo fue escrito realmente por Poisson (que no fue escrito por Fourier también se desprende del uso constante de la tercera persona para referirse a él) y que es , "por razones de interés histórico", presentado como si fuera la memoria original de Fourier.

Referencias

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2. Stillwell, John (2013). "Lógica y filosofía de las matemáticas en el siglo XIX" . En Ten, CL (ed.). Historia de la filosofía de Routledge . Volumen VII: El siglo XIX. Routledge. pag. 204. ISBN 978-1-134-92880-4.
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4. Cajori, Florian (1893). Una historia de las matemáticas . Macmillan. pag. 283 .
5. Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav (1829). "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données" [Sobre la convergencia de series trigonométricas que sirven para representar una función arbitraria entre dos límites dados]. Journal für die reine und angewandte Mathematik (en francés). 4 : 157-169. arXiv : 0806.1294 .
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Lectura adicional

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• Joseph Fourier, traducido por Alexander Freeman (2003). La teoría analítica del calor . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-49531-0. 2003 reedición íntegra de la traducción al inglés de 1878 de Alexander Freeman de la obra de Fourier Théorie Analytique de la Chaleur , publicada originalmente en 1822.
• Enrique A. González-Velasco (1992). "Conexiones en análisis matemático: el caso de la serie de Fourier". American Mathematical Monthly . 99 (5): 427–441. doi : 10.2307 / 2325087 . JSTOR  2325087 .
• Fetter, Alexander L .; Walecka, John Dirk (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua . Mensajero. ISBN 978-0-486-43261-8.
• Katznelson, Yitzhak (1976). Una introducción al análisis armónico (Segunda edición corregida). Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4.
• Felix Klein , Desarrollo de las matemáticas en el siglo XIX . Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Traducido por M. Ackerman de Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert , Springer, Berlín, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X.
• A. Zygmund (2002). Serie trigonométrica (tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. La primera edición se publicó en 1935.

Enlaces externos

• "Serie de Fourier" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hobson, Ernest (1911). "Serie de Fourier"  . Encyclopædia Britannica . 10 (11ª ed.). págs. 753–758.
• Weisstein, Eric W. "Serie de Fourier" . MathWorld .
• Joseph Fourier: un sitio sobre la vida de Fourier que se utilizó para la sección histórica de este artículo en Wayback Machine (archivado el 5 de diciembre de 2001)

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