series de Fourier

En matemáticas , una serie de Fourier ( / f ʊr i eɪ , - i ər / ^[1] ) es una función periódica compuesta por armónicamente relacionadas sinusoides , combinado por una suma ponderada. Con pesos apropiados, se puede hacer un ciclo (o período ) de la suma para aproximar una función arbitraria en ese intervalo (o la función completa si también es periódica). Como tal, la suma es una síntesis de otra función. La transformada de Fourier de tiempo discreto es un ejemplo de la serie de Fourier. El proceso de derivar pesos que describen una función dada es una forma de análisis de Fourier . Para funciones en intervalos ilimitados, las analogías de análisis y síntesis son la transformada de Fourier y la transformada inversa.

Función ${\displaystyle s(x)}$(en rojo) es una suma de seis funciones sinusoidales de diferentes amplitudes y frecuencias armónicamente relacionadas. Su suma se llama serie de Fourier. La transformada de Fourier, ${\displaystyle S(f)}$(en azul), que representa la amplitud frente a la frecuencia, revela las 6 frecuencias ( en armónicos impares ) y sus amplitudes ( 1 / número impar ).

Historia

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), quien hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas , después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler , Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli . ^[A] Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides ( Tratado sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos ) de 1807 , y la publicación de su Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ) en 1822. El Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier, se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua ^[2] y luego generalizada a cualquier función por partes -suave ^[3] ) puede ser representada por una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento lo hizo Fourier en 1807, ante la Academia Francesa . ^[4] Las primeras ideas de descomponer una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III aC, cuando los antiguos astrónomos propusieron un modelo empírico de movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos .

La ecuación de calor es una ecuación diferencial parcial . Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque sí se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de forma sencilla, en particular, si la fuente de calor era una onda sinusoidal o cosenoidal . Estas soluciones simples ahora a veces se denominan soluciones propias . La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal ) de ondas simples de seno y coseno, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes . Esta superposición o combinación lineal se denomina serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet ^[5] y Bernhard Riemann ^{[6] [7] [8]} expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación de calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas podrían aplicarse a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucran ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son sinusoides . La serie Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica , análisis de vibraciones , acústica , óptica , procesamiento de señales , procesamiento de imágenes , mecánica cuántica , econometría , ^[9] teoría de capas , ^[10] etc.

Definición

Considere una función de valor real, ${\displaystyle s(x),}$que es integrable en un intervalo de longitud${\displaystyle P,}$que será el período de la serie de Fourier. La función de correlación :

${\displaystyle \mathrm {X} _{f}(\tau )\triangleq \int _{P}s(x)\cdot \cos \left(2\pi f(x-\tau )\right)\,dx;\quad \tau \in \left[\ 0,\ 2\pi /f\ \right]}$

es esencialmente un filtro coincidente , con plantilla ${\displaystyle \cos(2\pi fx).}$ Su valor pico es una medida relativa de la presencia de frecuencia. ${\displaystyle f}$ en función ${\displaystyle s.}$El proceso de análisis determina, para determinadas frecuencias clave, la correlación máxima y el correspondiente desfase de fase,${\displaystyle (\tau f).}$El proceso de síntesis (la serie de Fourier real), en términos de parámetros que se determinarán mediante análisis, es :

Serie de Fourier, forma de fase de amplitud

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right).}$

( Ecuación 1 )

• En general, entero ${\displaystyle N}$es teóricamente infinito. Aun así, es posible que la serie no converja o no sea exactamente igual a${\displaystyle s(x)}$ en todos los valores de ${\displaystyle x}$(como una discontinuidad de un solo punto) en el intervalo de análisis. Para las funciones de "buen comportamiento" típicas de los procesos físicos, habitualmente se asume la igualdad.
• Entero ${\displaystyle n,}$ utilizado como índice, es también el número de ciclos del ${\displaystyle n}$-th armónico en intervalo ${\displaystyle P.}$ Por lo tanto, la duración de un ciclo, en las unidades de ${\displaystyle x,}$ es ${\displaystyle P/n.}$ La frecuencia armónica correspondiente es ${\displaystyle n/P,}$ entonces el ${\displaystyle n}$-th armónico es ${\displaystyle \cos \left(2\pi x{\tfrac {n}{P}}\right).}$ Algunos textos definen ${\displaystyle P=2\pi }$ para simplificar el argumento de las funciones sinusoides a expensas de la generalidad.

La suma de los componentes sinusoidales de una serie de Fourier es una función periódica, ya sea que la función original, s ( x ), sea periódica o no.

Si ${\displaystyle s(t)}$ es una función contenida en un intervalo de longitud ${\displaystyle P}$ (y cero en otros lugares), el cuadrante superior derecho es un ejemplo de cuáles son sus coeficientes de la serie de Fourier ( ${\displaystyle A_{n}}$) podría verse como cuando se traza contra sus correspondientes frecuencias armónicas. El cuadrante superior izquierdo es la transformada de Fourier correspondiente de ${\displaystyle s(t).}$ La suma de la serie de Fourier (no mostrada) sintetiza una suma periódica de ${\displaystyle s(t),}$ mientras que la transformada de Fourier inversa (no mostrada) sintetiza solo ${\displaystyle s(t).}$

En lugar de una correlación cruzada computacionalmente intensiva, el análisis de Fourier habitualmente explota una identidad trigonométrica :

${\displaystyle A_{n}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)\ \equiv \ \underbrace {A_{n}\cos(\varphi _{n})} _{a_{n}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+\underbrace {A_{n}\sin(\varphi _{n})} _{b_{n}}\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right),}$

donde los parámetros ${\displaystyle a_{n}}$ y ${\displaystyle b_{n}}$ reemplazar ${\displaystyle A_{n}}$ y ${\displaystyle \varphi _{n},}$y se puede encontrar evaluando la correlación cruzada en solo dos valores de fase : ^[11]

Coeficientes de Fourier

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\,dx\\b_{n}&={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\cdot \sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\,dx.\end{aligned}}}$

( Ecuación 2 )

Entonces : ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}}$ y ${\displaystyle \varphi _{n}=\operatorname {arctan2} (b_{n},a_{n})}$(ver Atan2 ) o más directamente :

Serie de Fourier, forma seno-coseno

${\displaystyle s_{\scriptscriptstyle N}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)+b_{n}\sin \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx\right)\right).}$

( Ecuación 3 )

Y nota que ${\displaystyle a_{0}}$ y ${\displaystyle b_{0}}$ se puede reducir a  ${\displaystyle a_{0}={\frac {2}{P}}\int _{P}s(x)\,dx}$  y  ${\displaystyle b_{0}=0.}$

Otra identidad aplicable es la fórmula de Euler . Aquí, la conjugación compleja se indica con un asterisco :

${\displaystyle {\begin{array}{lll}\cos \left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)&{}\equiv {\tfrac {1}{2}}e^{i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}&{}+{\tfrac {1}{2}}e^{-i\left({\tfrac {2\pi }{P}}nx-\varphi _{n}\right)}\\&=\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(+n)x}&{}+\left({\tfrac {1}{2}}e^{-i\varphi _{n}}\right)^{*}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}(-n)x}.\end{array}}}$

Por tanto, con definiciones :

${\displaystyle c_{n}\triangleq \left\{{\begin{array}{lll}A_{0}/2&=a_{0}/2,\quad &n=0\\{\tfrac {A_{n}}{2}}e^{-i\varphi _{n}}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n}),\quad &n>0\\c_{|n|}^{*},\quad &&n<0\end{array}}\right\}\quad =\quad {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx,}$

el resultado final es :

Serie de Fourier, forma exponencial

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

( Ecuación 4 )

Esta es la forma habitual de generalizar a valores complejos. ${\displaystyle s(x)}$ (Siguiente sección).

Funciones de valores complejos

Si ${\displaystyle s(x)}$ es una función de valor complejo de una variable real ${\displaystyle x,}$Ambos componentes (parte real e imaginaria) son funciones de valor real que se pueden representar mediante una serie de Fourier. Los dos conjuntos de coeficientes y la suma parcial vienen dados por :

${\displaystyle c_{_{Rn}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx}$     y     ${\displaystyle c_{_{In}}={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx}$

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{_{Rn}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}+i\cdot \sum _{n=-N}^{N}c_{_{In}}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}=\sum _{n=-N}^{N}\left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right)\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

Definiendo ${\displaystyle c_{n}\triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}}$ rinde:

${\displaystyle s_{_{N}}(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\cdot e^{i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}.}$

( Ecuación 5 )

Esto es idéntico a la ecuación 4 excepto${\displaystyle c_{n}}$ y ${\displaystyle c_{-n}}$ya no son conjugados complejos. La fórmula para${\displaystyle c_{n}}$ tampoco se modifica:

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&={\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Re} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx+i\cdot {\frac {1}{P}}\int _{P}\operatorname {Im} \{s(x)\}\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\\[4pt]&={\frac {1}{P}}\int _{P}\left(\operatorname {Re} \{s(x)\}+i\cdot \operatorname {Im} \{s(x)\}\right)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx\ =\ {\frac {1}{P}}\int _{P}s(x)\cdot e^{-i{\tfrac {2\pi }{P}}nx}\ dx.\end{aligned}}}$

Otras notaciones comunes

La notación ${\displaystyle c_{n}}$es inadecuado para discutir los coeficientes de Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, habitualmente se reemplaza por una forma modificada de la función (${\displaystyle s}$, en este caso), como ${\displaystyle {\hat {s}}[n]}$ o ${\displaystyle S[n]}$, y la notación funcional a menudo reemplaza al subíndice:

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{\infty }(x)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\hat {s}}[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}&&\scriptstyle {\mathsf {common\ engineering\ notation}}\end{aligned}}}$

En ingeniería, particularmente cuando la variable ${\displaystyle x}$representa el tiempo, la secuencia de coeficientes se denomina representación en el dominio de la frecuencia . Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias.

Otra representación de dominio de frecuencia de uso común utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac :

${\displaystyle S(f)\ \triangleq \ \sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right),}$

dónde ${\displaystyle f}$representa un dominio de frecuencia continuo. Cuando variable${\displaystyle x}$ tiene unidades de segundos, ${\displaystyle f}$tiene unidades de hercios . Los "dientes" del peine están espaciados en múltiplos (es decir, armónicos ) de${\displaystyle 1/P}$, que se llama frecuencia fundamental .  ${\displaystyle s_{\infty }(x)}$  se puede recuperar de esta representación mediante una transformada de Fourier inversa :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{-1}\{S(f)\}&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot \int _{-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{P}}\right)e^{i2\pi fx}\,df,\\[6pt]&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P}\ \ \triangleq \ s_{\infty }(x).\end{aligned}}}$

La función construida ${\displaystyle S(f)}$por lo tanto, se denomina comúnmente transformada de Fourier , aunque la integral de Fourier de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas. ^[B]

• 

  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie de Fourier para una onda cuadrada

• 

Convergencia

En aplicaciones de ingeniería , generalmente se presume que la serie de Fourier converge en casi todas partes (las excepciones son discontinuidades discretas) ya que las funciones encontradas en ingeniería se comportan mejor que las funciones que los matemáticos pueden proporcionar como contraejemplos de esta presunción. En particular, si${\displaystyle s}$ es continua y la derivada de ${\displaystyle s(x)}$ (que puede no existir en todas partes) es cuadrado integrable, entonces la serie de Fourier de ${\displaystyle s}$ converge absoluta y uniformemente para ${\displaystyle s(x)}$. ^[12] Si una función es integrable al cuadrado en el intervalo${\displaystyle [x_{0},x_{0}+P]}$, entonces la serie de Fourier converge a la función en casi todos los puntos . La convergencia de las series de Fourier también depende del número finito de máximos y mínimos en una función que se conoce popularmente como una de las condiciones de Dirichlet para las series de Fourier . Consulte la serie Convergencia de Fourier . Es posible definir coeficientes de Fourier para funciones o distribuciones más generales, en tales casos la convergencia en la norma o la convergencia débil suele ser de interés.

• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)

• Cuatro sumas parciales (serie de Fourier) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, que muestran cómo la aproximación a una onda de diente de sierra mejora a medida que aumenta el número de términos (animación)

• 

  Ejemplo de convergencia a una función algo arbitraria. Nótese el desarrollo del "zumbido" (fenómeno de Gibbs) en las transiciones hacia / desde las secciones verticales.

Se puede ver una animación interactiva aquí.

Ejemplos de

Ejemplo 1: una serie de Fourier simple

Gráfico de la onda en diente de sierra , una continuación periódica de la función lineal ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$ en el intervalo ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

Trama animada de las primeras cinco series parciales sucesivas de Fourier

Ahora usamos la fórmula anterior para dar una expansión en serie de Fourier de una función muy simple. Considere una onda de diente de sierra

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{\pi }},\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}$

${\displaystyle s(x+2\pi k)=s(x),\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi {\text{ and }}k\in \mathbb {Z} .}$

En este caso, los coeficientes de Fourier están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\[4pt]b_{n}&={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }s(x)\sin(nx)\,dx\\[4pt]&=-{\frac {2}{\pi n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi ^{2}n^{2}}}\sin(n\pi )\\[4pt]&={\frac {2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que la serie de Fourier converge a ${\displaystyle s(x)}$ en cada punto ${\displaystyle x}$ dónde ${\displaystyle s}$ es diferenciable y, por tanto:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(x)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos \left(nx\right)+b_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\[4pt]&={\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbb {Z} .\end{aligned}}}$

( Ecuación 7 )

Cuándo ${\displaystyle x=\pi }$, la serie de Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma de los límites izquierdo y derecho de s en${\displaystyle x=\pi }$. Este es un ejemplo particular del teorema de Dirichlet para series de Fourier.

Este ejemplo nos lleva a una solución al problema de Basilea .

Ejemplo 2: motivación de Fourier

Distribución de calor en una placa de metal, según el método de Fourier.

La expansión de la serie de Fourier de nuestra función en el Ejemplo 1 parece más complicada que la fórmula simple ${\displaystyle s(x)=x/\pi }$, por lo que no es evidente de inmediato por qué se necesitaría la serie de Fourier. Si bien hay muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue resolver la ecuación del calor . Por ejemplo, considere una placa de metal en forma de cuadrado cuyos lados miden${\displaystyle \pi }$ metros, con coordenadas ${\displaystyle (x,y)\in [0,\pi ]\times [0,\pi ]}$. Si no hay una fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se mantienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por${\displaystyle y=\pi }$, se mantiene en el gradiente de temperatura ${\displaystyle T(x,\pi )=x}$ grados Celsius, por ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle (0,\pi )}$, entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de un largo período de tiempo) está dada por

${\displaystyle T(x,y)=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx){\sinh(ny) \over \sinh(n\pi )}.}$

Aquí, sinh es la función del seno hiperbólico . Esta solución de la ecuación de calor se obtiene multiplicando cada término de la   ecuación 7 por${\displaystyle \sinh(ny)/\sinh(n\pi )}$. Mientras que nuestra función de ejemplo${\displaystyle s(x)}$ parece tener una serie de Fourier innecesariamente complicada, la distribución de calor ${\displaystyle T(x,y)}$no es trivial. La función${\displaystyle T}$no se puede escribir como una expresión de forma cerrada . Este método de resolver el problema del calor fue posible gracias al trabajo de Fourier.

Ejemplo 3: animación compleja de la serie de Fourier

"> Reproducir medios

Serie compleja de Fourier que converge con el dibujo de la letra 'e'