Cuarto poder

En aritmética y álgebra , la cuarta potencia de un número n es el resultado de multiplicar cuatro instancias de n . Entonces:

n ⁴ = n × n × n × n

Las cuartas potencias también se forman multiplicando un número por su cubo . Además, son cuadrados de cuadrados.

La secuencia de cuartas potencias de números enteros (también conocida como biquadrates o números teseractic ) es:

0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, 2401, 4096, 6561, 10000, 14641, 20736, 28561, 38416, 50625, 65536, 83521, 104976, 130321, 160000, 194481, 234256, 279841, 331776, 390625, 456976, 531441, 614656, 707281, 810000, ... (secuencia A000583 en la OEIS )

Propiedades

El último dígito de una cuarta potencia en decimal solo puede ser 0 (de hecho, 0000), 1, 5 (de hecho, 0625) o 6.

Cada entero positivo puede expresarse como la suma de como máximo 19 cuartas potencias; cada entero mayor que 13792 puede expresarse como la suma de un máximo de 16 cuartos de potencia (véase el problema de Waring ).

Fermat sabía que un cuarto poder no puede ser la suma de otras dos cuartas potencias (la n caso = 4 del último teorema de Fermat ; ver teorema de Fermat triángulo rectángulo ). Euler conjeturó que un cuarto poder no puede escribirse como la suma de tres cuartos poderes, pero 200 años después, en 1986, Elkies refutó esto con:

{\ displaystyle 20615673 ^ {4} = 18796760 ^ {4} + 15365639 ^ {4} + 2682440 ^ {4}.}

Elkies demostró que hay infinitos otros contraejemplos para el exponente cuatro, algunos de los cuales son: ^[1]

{\ displaystyle 2813001 ^ {4} = 2767624 ^ {4} + 1390400 ^ {4} + 673865 ^ {4}}

(Allan MacLeod)

{\ displaystyle 8707481 ^ {4} = 8332208 ^ {4} + 5507880 ^ {4} + 1705575 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

{\ displaystyle 12197457 ^ {4} = 11289040 ^ {4} + 8282543 ^ {4} + 5870000 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

{\ displaystyle 16003017 ^ {4} = 14173720 ^ {4} + 12552200 ^ {4} + 4479031 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

{\ displaystyle 16430513 ^ {4} = 16281009 ^ {4} + 7028600 ^ {4} + 3642840 ^ {4}}

(DJ Bernstein)

{\ displaystyle 422481 ^ {4} = 414560 ^ {4} + 217519 ^ {4} + 95800 ^ {4}}

(Roger Frye, 1988)

{\ displaystyle 638523249 ^ {4} = 630662624 ^ {4} + 275156240 ^ {4} + 219076465 ​​^ {4}}

(Allan MacLeod, 1998)

Ecuaciones que contienen una cuarta potencia

Las ecuaciones de cuarto grado , que contienen un polinomio de cuarto grado (pero no superior) son, según el teorema de Abel-Ruffini , las ecuaciones de grado más alto que tienen una solución general usando radicales .

Ver también

Referencias

^ Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Calcular sumas mínimas iguales de potencias similares: las mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .

Weisstein, Eric W. "Número bicuadrático" . MathWorld .

[meyrignac-1] Citado en Meyrignac, Jean-Charles (14 de febrero de 2001). "Calcular sumas mínimas iguales de potencias similares: las mejores soluciones conocidas" . Consultado el 17 de julio de 2017 .

[1]