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Para otros usos, consulte Fractal (desambiguación) .
El conjunto de Mandelbrot

Acercar el conjunto de Mandelbrot

En matemáticas , un fractal es un subconjunto del espacio euclidiano con una dimensión fractal que excede estrictamente su dimensión topológica . Los fractales parecen iguales a diferentes escalas, como se ilustra en sucesivas ampliaciones del conjunto de Mandelbrot . [1] [2] [3] [4] Los fractales exhiben patrones similares en escalas cada vez más pequeñas, una propiedad llamada auto-semejanza , también conocida como simetría en expansión o simetría en desarrollo; si esta réplica es exactamente la misma en todas las escalas, como en la esponja Menger , [5]se le llama afín auto-similar. La geometría fractal se encuentra dentro de la rama matemática de la teoría de la medida .

Una forma en que los fractales se diferencian de las figuras geométricas finitas es cómo se escalan . Al duplicar las longitudes de los bordes de un polígono, se multiplica su área por cuatro, que es dos (la relación entre la longitud del lado nuevo y el anterior) elevado a la potencia de dos (la dimensión del espacio en el que reside el polígono). Del mismo modo, si el radio de una esfera se duplica, su volumen se escala en ocho, que es dos (la relación entre el radio nuevo y el viejo) y la potencia de tres (la dimensión en la que reside la esfera). Sin embargo, si las longitudes unidimensionales de un fractal se duplican, el contenido espacial del fractal se escala en una potencia que no es necesariamente un número entero . [1] Este poder se llamadimensión fractal del fractal, y generalmente excede la dimensión topológica del fractal . [6]

Analíticamente, la mayoría de los fractales no son diferenciables en ninguna parte . [1] [4] [7] Una curva fractal infinita puede concebirse como un serpenteo a través del espacio de manera diferente a una línea ordinaria - aunque todavía es topológicamente unidimensional , su dimensión fractal indica que también se parece a una superficie. [1] [6]

Alfombra de Sierpinski (hasta el nivel 6), un fractal con una dimensión topológica de 1 y una dimensión de Hausdorff de 1.893

A partir del siglo XVII con las nociones de recursividad , los fractales se han movido a través de un tratamiento matemático cada vez más riguroso al estudio de funciones continuas pero no diferenciables en el siglo XIX por el trabajo fundamental de Bernard Bolzano , Bernhard Riemann y Karl Weierstrass , [8] y en la acuñación de la palabra fractal en el siglo XX con un subsecuente interés en los fractales y el modelado basado en computadora en el siglo XX. [9] [10] El término "fractal" fue utilizado por primera vez por el matemático Benoit Mandelbrot.en 1975. Mandelbrot lo basó en el latín frāctus , que significa "roto" o "fracturado", y lo usó para extender el concepto de dimensiones fraccionarias teóricas a patrones geométricos en la naturaleza . [1] [11]

Existe cierto desacuerdo entre los matemáticos sobre cómo debería definirse formalmente el concepto de fractal. El propio Mandelbrot lo resumió como "hermoso, malditamente difícil, cada vez más útil. Eso es fractales". [12] Más formalmente, en 1982 Mandelbrot definió el fractal de la siguiente manera: "Un fractal es por definición un conjunto para el cual la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede estrictamente la dimensión topológica ". [13] Más tarde, al ver esto como demasiado restrictivo, simplificó y amplió la definición a esto: "Un fractal es una forma hecha de partes similares al todo de alguna manera". [14] Más tarde, Mandelbrot propuso "utilizar fractal sin una definición pedante,usardimensión fractal como término genérico aplicable a todas las variantes ". [15]

El consenso entre los matemáticos es que los fractales teóricos son construcciones matemáticas infinitamente auto-similares, iteradas y detalladas que tienen dimensiones fractales, de las cuales se han formulado y estudiado muchos ejemplos . [1] [2] [3] Los fractales no se limitan a patrones geométricos, sino que también pueden describir procesos en el tiempo. [5] [4] [16] [17] [18] [19] Se han representado o estudiado patrones fractales con varios grados de auto-semejanza en imágenes, estructuras y sonidos [20] y se han encontrado en la naturaleza , [21] [22] [23] [24] [25] tecnología, [26] [27] [28] [29] art , [30] [31] arquitectura [32] y derecho . [33] Los fractales son de particular relevancia en el campo de la teoría del caos porque los gráficos de la mayoría de los procesos caóticos son fractales. [34] Se ha descubierto que muchas redes reales y modelo tienen características fractales como la auto-semejanza. [35] [36] [37]

Introducción [ editar ]

Un árbol fractal simple creado a través de JavaScript

La palabra "fractal" a menudo tiene connotaciones diferentes para el público no especializado en comparación con los matemáticos, donde es más probable que el público esté familiarizado con el arte fractal que con el concepto matemático. El concepto matemático es difícil de definir formalmente, incluso para los matemáticos, pero las características clave pueden entenderse con un poco de base matemática.

La característica de la "auto-semejanza", por ejemplo, se entiende fácilmente por analogía con el acercamiento con una lente u otro dispositivo que acerca imágenes digitales para descubrir una nueva estructura más fina, previamente invisible. Sin embargo, si esto se hace en fractales, no aparece ningún detalle nuevo; nada cambia y el mismo patrón se repite una y otra vez, o para algunos fractales, casi el mismo patrón reaparece una y otra vez. La auto-semejanza en sí misma no es necesariamente contraintuitiva (por ejemplo, la gente ha reflexionado informalmente sobre la auto-semejanza, como en la regresión infinita en espejos paralelos o el homúnculo , el hombrecito dentro de la cabeza del hombrecito dentro de la cabeza ...) . La diferencia para los fractales es que el patrón reproducido debe ser detallado. [1] : 166; 18[2] [11]

Esta idea de ser detallado se relaciona con otra característica que se puede entender sin muchos antecedentes matemáticos: tener una dimensión fractal mayor que su dimensión topológica, por ejemplo, se refiere a cómo se escala un fractal en comparación con cómo se perciben habitualmente las formas geométricas . Una línea recta, por ejemplo, se entiende convencionalmente como unidimensional; si dicha figura se vuelve a colocar en mosaicos cada 1/3 de la longitud del original, entonces siempre habrá tres piezas iguales. Se entiende que un cuadrado sólido es bidimensional; si dicha figura se repite en piezas, cada una de las cuales se reduce en un factor de 1/3 en ambas dimensiones, hay un total de 3 2= 9 piezas. Vemos que para objetos ordinarios auto-similares, ser n-dimensional significa que cuando se repite en piezas, cada una de ellas reducida por un factor de escala de 1 / r , hay un total de r n piezas. Ahora, considere la curva de Koch . Se puede volver a colocar en mosaico en cuatro subcopias, cada una reducida por un factor de escala de 1/3. Entonces, estrictamente por analogía, podemos considerar la "dimensión" de la curva de Koch como el único número real D que satisface 3 D = 4. Este número es lo que los matemáticos llaman la dimensión fractal de la curva de Koch; ciertamente no eslo que se percibe convencionalmente como la dimensión de una curva (¡este número ni siquiera es un número entero!). El hecho de que la curva de Koch tenga una dimensión fractal diferente de su dimensión convencionalmente entendida (es decir, su dimensión topológica) es lo que la convierte en fractal.

Fractal generado por computadora 3D

Esto también conduce a la comprensión de una tercera característica, que los fractales como ecuaciones matemáticas "no son diferenciables en ninguna parte ". En un sentido concreto, esto significa que los fractales no se pueden medir de manera tradicional. [1] [4] [7] Para elaborar, al tratar de encontrar la longitud de una curva ondulada no fractal, uno podría encontrar segmentos rectos de alguna herramienta de medición lo suficientemente pequeños como para colocarlos de un extremo a otro sobre las olas, donde las piezas podrían volverse lo suficientemente pequeño como para ser considerado para ajustarse a la curva en la forma normal de medicióncon una cinta métrica. Pero al medir una curva fractal infinitamente "ondulada" como el copo de nieve de Koch, uno nunca encontraría un segmento recto lo suficientemente pequeño para ajustarse a la curva, porque el patrón irregular siempre reaparecería, a escalas arbitrariamente pequeñas, esencialmente tirando un poco más cinta métrica en la longitud total medida cada vez que se intentaba ajustarla cada vez más a la curva. El resultado es que se necesita cinta infinita para cubrir perfectamente toda la curva, es decir, el copo de nieve tiene un perímetro infinito. [1]

Historia [ editar ]

Un copo de nieve de Koch es un fractal que comienza con un triángulo equilátero y luego reemplaza el tercio medio de cada segmento de línea con un par de segmentos de línea que forman un bulto equilátero.
Conjunto Cantor (ternario).

La historia de los fractales traza un camino desde estudios principalmente teóricos hasta aplicaciones modernas en gráficos por computadora, con varias personas notables contribuyendo formas fractales canónicas en el camino. [9] [10] Un tema común en la arquitectura africana tradicional antigua es el uso de escala fractal, por el cual pequeñas partes de la estructura tienden a parecerse a partes más grandes, como una aldea circular hecha de casas circulares. [38] Según Pickover , las matemáticas detrás de los fractales comenzaron a tomar forma en el siglo XVII cuando el matemático y filósofo Gottfried Leibniz reflexionó sobre la auto-semejanza recursiva. (aunque cometió el error de pensar que solo la línea recta era auto-similar en este sentido). [39] En sus escritos, Leibniz usó el término "exponentes fraccionarios", pero lamentó que "Geometría" aún no los conociera. [1] : 405 De hecho, de acuerdo con varios relatos históricos, después de ese punto pocos matemáticos abordaron los problemas y el trabajo de los que lo hicieron permaneció oculto en gran parte debido a la resistencia a conceptos emergentes tan desconocidos, que a veces se denominan "monstruos" matemáticos. . [7] [9] [10] Por lo tanto, no fue hasta que pasaron dos siglos que el 18 de julio de 1872 Karl Weierstrass presentó la primera definición de unfunción con un gráfico que hoy se consideraría fractal, que tiene la propiedad no intuitiva de ser continuo en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte en la Real Academia de Ciencias de Prusia. [9] : 7 [10] Además, la diferencia del cociente se vuelve arbitrariamente grande a medida que aumenta el índice de suma. [40] Poco después, en 1883, Georg Cantor , quien asistió a las conferencias de Weierstrass, [10] publicó ejemplos de subconjuntos de la línea real conocidos como conjuntos de Cantor , que tenían propiedades inusuales y ahora se reconocen como fractales.[9] : 11-24 También en la última parte de ese siglo, Felix Klein y Henri Poincaré introdujeron una categoría de fractal que ha llegado a llamarse fractales "autoinversos". [1] : 166

Un conjunto de Julia , un fractal relacionado con el conjunto de Mandelbrot
Un árbol fractal puede generar una junta de Sierpinski .

Uno de los siguientes hitos se produjo en 1904, cuando Helge von Koch , ampliando las ideas de Poincaré e insatisfecho con la definición abstracta y analítica de Weierstrass, dio una definición más geométrica que incluía imágenes dibujadas a mano de una función similar, que ahora se llama el copo de nieve de Koch . [9] : 25 [10] Otro hito llegó una década después, en 1915, cuando Wacław Sierpiński construyó su famoso triángulo y, un año después, su alfombra . En 1918, dos matemáticos franceses, Pierre Fatou y Gaston Julia, aunque trabajando de forma independiente, llegó esencialmente simultáneamente a resultados que describen lo que ahora se considera un comportamiento fractal asociado con el mapeo de números complejos y funciones iterativas y que conducen a más ideas sobre atractores y repelentes (es decir, puntos que atraen o repelen otros puntos), que se han convertido en muy importante en el estudio de los fractales. [4] [9] [10] Muy poco después de que se envió ese trabajo, en marzo de 1918, Felix Hausdorff amplió la definición de "dimensión", significativamente para la evolución de la definición de fractales, para permitir que los conjuntos no sean enteros. dimensiones. [10] Paul Lévy llevó más allá la idea de curvas auto-similares., quien, en su artículo de 1938, Curvas y superficies planas o espaciales que constan de partes similares al todo , describió una nueva curva fractal, la curva C de Lévy . [notas 1]

Un atractor extraño que exhibe una escala multifractal.
Fractal de triángulo de centro de masa uniforme
2x 120 grados IFS recursivo

Diferentes investigadores han postulado que sin la ayuda de los gráficos por computadora modernos, los primeros investigadores estaban limitados a lo que podían representar en dibujos manuales, por lo que carecían de los medios para visualizar la belleza y apreciar algunas de las implicaciones de muchos de los patrones que habían descubierto (el El conjunto de Julia, por ejemplo, solo se pudo visualizar a través de unas pocas iteraciones como dibujos muy simples). [1] : 179 [7] [10] Eso cambió, sin embargo, en la década de 1960, cuando Benoit Mandelbrot comenzó a escribir sobre la auto-semejanza en artículos como How Long Is the Coast of Britain? Autoseimilitud estadística y dimensión fraccional , [41] [42] que se basó en trabajos anteriores deLewis Fry Richardson . En 1975 [11] Mandelbrot solidificó cientos de años de pensamiento y desarrollo matemático al acuñar la palabra "fractal" e ilustró su definición matemática con sorprendentes visualizaciones construidas por computadora. Estas imágenes, como la de su set canónico de Mandelbrot , capturaron la imaginación popular; muchos de ellos se basan en la recursividad, lo que lleva al significado popular del término "fractal". [43] [7] [9] [39]

En 1980, Loren Carpenter dio una presentación en el SIGGRAPH donde presentó su software para generar y renderizar paisajes generados fractales. [44]

Definición y características [ editar ]

Una descripción frecuentemente citada que Mandelbrot publicó para describir fractales geométricos es "una forma geométrica rugosa o fragmentada que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es (al menos aproximadamente) una copia de tamaño reducido del todo"; [1] Esto es útil en general, pero limitado. Los autores no están de acuerdo con la definición exacta de fractal , pero la mayoría de las veces elaboran las ideas básicas de auto-semejanza y la relación inusual que tienen los fractales con el espacio en el que están incrustados. [1] [5] [2] [4] [45]

Un punto en el que se acordó es que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales , pero mientras que estos números cuantifican la complejidad (es decir, los detalles cambiantes con el cambio de escala), no describen ni especifican detalles de cómo construir patrones fractales particulares. [46] En 1975, cuando Mandelbrot acuñó la palabra "fractal", lo hizo para denotar un objeto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensión topológica . [11] Sin embargo, este requisito no se cumple con curvas de relleno de espacio como la curva de Hilbert . [notas 2]

Debido al problema que implica encontrar una definición de fractales, algunos argumentan que los fractales no deberían definirse estrictamente en absoluto. Según Falconer , los fractales, además de no ser diferenciables en ninguna parte y ser capaces de tener una dimensión fractal , solo deberían caracterizarse generalmente por una gestalt de las siguientes características; [2]

  • Auto-similitud, que puede incluir:
  • Auto-similitud exacta: idéntica en todas las escalas, como el copo de nieve de Koch
  • Casi auto-semejanza: se aproxima al mismo patrón en diferentes escalas; puede contener pequeñas copias de todo el fractal en formas distorsionadas y degeneradas; por ejemplo, los satélites del conjunto de Mandelbrot son aproximaciones del conjunto completo, pero no copias exactas.
  • Autoseimilitud estadística: repite un patrón estocásticamente para que las medidas numéricas o estadísticas se conserven en todas las escalas; por ejemplo, fractales generados aleatoriamente como el conocido ejemplo de la costa de Gran Bretaña para el cual uno no esperaría encontrar un segmento escalado y repetido tan claramente como la unidad repetida que define fractales como el copo de nieve de Koch. [4]
  • Autosemejanza cualitativa: como en una serie temporal [16]
  • Escala multifractal : caracterizada por más de una dimensión fractal o regla de escala
  • Estructura fina o detallada a escalas arbitrariamente pequeñas. Una consecuencia de esta estructura es que los fractales pueden tener propiedades emergentes [47] (relacionadas con el siguiente criterio en esta lista).
  • Irregularidad local y global que no se describe fácilmente en el lenguaje geométrico euclidiano tradicional . Para imágenes de patrones fractales, esto se ha expresado con frases como "apilar superficies suavemente" y "remolinos sobre remolinos". [6]
  • Definiciones simples y "quizás recursivas "; ver Técnicas comunes para generar fractales

Como grupo, estos criterios forman pautas para excluir ciertos casos, como aquellos que pueden ser auto-similares sin tener otras características típicamente fractales. Una línea recta, por ejemplo, es auto-similar pero no fractal porque carece de detalle, se describe fácilmente en el lenguaje euclidiana, tiene la misma dimensión de Hausdorff como dimensión topológica , y está completamente definido sin necesidad de recursión. [1] [4]

Técnicas comunes para generar fractales [ editar ]

Ver también: software de generación de fractales

Patrón de ramificación autosimilar modelado in silico utilizando principios de sistemas L [25]

Se pueden crear imágenes de fractales mediante programas de generación de fractales . Debido al efecto mariposa , un pequeño cambio en una sola variable puede tener un resultado impredecible .

  • Sistemas de función iterada (IFS) : use reglas de reemplazo geométricas fijas; puede ser estocástico o determinista; [48] por ejemplo, Koch copo de nieve , conjunto de Cantor , alfombra Haferman, [49] de la alfombra de Sierpinski , Sierpinski junta , curva de Peano , Harter-Heighway curva de dragón , T-cuadrado , esponja Menger
  • Atractores extraños : use iteraciones de un mapa o soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales o en diferencias de valor inicial que exhiben caos (por ejemplo, vea laimagen multifractal o el mapa logístico )
  • L-sistemas : utilice la reescritura de cadenas; pueden parecerse a patrones de ramificación, como en plantas, células biológicas (p. ej., neuronas y células del sistema inmunológico [25] ), vasos sanguíneos, estructura pulmonar, [50] etc. opatrones gráficos de tortuga como curvas de relleno de espacio y teselaciones
  • Fractales de tiempo de escape : use una fórmula o relación de recurrencia en cada punto de un espacio (como el plano complejo ); generalmente cuasi auto-similar; también conocidos como fractales de "órbita"; por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot , conjunto de Julia , Burning fractal de la nave , Nova fractal y fractal de Lyapunov . Los campos vectoriales 2d que se generan mediante una o dos iteraciones de fórmulas de tiempo de escape también dan lugar a una forma fractal cuando se pasan puntos (o datos de píxeles) a través de este campo repetidamente.
  • Fractales aleatorios : use reglas estocásticas; por ejemplo, vuelo de Lévy , grupos de percolación , caminatas que se auto evitan , paisajes fractales , trayectorias de movimiento browniano y el árbol browniano (es decir, fractales dendríticos generados por modelado de agregación limitada por difusión o agrupación de agregación limitada por reacción). [4]
Un fractal generado por una regla de subdivisión finita para un enlace alterno
  • Reglas de subdivisión finita : utilice unalgoritmo topológico recursivopara refinar los mosaicos [51] y son similares al proceso de división celular . [52] Los procesos iterativos utilizados en la creación del conjunto de Cantor y la alfombra de Sierpinski son ejemplos de reglas de subdivisión finitas, al igual que la subdivisión baricéntrica .

Fractales simulados [ editar ]

Los patrones fractales se han modelado extensamente, aunque dentro de una gama de escalas en lugar de infinitamente, debido a los límites prácticos del tiempo y el espacio físicos. Los modelos pueden simular fractales teóricos o fenómenos naturales con características fractales . Los resultados del proceso de modelado pueden ser representaciones muy artísticas, resultados para la investigación o puntos de referencia para el análisis fractal . Algunas aplicaciones específicas de los fractales a la tecnología se enumeran en otra parte . Las imágenes y otras salidas de modelado normalmente se denominan "fractales" incluso si no tienen características estrictamente fractales, como cuando es posible hacer zoom en una región de la imagen fractal que no exhibe propiedades fractales. Además, estos pueden incluir cálculo o visualizaciónartefactos que no son características de verdaderos fractales.

Los fractales modelados pueden ser sonidos, [20] imágenes digitales, patrones electroquímicos, ritmos circadianos , [53] etc. Los patrones fractales se han reconstruido en el espacio físico tridimensional [28] : 10 y virtualmente, a menudo llamado modelado " in silico ". [50] Los modelos de fractales se crean generalmente utilizando software generador de fractales que implementa técnicas como las descritas anteriormente. [4] [16] [28] Como ilustración, árboles, helechos, células del sistema nervioso, [25] vasculatura sanguínea y pulmonar, [50] y otros patrones de ramificación en la naturalezase puede modelar en una computadora utilizando algoritmos recursivos y técnicas de sistemas L. [25] La naturaleza recursiva de algunos patrones es obvia en ciertos ejemplos: una rama de un árbol o una fronda de un helecho es una réplica en miniatura del todo: no idéntica, pero de naturaleza similar. De manera similar, se han utilizado fractales aleatorios para describir / crear muchos objetos del mundo real altamente irregulares. Una limitación del modelado de fractales es que la semejanza de un modelo fractal con un fenómeno natural no prueba que el fenómeno que se modela esté formado por un proceso similar a los algoritmos de modelado.

Fenómenos naturales con características fractales [ editar ]

Más información: Patrones en la naturaleza

Los fractales aproximados que se encuentran en la naturaleza muestran una auto-semejanza en rangos de escala extendidos, pero finitos. La conexión entre fractales y hojas, por ejemplo, se utiliza actualmente para determinar cuánto carbono contienen los árboles. [54] Los fenómenos que se sabe que tienen características fractales incluyen:

  • Citoesqueleto de actina [55]
  • Algas
  • Coloración de los animales patrones
  • Vasos sanguíneos y vasos pulmonares [50]
  • Nubes y zonas de lluvia [56]
  • Costas
  • Cráteres
  • Cristales [57]
  • ADN [58]
  • Terremotos [29] [59]
  • Líneas de falla
  • Óptica geométrica [60]
  • Frecuencia cardíaca [21] [22]
  • Sonidos cardíacos [22]
  • relámpago pernos
  • Cuernos de cabra montesa
  • Redes [35]
  • Polímeros [61]
  • Percolación [62]
  • Cadenas montañosas
  • Olas del océano [63]
  • Piña
  • Percepción psicológica subjetiva [64]
  • Proteínas [65]
  • Anillos de Saturno [66] [67]
  • Redes fluviales
  • Brócoli romanesco
  • Copos de nieve [68]
  • Poros del suelo [69]
  • Superficies en corrientes turbulentas [70] [71]
  • Árboles
  • Granos de polvo [72]
  • Movimiento browniano (generado por un proceso de Wiener unidimensional ). [73]

  • Cristales de escarcha que ocurren naturalmente en vidrio frío forman patrones fractales

  • Límite de cuenca fractal en un sistema óptico geométrico [60]

  • Se forma un fractal al separar dos láminas acrílicas cubiertas con pegamento

  • La ruptura de alto voltaje dentro de un bloque de vidrio acrílico de 4 pulgadas (100 mm) crea una figura fractal de Lichtenberg

  • Brócoli Romanesco , mostrando una forma auto-similar que se aproxima a un fractal natural

  • Patrones de descongelación fractal, Marte polar. Los patrones están formados por sublimación del CO congelado 2 . El ancho de la imagen es de aproximadamente un kilómetro.

  • Moho de limo Brefeldia maxima creciendo fractalmente en madera

En trabajos creativos [ editar ]

Más información: Arte fractal y Matemáticas y arte

Desde 1999, más de 10 grupos científicos han realizado análisis fractal en más de 50 de las pinturas de Jackson Pollock (1912-1956) que fueron creadas vertiendo pintura directamente sobre sus lienzos horizontales [74] [75] [76] [77] [ 78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86] Recientemente, se ha utilizado el análisis fractal para lograr una tasa de éxito del 93% en la distinción entre Pollocks reales y de imitación. [87] Los neurocientíficos cognitivos han demostrado que los fractales de Pollock inducen la misma reducción de estrés en los observadores que los fractales generados por computadora y los fractales de la naturaleza. [88]

Decalcomania , una técnica utilizada por artistas como Max Ernst , puede producir patrones fractales. [89] Implica presionar pintura entre dos superficies y separarlas.

El cibernético Ron Eglash ha sugerido que la geometría fractal y las matemáticas prevalecen en el arte , los juegos, la adivinación , el comercio y la arquitectura africanos. Las casas circulares aparecen en círculos de círculos, las casas rectangulares en rectángulos de rectángulos, etc. Estos patrones de escala también se pueden encontrar en textiles africanos, esculturas e incluso peinados de trenzas. [31] [90] Hokky Situngkir también sugirió las propiedades similares en el arte tradicional indonesio, el batik y los adornos que se encuentran en las casas tradicionales. [91] [92]

El etnomatemático Ron Eglash ha discutido el diseño planificado de la ciudad de Benin utilizando fractales como base, no solo en la ciudad misma y en las aldeas, sino incluso en las habitaciones de las casas. Comentó que "cuando los europeos llegaron por primera vez a África, consideraron la arquitectura muy desorganizada y, por lo tanto, primitiva. Nunca se les ocurrió que los africanos podrían haber estado usando una forma de matemáticas que ni siquiera habían descubierto todavía". [93]

En una entrevista de 1996 con Michael Silverblatt , David Foster Wallace admitió que la estructura del primer borrador de Infinite Jest que le dio a su editor Michael Pietsch se inspiró en los fractales, específicamente el triángulo de Sierpinski (también conocido como junta de Sierpinski), pero que la novela editada es "más como una junta de Sierpinsky torcida". [30]

Algunas obras del artista holandés MC Escher , como Circle Limit III , contienen formas repetidas hasta el infinito que se vuelven cada vez más pequeñas a medida que se acercan a los bordes, en un patrón que siempre se vería igual si se ampliara.

  • Un fractal que modela la superficie de una montaña (animación)

  • Imagen recursiva 3D

  • Imagen de mariposa fractal recursiva

  • Una llama fractal

Respuestas fisiológicas [ editar ]

Los humanos parecen estar especialmente bien adaptados para procesar patrones fractales con valores de D entre 1.3 y 1.5. [94] Cuando los humanos ven patrones fractales con valores de D entre 1.3 y 1.5, esto tiende a reducir el estrés fisiológico. [95] [96]

Aplicaciones en tecnología [ editar ]

Artículo principal: análisis fractal
  • Antenas fractales [97]
  • Transistor fractal [98]
  • Intercambiadores de calor fractales [99]
  • Imagen digital
  • Arquitectura [32]
  • Crecimiento urbano [100] [101]
  • Clasificación de los portaobjetos de histopatología
  • Paisaje fractal o complejidad de la costa
  • Detectando 'vida como no la conocemos' mediante análisis fractal [102]
  • Enzimas ( cinética de Michaelis-Menten )
  • Generación de nueva música
  • Compresión de señal e imagen
  • Creación de ampliaciones fotográficas digitales
  • Fractal en mecánica de suelos
  • Diseño de computadoras y videojuegos
  • Gráficos de computadora
  • Ambientes orgánicos
  • Generación procedimental
  • Fractografía y mecánica de fracturas
  • Teoría de dispersión de ángulo pequeño de sistemas fractales aproximados
  • Camisetas y otra moda
  • Generación de patrones para camuflaje, como MARPAT
  • Reloj de sol digital
  • Análisis técnico de series de precios
  • Fractales en redes [35]
  • Medicina [28]
  • Neurociencia [23] [24]
  • Diagnóstico por imágenes [27]
  • Patología [103] [104]
  • Geología [105]
  • Geografía [106]
  • Arqueología [107] [108]
  • Mecánica del suelo [26]
  • Sismología [29]
  • Búsqueda y salvamento [109]
  • Análisis técnico [110]
  • Curvas de llenado de espacio de orden de Morton para coherencia de caché de GPU en mapeo de texturas , [111] [112] [113] rasterización [114] [115] e indexación de datos de turbulencia. [116] [117]

Propulsión iónica [ editar ]

Cuando los fractales bidimensionales se repiten muchas veces, el perímetro del fractal aumenta hasta el infinito, pero el área nunca puede exceder un cierto valor. Un fractal en un espacio tridimensional es similar; tal fractal puede tener un área de superficie infinita, pero nunca exceder un cierto volumen. [118] Esto se puede utilizar para maximizar la eficiencia de la propulsión iónica al elegir la construcción y el material del emisor de electrones. Si se hace correctamente, se puede maximizar la eficiencia del proceso de emisión. [119]

Ver también [ editar ]

  • Teorema del punto fijo de Banach
  • Teoría de la bifurcación
  • Conteo de cajas
  • Cymatics
  • Determinismo
  • Algoritmo de diamante cuadrado
  • Efecto Droste
  • Función de Feigenbaum
  • Forma constante
  • Cosmología fractal
  • Derivado fractal
  • Fractalgrid
  • Cadena fractal
  • Fracton
  • Graftal
  • Greeble
  • Regresión infinita
  • Lacunaridad
  • Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
  • Mandelbulb
  • Mandelbox
  • Macrocosmos y microcosmos
  • muñeca matrioska
  • Esponja Menger
  • Sistema multifractal
  • Fractal de Newton
  • Filtración
  • Ley de potencia
  • Publicaciones en geometría fractal
  • Caminata aleatoria
  • Autorreferencia
  • Auto-semejanza
  • Teoría de sistemas
  • Bucle extraño
  • Turbulencia
  • Proceso de salchicha

Notas [ editar ]

  1. ^ El artículo original, Lévy, Paul (1938). "Les Courbes planes ou gauches et les surface composées de Parties semblables au tout". Journal de l'École Polytechnique : 227–247, 249–291., está traducido en Edgar , páginas 181–239.
  2. ^ El mapa de la curva de Hilbert no es un homeomorfismo , por lo que no conserva la dimensión topológica. La dimensión topológica y la dimensión de Hausdorff de la imagen del mapa de Hilbert en R 2 son ambas 2. Tenga en cuenta, sin embargo, que la dimensión topológica del gráfico del mapa de Hilbert (un conjunto en R 3 ) es 1.

Referencias [ editar ]

  1. ↑ a b c d e f g h i j k l m n o Mandelbrot, Benoît B. (1983). La geometría fractal de la naturaleza . Macmillan. ISBN 978-0-7167-1186-5.
  2. ↑ a b c d e Falconer, Kenneth (2003). Geometría fractal: fundamentos y aplicaciones matemáticas . John Wiley e hijos. xxv. ISBN 978-0-470-84862-3.
  3. ↑ a b Briggs, John (1992). Fractales: los patrones del caos . Londres: Thames y Hudson. pag. 148. ISBN 978-0-500-27693-8.
  4. ↑ a b c d e f g h i j Vicsek, Tamás (1992). Fenómenos de crecimiento fractal . Singapur / Nueva Jersey: World Scientific. págs. 31, 139-146. ISBN 978-981-02-0668-0.
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Lectura adicional [ editar ]

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  • Duarte, German A .; Narrativa fractal. Sobre la relación entre geometrías y tecnología y su impacto en los espacios narrativos . Bielefeld: Transcripción, 2014. ISBN 978-3-8376-2829-6 
  • Falconer, Kenneth; Técnicas en geometría fractal . John Wiley and Sons, 1997. ISBN 0-471-92287-0 
  • Jürgens, Hartmut; Peitgen, Heinz-Otto ; y Saupe, Dietmar; Caos y fractales: nuevas fronteras de la ciencia . Nueva York: Springer-Verlag, 1992. ISBN 0-387-97903-4 
  • Mandelbrot, Benoit B .; La geometría fractal de la naturaleza . Nueva York: WH Freeman and Co., 1982. ISBN 0-7167-1186-9 
  • Peitgen, Heinz-Otto; y Saupe, Dietmar; eds .; La ciencia de las imágenes fractales . Nueva York: Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-96608-0 
  • Pickover, Clifford A .; ed .; Caos and Fractals: A Computer Graphical Journey - Una compilación de 10 años de investigación avanzada . Elsevier, 1998. ISBN 0-444-50002-2 
  • Jones, Jesse; Fractales para Macintosh , Waite Group Press, Corte Madera, CA, 1993. ISBN 1-878739-46-8 . 
  • Lauwerier, Hans; Fractales: Figuras geométricas repetidas sin fin , traducido por Sophia Gill-Hoffstadt, Princeton University Press, Princeton NJ, 1991. ISBN 0-691-08551-X , tela. ISBN 0-691-02445-6 rústica. "Este libro ha sido escrito para una amplia audiencia ..." Incluye ejemplos de programas BÁSICOS en un apéndice.  
  • Sprott, Julien Clinton (2003). Análisis de caos y series de tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-850839-7.
  • Wahl, Bernt; Van Roy, Peter; Larsen, Michael; y Kampman, Eric; Explorando fractales en Macintosh , Addison Wesley, 1995. ISBN 0-201-62630-6 
  • Lesmoir-Gordon, Nigel; Los colores del infinito: la belleza, el poder y el sentido de los fractales . 2004. ISBN 1-904555-05-5 (El libro viene con un DVD relacionado de la introducción documental de Arthur C. Clarke al concepto fractal y al conjunto de Mandelbrot .) 
  • Liu, Huajie; Arte fractal , Changsha: Prensa de ciencia y tecnología de Hunan, 1997, ISBN 9787535722348 . 
  • Gouyet, Jean-François; Física y estructuras fractales (Prólogo de B. Mandelbrot); Masson, 1996. ISBN 2-225-85130-1 , y Nueva York: Springer-Verlag, 1996. ISBN 978-0-387-94153-0 . Agotado. Disponible en versión PDF en. "Física y estructuras fractales" (en francés). Jfgouyet.fr . Consultado el 17 de octubre de 2010 .  
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  • Bunde, Armin; Havlin, Shlomo (1995). Fractales en la ciencia . Saltador.
  • ben-Avraham, Daniel; Havlin, Shlomo (2000). Difusión y reacciones en fractales y sistemas desordenados . Prensa de la Universidad de Cambridge.
  • Falconer, Kenneth (2013). Fractales, una introducción muy breve . Prensa de la Universidad de Oxford.

Enlaces externos [ editar ]

  • Fractales en los archivos web de la Biblioteca del Congreso (archivado el 16 de noviembre de 2001)
  • Escala y fractales presentado por Shlomo Havlin , Universidad de Bar-Ilan
  • Hunting the Hidden Dimension , PBS NOVA , se emitió por primera vez el 24 de agosto de 2011
  • Benoit Mandelbrot: Fractales y el arte de la aspereza , TED , febrero de 2010
  • Biblioteca técnica sobre fractales para controlar fluidos
  • Ecuaciones de medida fractal auto-similar basadas en el cálculo de orden fraccionario（2007）
  1. ^ Santo Banerjee, MK Hassan, Sayan Mukherjee y A. Gowrisankar, Patrones fractales en aplicaciones y dinámicas no lineales. (CRC Press, Taylor & Francis Group, 2019)