Cálculo fraccional

rama del análisis matemático con aplicaciones fraccionarias de derivadas e integrales

Parte de una serie de artículos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regla integral de Leibniz Límites de funciones Continuidad Teorema del valor medio Teorema de rolle
Diferencial Definiciones Derivado  ( generalizaciones ) Diferencial infinitesimal de una función total Conceptos Notación de diferenciación Segunda derivada Diferenciación implícita Diferenciación logarítmica Tarifas relacionadas Teorema de Taylor Reglas e identidades Suma Producto Cadena Energía Cociente Regla de L'Hôpital Inverso General Leibniz La fórmula de Faà di Bruno
Integral Listas de integrales Transformada integral Definiciones Antiderivada Integral  ( inadecuado ) Integral de Riemann Integración de Lebesgue Integración de contorno Integral de funciones inversas Integración por Partes Discos Carcasas cilíndricas Sustitución  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Fracciones parciales Cambio de orden Fórmulas de reducción Diferenciar bajo el signo integral Algoritmo de Risch
Serie Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Armónico Alterno Energía Binomio Taylor Pruebas de convergencia Límite de suma (prueba temporal) Proporción Raíz Integral Comparación directa Límite de comparación Serie alternante Condensación de Cauchy Dirichlet Abel
Vector Degradado Divergencia Rizo Laplaciano Derivado direccional Identidades Teoremas Degradado Verduras Stokes ' Divergencia Stokes generalizado
Multivariable Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definiciones Derivada parcial Integral múltiple Integral de línea Integral de superficie Integral de volumen Jacobiano arpillera
Especializado Fraccionario Malliavin Estocástico Variaciones
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v t mi

El cálculo fraccional es una rama del análisis matemático que estudia las diferentes posibilidades de definir potencias de números reales o potencias de números complejos del operador de diferenciación D

${\displaystyle Df(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\,,}$

y del operador de integración J ^{[Nota 1]}

${\displaystyle Jf(x)=\int _{0}^{x}f(s)\,ds\,,}$

y desarrollar un cálculo para tales operadores generalizando el clásico.

En este contexto, el término potencias se refiere a la aplicación iterativa de un operador lineal D a una función f , es decir, componiendo repetidamente D consigo mismo, como en .${\displaystyle D^{n}(f)=(\underbrace {D\circ D\circ D\circ \cdots D} _{n})(f)=\underbrace {D(D(D(\cdots } _{n}(f)\cdots )))}$

Por ejemplo, uno puede pedir una interpretación significativa de

${\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}}$

como un análogo de la raíz cuadrada funcional para el operador de diferenciación , es decir, una expresión para algún operador lineal que cuando se aplica dos veces a cualquier función tendrá el mismo efecto que la diferenciación . De manera más general, se puede considerar la cuestión de definir un operador lineal

${\displaystyle D^{a}}$

para cada número real a de tal manera que, cuando a toma un valor entero n ∈ ℤ , coincide con la diferenciación habitual de n veces D si n > 0 , y con la -n -ésima potencia de J cuando n <0 .

Una de las motivaciones detrás de la introducción y el estudio de este tipo de extensiones del operador de diferenciación D es que los conjuntos de poderes del operador { D ^a | a ∈ ℝ} definidos de esta manera son semigrupos continuos con parámetro a , de los cuales el semigrupo discreto original de { D ⁿ | n ∈ ℤ} para el entero n es un subgrupo numerable : dado que los semigrupos continuos tienen una teoría matemática bien desarrollada, se pueden aplicar a otras ramas de las matemáticas.

Las ecuaciones diferenciales fraccionales, también conocidas como ecuaciones diferenciales extraordinarias, ^[1] son una generalización de las ecuaciones diferenciales mediante la aplicación del cálculo fraccional.

Notas históricas

En matemáticas aplicadas y análisis matemático , una derivada fraccionaria es una derivada de cualquier orden arbitrario, real o complejo. Su primera aparición es en una carta escrita a Guillaume de l'Hôpital por Gottfried Wilhelm Leibniz en 1695. ^[2] Aproximadamente al mismo tiempo, Leibniz escribió a uno de los hermanos Bernoulli describiendo la similitud entre el teorema del binomio y la regla de Leibniz para el derivada fraccionaria de un producto de dos funciones. ^{[ cita requerida ] El} cálculo fraccional se introdujo en uno de los primeros artículos de Niels Henrik Abel ^[3]donde se pueden encontrar todos los elementos: la idea de integración y diferenciación de orden fraccionario, la relación mutuamente inversa entre ellos, el entendimiento de que la diferenciación e integración de orden fraccionario pueden considerarse como la misma operación generalizada, e incluso la notación unificada para diferenciación e integración de orden real arbitrario. ^[4] Independientemente, Liouville sentó las bases del tema en un artículo de 1832. ^{[5] [6] [7]} El autodidacta Oliver Heaviside introdujo el uso práctico de operadores diferenciales fraccionarios en el análisis de líneas de transmisión eléctrica alrededor de 1890. ^{[ 8]}La teoría y las aplicaciones del cálculo fraccionario se expandieron enormemente durante los siglos XIX y XX, y numerosos colaboradores han dado definiciones para derivadas fraccionarias e integrales. ^[9]

Naturaleza de la derivada fraccionaria

No confundir con derivado fractal .

La a- ésima derivada de una función f  ( x ) en un punto x es una propiedad local sólo cuando a es un número entero; este no es el caso de las derivadas de potencia no enteras. En otras palabras, una derivada fraccionaria no entera de una función f  ( x ) en x = a depende de todos los valores de f , incluso aquellos alejados de a . Por lo tanto, se espera que la operación de derivada fraccionaria implique algún tipo de condiciones de contorno , que involucren información sobre la función más allá. ^[10]

La derivada fraccionaria de una función para ordenar a a menudo se define ahora mediante las transformadas integrales de Fourier o Mellin .

Heurística

Una pregunta bastante natural es si existe un operador lineal H , o semiderivada, tal que

${\displaystyle H^{2}f(x)=Df(x)={\dfrac {d}{dx}}f(x)=f'(x)\,.}$

Resulta que existe tal operador y, de hecho, para cualquier a > 0 , existe un operador P tal que

${\displaystyle \left(P^{a}f\right)(x)=f'(x),}$

o dicho de otra manera, la definición de d ⁿ y/dx ⁿse puede extender a todos los valores reales de n .

Sea f  ( x ) una función definida para x > 0 . Forme la integral definida de 0 a x . Llama esto

${\displaystyle (Jf)(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,.}$

Repetir este proceso da

${\displaystyle \left(J^{2}f\right)(x)=\int _{0}^{x}(Jf)(t)\,dt=\int _{0}^{x}\left(\int _{0}^{t}f(s)\,ds\right)dt\,,}$

y esto puede extenderse arbitrariamente.

La fórmula de Cauchy para la integración repetida , a saber

${\displaystyle \left(J^{n}f\right)(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,dt\,,}$

conduce de una manera sencilla a una generalización para n real .

El uso de la función gamma para eliminar la naturaleza discreta de la función factorial nos da un candidato natural para aplicaciones fraccionarias del operador integral.

${\displaystyle \left(J^{\alpha }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,dt\,.}$

De hecho, este es un operador bien definido.

Es sencillo demostrar que el operador J satisface

${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)=\left(J^{\beta }\right)\left(J^{\alpha }f\right)(x)=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha +\beta -1}f(t)\,dt\,.}$

Prueba

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}(x-t)^{\alpha -1}\left(J^{\beta }f\right)(t)\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\int _{0}^{t}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}f(s)\,ds\,dt\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}f(s)\left(\int _{s}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}\left(t-s\right)^{\beta -1}\,dt\right)\,ds\end{aligned}}}$ donde en el último paso intercambiamos el orden de integración y sacamos el factor f  ( s ) de la integración t . Cambiar las variables a r definida por t = s + ( x - s ) r , ${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\left(\int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr\right)\,ds}$ La integral interna es la función beta que satisface la siguiente propiedad: ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(1-r\right)^{\alpha -1}r^{\beta -1}\,dr=B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\,\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}}$ Sustituyendo de nuevo en la ecuación ${\displaystyle \left(J^{\alpha }\right)\left(J^{\beta }f\right)(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha +\beta )}}\int _{0}^{x}\left(x-s\right)^{\alpha +\beta -1}f(s)\,ds=\left(J^{\alpha +\beta }f\right)(x)}$ Intercambiar α y β muestra que el orden en el que se aplica el operador J es irrelevante y completa la demostración.

Esta relación se denomina propiedad de semigrupo de operadores integrales diferentes fraccionales . Desafortunadamente, el proceso comparable para el operador derivado D es significativamente más complejo, pero se puede demostrar que D no es conmutativo ni aditivo en general. ^[11]

Derivada fraccional de una función de potencia básica

La mitad derivada (curva púrpura) de la función f  ( x ) = x (curva azul) junto con la primera derivada (curva roja).

La animación muestra al operador derivado oscilando entre la antiderivada ( α = −1 : y =1/2x ² ) y la derivada ( α = +1 : y = 1 ) de la función de potencia simple y = x continuamente.

Supongamos que f  ( x ) es un monomio de la forma

${\displaystyle f(x)=x^{k}\,.}$

La primera derivada es como de costumbre.

${\displaystyle f'(x)={\frac {d}{dx}}f(x)=kx^{k-1}\,.}$

Repetir esto da el resultado más general de que

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {k!}{(k-a)!}}x^{k-a}\,,}$

que, tras sustituir los factoriales por la función gamma , conduce a

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{k}={\dfrac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (k-a+1)}}x^{k-a},\qquad k>0.}$

Para k = 1 y a =1/2, obtenemos la semiderivada de la función x como

${\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}x={\frac {\Gamma (1+1)}{\Gamma \left(1-{\frac {1}{2}}+1\right)}}x^{1-{\frac {1}{2}}}={\frac {\Gamma (2)}{\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}}x^{\frac {1}{2}}={\frac {1}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}x^{\frac {1}{2}}.}$

Para demostrar que esto es, de hecho, la "mitad derivada" (donde H ² f  ( x ) = Df  ( x ) ), repetimos el proceso para obtener:

${\displaystyle {\dfrac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\dfrac {2x^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\dfrac {\Gamma (1+{\frac {1}{2}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+1)}}x^{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)}{\Gamma (1)}}x^{0}={\frac {2{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x^{0}}{\sqrt {\pi }}}=1\,,}$

(porque y Γ (1) = 1 ) que es de hecho el resultado esperado de${\textstyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}{\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\right)x={\frac {d}{dx}}x=1\,.}$

Para la potencia entera negativa k, la función gamma no está definida y tenemos que usar la siguiente relación: ^[12]

${\displaystyle {\frac {d^{a}}{dx^{a}}}x^{-k}=\left(-1\right)^{a}{\dfrac {\Gamma (k+a)}{\Gamma (k)}}x^{-(k+a)}\quad {\text{ for }}k\geq 0.}$

Esta extensión del operador diferencial anterior no necesita limitarse únicamente a las potencias reales. Por ejemplo, la derivada (1 + i ) ésima de la derivada (1 - i ) ésima produce la segunda derivada. También el establecimiento de valores negativos para a produce integrales.

Para una función general f  ( x ) y 0 < α <1 , la derivada fraccionaria completa es

${\displaystyle D^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {f(t)}{\left(x-t\right)^{\alpha }}}\,dt.}$

Para α arbitrario , dado que la función gamma no está definida para argumentos cuya parte real es un entero negativo y cuya parte imaginaria es cero ^{[ dudoso - discutir ]} , es necesario aplicar la derivada fraccionaria después de que se haya realizado la derivada entera. Por ejemplo,

${\displaystyle D^{\frac {3}{2}}f(x)=D^{\frac {1}{2}}D^{1}f(x)=D^{\frac {1}{2}}{\frac {d}{dx}}f(x).}$

Transformada de Laplace

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También podemos llegar a la pregunta a través de la transformada de Laplace . Sabiendo que

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}(s)={\mathcal {L}}\left\{\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau \right\}(s)={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

y

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{J^{2}f\right\}={\frac {1}{s}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{Jf\right\}{\bigr )}(s)={\frac {1}{s^{2}}}{\bigl (}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}{\bigr )}(s)}$

y así sucesivamente, afirmamos

${\displaystyle J^{\alpha }f={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{-\alpha }{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}(s)\right\}}$.

Por ejemplo,

${\displaystyle J^{\alpha }(t^{k})={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\Gamma (k+1)}{s^{\alpha +k+1}}}\right\}={\frac {\Gamma (k+1)}{\Gamma (\alpha +k+1)}}t^{\alpha +k}}$

como se esperaba. De hecho, dada la regla de convolución

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}={\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{g\}{\bigr )}}$

y abreviando p ( x ) = x ^{α - 1} para mayor claridad, encontramos que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(J^{\alpha }f\right)(t)&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\bigl (}{\mathcal {L}}\{p\}{\bigr )}{\bigl (}{\mathcal {L}}\{f\}{\bigr )}\right\}\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}(p*f)\\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}p(t-\tau )f(\tau )\,d\tau \\&={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau \\\end{aligned}}}$

que es lo que Cauchy nos dio arriba.

Laplace transforma "trabajo" en relativamente pocas funciones, pero a menudo son útiles para resolver ecuaciones diferenciales fraccionarias.

Integrales fraccionales

Integral fraccional de Riemann-Liouville

La forma clásica del cálculo fraccional viene dada por la integral de Riemann-Liouville , que es esencialmente lo que se describió anteriormente. La teoría de las funciones periódicas (por lo tanto, incluye la "condición de límite" de repetición después de un período) es la integral de Weyl . Se define en series de Fourier y requiere que el coeficiente de Fourier constante desaparezca (por lo tanto, se aplica a funciones en el círculo unitario cuyas integrales se evalúan a cero). La integral de Riemann-Liouville existe en dos formas, superior e inferior. Considerando el intervalo [ a , b ] , las integrales se definen como

${\displaystyle _{a}D_{t}^{-\alpha }f(t)={}_{a}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

${\displaystyle _{t}D_{b}^{-\alpha }f(t)={}_{t}I_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{t}^{b}\left(\tau -t\right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau }$

Cuando el primero es válida para t > una y el último es válido para t < b . ^[13]

Por el contrario, la derivada de Grünwald-Letnikov comienza con la derivada en lugar de la integral.

Integral fraccional de Hadamard

La integral fraccionaria de Hadamard es introducida por Jacques Hadamard ^[14] y viene dada por la siguiente fórmula,

${\displaystyle _{a}\mathbf {D} _{t}^{-\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(\log {\frac {t}{\tau }}\right)^{\alpha -1}f(\tau ){\frac {d\tau }{\tau }},\qquad t>a\,.}$

Integral fraccional de Atangana-Baleanu

Recientemente, utilizando la función de Mittag-Leffler generalizada, Atangana y Baleanu sugirieron una nueva formulación de la derivada fraccional con un núcleo no local y no singular. La integral se define como:

${\displaystyle _{a}^{AB}D_{t}^{-\alpha }f(t)=_{a}^{AB}I_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1-\alpha }{AB(\alpha )}}f(t)+{\frac {\alpha }{AB(\alpha )\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{t}\left(t-\tau \right)^{\alpha -1}f(\tau )\,d\tau ,}$

donde AB ( α ) es una función de normalización tal que AB (0) = AB (1) = 1 . ^[15]

Derivadas fraccionarias

A diferencia de las derivadas newtonianas clásicas, una derivada fraccionaria se define mediante una integral fraccionaria.

Derivadas fraccionarias de un gaussiano, interpolando continuamente entre la función y su primera derivada.

Derivado fraccional de Riemann-Liouville

La derivada correspondiente se calcula utilizando la regla de Lagrange para operadores diferenciales. Calculando la derivada de n- ésimo orden sobre la integral de orden ( n - α ) , se obtiene la derivada de orden α . Es importante señalar que n es el número entero más pequeño mayor que α (es decir, n = ⌈ α ⌉ ). Similar a las definiciones de la integral de Riemann-Liouville, la derivada tiene variantes superior e inferior. ^[dieciséis]

${\displaystyle _{a}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}D_{t}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{a}I_{t}^{n-\alpha }f(t)}$

${\displaystyle _{t}D_{b}^{\alpha }f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}D_{b}^{-(n-\alpha )}f(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}{}_{t}I_{b}^{n-\alpha }f(t)}$

Derivado fraccional de Caputo

Otra opción para calcular derivadas fraccionarias es la derivada fraccionaria de Caputo. Fue presentado por Michele Caputo en su artículo de 1967. ^[17] En contraste con la derivada fraccionaria de Riemann-Liouville, al resolver ecuaciones diferenciales usando la definición de Caputo, no es necesario definir las condiciones iniciales del orden fraccionario. La definición de Caputo se ilustra de la siguiente manera, donde nuevamente n = ⌈ α ⌉ :

${\displaystyle {}^{C}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\alpha )}}\int _{0}^{t}{\frac {f^{(n)}(\tau )\,d\tau }{\left(t-\tau \right)^{\alpha +1-n}}}.}$

Existe la derivada fraccionaria de Caputo definida como:

${\displaystyle {}D^{\nu }f(t)={\frac {1}{\Gamma (n-\nu )}}\int _{0}^{t}(t-u)^{(n-\nu -1)}f^{(n)}(u)du\qquad (n-1)<\nu <n}$

que tiene la ventaja de que es cero cuando f  ( t ) es constante y su Transformada de Laplace se expresa mediante los valores iniciales de la función y su derivada. Además, existe la derivada fraccionaria de Caputo de orden distribuido definida como

${\displaystyle {}_{a}^{b}D^{\nu }f(t)=\int _{a}^{b}\phi (\nu )\left[D^{(\nu )}f(t)\right]\,d\nu =\int _{a}^{b}\left[{\frac {\phi (\nu )}{\Gamma (1-\nu )}}\int _{0}^{t}\left(t-u\right)^{-\nu }f'(u)\,du\right]\,d\nu }$

donde φ ( ν ) es una función de ponderación y que se utiliza para representar matemáticamente la presencia de múltiples formalismos de memoria.

Derivado fraccional Caputo-Fabrizio

En un artículo de 2015, M. Caputo y M. Fabrizio presentaron una definición de derivada fraccionaria con un núcleo no singular, para una función de dada por:${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle C^{1}}$

${\displaystyle _{a}^{CF}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )\exp \left(-\alpha {\frac {t-\tau }{1-\alpha }}\right)d\tau ,}$

donde ^[18]${\displaystyle a<0,\alpha \in (0,1]}$

Derivado de Atangana-Baleanu

Al igual que la integral, también hay una derivada fraccionaria que utiliza la función general de Mittag-Leffler como núcleo. ^[15] Los autores introdujeron dos versiones, la derivada Atangana-Baleanu en sentido Caputo (ABC), que es la convolución de una derivada local de una función dada con la función Mittag-Leffler generalizada, y la Atangana-Baleanu en Riemann-Liouville derivado de sentido (ABR), que es el derivado de una convolución de una función dada que no es diferenciable con la función de Mittag-Leffler generalizada. ^[19] El derivado fraccional de Atangana-Baleanu en sentido Caputo se define como:

${\displaystyle {}_{a}^{ABC}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}\int _{a}^{t}f'(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}$

Y la derivada fraccionaria de Atangana-Baleanu en Riemann-Liouville se define como:

${\displaystyle {}_{a}^{ABR}D_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt}}\int _{a}^{t}f(\tau )E_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}$

Derivado de Riesz

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial \left|x\right|^{\alpha }}}\right\}(k)=-\left|k\right|^{\alpha }{\mathcal {F}}\{u\}(k)}$

donde F denota la transformada de Fourier . ^{[20] [21]}

Otros tipos

Los derivados fraccionarios clásicos incluyen:

• Derivado de Grünwald-Letnikov ^{[22] [23]}
• Derivado de Sonin-Letnikov ^[23]
• Derivado de Liouville ^[22]
• Derivado de caputo ^[22]
• Derivado de Hadamard ^{[22] [24]}
• Derivado de Marchaud ^[22]
• Derivado de Riesz ^[23]
• Derivado de Miller-Ross ^[22]
• Derivado de Weyl ^{[25] [26] [22]}
• Derivado de Erdélyi-Kober ^[22]

Los nuevos derivados fraccionarios incluyen:

• Derivado de Coimbra ^[22]
• Derivado de Katugampola ^[27]
• Derivado de Hilfer ^[22]
• Derivado de Davidson ^[22]
• Derivado de Chen ^[22]
• Derivado de Caputo Fabrizio ^{[28] [29]}
• Derivado de Atangana-Baleanu ^{[28] [30]}

Generalizaciones

Operador Erdélyi-Kober

El operador Erdélyi-Kober es un operador integral introducido por Arthur Erdélyi (1940). ^[31] y Hermann Kober (1940) ^[32] y está dado por

${\displaystyle {\frac {x^{-\nu -\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}\left(t-x\right)^{\alpha -1}t^{-\alpha -\nu }f(t)\,dt\,,}$

que generaliza la integral fraccional de Riemann-Liouville y la integral de Weyl .

Cálculo funcional

En el contexto del análisis funcional , las funciones f  ( D ) más generales que las potencias se estudian en el cálculo funcional de la teoría espectral . La teoría de los operadores seudo-diferencial también permite considerar poderes de D . Los operadores que surgen son ejemplos de operadores integrales singulares ; y la generalización de la teoría clásica a dimensiones superiores se denomina teoría de los potenciales de Riesz . De modo que hay varias teorías contemporáneas disponibles, dentro de las cuales se puede discutir el cálculo fraccional . Véase también operador Erdélyi – Kober, importante en la teoría de funciones especiales ( Kober 1940 ), ( Erdélyi 1950–51 ).

Aplicaciones

Conservación fraccionada de masa

Como describen Wheatcraft y Meerschaert (2008), ^[33] se necesita una ecuación de conservación fraccional de masa para modelar el flujo de fluido cuando el volumen de control no es lo suficientemente grande en comparación con la escala de heterogeneidad y cuando el flujo dentro del volumen de control no es lineal. En el documento de referencia, la ecuación de conservación fraccionada de masa para el flujo de fluido es:

${\displaystyle -\rho \left(\nabla ^{\alpha }\cdot {\vec {u}}\right)=\Gamma (\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha }\rho \left(\beta _{s}+\phi \beta _{w}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}}$

Análisis electroquímico

Al estudiar el comportamiento redox de un sustrato en solución, se aplica un voltaje en la superficie de un electrodo para forzar la transferencia de electrones entre el electrodo y el sustrato. La transferencia de electrones resultante se mide como corriente. La corriente depende de la concentración de sustrato en la superficie del electrodo. A medida que se consume el sustrato, el sustrato fresco se difunde al electrodo como se describe en la Ley de Fick . Tomando la transformada de Laplace de la segunda ley de Fick se obtiene una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden (aquí en forma adimensional):

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}C(x,s)=sC(x,s)}$

cuya solución C (x, s) contiene una dependencia de la mitad de potencia de s. Tomando la derivada de C (x, s) y luego la transformada inversa de Laplace produce la siguiente relación:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}C(x,t)={\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dt^{\frac {1}{2}}}}C(x,t)}$

que relaciona la concentración de sustrato en la superficie del electrodo con la corriente. ^[34] Esta relación se aplica en cinética electroquímica para dilucidar el comportamiento mecanicista. Por ejemplo, se ha utilizado para estudiar la velocidad de dimerización de sustratos tras la reducción electroquímica. ^[35]

Problema de flujo de agua subterránea

En 2013–2014, Atangana et al. describió algunos problemas de flujo de agua subterránea utilizando el concepto de derivada con orden fraccionario. ^{[36] [37]} En estos trabajos, la ley de Darcy clásica se generaliza considerando el flujo de agua como una función de una derivada de orden no entero de la cabeza piezométrica. Esta ley generalizada y la ley de conservación de la masa se utilizan luego para derivar una nueva ecuación para el flujo de agua subterránea.

Ecuación de dispersión por advección fraccionada

Se ha demostrado que esta ecuación ^{[se necesita aclaración ]} es útil para modelar el flujo de contaminantes en medios porosos heterogéneos. ^{[38] [39] [40]}

Atangana y Kilicman ampliaron la ecuación de dispersión por advección fraccionaria a una ecuación de orden variable. En su trabajo, la ecuación de dispersión hidrodinámica se generalizó utilizando el concepto de una derivada de orden variacional . La ecuación modificada se resolvió numéricamente mediante el método de Crank-Nicolson . La estabilidad y convergencia en simulaciones numéricas mostró que la ecuación modificada es más confiable para predecir el movimiento de la contaminación en acuíferos deformables que las ecuaciones con derivadas constantes fraccionarias y enteras ^[41]

Modelos de ecuaciones de difusión fraccional en el tiempo-espacio

Los procesos de difusión anómalos en medios complejos se pueden caracterizar bien mediante el uso de modelos de ecuaciones de difusión de orden fraccionario. ^{[42] [43]} El término derivado del tiempo corresponde a la desintegración de la cola pesada a largo plazo y la derivada espacial para la no localidad de difusión. La ecuación que rige la difusión fraccional en el tiempo-espacio se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}}=-K(-\Delta )^{\beta }u.}$

Una extensión simple de la derivada fraccionaria es la derivada fraccionaria de orden variable, α y β se cambian a α ( x , t ) y β ( x , t ) . Sus aplicaciones en el modelado de difusión anómala se pueden encontrar en referencia. ^{[41] [44] [45]}

Modelos de amortiguación estructural

Los derivados fraccionales se utilizan para modelar la amortiguación viscoelástica en ciertos tipos de materiales como los polímeros. ^[46]

Controladores PID

La generalización de los controladores PID para utilizar órdenes fraccionales puede aumentar su grado de libertad. La nueva ecuación que relaciona la variable de control u ( t ) en términos de un valor de error medido e ( t ) se puede escribir como

${\displaystyle u(t)=K_{\mathrm {p} }e(t)+K_{\mathrm {i} }D_{t}^{-\alpha }e(t)+K_{\mathrm {d} }D_{t}^{\beta }e(t)}$

donde α y β son órdenes fraccionarios positivos y K _p , K _i y K _d , todos no negativos, denotan los coeficientes para los términos proporcional , integral y derivado , respectivamente (a veces se denotan como P , I y D ). ^[47]

Ecuaciones de ondas acústicas para medios complejos

La propagación de ondas acústicas en medios complejos, como en tejido biológico, comúnmente implica atenuación que obedece a una ley de potencia de frecuencia. Este tipo de fenómeno se puede describir utilizando una ecuación de onda causal que incorpora derivadas de tiempo fraccionario:

${\displaystyle \nabla ^{2}u-{\dfrac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+\tau _{\sigma }^{\alpha }{\dfrac {\partial ^{\alpha }}{\partial t^{\alpha }}}\nabla ^{2}u-{\dfrac {\tau _{\epsilon }^{\beta }}{c_{0}^{2}}}{\dfrac {\partial ^{\beta +2}u}{\partial t^{\beta +2}}}=0\,.}$

Véase también Holm & Näsholm (2011) ^[48] y las referencias allí incluidas . Estos modelos están vinculados a la hipótesis comúnmente reconocida de que múltiples fenómenos de relajación dan lugar a la atenuación medida en medios complejos. Este enlace se describe con más detalle en Näsholm & Holm (2011b) ^[49] y en el documento de la encuesta ^[50] , así como en el artículo sobre atenuación acústica . Véase Holm y Nasholm (2013) ^[51] para un artículo que compara ecuaciones de onda fraccionarias que modelan la atenuación según la ley de potencias. Este libro sobre atenuación por ley de potencias también cubre el tema con más detalle. ^[52]

Pandey y Holm dieron un significado físico a las ecuaciones diferenciales fraccionarias derivándolas de principios físicos e interpretando el orden fraccionario en términos de los parámetros de los medios acústicos, por ejemplo, en sedimentos marinos granulares no consolidados saturados de líquido. ^[53] Curiosamente, Pandey y Holm derivaron la ley de Lomnitz en sismología y la ley de Nutting en reología no newtoniana utilizando el marco del cálculo fraccional. ^[54] La ley de Nutting se utilizó para modelar la propagación de ondas en sedimentos marinos utilizando derivados fraccionales. ^[53]

Ecuación fraccional de Schrödinger en la teoría cuántica

La ecuación fraccionaria de Schrödinger , una ecuación fundamental de la mecánica cuántica fraccional , tiene la siguiente forma: ^{[55] [56]}

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D_{\alpha }\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)\,.}$

donde la solución de la ecuación es la función de onda ψ ( r , t ) - la amplitud de probabilidad mecánica cuántica para que la partícula tenga un vector de posición dado r en cualquier momento t , y ħ es la constante de Planck reducida . La función de energía potencial V ( r , t ) depende del sistema.

Además, Δ =∂ ²/∂ r ²es el operador de Laplace , y D _α es una constante de escala con dimensión física [ D _α ] = J ^{1 - α} · m ^α · s ^{- α} = kg ^{1 - α} · m ^{2 - α} · s ^{α - 2} , (en α = 2 , D ₂ =1/2 mpara una partícula de masa m ), y el operador (- ħ ² Δ) ^{α / 2} es el derivado de Riesz cuántico fraccional tridimensional definido por

${\displaystyle (-\hbar ^{2}\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3}}}\int d^{3}pe^{{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }|\mathbf {p} |^{\alpha }\varphi (\mathbf {p} ,t)\,.}$

El índice α en la ecuación fraccional de Schrödinger es el índice de Lévy, 1 < α ≤ 2 .

Ecuación de Schrödinger fraccionaria de orden variable

Como una generalización natural de la ecuación fraccional de Schrödinger , la ecuación fraccional de Schrödinger de orden variable se ha aprovechado para estudiar los fenómenos cuánticos fraccionarios: ^[57]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\alpha (\mathbf {r} )}(\mathbf {r} ,t)}{\partial t^{\alpha (\mathbf {r} )}}}=\left(-\hbar ^{2}\Delta \right)^{\frac {\beta (t)}{2}}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t),}$

donde Δ =∂ ²/∂ r ²es el operador de Laplace y el operador (- ħ ² Δ) ^{β ( t ) / 2} es la derivada de Riesz cuántica fraccional de orden variable.

Ver también

• Atenuación acústica
• Media móvil autorregresiva fraccionalmente integrada
• Differintegral
• Ecuación diferencial
• Operador Erdelyi – Kober
• Neopolarograma
• Operador no local
• Integral de Riemann-Liouville
• Integral de Weyl

Otras teorías fraccionarias

• Dinámica fraccional
• Transformada fraccional de Fourier
• Mecánica cuántica fraccional

Notas

1. El símbolo J se utiliza comúnmente en lugar de la intuitiva I con el fin de evitar la confusión con otros conceptos identificados por similares I -como glifos , como identidades .

Referencias

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Lectura adicional

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Libros

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Enlaces externos

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• MathWorld - Cálculo fraccional
• MathWorld - Derivada fraccional
• Cálculo fraccional en MathPages
• Revista especializada: Fractional Calculus and Applied Analysis (1998-2014) y Fractional Calculus and Applied Analysis (desde 2015)
• Revista especializada: Ecuaciones diferenciales fraccionales (FDE)
• Revista especializada: Communications in Fractional Calculus ( ISSN 2218-3892 ) 
• Revista especializada: Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA)
• www.nasatech.com
• La colección de Igor Podlubny de libros, artículos, enlaces, software, etc.
• GigaHedron: colección de libros, artículos, preimpresiones, etc. de Richard Herrmann
• s.dugowson.free.fr
• Historia, definiciones y aplicaciones para el ingeniero ( PDF ), por Adam Loverro, Universidad de Notre Dame
• Modelado de cálculo fraccional
• Notas introductorias sobre cálculo fraccional
• Ley de potencia y dinámica fraccional
• CRONE Toolbox, una caja de herramientas de Matlab y Simulink dedicada al cálculo fraccional, que se puede descargar gratuitamente
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