En álgebra lineal , un marco de un espacio de producto interno es una generalización de una base de un espacio vectorial a conjuntos que pueden ser linealmente dependientes . En la terminología del procesamiento de señales , una trama proporciona una forma redundante y estable de representar una señal . [1] Los marcos se utilizan en la detección y corrección de errores y en el diseño y análisis de bancos de filtros y, en general, en matemáticas aplicadas , informática e ingeniería . [2]
Definición y motivación
Ejemplo motivador: calcular una base a partir de un conjunto linealmente dependiente
Supongamos que tenemos un conjunto de vectores en el espacio vectorial V y queremos expresar un elemento arbitrario como una combinación lineal de los vectores , es decir, queremos encontrar coeficientes tal que
Si el conjunto no abarca , entonces tales coeficientes no existen para cada uno de esos . Si tramos y también es linealmente independiente , este conjunto forma una base de, y los coeficientes están determinados únicamente por . Si acaso, tramos pero no es linealmente independiente, la cuestión de cómo determinar los coeficientes se vuelve menos evidente, en particular si es de dimensión infinita.
Dado que tramos y es linealmente dependiente, una estrategia es eliminar vectores del conjunto hasta que se vuelva linealmente independiente y forme una base. Hay algunos problemas con este plan:
- La eliminación de vectores arbitrarios del conjunto puede hacer que no pueda abarcar antes de que se vuelva linealmente independiente.
- Incluso si es posible idear una forma específica de eliminar vectores del conjunto hasta que se convierta en una base, este enfoque puede volverse inviable en la práctica si el conjunto es grande o infinito.
- En algunas aplicaciones, puede ser una ventaja utilizar más vectores de los necesarios para representar . Esto significa que queremos encontrar los coeficientes sin quitar elementos en . Los coeficientes ya no estará determinado únicamente por . Por lo tanto, el vector se puede representar como una combinación lineal de en más de una forma.
Definicion formal
Sea V un espacio de producto interno y ser un conjunto de vectores en . Estos vectores satisfacen la condición de marco si hay números reales positivos A y B tales que y para cada en V ,
Un conjunto de vectores que satisface la condición del marco es un marco para el espacio vectorial. [3]
Los números A y B se denominan límites del marco inferior y superior , respectivamente. [3] Los límites del marco no son únicos porque los números menores que A y mayores que B también son límites del marco válidos. El límite inferior óptimo es el supremo de todos los límites inferiores y el límite superior óptimo es el mínimo de todos los límites superiores.
Una trama se llama sobrecompleta (o redundante ) si no es una base para el espacio vectorial.
Operador de análisis
El mapeo del operador a una secuencia de coeficientes se denomina operador de análisis del marco. Está definido por: [4]
Al usar esta definición, podemos reescribir la condición del marco como
donde las normas izquierda y derecha denotan la norma en y la norma media es la norma.
Operador de síntesis
El operador adjunto del operador de análisis se denomina operador de síntesis de la trama. [5]
Motivación para el límite del marco inferior
Queremos que cualquier vector se puede reconstruir a partir de los coeficientes . Esto se satisface si existe una constante tal que para todos tenemos:
Configurando y aplicando la linealidad del operador de análisis obtenemos que esta condición es equivalente a:
para todos que es exactamente la condición de límite inferior del marco.
Historia
Debido a los diversos componentes matemáticos que rodean a los marcos, la teoría de marcos tiene sus raíces en el análisis armónico y funcional , la teoría de operadores , el álgebra lineal y la teoría de matrices . [6]
La transformada de Fourier se ha utilizado durante más de un siglo como una forma de descomponer y expandir señales. Sin embargo, la transformada de Fourier enmascara información clave sobre el momento de emisión y la duración de una señal. En 1946, Dennis Gabor pudo resolver esto utilizando una técnica que simultáneamente reducía el ruido, proporcionaba resiliencia y creaba cuantificación al mismo tiempo que encapsulaba importantes características de la señal. [1] Este descubrimiento marcó el primer esfuerzo concertado hacia la teoría de marcos.
La condición marco fue descrito por primera vez por Richard Duffin y Albert Charles Schaeffer en un artículo de 1952 en no armónicas serie de Fourier como una manera de calcular los coeficientes de una combinación lineal de los vectores de un conjunto spanning linealmente dependientes (en su terminología, un " espacio de Hilbert marco"). [7] En la década de 1980, Stéphane Mallat , Ingrid Daubechies e Yves Meyer utilizaron fotogramas para analizar ondas . Hoy en día, los fotogramas están asociados con ondículas, procesamiento de señales e imágenes y compresión de datos .
Relación con las bases
Una trama satisface una generalización de la identidad de Parseval , es decir, la condición de trama, al tiempo que mantiene la equivalencia de la norma entre una señal y su secuencia de coeficientes.
Si el conjunto es un marco de V , que se extiende por V . De lo contrario, existiría al menos un valor distinto de cero. que sería ortogonal a todos . Si insertamos en la condición del marco, obtenemos
por lo tanto , que es una violación de los supuestos iniciales en el límite del marco inferior.
Si un conjunto de vectores abarca V , esta no es una condición suficiente para llamar al conjunto una trama. Como ejemplo, considerecon el producto escalar y el conjunto infinito dada por
Este conjunto abarca V pero desde, no podemos elegir un límite B del marco superior finito . En consecuencia, el conjunto no es un marco.
Aplicaciones
En el procesamiento de señales , cada vector se interpreta como una señal. En esta interpretación, un vector expresado como una combinación lineal de los vectores de trama es una señal redundante . Usando una trama, es posible crear una representación más simple y más dispersa de una señal en comparación con una familia de señales elementales (es decir, representar una señal estrictamente con un conjunto de vectores linealmente independientes puede no ser siempre la forma más compacta) . [8] Los marcos, por lo tanto, proporcionan robustez . Debido a que proporcionan una forma de producir el mismo vector dentro de un espacio, las señales se pueden codificar de varias formas. Esto facilita la tolerancia a fallos y la resistencia a una pérdida de señal. Finalmente, la redundancia se puede utilizar para mitigar el ruido , que es relevante para la restauración, mejora y reconstrucción de señales.
En el procesamiento de señales, es común asumir que el espacio vectorial es un espacio de Hilbert .
Casos especiales
Marcos ajustados
Un marco es un marco estrecho si A = B ; en otras palabras, el marco satisface una versión generalizada de la identidad de Parseval . Por ejemplo, la unión de k bases ortonormales disjuntas de un espacio vectorial es un marco estrecho con A = B = k . Un marco estrecho es un marco Parseval (a veces llamado marco normalizado ) si A = B = 1. Cada base ortonormal es un marco Parseval, pero lo contrario no siempre es cierto.
Un cuadro por es apretado con el marco limitado A si y solo si
para todos .
Marco normativo igual
Un marco es un marco de igual norma (a veces llamado marco uniforme o marco normalizado ) si hay una constante c tal quepara cada i . Un marco normativo igual es un marco normativo unitario si c = 1. Un marco normativo unitario Parseval (o ajustado) es una base ortonormal; tal marco satisface la identidad de Parseval .
Marcos equiangulares
Un marco es un marco equiangular si hay una constante c tal quepara cada i y j distinto .
Marcos exactos
Un marco es un marco exacto si ningún subconjunto adecuado del marco abarca el espacio interior del producto. Cada base para un espacio de producto interior es un marco exacto para el espacio (por lo que una base es un caso especial de un marco).
Generalizaciones
Una secuencia de Bessel es un conjunto de vectores que satisface solo el límite superior de la condición del marco.
Cuadro continuo
Suponga que H es un espacio de Hilbert, X un espacio localmente compacto yes una medida de Borel localmente finita en X. Entonces, un conjunto de vectores en H , con una medida se dice que es un cuadro continuo si existen constantes, tal que para todos .
Ejemplo
Dado un conjunto discreto y una medida dónde es la medida de Dirac, entonces la propiedad del marco continuo:
reduce a:
y vemos que los fotogramas continuos son de hecho la generalización natural de los fotogramas mencionados anteriormente.
Al igual que en el caso discreto, podemos definir los operadores Análisis, Síntesis y Cuadro cuando se trata de cuadros continuos.
Operador de análisis continuo
Dado un marco continuo el operador de análisis continuo es el operador de mapeo a una secuencia de coeficientes .
Se define de la siguiente manera:
por
Operador de síntesis continua
El operador adjunto del operador de análisis continuo es el operador de síntesis continua, que es el mapa:
por
Operador de marco continuo
La composición del operador de análisis continuo y el operador de síntesis continua se conoce como el operador de trama continua . Para un marco continuo, el operador de trama continua se define de la siguiente manera: por
Marco doble continuo
Dado un marco continuo , y otro fotograma continuo , luego se dice que es un marco dual continuo de si satisface la siguiente condición para todos :
Marcos dobles
La condición de trama implica la existencia de un conjunto de vectores de trama dual con la propiedad que
para cualquier . Esto implica que un marco junto con su marco dual tiene la misma propiedad como base y su base dual en términos de reconstruir un vector a partir de productos escalares.
Para construir un marco dual, primero necesitamos el mapeo lineal , llamado operador de trama , definido como
- .
De esta definición de y linealidad en el primer argumento del producto interno,
que, cuando se sustituye en el marco de la condición de desigualdad, produce
para cada .
El operador del marco es autoadjunto , positivo definido y tiene límites superior e inferior positivos. La inversa de existe y también es autoadjunto, positivo definido y tiene límites superiores e inferiores positivos.
El marco dual se define mapeando cada elemento del marco con :
Para ver que esto tiene sentido, dejemos ser un elemento de y deja
- .
Por lo tanto
- ,
lo que prueba que
- .
Alternativamente, podemos dejar
- .
Insertando la definición anterior de y aplicando las propiedades de y su inversa,
que muestra que
- .
Los números se denominan coeficientes de trama . Esta derivación de un marco dual es un resumen de la Sección 3 del artículo de Duffin y Schaeffer. [7] Usan el término marco conjugado para lo que aquí se llama marco dual.
El marco dual se llama el dual canónico deporque actúa de manera similar como una base dual a una base.
Cuando el marco está sobrecompleto, un vector se puede escribir como una combinación lineal de en más de una forma. Es decir, hay diferentes opciones de coeficientes. tal que . Esto nos permite cierta libertad para la elección de coeficientes. otro que . Es necesario que el marco está sobrecompleto para otros coeficientes similares existir. Si es así, existen marcos para cual
para todos . Nosotros llamamos un marco dual de .
La dualidad canónica es una relación de reciprocidad, es decir, si el marco es el marco dual canónico de , luego es el marco dual canónico de .
Ver también
- marco k
- Onda biortogonal
- Onda ortogonal
- Propiedad de isometría restringida
- Base de Schauder
- Análisis armónico
- análisis de Fourier
- Análisis funcional
Notas
- ↑ a b Kovačević y Chebira , 2008 , p. 6.
- ^ Casazza, Kutyniok y Philipp 2013 , p. 1.
- ↑ a b Casazza, Kutyniok y Philipp 2013 , p. 14.
- ^ Kovačević y Chebira 2008 , p. 21.
- ^ Casazza, Kutyniok y Philipp 2013 , p. 19.
- ^ Casazza, Kutyniok y Philipp 2013 , p. 2.
- ↑ a b Duffin y Schaeffer, 1952 .
- ^ Mallat 2009 , p. 1.
Referencias
- Casazza, Peter ; Kutyniok, Gitta ; Philipp, Friedrich (2013). "Introducción a la teoría del marco finito". Marcos finitos: teoría y aplicaciones . Berlín: Birkhäuser. págs. 1-53. ISBN 978-0-8176-8372-6.
- Christensen, Ole (2003). Introducción a los marcos y las bases de Riesz . Análisis Armónico Numérico y Aplicado. Birkhäuser. doi : 10.1007 / 978-0-8176-8224-8 . ISBN 978-1-4612-6500-9. Señor 1946982 .
- Duffin, Richard James ; Schaeffer, Albert Charles (1952). "Una clase de series de Fourier no armónicas" . Transacciones de la American Mathematical Society . 72 (2): 341–366. doi : 10.2307 / 1990760 . JSTOR 1990760 . Señor 0047179 .
- Kovačević, Jelena; Chebira, Amina (2008). "Introducción a los marcos" (PDF) . Fundamentos y tendencias en el procesamiento de señales . 2 (1): 1–94. doi : 10.1561 / 2000000006 .
- Kovacevic, Jelena; Dragotti, Pier Luigi; Goyal, Vivek (2002). "Filtrar las expansiones del marco del banco con borrados" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 48 (6): 1439–1450. CiteSeerX 10.1.1.661.2699 . doi : 10.1109 / TIT.2002.1003832 .
- Mallat, Stéphane (2009). Un recorrido de Wavelet por el procesamiento de señales: la forma dispersa (PDF) (3ª ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-374370-1. Consultado el 1 de agosto de 2020 .