En matemáticas , la teoría de Fredholm es una teoría de ecuaciones integrales . En el sentido más estricto, la teoría de Fredholm se ocupa de la solución de la ecuación integral de Fredholm . En un sentido más amplio, la estructura abstracta de la teoría de Fredholm se da en términos de la teoría espectral de los operadores de Fredholm y los núcleos de Fredholm en el espacio de Hilbert . La teoría lleva el nombre de Erik Ivar Fredholm .
Descripción general
Las siguientes secciones proporcionan un bosquejo informal del lugar de la teoría de Fredholm en el contexto más amplio de la teoría del operador y el análisis funcional . El esquema que aquí se presenta es amplio, mientras que la dificultad de formalizar este esquema está, por supuesto, en los detalles.
Ecuación de Fredholm del primer tipo
Gran parte de Fredholm teoría se ocupa de la siguiente ecuación integral para f cuando g y K se dan:
Esta ecuación surge naturalmente en muchos problemas de física y matemáticas, como la inversa de una ecuación diferencial . Es decir, se le pide a uno que resuelva la ecuación diferencial
donde se da la función f y se desconoce g . Aquí, L representa un operador diferencial lineal .
Por ejemplo, se podría considerar que L es un operador elíptico , como
en cuyo caso la ecuación a resolver se convierte en la ecuación de Poisson .
Un método general para resolver tales ecuaciones es mediante las funciones de Green , es decir, en lugar de un ataque directo, primero se encuentra la funcióntal que para un par dado x, y ,
donde δ ( x ) es la función delta de Dirac .
La solución deseada de la ecuación diferencial anterior se escribe luego como una integral en la forma de una ecuación integral de Fredholm ,
La función K ( x, y ) se conoce como función de Green o el núcleo de una integral . A veces se le llama núcleo de la integral, de donde surge el término operador nuclear .
En la teoría general, x y y puede haber puntos en cualquier colector ; la recta numérica real o el espacio euclidiano m -dimensional en los casos más simples. La teoría general también requiere a menudo que las funciones pertenezcan a algún espacio funcional dado : a menudo, se estudia el espacio de las funciones integrables al cuadrado , y los espacios de Sobolev aparecen con frecuencia.
El espacio funcional real utilizado a menudo está determinado por las soluciones del problema de valor propio del operador diferencial; es decir, por las soluciones a
donde ω n son los valores propios y ψ n ( x ) son los vectores propios. El conjunto de autovectores abarca un espacio de Banach y, cuando hay un producto interno natural , los autovectores abarcan un espacio de Hilbert , en cuyo punto se aplica el teorema de representación de Riesz . Ejemplos de tales espacios son los polinomios ortogonales que ocurren como soluciones a una clase de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden .
Dado un espacio de Hilbert como el anterior, el núcleo se puede escribir en la forma
De esta forma, el objeto K ( x, y ) a menudo se denomina operador de Fredholm o kernel de Fredholm . Que este es el mismo núcleo que antes se sigue de la integridad de la base del espacio de Hilbert, es decir, que uno tiene
Dado que los ω n generalmente aumentan, los valores propios resultantes del operador K ( x, y ) disminuyen hacia cero.
Ecuaciones no homogéneas
La ecuación integral no homogénea de Fredholm
puede estar escrito formalmente como
que tiene la solución formal
Una solución de esta forma se conoce como el formalismo resolutivo , donde el resolutivo se define como el operador
Dada la colección de autovectores y autovalores de K , al resolutivo se le puede dar una forma concreta como
con la solución siendo
Una condición necesaria y suficiente para que exista tal solución es uno de los teoremas de Fredholm . El resolutivo se expande comúnmente en poderes de, en cuyo caso se conoce como serie Liouville-Neumann . En este caso, la ecuación integral se escribe como
y el resolutivo se escribe en forma alternativa como
Determinante de Fredholm
El determinante de Fredholm se define comúnmente como
dónde
y
y así. La función zeta correspondiente es
Se puede pensar en la función zeta como el determinante del resolutivo .
La función zeta juega un papel importante en el estudio de sistemas dinámicos . Tenga en cuenta que este es el mismo tipo general de función zeta que la función zeta de Riemann ; sin embargo, en este caso, no se conoce el kernel correspondiente. La existencia de tal núcleo se conoce como la conjetura de Hilbert-Pólya .
Resultados principales
Los resultados clásicos de la teoría son los teoremas de Fredholm , uno de los cuales es la alternativa de Fredholm .
Uno de los resultados importantes de la teoría general es que el núcleo es un operador compacto cuando el espacio de funciones es equicontinuo .
Un resultado célebre relacionado es el teorema del índice de Atiyah-Singer , que pertenece al índice (dim ker - dim coker) de operadores elípticos en variedades compactas .
Historia
El artículo de 1903 de Fredholm en Acta Mathematica se considera uno de los principales hitos en el establecimiento de la teoría de operadores . David Hilbert desarrolló la abstracción del espacio de Hilbert en asociación con la investigación sobre ecuaciones integrales impulsada por Fredholm (entre otras cosas).
Ver también
- Funciones de Green
- Teoría espectral
- Alternativa de Fredholm
Referencias
- Fredholm, EI (1903). "Sur une classe d'equations fonctionnelles" (PDF) . Acta Mathematica . 27 : 365–390. doi : 10.1007 / bf02421317 .
- Edmunds, DE; Evans, WD (1987). Teoría espectral y operadores diferenciales . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-853542-2.
- BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001) [1994], "Fredholm kernel" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Driver, Bruce K. "Operadores compactos y Fredholm y el teorema espectral" (PDF) . Herramientas de análisis con aplicaciones . págs. 579–600.
- Mathews, Jon; Walker, Robert L. (1970). Métodos matemáticos de la física (2ª ed.). Nueva York: WA Benjamin. ISBN 0-8053-7002-1.
- McOwen, Robert C. (1980). "Teoría de Fredholm de ecuaciones diferenciales parciales en variedades riemannianas completas" . Pacific J. Math . 87 (1): 169-185. doi : 10.2140 / pjm.1980.87.169 . Zbl 0457.35084 .