El tiempo de caída libre es el tiempo característico que tardaría un cuerpo en colapsar bajo su propia atracción gravitacional , si no existieran otras fuerzas para oponerse al colapso. Como tal, juega un papel fundamental en el establecimiento de la escala de tiempo para una amplia variedad de procesos astrofísicos, desde la formación de estrellas hasta la heliosismología y las supernovas, en los que la gravedad juega un papel dominante.
Derivación
Caer a una fuente puntual de gravedad
Es relativamente sencillo derivar el tiempo de caída libre aplicando la Tercera Ley de Kepler del movimiento planetario a una órbita elíptica degenerada . Considere una masa puntual a distancia desde una fuente puntual de masaque cae radialmente hacia adentro. Fundamentalmente, la Tercera Ley de Kepler depende solo del semi-eje mayor de la órbita y no depende de la excentricidad . Una trayectoria puramente radial es un ejemplo de una elipse degenerada con una excentricidad de 1 y semieje mayor. Por lo tanto, el tiempo que le tomaría a un cuerpo caer hacia adentro, dar la vuelta y regresar a su posición original es el mismo que el período de una órbita circular de radio., o
Para ver que el semieje mayor es , debemos examinar las propiedades de las órbitas a medida que se vuelven cada vez más elípticas. La Primera Ley de Kepler establece que una órbita es una elipse con el centro de masa como un foco. En el caso de una masa muy pequeña que cae hacia una masa muy grande, el centro de masa está dentro de la masa mayor. El foco de una elipse está cada vez más descentrado con una elipticidad creciente. En el caso límite de una elipse degenerada con una excentricidad de 1, la órbita se extiende desde la posición inicial del objeto que cae () hasta la fuente puntual de masa . En otras palabras, la elipse se convierte en una línea de longitud.. El semieje mayor es la mitad del ancho de la elipse a lo largo del eje largo, que en el caso degenerado se convierte en.
Si el cuerpo en caída libre completara una órbita completa, comenzaría a una distancia desde la masa de la fuente puntual , caiga hacia adentro hasta que llegue a esa fuente puntual, luego dé la vuelta y viaje de regreso a su posición original. En los sistemas reales, la masa de la fuente puntual no es realmente una fuente puntual y el cuerpo que cae finalmente choca con alguna superficie. Por lo tanto, solo completa la mitad de la órbita. Pero dado que la parte descendente de la órbita es simétrica a la hipotética parte saliente de la órbita, podemos simplemente dividir el período de la órbita completa por dos para alcanzar el tiempo de caída libre (el tiempo a lo largo de la parte descendente de la órbita).
Esta fórmula también se deriva de la fórmula del tiempo de caída en función de la posición .
Tenga en cuenta que en la ecuación anterior, es el tiempo para que la masa caiga en una órbita muy excéntrica, haga un giro "en horquilla" en la masa central a una distancia de radio casi cero, y luego regrese a R cuando repita el giro muy brusco. Esta órbita corresponde a un movimiento casi lineal hacia atrás y desde la distancia R a la distancia 0. Como se señaló anteriormente, esta órbita tiene solo la mitad de un semieje mayor ( R / 2 ) que una órbita circular con radio R (donde el semieje mayor es R ) , y por lo tanto, el período para la "órbita" de alta excentricidad más corta es el de uno con un eje de R / 2 y una longitud de trayectoria orbital total de sólo el doble de la distancia de caída. Por lo tanto, según la tercera ley de Kepler, con la mitad del radio del semieje mayor se necesita solo (1/2) 3/2 = (1/8) 1/2 del período de tiempo, como la órbita circular "correspondiente" que tiene una radio constante igual que el radio máximo de la órbita excéntrica (que va esencialmente a un radio cero desde el primario en su otro extremo).
El tiempo para recorrer la mitad de la distancia R , que es el tiempo de caída desde R a lo largo de una órbita excéntrica, es el tiempo de Kepler para una órbita circular de R / 2 (no R), que es (1/32) 1/2 veces la periodo P de la órbita circular a R . Por ejemplo, el tiempo para que un objeto en la órbita de la Tierra alrededor del Sol, caiga en el Sol si se detuviera repentinamente en órbita, sería, donde P es un año. Esto es aproximadamente 64,6 días.
Caída de una distribución de masa esféricamente simétrica
Ahora, considere un caso donde la masa no es una masa puntual, sino que se distribuye en una distribución esféricamente simétrica alrededor del centro, con una densidad de masa promedio de ,
- ,
donde el volumen de una esfera es:
Supongamos que la única fuerza que actúa es la gravedad. Entonces, como lo demostró Newton por primera vez , y se puede demostrar fácilmente usando el teorema de la divergencia , la aceleración de la gravedad a cualquier distancia dada desde el centro de la esfera depende sólo de la masa total contenida dentro . La consecuencia de este resultado es que si uno imaginara romper la esfera en una serie de conchas concéntricas, cada capa colapsaría solo después de las conchas que están dentro de ella, y ninguna concha se cruzaría durante el colapso. Como resultado, el tiempo de caída libre de una partícula sin masa en puede expresarse únicamente en términos de la masa total interior a ella. En términos de densidad media interior a, el tiempo de caída libre es [1]
donde este último está en unidades SI .
Este resultado es exactamente el mismo que en la sección anterior cuando:.
Aplicaciones
El tiempo de caída libre es una estimación muy útil de la escala de tiempo relevante para varios procesos astrofísicos. Para tener una idea de su aplicación, podemos escribir
Aquí hemos estimado el valor numérico del tiempo de caída libre en aproximadamente 35 minutos para un cuerpo de densidad media de 1 g / cm 3 .
Comparación
Para un objeto que cae desde el infinito en una órbita de captura , el tiempo que tarda desde una posición dada en caer hasta la masa del punto central es el mismo que el tiempo de caída libre, excepto por una constante ≈ 0,42.
Referencias
- ^ Estructura estelar y evolución Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3ª ed. p.257 ISBN 3-540-58013-1
- Dinámica galáctica Binney, James; Tremaine, Scott. Prensa de la Universidad de Princeton, 1987.