Función (matemáticas)

Mapeo que asocia un solo valor de salida a cada entrada

"f (x)" vuelve a dirigir aquí. Para el grupo musical, vea f (x) (grupo musical) .

Función
x ↦ f  ( x )
Ejemplos por dominio y codominio
X → B , B → X , B n → B X → Z , Z → X X → R , R → X , R n → X X → C , C → X , C n → X
Clases / propiedades
Constante Identidad Lineal Polinomio Racional Algebraico Analítico Liso Continuo Mensurable Inyectable Sobreyectiva Biyectiva
Construcciones
Restricción Composición λ Inverso
Generalizaciones
Parcial Multivalor Implícito
v t mi

En matemáticas , una función ^{[nota 1]} es una relación binaria entre dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del segundo conjunto. Los ejemplos típicos son funciones de enteros a enteros, o de números reales a números reales.

Las funciones fueron originalmente la idealización de cómo una cantidad variable depende de otra cantidad. Por ejemplo, la posición de un planeta es función del tiempo. Históricamente , el concepto se elaboró ​​con el cálculo infinitesimal a finales del siglo XVII y, hasta el siglo XIX, las funciones que se consideraban eran diferenciables (es decir, tenían un alto grado de regularidad). El concepto de función se formalizó a finales del siglo XIX en términos de teoría de conjuntos , lo que amplió enormemente los dominios de aplicación del concepto.

Una función es un proceso o una relación que asocia cada elemento x de un conjunto X , el dominio de la función, a un solo elemento y de otro conjunto Y (posiblemente el mismo conjunto), el codominio de la función. Es habitualmente se denota por letras como f , g y h . ^[1]

Si la función se llama f , esta relación se denota por y = f  ( x ) (que dice " f de x "), donde el elemento x es el argumento o entrada de la función, y y es el valor de la función , la salida , o la imagen de x por f . ^[2] El símbolo que se utiliza para representar la entrada es la variable de la función (por ejemplo, f es una función de la variable x). ^[3]

Una función está representada de forma única por el conjunto de todos los pares ( x , f  ( x )) , llamado gráfico de la función. ^{[nota 2] [4]} Cuando el dominio y el codominio son conjuntos de números reales, cada uno de estos pares puede considerarse como las coordenadas cartesianas de un punto en el plano. El conjunto de estos puntos se llama gráfico de la función; es un medio popular de ilustrar la función.

Las funciones se utilizan ampliamente en la ciencia y en la mayoría de los campos de las matemáticas. Se ha dicho que las funciones son "los objetos centrales de investigación" en la mayoría de los campos de las matemáticas. ^[5]

Representación esquemática de una función descrita metafóricamente como una "máquina" o " caja negra " que para cada entrada produce una salida correspondiente.

La curva roja es el gráfico de una función , porque cualquier línea vertical tiene exactamente un punto de cruce con la curva.

Una función que asocia cualquiera de las cuatro formas coloreadas a su color.

Definición

Este diagrama, que representa el conjunto de pares {(1, D), (2, B), (2, C)} , no define una función. Una razón es que 2 es el primer elemento en más de un par ordenado, (2, B) y (2, C) , de este conjunto. Otras dos razones, también suficientes por sí mismas, es que ni 3 ni 4 son primeros elementos (entrada) de ningún par ordenado en el mismo.

Intuitivamente, una función es un proceso que asocia cada elemento de un conjunto X , a un solo elemento de un conjunto Y .

Formalmente, una función f de un conjunto X a un conjunto Y está definida por un conjunto G de pares ordenados ( x , y ) con x ∈ X , y ∈ Y , de modo que cada elemento de X es el primer componente de exactamente uno ordenado pair en G . ^{[6] [nota 3]} En otras palabras, para cada x en X , hay exactamente un elemento y tal que el par ordenado ( x , y )pertenece al conjunto de pares que definen la función f . El conjunto G se llama gráfico de la función . En ocasiones, puede identificarse con la función, pero esto oculta la interpretación habitual de una función como proceso. Por lo tanto, en el uso común, la función generalmente se distingue de su gráfico.

Las funciones también se denominan mapas o asignaciones , aunque algunos autores hacen alguna distinción entre "mapas" y "funciones" (consulte la sección #Map ).

El hecho de f es una función del conjunto X al conjunto Y se denota formalmente por f : X → Y . En la definición de una función, X e Y se denominan respectivamente dominio y codominio de la función f . ^[7] Si ( x , y ) pertenece al conjunto que define f , entonces y es la imagen de x debajo de f , o el valor def aplicado al argumento x . En el contexto de los números en particular, también se dice que y es el valor de f para el valor x de su variable , o, más concisamente, que y es el valor de f de x , denotado como y = f ( x ) .

Dos funciones f y g son iguales, si su dominio y conjuntos codomain son los mismos y sus valores de salida están de acuerdo en todo el dominio. Más formalmente, f = g si f ( x ) = g ( x ) para todo x ∈ X , donde f : X → Y y g : X → Y . ^{[8] [9] [nota 4]}

El dominio y el codominio no siempre se dan explícitamente cuando se define una función y, sin algún cálculo (posiblemente difícil), uno solo podría saber que el dominio está contenido en un conjunto más grande. Normalmente, esto ocurre en el análisis matemático , donde "una función de X a Y " a menudo se refiere a una función que puede tener un subconjunto adecuado ^{[nota 5]} de X como dominio. Por ejemplo, una "función de los reales a los reales" puede referirse a una función de valor real de una variable real . Sin embargo, una "función de los reales a los reales" no significa que el dominio de la función sea el conjunto completo de los números reales., pero solo que el dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo abierto no vacío . Esta función se denomina función parcial . Por ejemplo, si f es una función que tiene los números reales como dominio y codominio, entonces una función asigna el valor x al valor g ( x ) =1/f ( x )es una función g de los reales a los reales, cuyo dominio es el conjunto de los reales x , tal que f ( x ) ≠ 0 .

El rango de una función es el conjunto de imágenes de todos los elementos del dominio. ^{[10] [11] [12] [13]} Sin embargo, rango se usa a veces como sinónimo de codominio, ^{[13] [14]} generalmente en libros de texto antiguos. ^{[ cita requerida ]}

Enfoque relacional

Cualquier subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos X e Y define una relación binaria R ⊆ X × Y entre estos dos conjuntos. Es inmediato que una relación arbitraria puede contener pares que violan las condiciones necesarias para una función dada anteriormente.

Una relación binaria es funcional (también llamada derecha única) si

${\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}$

Una relación binaria es serial (también llamada total izquierdo) si

${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.}$

Una función parcial es una relación binaria que es funcional.

Una función es una relación binaria que es funcional y serial. Varias propiedades de funciones y composición de funciones pueden reformularse en el lenguaje de las relaciones. ^[15] Por ejemplo, una función es inyectiva si la relación inversa R ^T ⊆ Y × X es funcional, donde la relación inversa se define como R ^T = {( y , x ): ( x , y ) ∈ R }.

Como elemento de un producto cartesiano sobre un dominio

El conjunto de todas las funciones de un dominio dado a un codominio a veces se identifica con el producto cartesiano de copias del codominio, indexadas por el dominio. Es decir, dados los conjuntos X e Y , cualquier función f : X → Y es un elemento del producto cartesiano de copias de Y s sobre el conjunto de índices X

f ∈ Π _X Y = Y ^X .

Visualización de f como tupla con coordenadas, entonces para cada x ∈ \ X , el X º de coordenadas de esta tupla es el valor de f ( x ) ∈ Y . Esto refleja la intuición de que para cada x ∈ X , la función elige algún elemento y ∈ Y , a saber, f ( x ) . (Este punto de vista se utiliza, por ejemplo, en la discusión de una función de elección ).

Los productos cartesianos infinitos a menudo se "definen" simplemente como conjuntos de funciones. ^[dieciséis]

Notación

Hay varias formas estándar de denotar funciones. La notación más utilizada es la notación funcional, que define la función mediante una ecuación que proporciona los nombres de la función y el argumento de forma explícita. Esto da lugar a un punto sutil que a menudo se pasa por alto en los tratamientos elementales de las funciones: las funciones son distintas de sus valores . Por tanto, una función f debe distinguirse de su valor f ( x ₀ ) en el valor x ₀ en su dominio. Hasta cierto punto, incluso los matemáticos que trabajan combinarán los dos en entornos informales por conveniencia y para evitar parecer pedantes. Sin embargo, estrictamente hablando, es unabuso de notación para escribir " sea ​​la función f ( x ) = x ² ", ya que f ( x ) y x ² deben entenderse como el valor de f en x , en lugar de la función en sí. En cambio, es correcto, aunque prolijo, escribir " sea ​​la función definida por la ecuación f ( x ) = x ² para todo x en ". Una frase compacta es "let with f ( x ) =${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$x ² , "donde el redundante" ser la función "se omite y, por convención,se entiende" para todosen el dominio de".${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

Esta distinción en lenguaje y notación puede volverse importante, en los casos en que las funciones mismas sirven como entradas para otras funciones. (Una función que toma otra función como entrada se denomina funcional ). Otros enfoques de funciones de notación, que se detallan a continuación, evitan este problema, pero se utilizan con menos frecuencia.

Notación funcional

Como fue utilizado por primera vez por Leonhard Euler en 1734, ^{[17] las} funciones se indican mediante un símbolo que consiste generalmente en una sola letra en cursiva , la mayoría de las veces las letras minúsculas f , g , h . ^[1] Algunas funciones ampliamente utilizadas están representadas por un símbolo que consta de varias letras (generalmente dos o tres, generalmente una abreviatura de su nombre). En cuyo caso, se suele utilizar un tipo de letra romana , como " sin " para la función sinusoidal , en contraste con la fuente cursiva para los símbolos de una sola letra.

La notación (lea: " y es igual a f de x ")

${\displaystyle y=f(x)}$

significa que el par ( x , y ) pertenece al conjunto de pares que definen la función f . Si X es el dominio de f , el conjunto de pares que definen la función es, por tanto, utilizando la notación del constructor de conjuntos ,

${\displaystyle \{(x,f(x)):x\in X\}.}$

A menudo, la definición de la función viene dada por lo que hace f con el argumento explícito x . Por ejemplo, una función f puede definirse mediante la ecuación

${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

para todos los números reales x . En este ejemplo, se puede pensar en f como la combinación de varias funciones más simples: elevar al cuadrado, sumar 1 y tomar el seno. Sin embargo, solo la función seno tiene un símbolo explícito común (sin), mientras que la combinación de elevar al cuadrado y luego sumar 1 se describe mediante la expresión polinomial x ² + 1 . Para hacer referencia explícita a funciones como elevar al cuadrado o sumar 1 sin introducir nuevos nombres de función (por ejemplo, definiendo la función g y h por g ( x ) = x ² y h ( x ) = x + 1), se puede utilizar uno de los métodos siguientes (notación de flechas o notación de puntos).

Cuando el símbolo que denota la función consta de varios caracteres y no puede surgir ninguna ambigüedad, se pueden omitir los paréntesis de la notación funcional. Por ejemplo, es común escribir sin x en lugar de sin ( x ) .

Notación de flechas

Para expresar explícitamente el dominio X y el codominio Y de una función f , a menudo se usa la notación de flecha (lea: "la función f de X a Y " o "la función f mapeando elementos de X a elementos de Y " ):

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

o

${\displaystyle X~{\stackrel {f}{\to }}~Y.}$

Esto se utiliza a menudo en relación con la notación de flecha para los elementos (es decir: " f mapea x a f  ( x ) "), a menudo apilados inmediatamente debajo de la flecha notación dando el símbolo de función, el dominio y codominio:

${\displaystyle x\mapsto f(x).}$

Por ejemplo, si una multiplicación se define en un conjunto X , entonces la función cuadrada SQR en X es inequívocamente definido por (es decir: "la función SQR de X a X que mapea x a x ⋅ x ")

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon X&\to X\\x&\mapsto x\cdot x,\end{aligned}}}$

la última línea se escribe más comúnmente

${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

A menudo, se omite la expresión que proporciona el símbolo de la función, el dominio y el codominio. Por tanto, la notación de flecha es útil para evitar introducir un símbolo para una función que se define, como suele ser el caso, por una fórmula que expresa el valor de la función en términos de su argumento. Como una aplicación común de la notación de flechas, supongamos que es una función de dos argumentos, y queremos referirnos a una función aplicada parcialmente producida al fijar el segundo argumento al valor t ₀ sin introducir un nuevo nombre de función. El mapa en cuestión podría indicarse utilizando la notación de flecha para los elementos. La expresión (es decir: "el mapa toma de x a f ( x , t${\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$ ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$₀ ) ") representa esta nueva función con un solo argumento, mientras que la expresión f ( x ₀ , t ₀ ) se refiere al valor de la función f en el punto ( x ₀ , t ₀ ) .

Notación de índice

La notación de índice se usa a menudo en lugar de la notación funcional. Es decir, en lugar de escribir f  ( x ) , se escribe${\displaystyle f_{x}.}$

Este suele ser el caso de funciones cuyo dominio es el conjunto de los números naturales . Esta función se denomina secuencia y, en este caso, el elemento se denomina n- ésimo elemento de secuencia.${\displaystyle f_{n}}$

La notación de índice también se usa a menudo para distinguir algunas variables llamadas parámetros de las "variables verdaderas". De hecho, los parámetros son variables específicas que se consideran fijas durante el estudio de un problema. Por ejemplo, el mapa (ver arriba) se denotaría usando notación de índice, si definimos la colección de mapas por la fórmula para todos .${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

Notación de puntos

En la notación, el símbolo x no representa ningún valor, es simplemente un marcador de posición, lo que significa que, si x se reemplaza por cualquier valor a la izquierda de la flecha, debe reemplazarse por el mismo valor a la derecha de la flecha. Por lo tanto, x puede ser reemplazado por cualquier símbolo, a menudo un interpunto " ⋅ ". Esto puede ser útil para distinguir la función f (⋅) de su valor f ( x ) en x .${\displaystyle x\mapsto f(x),}$  

Por ejemplo, puede estar de pie para la función , y puede representar una función definida por una integral con la variable límite superior: .${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\displaystyle \textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Notaciones especializadas

Hay otras notaciones especializadas para funciones en subdisciplinas de las matemáticas. Por ejemplo, en álgebra lineal y análisis funcional , las formas lineales y los vectores sobre los que actúan se denotan usando un par dual para mostrar la dualidad subyacente . Esto es similar al uso de la notación bra-ket en mecánica cuántica. En lógica y teoría de la computación , la notación de función del cálculo lambda se usa para expresar explícitamente las nociones básicas de abstracción y aplicación de funciones . En teoría de categoríasy el álgebra homológica , las redes de funciones se describen en términos de cómo ellas y sus composiciones se conmutan entre sí mediante diagramas conmutativos que amplían y generalizan la notación de flechas para las funciones descritas anteriormente.

Otros términos

Para una cobertura más amplia de este tema, consulte Mapa (matemáticas) .

Término	Distinción de "función"
Mapa / Mapeo	Ninguno; los términos son sinónimos. [18]
	Un mapa puede tener cualquier conjunto como su codominio, mientras que, en algunos contextos, típicamente en libros más antiguos, el codominio de una función es específicamente el conjunto de números reales o complejos . [19]
	Alternativamente, un mapa se asocia con una estructura especial (por ejemplo, especificando explícitamente un codominio estructurado en su definición). Por ejemplo, un mapa lineal . [20]
Homomorfismo	Una función entre dos estructuras del mismo tipo que conserva las operaciones de la estructura (por ejemplo, un homomorfismo de grupo ). [21] [22]
Morfismo	Una generalización de homomorfismos a cualquier categoría , incluso cuando los objetos de la categoría no son conjuntos (por ejemplo, un grupo define una categoría con un solo objeto, que tiene los elementos del grupo como morfismos; ver Categoría (matemáticas) § Ejemplos para este ejemplo y otros similares). [23] [21] [24]

Una función a menudo también se denomina mapa o mapeo , pero algunos autores hacen una distinción entre el término "mapa" y "función". Por ejemplo, el término "mapa" a menudo se reserva para una "función" con algún tipo de estructura especial (por ejemplo, mapas de variedades ). En particular, el mapa se usa a menudo en lugar del homomorfismo en aras de la concisión (por ejemplo, mapa lineal o mapa de G a H en lugar del homomorfismo de grupo de G a H ). Algunos autores ^{[25] se} reservan el mapeo de palabras para el caso en que la estructura del codominio pertenece explícitamente a la definición de la función.

Algunos autores, como Serge Lang , ^[26] usan "función" solo para referirse a mapas para los cuales el codominio es un subconjunto de los números reales o complejos , y usan el término mapeo para funciones más generales.

En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos . Véase también el mapa de Poincaré .

Cualquiera que sea la definición de mapa que se utilice, los términos relacionados como dominio , codominio , inyectivo , continuo tienen el mismo significado que para una función.

Especificar una función

Dada una función , por definición, a cada elemento del dominio de la función , hay un elemento único asociado a él, el valor de at . Hay varias formas de especificar o describir cómo se relaciona , tanto explícita como implícitamente. A veces, un teorema o un axioma afirma la existencia de una función que tiene algunas propiedades, sin describirla con mayor precisión. A menudo, la especificación o descripción se denomina definición de la función .${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

Listando valores de función

En un conjunto finito, una función puede definirse enumerando los elementos del codominio que están asociados a los elementos del dominio. Por ejemplo, si , entonces uno puede definir una función por${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

Por una fórmula

Las funciones a menudo se definen mediante una fórmula que describe una combinación de operaciones aritméticas y funciones previamente definidas; tal fórmula permite calcular el valor de la función a partir del valor de cualquier elemento del dominio. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, se puede definir mediante la fórmula , para .${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

Cuando una función se define de esta manera, la determinación de su dominio a veces es difícil. Si la fórmula que define la función contiene divisiones, los valores de la variable para la cual un denominador es cero deben excluirse del dominio; así, para una función complicada, la determinación del dominio pasa por el cálculo de los ceros de las funciones auxiliares. Del mismo modo, si las raíces cuadradas se producen en la definición de una función a partir de dominio está incluido en el conjunto de los valores de la variable para la que los argumentos de las raíces cuadradas son no negativos.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Por ejemplo, define una función cuyo dominio es porque siempre es positivo si x es un número real. Por otro lado, define una función de los reales a los reales cuyo dominio se reduce al intervalo [–1, 1] . (En textos antiguos, tal dominio se llamaba dominio de definición de la función).${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

Las funciones a menudo se clasifican por la naturaleza de las fórmulas que pueden definirlas:

• Una función cuadrática es una función que se puede escribir donde a , b , c son constantes .${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• De manera más general, una función polinomial es una función que se puede definir mediante una fórmula que incluye solo sumas, restas, multiplicaciones y exponenciación a números enteros no negativos. Por ejemplo, y${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1,}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1.}$
• Una función racional es la misma, con divisiones también permitidas, como y${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• Una función algebraica es el mismo, con N th raíces y las raíces de los polinomios también permitidos.
• Una función elemental ^{[nota 6]} es la misma, con logaritmos y funciones exponenciales permitidas.

Funciones inversas e implícitas

Una función con dominio X y codominio Y , es biyectiva , si para cada y en Y , hay uno y solo un elemento x en X tal que y = f ( x ) . En este caso, la función inversa de f es la función que se asigna al elemento tal que y = f ( x ) . Por ejemplo, el logaritmo natural${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$es una función biyectiva de los números reales positivos a los números reales. Por lo tanto, tiene una inversa, llamada función exponencial , que asigna los números reales a los números positivos.

Si una función no es biyectiva, puede ocurrir que uno puede seleccionar subconjuntos y tal que la restricción de f a E es una biyección de E a F , y tiene por lo tanto una inversa. Las funciones trigonométricas inversas se definen de esta manera. Por ejemplo, la función coseno induce, por restricción, una biyección del intervalo [0, π ] al intervalo [–1, 1] , y su función inversa, llamada arcocoseno , asigna [–1, 1] a [0, π ]${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$ . Las otras funciones trigonométricas inversas se definen de manera similar.

De manera más general, dada una relación binaria R entre dos conjuntos X e Y , sea E un subconjunto de X tal que, para cada, haya algo tal que x R y . Si uno tiene un criterio que permite la selección de tales una y por cada Esto define una función denominada una función implícita , porque está implícitamente definida por la relación R .${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f\colon E\to Y,}$

Por ejemplo, la ecuación del círculo unitario define una relación con números reales. Si –1 < x <1 hay dos valores posibles de y , uno positivo y otro negativo. Para x = ± 1 , estos dos valores se vuelven ambos iguales a 0. De lo contrario, no hay valor posible de y . Esto significa que la ecuación define dos funciones implícitas con dominio [–1, 1] y codominios respectivos [0, + ∞) y (–∞, 0] .${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

En este ejemplo, la ecuación se puede resolver en y , dando pero, en ejemplos más complicados, esto es imposible. Por ejemplo, la relación define y como una función implícita de x , llamada radical Bring , que tiene como dominio y rango. El radical Bring no se puede expresar en términos de las cuatro operaciones aritméticas y las raíces n .${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+x+1=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

El teorema de la función implícita proporciona condiciones de diferenciación moderadas para la existencia y unicidad de una función implícita en la vecindad de un punto.

Usando cálculo diferencial

Muchas funciones pueden definirse como la antiderivada de otra función. Este es el caso del logaritmo natural , que es la antiderivada de 1 / x que es 0 para x = 1 . Otro ejemplo común es la función de error .

De manera más general, muchas funciones, incluidas la mayoría de las funciones especiales , pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales . El ejemplo más simple es probablemente la función exponencial , que se puede definir como la función única que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0 .

Las series de potencias se pueden utilizar para definir funciones en el dominio en el que convergen. Por ejemplo, la función exponencial viene dada por . Sin embargo, como los coeficientes de una serie son bastante arbitrarios, una función que es la suma de una serie convergente generalmente se define de otra manera, y la secuencia de los coeficientes es el resultado de algún cálculo basado en otra definición. Luego, la serie de potencias se puede utilizar para ampliar el dominio de la función. Normalmente, si una función para una variable real es la suma de su serie de Taylor en algún intervalo, esta serie de potencias permite ampliar inmediatamente el dominio a un subconjunto de los números complejos , el disco de convergencia de la serie. Luego${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$La continuación analítica permite ampliar aún más el dominio para incluir casi todo el plano complejo . Este proceso es el método que se utiliza generalmente para definir el logaritmo , la exponencial y las funciones trigonométricas de un número complejo.

Por recurrencia

Artículo principal: Relación de recurrencia

Las funciones cuyo dominio son los enteros no negativos, conocidas como secuencias , a menudo se definen mediante relaciones de recurrencia .

La función factorial sobre los enteros no negativos ( ) es un ejemplo básico, ya que se puede definir por la relación de recurrencia${\displaystyle n\mapsto n!}$

${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$

y la condición inicial

${\displaystyle 0!=1.}$

Representando una función

Un gráfico se usa comúnmente para dar una imagen intuitiva de una función. Como ejemplo de cómo un gráfico ayuda a comprender una función, es fácil ver en su gráfico si una función aumenta o disminuye. Algunas funciones también pueden estar representadas por gráficos de barras .

Gráficos y diagramas

Artículo principal: Gráfico de una función

La función que asigna cada año a su recuento de muertes de vehículos motorizados en EE. UU., Se muestra como un gráfico de líneas

La misma función, mostrada como un gráfico de barras

Dada una función, su gráfica es, formalmente, el conjunto${\displaystyle f\colon X\to Y,}$

${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$

En el caso frecuente en el que X e Y son subconjuntos de los números reales (o pueden identificarse con tales subconjuntos, por ejemplo, intervalos ), un elemento puede identificarse con un punto que tiene coordenadas x , y en un sistema de coordenadas bidimensional, por ejemplo, el Plano cartesiano . Partes de esto pueden crear una gráfica que represente (partes de) la función. El uso de gráficos es tan omnipresente que también se les llama gráfico de la función . Las representaciones gráficas de funciones también son posibles en otros sistemas de coordenadas. Por ejemplo, la gráfica de la función cuadrada${\displaystyle (x,y)\in G}$

${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$

que consta de todos los puntos con coordenadas para producir, cuando se representa en coordenadas cartesianas, la conocida parábola . Si la misma función cuadrática con el mismo gráfico formal, que consta de pares de números, se traza en cambio en coordenadas polares, la trama obtenida es la espiral de Fermat .${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$ ${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

Tablas

Artículo principal: tabla matemática

Una función se puede representar como una tabla de valores. Si el dominio de una función es finito, entonces la función se puede especificar completamente de esta manera. Por ejemplo, la función de multiplicación definida como puede representarse mediante la conocida tabla de multiplicar${\displaystyle f\colon \{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

y X	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5
2	2	4	6	8	10
3	3	6	9	12	15
4	4	8	12	dieciséis	20
5	5	10	15	20	25

Por otro lado, si el dominio de una función es continuo, una tabla puede dar los valores de la función en valores específicos del dominio. Si se necesita un valor intermedio, se puede utilizar la interpolación para estimar el valor de la función. Por ejemplo, una parte de una tabla para la función seno se puede dar de la siguiente manera, con valores redondeados a 6 lugares decimales:

X	pecado x
1.289	0,960557
1.290	0,960835
1.291	0.961112
1.292	0.961387
1.293	0.961662

Antes de la llegada de las calculadoras de mano y las computadoras personales, estas tablas se compilaban y publicaban a menudo para funciones como logaritmos y funciones trigonométricas.

Gráfico de barras

Artículo principal: gráfico de barras

Los gráficos de barras se utilizan a menudo para representar funciones cuyo dominio es un conjunto finito, los números naturales o los enteros . En este caso, un elemento x del dominio está representado por un intervalo del eje x , y el valor correspondiente de la función, f ( x ) , está representado por un rectángulo cuya base es el intervalo correspondiente ax y cuya altura es f ( x ) (posiblemente negativo, en cuyo caso la barra se extiende por debajo del eje x ).

Propiedades generales

Esta sección describe las propiedades generales de las funciones, que son independientes de las propiedades específicas del dominio y el codominio.

Funciones estándar

Hay una serie de funciones estándar que ocurren con frecuencia:

• Para cada conjunto X , existe una función única, llamada la función de vacío del conjunto vacío a X . El gráfico de una función vacía es el conjunto vacío. ^{[nota 7]} La existencia de la función vacía es una convención necesaria para la coherencia de la teoría y para evitar excepciones relativas al conjunto vacío en muchos enunciados.
• Para cada conjunto X y cada conjunto único { s } , hay una función única de X a { s } , que mapea cada elemento de X a s . Esta es una sobreyección (ver más abajo) a menos que X sea ​​el conjunto vacío.
• Dada una función del surjection canónica de f en su imagen es la función de X para f ( X ) que mapea x a f ( x ) .${\displaystyle f\colon X\to Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• Para cada subconjunto A de un conjunto X , el mapa de inclusión de A en X es la función inyectiva (ver más abajo) que asigna cada elemento de A a sí mismo.
• La función de identidad en un conjunto X , a menudo denotada por id _X , es la inclusión de X en sí mismo.

Composición de funciones

Artículo principal: Composición de funciones

Dadas dos funciones y tales que el dominio de g es el codominio de f , su composición es la función definida por${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle g\colon Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f\colon X\rightarrow Z}$

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$

Esto es, el valor de se obtiene aplicando primero f a x para obtener y = f ( x ) y luego aplicando g al resultado y para obtener g ( y ) = g ( f ( x )) . En la notación, la función que se aplica primero siempre se escribe a la derecha.${\displaystyle g\circ f}$

La composición es una operación sobre funciones que se define solo si el codominio de la primera función es el dominio de la segunda. Incluso cuando ambos y satisfacen estas condiciones, la composición no es necesariamente conmutativa , es decir, las funciones y no necesitan ser iguales, pero pueden entregar valores diferentes para el mismo argumento. Por ejemplo, supongamos que f ( x ) = x ² y g ( x ) = x + 1 , luego y de acuerdo solo para${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

La composición de la función es asociativa en el sentido de que, si uno de y está definido, el otro también está definido y son iguales. Así, se escribe${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$

${\displaystyle h\circ g\circ f=(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$

Las funciones de identidad y son respectivamente una identidad derecha y una identidad izquierda para las funciones de X a Y . Es decir, si f es una función con dominio X y codominio Y , uno tiene${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• Una función compuesta g ( f ( x )) se puede visualizar como la combinación de dos "máquinas".

• Un ejemplo simple de una composición de funciones

• Otra composición. En este ejemplo, ( g  ∘  f  ) (c) = # .

Imagen y preimagen

Artículo principal: Imagen (matemáticas)

Sea La imagen bajo f de un elemento x del dominio X es f ( x ) . ^[10] Si A es cualquier subconjunto de X , entonces la imagen de A debajo de f , denotada f ( A ) , es el subconjunto del codominio Y que consta de todas las imágenes de elementos de A , ^[10] es decir,${\displaystyle f\colon X\to Y.}$

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$

La imagen de f es la imagen de todo el dominio, es decir, f ( X ) . ^[14] También se llama rango de f , ^{[10] [11] [12] [13]} aunque el término rango también puede referirse al codominio. ^{[13] [14] [27]}

Por otro lado, la imagen inversa o preimagen bajo f de un elemento y del codominio Y es el conjunto de todos los elementos del dominio X cuyas imágenes bajo f son iguales a y . ^[10] En símbolos, la preimagen de y se denota y viene dada por la ecuación${\displaystyle f^{-1}(y)}$

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$

Del mismo modo, la imagen inversa de un subconjunto B de la codomain Y es el conjunto de los preimages de los elementos de B , es decir, que es el subconjunto del dominio X que consiste en todos los elementos de X cuyas imágenes pertenecer a B . ^[10] Se denota y viene dada por la ecuación${\displaystyle f^{-1}(B)}$

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$

Por ejemplo, la preimagen de debajo de la función cuadrada es el conjunto .${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

Por definición de función, la imagen de un elemento x del dominio es siempre un solo elemento del codominio. Sin embargo, la preimagen de un elemento y del codominio puede estar vacía o contener cualquier número de elementos. Por ejemplo, si f es la función de los enteros a sí mismos que asigna cada entero a 0, entonces .${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

Si es una función, A y B son subconjuntos de X , y C y D son subconjuntos de Y , entonces uno tiene las siguientes propiedades:${\displaystyle f\colon X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

La preimagen por f de un elemento y del codominio a veces se denomina, en algunos contextos, la fibra de y bajo f .

Si una función f tiene una inversa (véase más adelante), este inversa se denota En este caso puede denotar ya sea la imagen o la imagen inversa por f de C . Esto no es un problema, ya que estos conjuntos son iguales. La notación y puede ser ambigua en el caso de conjuntos que contienen algunos subconjuntos como elementos, como En este caso, puede ser necesario tener cuidado, por ejemplo, utilizando corchetes para imágenes y preimágenes de subconjuntos y paréntesis ordinarios para imágenes y preimágenes de elementos.${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

Sea una función.${\displaystyle f\colon X\to Y}$

La función f es inyectiva (o uno-a-uno , o es una inyección ) si f ( un ) ≠ f ( b ) para cualquier par de elementos diferentes a y b de X . ^{[14] [28] De manera} equivalente, f es inyectiva si y solo si, para cualquiera, la preimagen contiene como máximo un elemento. Una función vacía siempre es inyectiva. Si X no es el conjunto vacío, entonces f es inyectiva si y solo si existe una función tal que es, si${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$f tiene una inversa izquierda . ^[28] Demostración : Si f es inyectiva, para definir g , se elige un elemento en X (que existe como X se supone que no está vacío), ^{[nota 8]} y se define g por si y si A la inversa, si y luego y por lo tanto${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\not \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

La función f es sobreyectiva (o sobre , o es una sobreyección ) si su rango es igual a su codominio , es decir, si, para cada elemento del codominio, existe algún elemento del dominio tal que (en otras palabras, la preimagen de todo no está vacío). ^{[14] [29]} Si, como es habitual en las matemáticas modernas, se asume el axioma de elección , entonces f es sobreyectiva si y solo si existe una función tal que , es decir, si f tiene una inversa derecha . ^[29]${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$Se necesita el axioma de elección, porque, si f es sobreyectiva, se define g por donde es un elemento elegido arbitrariamente de${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

La función f es biyectiva (o es una biyección o una correspondencia uno a uno ^[30] ) si es tanto inyectiva como sobreyectiva. ^{[14] [31]} Es decir, f es biyectiva si, para cualquiera, la preimagen contiene exactamente un elemento. La función f es biyectiva si y sólo si admite una función inversa , es decir, una función tal que y ^[31] (Contrariamente al caso de las sobreyecciones, esto no requiere el axioma de elección; la demostración es sencilla).${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g\colon Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

Cada función puede factorizar como la composición de un surjection seguido de una inyección, donde s es la surjection canónica de X en F ( X ) y i es la inyección canónica de f ( X ) en Y . Esta es la factorización canónica de f .${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle i\circ s}$

"Uno a uno" y "sobre" son términos que eran más comunes en la literatura en inglés más antigua; "injective", "surjective" y "bijective" fueron originalmente acuñadas como palabras francesas en el segundo cuarto del siglo XX por el grupo Bourbaki e importadas al inglés. ^{[ cita requerida ]} Como advertencia, "una función uno a uno" es una que es inyectiva, mientras que una "correspondencia uno a uno" se refiere a una función biyectiva. Además, la declaración " f mapea X en Y " difiere de " f mapea X en B ", en que la primera implica que fes sobreyectiva, mientras que este último no hace ninguna afirmación sobre la naturaleza de f . En un razonamiento complicado, la diferencia de una letra puede pasarse por alto fácilmente. Debido a la naturaleza confusa de esta terminología más antigua, estos términos han perdido popularidad en relación con los términos bourbakianos, que también tienen la ventaja de ser más simétricos.

Restricción y extensión

Artículo principal: Restricción (matemáticas)

Si es una función y S es un subconjunto de X , entonces la restricción de a S , denotada , es la función de S a Y definida por${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$

para todos x en S . Las restricciones pueden ser utilizados para definir las funciones inversas parciales: si existe un subconjunto S del dominio de una función tal que es inyectiva, entonces la canónica surjection de sobre su imagen es una biyección, y por lo tanto tiene una función inversa de a S . Una aplicación es la definición de funciones trigonométricas inversas . Por ejemplo, la función coseno es inyectiva cuando se restringe al intervalo [0, π ] . La imagen de esta restricción es el intervalo [–1, 1] y, por lo tanto, la restricción tiene una función inversa de${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$ [–1, 1] a [0, π ] , que se llama arcocoseno y se denota arccos .

La restricción de funciones también puede usarse para "pegar" funciones juntas. Sea la descomposición de X como una unión de subconjuntos, y suponga que se define una función en cada uno de modo que para cada par de índices, las restricciones de y a son iguales. Entonces esto define una función única tal que para todo i . Esta es la forma en que se definen las funciones en las variedades .${\displaystyle \textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}\colon U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f\colon X\to Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

Una extensión de una función f es una función g tal que f es una restricción de g . Un uso típico de este concepto es el proceso de continuación analítica , que permite extender funciones cuyo dominio es una pequeña parte del plano complejo a funciones cuyo dominio es casi la totalidad del plano complejo.

Aquí hay otro ejemplo clásico de una extensión de función que se encuentra al estudiar homografías de la línea real . Una homografía es una función tal que ad - bc ≠ 0 . Su dominio es el conjunto de todos los números reales diferentes de y su imagen es el conjunto de todos los números reales diferentes de Si se extiende la línea real a la línea real proyectada extendida incluyendo ∞ , se puede extender h a una biyección desde el real extendido línea a sí misma estableciendo y .${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

Función multivariante

Una operación binaria es un ejemplo típico de una función bivariada que asigna a cada par el resultado .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\circ y}$

Una función multivariante o función de varias variables es una función que depende de varios argumentos. Tales funciones se encuentran comúnmente. Por ejemplo, la posición de un automóvil en una carretera es función del tiempo recorrido y su velocidad promedio.

Más formalmente, una función de n variables es una función cuyo dominio es un conjunto de n tuplas. Por ejemplo, la multiplicación de enteros es una función de dos variables, o función bivariada , cuyo dominio es el conjunto de todos los pares (2-tuplas) de enteros, y cuyo codominio es el conjunto de enteros. Lo mismo es cierto para todas las operaciones binarias . De manera más general, cada operación matemática se define como una función multivariante.

El producto cartesiano de n conjuntos es el conjunto de todas las n tuplas tales que para cada i con . Por tanto, una función de n variables es una función${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle f\colon U\to Y,}$

donde el dominio U tiene la forma

${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

Cuando se usa la notación de funciones, generalmente se omiten los paréntesis que rodean las tuplas, escribiendo en lugar de${\displaystyle f(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle f((x_{1},x_{2})).}$

En el caso de que todos sean iguales al conjunto de números reales , uno tiene una función de varias variables reales . Si son iguales al conjunto de números complejos , uno tiene una función de varias variables complejas .${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Es común considerar también funciones cuyo codominio es producto de conjuntos. Por ejemplo, la división euclidiana asigna cada par ( a , b ) de números enteros con b ≠ 0 a un par de números enteros llamado cociente y el resto :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Euclidean division}}\colon \quad \mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\})&\to \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \\(a,b)&\mapsto (\operatorname {quotient} (a,b),\operatorname {remainder} (a,b)).\end{aligned}}}$

El codominio también puede ser un espacio vectorial . En este caso, se habla de una función con valores vectoriales . Si el dominio está contenido en un espacio euclidiano , o más generalmente en una variedad , una función con valores vectoriales a menudo se denomina campo vectorial .

En cálculo

La idea de función, a partir del siglo XVII, fue fundamental para el nuevo cálculo infinitesimal (ver Historia del concepto de función ). En ese momento, solo se consideraron las funciones de valor real de una variable real , y se asumió que todas las funciones eran suaves . Pero la definición pronto se extendió a funciones de varias variables y funciones de una variable compleja . En la segunda mitad del siglo XIX, se introdujo la definición matemáticamente rigurosa de una función y se definieron funciones con dominios y codominios arbitrarios.

Las funciones ahora se utilizan en todas las áreas de las matemáticas. En cálculo introductorio , cuando la palabra función se usa sin calificación, significa una función de valor real de una sola variable real. La definición más general de una función generalmente se presenta a los estudiantes universitarios de segundo o tercer año con especializaciones STEM, y en su último año se les presenta el cálculo en un entorno más amplio y riguroso en cursos como análisis real y análisis complejo .

Función real

Ver también: Análisis real

Gráfico de una función lineal

Gráfico de una función polinomial, aquí una función cuadrática.

Gráfica de dos funciones trigonométricas: seno y coseno .

Una función real es una función de valor real de una variable real , es decir, una función cuyo codominio es el campo de números reales y cuyo dominio es un conjunto de números reales que contiene un intervalo . En esta sección, estas funciones se denominan simplemente funciones .

Las funciones que se consideran más comúnmente en matemáticas y sus aplicaciones tienen cierta regularidad, es decir, son continuas , diferenciables e incluso analíticas . Esta regularidad asegura que estas funciones se puedan visualizar mediante sus gráficos . En esta sección, todas las funciones son diferenciables en algún intervalo.

Las funciones disfrutan de operaciones puntuales , es decir, si f y g son funciones, su suma, diferencia y producto son funciones definidas por

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$

Los dominios de las funciones resultantes son la intersección de los dominios de f y g . El cociente de dos funciones se define de manera similar por

${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$

pero el dominio de la función resultante se obtiene quitando los ceros de g de la intersección de los dominios de f y g .

Las funciones polinomiales están definidas por polinomios y su dominio es el conjunto completo de números reales. Incluyen funciones constantes , funciones lineales y funciones cuadráticas . Las funciones racionales son cocientes de dos funciones polinomiales, y su dominio son los números reales con un número finito de ellos eliminado para evitar la división por cero . La función racional más simple es la función cuya gráfica es una hipérbola y cuyo dominio es toda la recta real excepto 0.${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

La derivada de una función diferenciable real es una función real. Una antiderivada de una función real continua es una función real que es diferenciable en cualquier intervalo abierto en el que la función original es continua. Por ejemplo, la función es continua, e incluso diferenciable, en los números reales positivos. Por lo tanto, una antiderivada, que toma el valor cero para x = 1 , es una función diferenciable llamada logaritmo natural .${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Una función real f es monótona en un intervalo si el signo de no depende de la elección de x e y en el intervalo. Si la función es derivable en el intervalo, es monótona si el signo de la derivada es constante en el intervalo. Si una función real f es monótona en un intervalo I , tiene una función inversa , que es una función real con dominio f ( I ) y la imagen I . Así es como se definen las funciones trigonométricas inversas en términos de funciones trigonométricas${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$, donde las funciones trigonométricas son monótonas. Otro ejemplo: el logaritmo natural es monótono en los números reales positivos, y su imagen es la línea real completa; por lo tanto, tiene una función inversa que es una biyección entre los números reales y los números reales positivos. Esta inversa es la función exponencial .

Muchas otras funciones reales se definen mediante el teorema de la función implícita (la función inversa es un caso particular) o como soluciones de ecuaciones diferenciales . Por ejemplo, las funciones seno y coseno son las soluciones de la ecuación diferencial lineal

${\displaystyle y''+y=0}$

tal que

${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$

Función de valor vectorial

Artículos principales: función de valor vectorial y campo de vector

Cuando los elementos del codominio de una función son vectores , se dice que la función es una función con valores vectoriales. Estas funciones son particularmente útiles en aplicaciones, por ejemplo, en el modelado de propiedades físicas. Por ejemplo, la función que asocia a cada punto de un fluido su vector de velocidad es una función con valores vectoriales.

Algunas funciones con valores vectoriales se definen en un subconjunto de u otros espacios que comparten propiedades geométricas o topológicas de , como las variedades . Estas funciones con valores vectoriales reciben el nombre de campos vectoriales .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Espacio funcional

Artículos principales: Espacio funcional y análisis funcional

En el análisis matemático , y más específicamente en el análisis funcional , un espacio funcional es un conjunto de funciones con valores escalares o con valores vectoriales , que comparten una propiedad específica y forman un espacio vectorial topológico . Por ejemplo, las funciones suaves reales con un soporte compacto (es decir, son cero fuera de algún conjunto compacto ) forman un espacio funcional que está en la base de la teoría de distribuciones .

Los espacios funcionales juegan un papel fundamental en el análisis matemático avanzado, al permitir el uso de sus propiedades algebraicas y topológicas para estudiar las propiedades de las funciones. Por ejemplo, todos los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones de ordinarias o ecuaciones diferenciales parciales resultado del estudio de los espacios de función.

Funciones de varios valores

Artículo principal: función multivalor

Juntas, las dos raíces cuadradas de todos los números reales no negativos forman una única curva suave.

Varios métodos para especificar funciones de variables reales o complejas parten de una definición local de la función en un punto o en una vecindad de un punto, y luego extienden por continuidad la función a un dominio mucho mayor. Con frecuencia, como punto de partida, existen varios valores de partida posibles para la función.${\displaystyle x_{0},}$

Por ejemplo, al definir la raíz cuadrada como la función inversa de la función cuadrada, para cualquier número real positivo hay dos opciones para el valor de la raíz cuadrada, una de las cuales es positiva y se indica y otra es negativa y se indica Estas opciones define dos funciones continuas, ambas teniendo los números reales no negativos como dominio, y teniendo los números reales no negativos o no positivos como imágenes. Al mirar los gráficos de estas funciones, se puede ver que, juntas, forman una única curva suave . Por lo tanto, a menudo es útil considerar estas dos funciones de raíz cuadrada como una única función que tiene dos valores para x positivo , un valor para 0 y ningún valor para x negativo.${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$.

En el ejemplo anterior, una opción, la raíz cuadrada positiva, es más natural que la otra. Este no es el caso en general. Por ejemplo, consideremos la función implícita que asigna y a una raíz x de (vea la figura de la derecha). Para y = 0 se puede elegir para x. Según el teorema de la función implícita , cada elección define una función; para el primero, el dominio (máximo) es el intervalo [–2, 2] y la imagen es [–1, 1] ; para el segundo, el dominio es [–2, ∞) y la imagen es [1, ∞) ; para el último, el dominio es${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$(-∞, 2] y la imagen es (-∞, -1] . Como los tres gráficos juntos forman una curva suave, y no hay razón para preferir una opción, estas tres funciones a menudo se consideran como una sola de varios valores función de y que tiene tres valores para –2 < y <2 , y solo un valor para y ≤ –2 e y ≥ –2 .

La utilidad del concepto de funciones de valores múltiples es más clara cuando se consideran funciones complejas, típicamente funciones analíticas . El dominio al que puede extenderse una función compleja mediante la continuación analítica consiste generalmente en casi todo el plano complejo . Sin embargo, cuando se extiende el dominio a través de dos rutas diferentes, a menudo se obtienen valores diferentes. Por ejemplo, al extender el dominio de la función raíz cuadrada, a lo largo de una ruta de números complejos con partes imaginarias positivas, se obtiene i para la raíz cuadrada de –1; mientras que, cuando se extiende a través de números complejos con partes imaginarias negativas, se obtiene - i. Generalmente hay dos formas de resolver el problema. Se puede definir una función que no sea continua a lo largo de alguna curva, denominada corte de rama . Esta función se denomina valor principal de la función. La otra forma es considerar que se tiene una función de múltiples valores , que es analítica en todas partes excepto en las singularidades aisladas, pero cuyo valor puede "saltar" si se sigue un circuito cerrado alrededor de una singularidad. Este salto se llama monodromía .

En los fundamentos de las matemáticas y la teoría de conjuntos

La definición de función que se da en este artículo requiere el concepto de conjunto , ya que el dominio y el codominio de una función deben ser un conjunto. Esto no es un problema en las matemáticas habituales, ya que generalmente no es difícil considerar solo funciones cuyo dominio y codominio son conjuntos, que están bien definidos, incluso si el dominio no está definido explícitamente. Sin embargo, a veces es útil considerar funciones más generales.

Por ejemplo, el conjunto singleton puede considerarse como una función. Su dominio incluiría todos los conjuntos y, por lo tanto, no sería un conjunto. En las matemáticas habituales, se evita este tipo de problema especificando un dominio, lo que significa que se tienen muchas funciones singleton. Sin embargo, al establecer los fundamentos de las matemáticas, es posible que tenga que utilizar funciones cuyo dominio, codominio o ambos no están especificados, y algunos autores, a menudo lógicos, dan una definición precisa para estas funciones débilmente especificadas. ^[32]${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

Estas funciones generalizadas pueden ser críticas en el desarrollo de una formalización de los fundamentos de las matemáticas . Por ejemplo, la teoría de conjuntos de Von Neumann – Bernays – Gödel es una extensión de la teoría de conjuntos en la que la colección de todos los conjuntos es una clase . Esta teoría incluye el axioma de reemplazo , que puede expresarse como: Si X es un conjunto y F es una función, entonces F [ X ] es un conjunto.

En informática

Artículos principales: Función (programación) y cálculo Lambda

En programación de computadoras , una función es, en general, una parte de un programa de computadora , que implementa el concepto abstracto de función. Es decir, es una unidad de programa que produce una salida para cada entrada. Sin embargo, en muchos lenguajes de programación cada subrutina se denomina función, incluso cuando no hay salida, y cuando la funcionalidad consiste simplemente en modificar algunos datos en la memoria de la computadora .

La programación funcional es el paradigma de programación que consiste en construir programas utilizando solo subrutinas que se comportan como funciones matemáticas. Por ejemplo, if_then_elsees una función que toma tres funciones como argumentos y, según el resultado de la primera función ( verdadero o falso ), devuelve el resultado de la segunda o la tercera función. Una ventaja importante de la programación funcional es que facilita las pruebas de programas , ya que se basa en una teoría bien fundada, el cálculo lambda (ver más abajo).

A excepción de la terminología del lenguaje informático, "función" tiene el significado matemático habitual en informática . En esta área, una propiedad de gran interés es la computabilidad de una función. Para dar un significado preciso a este concepto, y al concepto relacionado de algoritmo , se han introducido varios modelos de computación , siendo los antiguos funciones recursivas generales , cálculo lambda y máquina de Turing . El teorema fundamental de la teoría de la computabilidades que estos tres modelos de cálculo definen el mismo conjunto de funciones computables, y que todos los demás modelos de cálculo que se han propuesto definen el mismo conjunto de funciones computables o uno más pequeño. La tesis de Church-Turing es la afirmación de que toda definición filosóficamente aceptable de una función computable define también las mismas funciones.

Las funciones recursivas generales son funciones parciales de enteros a enteros que se pueden definir desde

• funciones constantes ,
• sucesor , y
• funciones de proyección

a través de los operadores

• composición ,
• recursividad primitiva , y
• minimización .

Aunque se definen solo para funciones de enteros a enteros, pueden modelar cualquier función computable como consecuencia de las siguientes propiedades:

• un cálculo es la manipulación de secuencias finitas de símbolos (dígitos de números, fórmulas, ...),
• cada secuencia de símbolos puede codificarse como una secuencia de bits ,
• una secuencia de bits se puede interpretar como la representación binaria de un número entero.

El cálculo lambda es una teoría que define funciones computables sin utilizar la teoría de conjuntos , y es la base teórica de la programación funcional. Consiste en términos que son variables, definiciones de funciones ( términos 𝜆 ) o aplicaciones de funciones a términos. Los términos se manipulan mediante algunas reglas (la equivalencia α , la reducción β y la conversión η ), que son los axiomas de la teoría y pueden interpretarse como reglas de cálculo.

En su forma original, el cálculo lambda no incluye los conceptos de dominio y codominio de una función. En términos generales, se han introducido en la teoría con el nombre de tipo en el cálculo lambda tipificado . La mayoría de los tipos de cálculos lambda con tipo pueden definir menos funciones que el cálculo lambda sin tipo.

Ver también

Subpáginas

• Lista de tipos de funciones
• Lista de funciones
• Ajuste de función
• Función implícita

Generalizaciones

• Función de orden superior
• Homomorfismo
• Morfismo
• Microfuncion
• Distribución
• Functor

Temas relacionados

• Matriz asociativa
• Expresión de forma cerrada
• Función elemental
• Funcional
• Descomposición funcional
• Predicado funcional
• Programación funcional
• Ecuación paramétrica
• Establecer función
• Función simple

Notas

1. Las palabras mapa , mapeo , transformación , correspondencia y operador se utilizan a menudo como sinónimos. Halmos 1970 , pág. 30.
2. Esta definición de "gráfico" se refiere a un conjunto de pares de objetos. Los gráficos, en el sentido de diagramas , son más aplicables a funciones desde los números reales hasta ellos mismos. Todas las funciones pueden describirse mediante conjuntos de pares, pero puede que no sea práctico construir un diagrama de funciones entre otros conjuntos (como conjuntos de matrices).
3. Los conjuntos X , Y suelen ser partes de datos que definen una función; es decir, una función es un conjunto G junto con el conjuntos X , Y . Por ejemplo, el mismo G puede conducir a una sobreyectiva (ver a continuación ) y una función no sobreyectiva, dependiendo de Y .
4. Esto se sigue del axioma de extensionalidad , que dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos miembros. Algunos autores eliminan el codominio de una definición de función, y en esa definición, la noción de igualdad debe manejarse con cuidado; ver, por ejemplo, "¿Cuándo se vuelven iguales dos funciones?" . Stack Exchange . 19 de agosto de 2015.
5. llamado el dominio de la definición por algunos autores, especialmente la informática
6. Aquí "elemental" no tiene exactamente su sentido común: aunque la mayoría de las funciones que se encuentran en los cursos elementales de matemáticas son elementales en este sentido, algunas funciones elementales no son elementales para el sentido común, por ejemplo, aquellas que involucran raíces de polinomios de alto grado.
7. Por definición, la gráfica de la función vacía a X es un subconjunto del producto cartesiano ∅ × X , y este producto está vacío.
8. El axioma de elección no es necesario aquí, ya que la elección se realiza en un solo conjunto.

Referencias

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Fuentes

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Lectura adicional

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• Bartle, Robert G. (1976). Los elementos del análisis real (2ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-05464-1.
• Dubinsky, Ed; Harel, Guershon (1992). El concepto de función: aspectos de la epistemología y la pedagogía . Asociación Matemática de América. ISBN 978-0-88385-081-7.
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Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Funciones (matemáticas) .

• "Función" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• El sitio de Wolfram Functions ofrece fórmulas y visualizaciones de muchas funciones matemáticas.
• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST