Función de una variable real

Mathematical function

Función
x ↦ f  ( x )
Ejemplos por dominio y codominio
X → B , B → X , B n → B X → Z , Z → X X → R , R → X , R n → X X → C , C → X , C n → X
Clases / propiedades
Constante Identidad Lineal Polinomio Racional Algebraico Analítico Liso Continuo Mensurable Inyectable Sobreyectiva Biyectiva
Construcciones
Restricción Composición λ Inverso
Generalizaciones
Parcial Multivalor Implícito
v t mi

En análisis matemático y aplicaciones en geometría , matemáticas aplicadas , ingeniería y ciencias naturales , una función de una variable real es una función cuyo dominio son los números reales ℝ , o un subconjunto de ℝ que contiene un intervalo de longitud positiva. La mayoría de las funciones reales que se consideran y estudian son diferenciables en algún intervalo. Las funciones de este tipo más ampliamente consideradas son las funciones reales , que son las funciones de valor realde una variable real, es decir, las funciones de una variable real cuyo codominio es el conjunto de números reales.

Sin embargo, el codominio de una función de una variable real puede ser cualquier conjunto. Sin embargo, a menudo se asume que tiene una estructura de ℝ - espacio vectorial sobre los reales. Es decir, el codomain puede ser un espacio euclidiano , un vector de coordenadas , el conjunto de matrices de números reales de un tamaño dado, o un ℝ - álgebra , tales como los números complejos o los cuaterniones . La estructura ℝ -espacio de vectores del codominio induce una estructura de ℝ -espacio de vectores en las funciones. Si el codominio tiene una estructura de ℝ -álgebra, lo mismo es cierto para las funciones.

La imagen de una función de una variable real es una curva en el codominio. En este contexto, una función que define la curva se denomina ecuación paramétrica de la curva.

Cuando el codominio de una función de una variable real es un espacio vectorial de dimensión finita , la función puede verse como una secuencia de funciones reales. Esto se usa a menudo en aplicaciones.

Función real

La gráfica de una función real

Una función real es una función desde un subconjunto de hasta donde denota, como de costumbre, el conjunto de números reales . Es decir, el dominio de una función real es un subconjunto y su codominio es. Generalmente se asume que el dominio contiene un intervalo de longitud positiva.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Ejemplos básicos

Para muchas funciones reales de uso común, el dominio es el conjunto completo de números reales y la función es continua y diferenciable en cada punto del dominio. Se dice que estas funciones están definidas, continuas y diferenciables en todas partes. Este es el caso de:

• Todas las funciones polinomiales , incluidas las funciones constantes y las funciones lineales
• Funciones seno y coseno
• Funcion exponencial

Algunas funciones están definidas en todas partes, pero no son continuas en algunos puntos. Por ejemplo

• La función escalón Heaviside se define en todas partes, pero no es continua en cero.

Algunas funciones están definidas y son continuas en todas partes, pero no son diferenciables en todas partes. Por ejemplo

• El valor absoluto está definido y es continuo en todas partes, y es diferenciable en todas partes, excepto en el cero.
• La raíz cúbica está definida y es continua en todas partes, y es diferenciable en todas partes, excepto en el cero.

Muchas funciones comunes no están definidas en todas partes, pero son continuas y diferenciables en todas partes donde se definen. Por ejemplo:

• Una función racional es un cociente de dos funciones polinomiales y no está definida en los ceros del denominador.
• La función tangente no está definida para donde k es cualquier número entero.${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,}$
• La función de logaritmo se define solo para valores positivos de la variable.

Algunas funciones son continuas en todo su dominio y no diferenciables en algunos puntos. Este es el caso de:

• La raíz cuadrada se define solo para valores no negativos de la variable y no es diferenciable en 0 (es diferenciable para todos los valores positivos de la variable).

Definición general

Una función de valor real de una variable real es una función que toma como entrada un número real , comúnmente representado por la variable x , para producir otro número real, el valor de la función, comúnmente denotado como f ( x ). Para simplificar, en este artículo, una función de valor real de una variable real se denominará simplemente función . Para evitar cualquier ambigüedad, se especificarán explícitamente los otros tipos de funciones que puedan ocurrir.

Algunas funciones se definen para todos los valores reales de las variables (se dice que están definidas en todas partes), pero algunas otras funciones se definen solo si el valor de la variable se toma en un subconjunto X de ℝ, el dominio de la función, que siempre se supone que contiene un intervalo de longitud positiva. En otras palabras, una función de valor real de una variable real es una función

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

tal que su dominio X es un subconjunto de ℝ que contiene un intervalo de longitud positiva.

Un ejemplo simple de una función en una variable podría ser:

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle X=\{x\in \mathbb {R} \,:\,x\geq 0\}}$

${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$

que es la raíz cuadrada de x .

Imagen

Artículo principal: Imagen (matemáticas)

La imagen de una función es el conjunto de todos los valores de f cuando la variable x corre en todo el dominio de f . Para una función de valor real continua (ver más abajo para una definición) con un dominio conectado, la imagen es un intervalo o un valor único. En el último caso, la función es una función constante .${\displaystyle f(x)}$

La preimagen de un número real dado y es el conjunto de las soluciones de la ecuación y = f ( x ) .

Dominio

El dominio de una función de varias variables reales es un subconjunto de ℝ que a veces se define explícitamente. De hecho, si se restringe el dominio X de una función f a un subconjunto Y ⊂ X , se obtiene formalmente una función diferente, la restricción de f a Y , que se denota f _{| Y} . En la práctica, a menudo no es perjudicial identificar f y f _{| Y} , y omitir el subíndice _{| Y} .

A la inversa, a veces es posible ampliar de forma natural el dominio de una función dada, por ejemplo, por continuidad o por continuación analítica . Esto significa que no vale la pena definir explícitamente el dominio de una función de una variable real.

Estructura algebraica

Las operaciones aritméticas se pueden aplicar a las funciones de la siguiente manera:

• Para cada número real r , la función constante , se define en todas partes.${\displaystyle (x)\mapsto r}$
• Para cada número real r y cada función f , la función tiene el mismo dominio que f (o se define en todas partes si r = 0).${\displaystyle rf:(x)\mapsto rf(x)}$
• Si f y g son dos funciones de los respectivos dominios de X y Y de tal manera que X ∩ Y contiene un subconjunto abierto de ℝ, a continuación, y son funciones que tienen un dominio que contiene X ∩ Y .${\displaystyle f+g:(x)\mapsto f(x)+g(x)}$${\displaystyle f\,g:(x)\mapsto f(x)\,g(x)}$

Se deduce que las funciones de n variables que están definidas en todas partes y las funciones de n variables que están definidas en algún vecindario de un punto dado forman álgebras conmutativas sobre los reales (ℝ-álgebras).

De manera similar, se puede definir cuál es una función solo si el conjunto de los puntos ( x ) en el dominio de f tal que f ( x ) ≠ 0 contiene un subconjunto abierto de ℝ. Esta restricción implica que las dos álgebras anteriores no son campos .${\displaystyle 1/f:(x)\mapsto 1/f(x),}$

Continuidad y límite

Límite de una función real de una variable real.

Hasta la segunda parte del siglo XIX, los matemáticos solo consideraban las funciones continuas . En ese momento, la noción de continuidad se elaboró ​​para las funciones de una o varias variables reales mucho antes de la definición formal de un espacio topológico y un mapa continuo entre espacios topológicos. Como las funciones continuas de una variable real son ubicuas en matemáticas, vale la pena definir esta noción sin hacer referencia a la noción general de mapas continuos entre el espacio topológico.

Para definir la continuidad, es útil considerar la función de distancia de ℝ, que es una función definida en todas partes de 2 variables reales:${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

Una función f es continua en un punto que es interior a su dominio, si, para cada número real positivo ε , hay un número real positivo φ tal que para todos los que En otras palabras, φ puede elegirse lo suficientemente pequeño para tener el imagen por f del intervalo de radio φ centrado en contenido en el intervalo de longitud 2 ε centrado en Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.${\displaystyle a}$${\displaystyle |f(x)-f(a)|<\varepsilon }$${\displaystyle x}$${\displaystyle d(x,a)<\varphi .}$${\displaystyle a}$${\displaystyle f(a).}$

The limit of a real-valued function of a real variable is as follows.^[1] Let a be a point in topological closure of the domain X of the function f. The function, f has a limit L when x tends toward a, denoted

${\displaystyle L=\lim _{x\to a}f(x),}$

if the following condition is satisfied: For every positive real number ε > 0, there is a positive real number δ > 0 such that

${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon }$

for all x in the domain such that

${\displaystyle d(x,a)<\delta .}$

If the limit exists, it is unique. If a is in the interior of the domain, the limit exists if and only if the function is continuous at a. In this case, we have

${\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}f(x).}$

When a is in the boundary of the domain of f, and if f has a limit at a, the latter formula allows to "extend by continuity" the domain of f to a.

Calculus

One can collect a number of functions each of a real variable, say

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x)\,,\quad y_{2}=f_{2}(x)\,,\ldots ,y_{n}=f_{n}(x)}$

into a vector parametrized by x:

${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})=[f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)]}$

The derivative of the vector y is the vector derivatives of f_i(x) for i = 1, 2, ..., n:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {y} }{dx}}=\left({\frac {dy_{1}}{dx}},{\frac {dy_{2}}{dx}},\ldots ,{\frac {dy_{n}}{dx}}\right)}$

One can also perform line integrals along a space curve parametrized by x, with position vector r = r(x), by integrating with respect to the variable x:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {y} (x)\cdot {\frac {d\mathbf {r} (x)}{dx}}dx}$

where · is the dot product, and x = a and x = b are the start and endpoints of the curve.

Theorems

With the definitions of integration and derivatives, key theorems can be formulated, including the fundamental theorem of calculus integration by parts, and Taylor's theorem. Evaluating a mixture of integrals and derivatives can be done by using theorem differentiation under the integral sign.

Implicit functions

A real-valued implicit function of a real variable is not written in the form "y = f(x)". Instead, the mapping is from the space ℝ² to the zero element in ℝ (just the ordinary zero 0):

${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{2}\to \{0\}}$

and

${\displaystyle \phi (x,y)=0}$

is an equation in the variables. Implicit functions are a more general way to represent functions, since if:

${\displaystyle y=f(x)}$

then we can always define:

${\displaystyle \phi (x,y)=y-f(x)=0}$

but the converse is not always possible, i.e. not all implicit functions have the form of this equation.

One-dimensional space curves in ℝⁿ

Space curve in 3d. The position vector r is parametrized by a scalar t. At r = a the red line is the tangent to the curve, and the blue plane is normal to the curve.

Formulation

Given the functions r₁ = r₁(t), r₂ = r₂(t), ..., r_n = r_n(t) all of a common variable t, so that:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\quad r_{2}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} &\cdots &\quad r_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \\r_{1}=r_{1}(t)&\quad r_{2}=r_{2}(t)&\cdots &\quad r_{n}=r_{n}(t)\\\end{aligned}}}$

or taken together:

${\displaystyle \mathbf {r} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{n}\,,\quad \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}$

then the parametrized n-tuple,

${\displaystyle \mathbf {r} (t)=[r_{1}(t),r_{2}(t),\ldots ,r_{n}(t)]}$

describes a one-dimensional space curve.

Tangent line to curve

At a point r(t = c) = a = (a₁, a₂, ..., a_n) for some constant t = c, the equations of the one-dimensional tangent line to the curve at that point are given in terms of the ordinary derivatives of r₁(t), r₂(t), ..., r_n(t), and r with respect to t:

${\displaystyle {\frac {r_{1}(t)-a_{1}}{dr_{1}(t)/dt}}={\frac {r_{2}(t)-a_{2}}{dr_{2}(t)/dt}}=\cdots ={\frac {r_{n}(t)-a_{n}}{dr_{n}(t)/dt}}}$

Normal plane to curve

The equation of the n-dimensional hyperplane normal to the tangent line at r = a is:

${\displaystyle (p_{1}-a_{1}){\frac {dr_{1}(t)}{dt}}+(p_{2}-a_{2}){\frac {dr_{2}(t)}{dt}}+\cdots +(p_{n}-a_{n}){\frac {dr_{n}(t)}{dt}}=0}$

or in terms of the dot product:

${\displaystyle (\mathbf {p} -\mathbf {a} )\cdot {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=0}$

where p = (p₁, p₂, ..., p_n) are points in the plane, not on the space curve.

Relation to kinematics

Kinematic quantities of a classical particle: mass m, position r, velocity v, acceleration a.

The physical and geometric interpretation of dr(t)/dt is the "velocity" of a point-like particle moving along the path r(t), treating r as the spatial position vector coordinates parametrized by time t, and is a vector tangent to the space curve for all t in the instantaneous direction of motion. At t = c, the space curve has a tangent vector dr(t)/dt|_{t = c}, and the hyperplane normal to the space curve at t = c is also normal to the tangent at t = c. Any vector in this plane (p − a) must be normal to dr(t)/dt|_{t = c}.

Similarly, d²r(t)/dt² is the "acceleration" of the particle, and is a vector normal to the curve directed along the radius of curvature.

Matrix valued functions

A matrix can also be a function of a single variable. For example, the rotation matrix in 2d:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$

is a matrix valued function of rotation angle of about the origin. Similarly, in special relativity, the Lorentz transformation matrix for a pure boost (without rotations):

${\displaystyle \Lambda (\beta )={\begin{bmatrix}{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\-{\frac {\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}}$

is a function of the boost parameter β = v/c, in which v is the relative velocity between the frames of reference (a continuous variable), and c is the speed of light, a constant.

Banach and Hilbert spaces and quantum mechanics

Generalizing the previous section, the output of a function of a real variable can also lie in a Banach space or a Hilbert space. In these spaces, division and multiplication and limits are all defined, so notions such as derivative and integral still apply. This occurs especially often in quantum mechanics, where one takes the derivative of a ket or an operator. This occurs, for instance, in the general time-dependent Schrödinger equation:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$

where one takes the derivative of a wave function, which can be an element of several different Hilbert spaces.

Complex-valued function of a real variable

A complex-valued function of a real variable may be defined by relaxing, in the definition of the real-valued functions, the restriction of the codomain to the real numbers, and allowing complex values.

If f(x) is such a complex valued function, it may be decomposed as

f(x) = g(x) + ih(x),

where g and h are real-valued functions. In other words, the study of the complex valued functions reduces easily to the study of the pairs of real valued functions.

Cardinality of sets of functions of a real variable

The cardinality of the set of real-valued functions of a real variable, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \}}$, is ${\displaystyle \beth _{2}=2^{\mathfrak {c}}}$, which is strictly larger than the cardinality of the continuum (i.e., set of all real numbers). This fact is easily verified by cardinal arithmetic:

$${\displaystyle \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=\mathrm {card} (\mathbb {R} )^{\mathrm {card} (\mathbb {R} )}={\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}\cdot {\mathfrak {c}}}=2^{\mathfrak {c}}.}$$

Furthermore, if ${\displaystyle X}$ is a set such that ${\displaystyle 2\leq \mathrm {card} (X)\leq {\mathfrak {c}}}$, then the cardinality of the set ${\displaystyle X^{\mathbb {R} }=\{f:\mathbb {R} \to X\}}$ is also ${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}}$, since

$${\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\mathrm {card} (2^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (X^{\mathbb {R} })\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {R} })=2^{\mathfrak {c}}.}$$

However, the set of continuous functions ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )=\{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f\ \mathrm {continuous} \}}$ has a strictly smaller cardinality, the cardinality of the continuum, ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. This follows from the fact that a continuous function is completely determined by its value on a dense subset of its domain.^[2] Thus, the cardinality of the set of continuous real-valued functions on the reals is no greater than the cardinality of the set of real-valued functions of a rational variable. By cardinal arithmetic:

$${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\leq \mathrm {card} (\mathbb {R} ^{\mathbb {Q} })=(2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.}$$

On the other hand, since there is a clear bijection between ${\displaystyle \mathbb {R} }$ and the set of constant functions ${\displaystyle \{f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :f(x)\equiv x_{0}\}}$, which forms a subset of ${\displaystyle C^{0}(\mathbb {R} )}$, ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))\geq {\mathfrak {c}}}$ must also hold. Hence, ${\displaystyle \mathrm {card} (C^{0}(\mathbb {R} ))={\mathfrak {c}}}$.

See also

• Real analysis
• Function of several real variables
• Complex analysis
• Function of several complex variables

References

1. R. Courant. Differential and Integral Calculus. 2. Wiley Classics Library. pp. 46–47. ISBN 0-471-60840-8.
2. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. New York: McGraw-Hill. pp. 98–99. ISBN 0-07-054235X.

• F. Ayres, E. Mendelson (2009). Calculus. Schaum's outline series (5th ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
• R. Wrede, M. R. Spiegel (2010). Advanced calculus. Schaum's outline series (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-162366-7.
• N. Bourbaki (2004). Functions of a Real Variable: Elementary Theory. Springer. ISBN 354-065-340-6.

External links

• Multivariable Calculus
• L. A. Talman (2007) Differentiability for Multivariable Functions