Análisis funcional

Rama de análisis matemático

Para la evaluación y el tratamiento del comportamiento humano, consulte Análisis funcional (psicología) .

Uno de los posibles modos de vibración de una circular idealizado cabeza del tambor . Estos modos son funciones propias de un operador lineal en un espacio funcional, una construcción común en el análisis funcional.

El análisis funcional es una rama del análisis matemático , cuyo núcleo está formado por el estudio de espacios vectoriales dotados de algún tipo de estructura relacionada con límites (por ejemplo , producto interno , norma , topología , etc.) y las funciones lineales definidas en estos espacios. y respetar estas estructuras en un sentido adecuado. Las raíces históricas del análisis funcional se encuentran en el estudio de los espacios de funciones y la formulación de propiedades de transformaciones de funciones como la transformada de Fourier como transformaciones que definen los espacios continuos , unitarios.etc. operadores entre espacios funcionales. Este punto de vista resultó ser particularmente útil para el estudio de ecuaciones diferenciales e integrales .

El uso de la palabra funcional como sustantivo se remonta al cálculo de variaciones , lo que implica una función cuyo argumento es una función . El término se utilizó por primera vez en el libro de 1910 de Hadamard sobre ese tema. Sin embargo, el concepto general de funcional había sido introducido previamente en 1887 por el matemático y físico italiano Vito Volterra . ^{[1] [2]} La teoría de los funcionales no lineales fue continuada por estudiantes de Hadamard, en particular Fréchet y Lévy . Hadamard también fundó la escuela moderna de análisis funcional lineal desarrollada por Riesz y el grupo deMatemáticos polacos en torno a Stefan Banach .

En los textos introductorios modernos al análisis funcional, el tema es visto como el estudio de espacios vectoriales dotados de una topología, en particular espacios de dimensión infinita . Por el contrario, el álgebra lineal se ocupa principalmente de espacios de dimensión finita y no utiliza topología. Una parte importante del análisis funcional es la extensión de la teoría de la medida , la integración y la probabilidad a espacios de dimensión infinita, también conocido como análisis de dimensión infinita .

Espacios vectoriales normativos

La clase básica e históricamente primera de espacios estudiados en el análisis funcional son los espacios vectoriales normalizados completos sobre los números reales o complejos . Estos espacios se denominan espacios de Banach . Un ejemplo importante es un espacio de Hilbert , donde la norma surge de un producto interno. Estos espacios son de fundamental importancia en muchas áreas, incluida la formulación matemática de la mecánica cuántica , el aprendizaje automático , las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis de Fourier .

De manera más general, el análisis funcional incluye el estudio de los espacios de Fréchet y otros espacios vectoriales topológicos no dotados de una norma.

Un objeto importante de estudio en el análisis funcional son los operadores lineales continuos definidos en los espacios de Banach y Hilbert. Estos conducen naturalmente a la definición de C * -álgebras y otras álgebras de operadores .

Espacios de Hilbert

Los espacios de Hilbert se pueden clasificar completamente: existe un espacio de Hilbert único hasta el isomorfismo para cada cardinalidad de la base ortonormal . ^[3] Los espacios de Hilbert de dimensión finita se entienden completamente en álgebra lineal , y los espacios de Hilbert separables de dimensión infinita son isomorfos a . Siendo importante la separabilidad para las aplicaciones, el análisis funcional de los espacios de Hilbert se ocupa principalmente de este espacio. Uno de los problemas abiertos en el análisis funcional es demostrar que todo operador lineal acotado en un espacio de Hilbert tiene un subespacio invariante adecuado . Muchos casos especiales de este ℓ 2 ( ℵ 0 ) {\ Displaystyle \ ell ^ {\, 2} (\ aleph _ {0}) \,} El problema del subespacio invariante ya ha sido probado.

Espacios banach

Los espacios generales de Banach son más complicados que los espacios de Hilbert y no se pueden clasificar de una manera tan simple como esos. En particular, muchos espacios de Banach carecen de una noción análoga a una base ortonormal .

Ejemplos de espacios de Banach son -espacios para cualquier número real . Dada también una medida en conjunto , entonces , a veces también se denota o , tiene como sus vectores clases de equivalencia de funciones medibles cuyo valor absoluto s -ésima potencia tiene integral finita, es decir, funciones para las que se tiene L pag {\ Displaystyle L ^ {p}} ${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{p}(X)}$${\displaystyle L^{p}(X,\mu )}$${\displaystyle L^{p}(\mu )}$${\displaystyle [\,f\,]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<+\infty .}$

Si es la medida de conteo , entonces la integral puede reemplazarse por una suma. Es decir, requerimos${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<+\infty .}$

Entonces no es necesario tratar con clases de equivalencia, y el espacio se denota , escrito más simplemente en el caso cuando es el conjunto de enteros no negativos .${\displaystyle \ell ^{p}(X)}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle X}$

En los espacios de Banach, una gran parte del estudio involucra el espacio dual : el espacio de todos los mapas lineales continuos desde el espacio hasta su campo subyacente, los llamados funcionales. Un espacio de Banach se puede identificar canónicamente con un subespacio de su bidual, que es el dual de su espacio dual. El mapa correspondiente es una isometría pero, en general, no sobre. Un espacio de Banach general y su bidual ni siquiera necesitan ser isomórficos isomórficos de ninguna manera, al contrario de la situación de dimensión finita. Esto se explica en el artículo de espacio dual.

Además, la noción de derivada se puede extender a funciones arbitrarias entre espacios de Banach. Véase, por ejemplo, el artículo derivado de Fréchet .

Análisis funcional lineal

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Resultados principales y fundamentales

Los resultados importantes del análisis funcional incluyen:

Principio de delimitación uniforme

Artículo principal: teorema de Banach-Steinhaus

El principio de delimitación uniforme o teorema de Banach-Steinhaus es uno de los resultados fundamentales en el análisis funcional. Junto con el teorema de Hahn-Banach y el teorema de mapeo abierto , se considera una de las piedras angulares del campo. En su forma básica, afirma que para una familia de operadores lineales continuos (y por lo tanto operadores acotados) cuyo dominio es un espacio de Banach , la acotación puntual es equivalente a la acotación uniforme en la norma del operador.

El teorema fue publicado por primera vez en 1927 por Stefan Banach y Hugo Steinhaus, pero Hans Hahn también lo demostró de forma independiente .

Teorema (principio de delimitación uniforme). Sea X un espacio de Banach e Y un espacio vectorial normalizado . Supongamos que F es un conjunto de operadores lineales continuas de X a Y . Si para todo x en X uno tiene

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$

luego

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$

Teorema espectral

Artículo principal: teorema espectral

Hay muchos teoremas conocidos como teorema espectral , pero uno en particular tiene muchas aplicaciones en el análisis funcional.

Teorema: ^[4] Let A ser un operador de autoadjunta acotada en un espacio de Hilbert H . Luego hay un espacio de medida ( X , Σ, μ) y una función medible esencialmente acotada de valor real f en X y un operador unitario U : H → L ² _μ ( X ) tal que

${\displaystyle U^{*}TU=A\;}$

donde T es el operador de multiplicación :

${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;}$

y ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Este es el comienzo de la vasta área de investigación del análisis funcional llamada teoría del operador ; ver también la medida espectral .

También existe un teorema espectral análogo para operadores normales acotados en espacios de Hilbert. La única diferencia en la conclusión es que ahora puede tener valores complejos.${\displaystyle f}$

Teorema de Hahn-Banach

Artículo principal: teorema de Hahn-Banach

El teorema de Hahn-Banach es una herramienta central en el análisis funcional. Permite la extensión de funcionales lineales acotados definidos en un subespacio de algún espacio vectorial a todo el espacio, y también muestra que hay "suficientes" funcionales lineales continuos definidos en cada espacio vectorial normalizado para hacer que el estudio del espacio dual sea "interesante ".

Teorema de Hahn-Banach: ^[5] Si p  : V → R es una función sublineal , y φ  : U → R es una funcional lineal en un subespacio lineal U ⊆ V que está dominado por p en U , es decir

${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$

entonces existe una extensión lineal ψ  : V → R de φ a todo el espacio V , es decir, existe un funcional lineal ψ tal que

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}$

${\displaystyle \psi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in V.}$

Teorema de mapeo abierto

Artículo principal: Teorema de mapeo abierto (análisis funcional)

El teorema de mapeo abierto , también conocido como teorema de Banach-Schauder (llamado así por Stefan Banach y Juliusz Schauder ), es un resultado fundamental que establece que si un operador lineal continuo entre espacios de Banach es sobreyectivo, entonces es un mapa abierto . Más precisamente: ^[5]

Teorema de mapeo abierto. Si X e Y son espacios de Banach y A  : X → Y es un operador lineal continuo sobreyectivo, entonces A es un mapa abierto (es decir, si U es un conjunto abierto en X , entonces A ( U ) está abierto en Y ).

La demostración usa el teorema de la categoría de Baire , y la integridad de X e Y es esencial para el teorema. El enunciado del teorema ya no es cierto si se supone que cualquiera de los espacios es un espacio normado , pero es cierto si se toma X e Y como espacios de Fréchet .

Teorema del gráfico cerrado

Artículo principal: teorema del gráfico cerrado

El teorema del gráfico cerrado establece lo siguiente: si X es un espacio topológico e Y es un espacio compacto de Hausdorff , entonces el gráfico de un mapa lineal T de X a Y es cerrado si y solo si T es continuo . ^[6]

Otros temas

Artículo principal: Lista de temas de análisis funcional

Fundamentos de las consideraciones matemáticas

La mayoría de los espacios considerados en el análisis funcional tienen una dimensión infinita. Mostrar la existencia de una base de espacio vectorial para tales espacios puede requerir el lema de Zorn . Sin embargo, un concepto algo diferente, la base de Schauder , suele ser más relevante en el análisis funcional. Muchos teoremas muy importantes requieren el teorema de Hahn-Banach , generalmente probado usando el axioma de elección , aunque el teorema del ideal primo booleano estrictamente más débil es suficiente. El teorema de la categoría de Baire , necesario para demostrar muchos teoremas importantes, también requiere una forma de axioma de elección.

Puntos de vista

El análisis funcional en su forma actual ^[update]incluye las siguientes tendencias:

• Análisis abstracto . Una aproximación al análisis basado en grupos topológicos , anillos topológicos y espacios vectoriales topológicos .
• La geometría de los espacios de Banach contiene muchos temas. Uno es el enfoque combinatorio relacionado con Jean Bourgain ; otra es una caracterización de los espacios de Banach en los que se mantienen diversas formas de la ley de los grandes números .
• Geometría no conmutativa . Desarrollado por Alain Connes , basándose en parte en nociones anteriores, comoel enfoque de George Mackey sobre la teoría ergódica .
• Conexión con la mecánica cuántica . Bien definido estrictamente como en la física matemática , o interpretado ampliamente por, por ejemplo, Israel Gelfand , para incluir la mayoría de los tipos de teoría de la representación .

Ver también

• Lista de temas de análisis funcional
• Teoría espectral

Referencias

1. acsu.buffalo.edu
2. Historia de las Ciencias Matemáticas ISBN  978-93-86279-16-3 p. 195
3. Riesz, Frigyes; Szőkefalvi-Nagy, Béla (1990). Análisis funcional (Dover ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs. 195-199. ISBN 978-0-486-66289-3.
4. Hall, BC (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Springer, p. 147
5. Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Ciencias / Ingeniería / Matemáticas de McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5.
6. Munkres, James (2000), Topología (2ª ed.), Upper Saddle River: Prentice Hall , págs. 163-172, ISBN 0-13-181629-2, pag. 171

Lectura adicional

• Aliprantis, CD, Border, KC: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide , 3ra ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . En línea ‹Ver Tfd› doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 (por suscripción) 
• Bachman, G., Narici, L .: Análisis funcional , Academic Press, 1966. (reimpresión de Dover Publications)
• Banach S. Teoría de las operaciones lineales . Volumen 38, Biblioteca matemática de Holanda Septentrional, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Brezis, H .: Analizar Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 o ISBN 978-2-10-049336-4  
• Conway, JB : Un curso de análisis funcional , 2da edición, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Dunford, N. y Schwartz, JT : Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons y otros 3 volúmenes, incluye gráficos de visualización
• Edwards, RE: Análisis funcional, teoría y aplicaciones , Hold, Rinehart y Winston, 1965.
• Eidelman, Yuli, Vitali Milman y Antonis Tsolomitis: análisis funcional: una introducción , American Mathematical Society, 2004.
• Friedman, A .: Foundations of Modern Analysis , Dover Publications, edición de bolsillo, 21 de julio de 2010
• Giles, JR: Introducción al análisis de espacios lineales normativos , Cambridge University Press, 2000
• Hirsch F., Lacombe G. - "Elementos de análisis funcional", Springer 1999.
• Hutson, V., Pym, JS, Cloud MJ: Aplicaciones del análisis funcional y la teoría del operador , segunda edición, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1 
• Kantorovitz, S., Introducción al análisis moderno , Oxford University Press, 2003, 2ª edición, 2006.
• Kolmogorov, AN y Fomin, SV : Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional , Publicaciones de Dover, 1999
• Kreyszig, E .: Introducción al análisis funcional con aplicaciones , Wiley, 1989.
• Lax, P .: Análisis funcional , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1 
• Lebedev, LP y Vorovich, II: Análisis funcional en mecánica , Springer-Verlag, 2002
• Michel, Anthony N. y Charles J. Herget: Álgebra aplicada y análisis funcional , Dover, 1993.
• Pietsch, Albrecht: Historia de los espacios de Banach y operadores lineales , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Reed, M. , Simon, B .: "Análisis funcional", Academic Press 1980.
• Riesz, F. y Sz.-Nagy, B .: Análisis funcional , Publicaciones de Dover, 1990
• Rudin, W .: Análisis funcional , McGraw-Hill Science, 1991
• Saxe, Karen: Análisis funcional inicial , Springer, 2001
• Schechter, M .: Principios de análisis funcional , AMS, 2da edición, 2001
• Shilov, Georgi E .: Análisis funcional elemental , Dover, 1996.
• Sobolev, SL : Aplicaciones del análisis funcional en física matemática , AMS, 1963
• Vogt, D., Meise, R .: Introducción al análisis funcional , Oxford University Press, 1997.
• Yosida, K .: Análisis funcional , Springer-Verlag, sexta edición, 1980

Enlaces externos

Análisis funcionalen los proyectos hermanos de Wikipedia

• Citas de Wikiquote
• Libros de texto de Wikilibros

• "Análisis funcional" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Temas de análisis real y funcional por Gerald Teschl , Universidad de Viena.
• Notas de la conferencia sobre análisis funcional por Yevgeny Vilensky, Universidad de Nueva York.
• Videos de conferencias sobre análisis funcional por Greg Morrow de la Universidad de Colorado Colorado Springs