Hay dos teoremas fundamentales de la economía del bienestar . El primero establece que en equilibrio económico , un conjunto de mercados completos , con información completa y en competencia perfecta , será óptimo de Pareto (en el sentido de que ningún intercambio posterior mejoraría la situación de una persona sin empeorar la situación de otra). Los requisitos para la competencia perfecta son los siguientes: [1]
- No hay externalidades y cada actor tiene información perfecta .
- Las empresas y los consumidores dan por sentado los precios (ningún actor económico o grupo de actores tiene poder de mercado ).
El teorema se ve a veces como una confirmación analítica del principio de la " mano invisible " de Adam Smith , a saber, que los mercados competitivos aseguran una asignación eficiente de recursos . Sin embargo, no hay garantía de que el resultado de mercado óptimo de Pareto sea socialmente deseable, ya que hay muchas asignaciones de recursos Pareto eficientes que difieren en su conveniencia (por ejemplo, una persona puede poseer todo y todos los demás nada). [2]
El segundo teorema establece que cualquier óptimo de Pareto puede sustentarse como un equilibrio competitivo para algún conjunto inicial de dotaciones. La implicación es que se puede respaldar cualquier resultado óptimo deseado de Pareto; La eficiencia de Pareto se puede lograr con cualquier redistribución de la riqueza inicial. Sin embargo, los intentos de corregir la distribución pueden introducir distorsiones, por lo que es posible que no se pueda lograr una optimización total con la redistribución. [3]
Los teoremas se pueden visualizar gráficamente para una economía de intercambio pura simple por medio del diagrama de caja de Edgeworth .
Historia de los teoremas fundamentales
Adam Smith (1776)
En una discusión sobre aranceles de importación, Adam Smith escribió que:
Todo individuo trabaja necesariamente para hacer que los ingresos anuales de la sociedad sean tan grandes como pueda ... Él está en esto, como en muchas otras formas, guiado por una mano invisible para promover un fin que no era parte de su intención ... Al perseguir su propio interés, con frecuencia promueve el de la sociedad de manera más eficaz que cuando realmente tiene la intención de promoverlo. [4]
Léon Walras (1870)
Walras escribió que "el intercambio en libre competencia es una operación mediante la cual todas las partes obtienen la máxima satisfacción sujeta a la compra y venta a un precio uniforme". [5]
FY Edgeworth (1881)
Edgeworth dio un paso hacia el primer teorema fundamental en su 'Psíquicos matemáticos', mirando una economía de intercambio pura sin producción. Incluyó la competencia imperfecta en su análisis. [6] Su definición de equilibrio es casi la misma que la definición posterior de Optimalidad de Pareto: es un punto tal que ...
en cualquier dirección que demos un paso infinitamente pequeño, P y Π [las utilidades del comprador y del vendedor] no aumentan juntas, sino que, mientras una aumenta, la otra disminuye. [7]
En lugar de concluir que el equilibrio era el óptimo de Pareto, Edgeworth concluyó que el equilibrio maximiza la suma de utilidades de las partes, que es un caso especial de eficiencia de Pareto:
Parece seguir los principios dinámicos generales aplicados a este caso especial de que el equilibrio se alcanza cuando la energía de placer total de los contratistas es un máximo relativo o sujeto a condiciones ... [8]
Vilfredo Pareto (1906/9)
Pareto planteó el primer teorema fundamental en su Manuale (1906) y con más rigor en su revisión francesa ( Manuel , 1909). [9] Fue el primero en reclamar la optimización bajo su propio criterio o en apoyar la afirmación con argumentos convincentes. [ cita requerida ]
Define el equilibrio de manera más abstracta que Edgeworth como un estado que se mantendría indefinidamente en ausencia de presiones externas [10] y muestra que en una economía de intercambio es el punto en el que una tangente común a las curvas de indiferencia de las partes pasa a través de la dotación. . [11]
Su definición de optimalidad se da en el cap. VI:
Diremos que los miembros de una colectividad gozan de un máximo de ofelimidad [es decir, de utilidad] en una determinada posición cuando es imposible alejarse un pequeño paso de tal manera que la ofelimidad de que disfruta cada individuo en la colectividad aumente, o tal que disminuye. [Previamente ha definido un aumento en la ofelimidad individual como un movimiento hacia una curva de indiferencia más alta.] Es decir, cualquier pequeño paso está destinado a aumentar la ofelimidad de algunos individuos mientras disminuye la de otros. [12]
El siguiente párrafo nos da un teorema:
Para fenómenos de tipo I [es decir, competencia perfecta], cuando el equilibrio tiene lugar en un punto de tangencia de curvas de indiferencia, los miembros de la colectividad disfrutan de un máximo de ofelimidad.
Añade que "no se puede dar una demostración rigurosa sin la ayuda de las matemáticas" y se remite a su Apéndice. [13]
Wicksell , refiriéndose a su definición de optimalidad, comentó:
Con tal definición es casi evidente que este llamado máximo se obtiene en la libre competencia, porque si , después de que se efectúa un intercambio, fuera posible mediante una serie adicional de intercambios directos o indirectos producir una satisfacción adicional de necesidades de los participantes, entonces, en esa medida, sin duda se habría producido un intercambio continuado, y la posición original no podría ser la de equilibrio final. [14]
Pareto no lo encontró tan sencillo. Ofrece un argumento diagramático en su texto, que se aplica únicamente al intercambio, [15] y un argumento matemático de 32 páginas en el Apéndice [16] que Samuelson encontró "no fácil de seguir". [17] Pareto se vio obstaculizado por no tener un concepto de la frontera producción-posibilidad , cuyo desarrollo se debió en parte a su colaborador Enrico Barone . [18] Sus propias 'curvas de indiferencia por los obstáculos' parecen haber sido un camino falso.
Poco después de enunciar el primer teorema fundamental, Pareto hace una pregunta sobre la distribución:
Considere una sociedad colectivista que busca maximizar la ofelimidad de sus miembros. El problema se divide en dos partes. En primer lugar, tenemos un problema de distribución: ¿cómo se deben compartir los bienes dentro de una sociedad entre sus miembros? Y en segundo lugar, ¿cómo se debe organizar la producción para que, cuando los bienes se distribuyan así, los miembros de la sociedad obtengan la máxima ofelimidad?
Su respuesta es un precursor informal del segundo teorema:
Habiendo distribuido los bienes de acuerdo con la respuesta al primer problema, el estado debería permitir que los miembros de la colectividad operen una segunda distribución, o la operen él mismo, en cualquier caso asegurándose de que se realice de conformidad con el funcionamiento de la libre competencia. [19]
Enrico Barone (1908)
Barone , un asociado de Pareto, demostró una propiedad de optimalidad de la competencia perfecta, [20] a saber que, asumiendo precios exógenos, maximiza el valor monetario del rendimiento de la actividad productiva, que es la suma de los valores de ocio, ahorro y bienes para el consumo, todos tomados en las proporciones deseadas. [21] No argumenta que los precios elegidos por el mercado sean óptimos en sí mismos.
Su artículo no se tradujo al inglés hasta 1935. Recibió un resumen de aprobación de Samuelson [22], pero no parece haber influido en el desarrollo de los teoremas del bienestar tal como están ahora.
Abba Lerner (1934)
En 1934, Lerner reafirmó la condición de Edgeworth para el intercambio de que las curvas de indiferencia deberían encontrarse como tangentes, presentándola como una propiedad de optimalidad. Afirmó una condición similar para la producción, a saber, que la frontera de posibilidades de producción ( FPP , a la que dio el nombre alternativo de 'curva de indiferencia productiva') debe ser tangencial con una curva de indiferencia para la comunidad. Fue uno de los creadores del PPF, habiéndolo utilizado en un documento sobre comercio internacional en 1932. [23] Demuestra que los dos argumentos pueden presentarse en los mismos términos, ya que el PPF juega el mismo papel que el espejo. curva de indiferencia de imagen en una caja de Edgeworth. También menciona que no es necesario que las curvas sean diferenciables, ya que se obtiene el mismo resultado si se tocan en las esquinas puntiagudas.
Su definición de optimalidad era equivalente a la de Pareto:
Si ... es posible mover a un individuo a una posición preferida sin mover a otro individuo a una posición peor ... podemos decir que no se alcanza el óptimo relativo ...
La condición de optimalidad para la producción es equivalente al par de requisitos de que (i) el precio debe ser igual al costo marginal y (ii) la producción debe maximizarse sujeto a (i). Por lo tanto, Lerner reduce la optimalidad a la tangencia tanto para la producción como para el intercambio, pero no dice por qué el punto implícito en la FPP debería ser la condición de equilibrio para un mercado libre. Quizás lo consideró ya suficientemente establecido. [24]
Lerner atribuye a su colega de la LSE Victor Edelberg el mérito de sugerir el uso de curvas de indiferencia. Samuelson supuso que Lerner obtuvo sus resultados independientemente del trabajo de Pareto. [25]
Harold Hotelling (1938)
Hotelling presentó un nuevo argumento para demostrar que "las ventas a costos marginales son una condición del máximo bienestar general" (según la definición de Pareto). Aceptó que esta condición se cumplía con la competencia perfecta, pero argumentó en consecuencia que la competencia perfecta no podía ser óptima ya que algunos proyectos beneficiosos no podrían recuperar sus costos fijos cobrando a esta tasa (por ejemplo, en un monopolio natural ). [26]
Oscar Lange (1942)
El artículo de Lange "Los fundamentos de la economía del bienestar" es la fuente del emparejamiento ahora tradicional de dos teoremas, uno que rige los mercados y el otro la distribución. Justificó la definición de Pareto de optimalidad para el primer teorema haciendo referencia al rechazo de Lionel Robbins de las comparaciones de utilidad interpersonal, [27] y sugirió varias formas de reintroducir las comparaciones interpersonales para el segundo teorema, como las adjudicaciones de un Congreso elegido democráticamente.
Su razonamiento es una traducción matemática (en multiplicadores de Lagrange ) del argumento gráfico de Lerner. El segundo teorema no toma su forma familiar en sus manos; más bien, simplemente muestra que las condiciones de optimización para una función de utilidad social genuina son similares a las de la optimización de Pareto.
Abram Bergson y Paul Samuelson (1947)
Samuelson (dando crédito a Abram Bergson por la sustancia de sus ideas) llevó el segundo teorema del bienestar de Lange aproximadamente a su forma moderna. [28] Sigue a Lange al derivar un conjunto de ecuaciones que son necesarias para la optimización de Pareto, y luego considera qué restricciones adicionales surgen si se requiere que la economía satisfaga una función de bienestar social genuina, encontrando un conjunto adicional de ecuaciones de las que se sigue ' que toda la acción necesaria para lograr un determinado desiderátum ético puede tomar la forma de una suma global de impuestos o recompensas ” . [29]
Kenneth Arrow y Gérard Debreu (por separado, 1951)
Los dos artículos de Arrow y Debreu [30] (escritos de forma independiente y publicados casi simultáneamente) buscaban mejorar el rigor del primer teorema de Lange. Sus relatos se refieren tanto a la producción (a corto plazo) como al intercambio, expresando las condiciones para ambos a través de funciones lineales.
El equilibrio para la producción se expresa mediante la restricción de que el valor de la producción neta de un fabricante, es decir, el producto escalar del vector de producción con el vector de precios, debe maximizarse sobre el conjunto de producción del fabricante . Esto se interpreta como maximización de beneficios . La producción máxima de una empresa, como la de una economía en su conjunto, se alcanzará sólo si una mano invisible lleva a los empleados, cada uno buscando su propia satisfacción, a promover un fin que no forma parte de su intención; al igual que Lerner, Arrow y Debreu se basaron en una premisa poderosa (en su caso incorporada en definiciones) para hacer gran parte del trabajo.
El equilibrio para el intercambio se interpreta en el sentido de que la utilidad del individuo debe maximizarse sobre las posiciones que se pueden obtener de la dotación a través del intercambio, siendo estas posiciones cuyo valor no es mayor que el valor de su dotación, donde el valor de una asignación es su valor. producto escalar con el vector de precio.
Por tanto, el concepto de equilibrio se reformula en el sentido de optimalidad a lo largo de una línea recta de precios. Este nuevo significado recibe el nombre especial de "Walrasiano" o " equilibrio competitivo ", y no es una verdadera condición de equilibrio en el sentido de ser un equilibrio de fuerzas.
Las demostraciones de Arrow y Debreu requirieron un cambio de estilo matemático del cálculo a la teoría de conjuntos convexos . Arrow motivó su artículo haciendo referencia a la necesidad de extender las pruebas para cubrir los equilibrios en el borde del espacio, y Debreu por la posibilidad de que las curvas de indiferencia no fueran diferenciables. Los textos modernos siguen su estilo de prueba.
Teorema de Greenwald-Stiglitz
En su artículo de 1986, "Externalidades en economías con información imperfecta y mercados incompletos", Bruce Greenwald y Joseph Stiglitz demostraron que los teoremas fundamentales del bienestar no se cumplen si hay mercados incompletos o información imperfecta. [31] El artículo establece que un equilibrio competitivo de una economía con información asimétrica genéricamente ni siquiera es eficiente en el sentido de Pareto. Un gobierno que se enfrenta a las mismas limitaciones de información que los particulares en la economía puede, no obstante, encontrar intervenciones de política de mejora de Pareto. [32]
Greenwald y Stiglitz señalaron varias situaciones relevantes, incluida la forma en que el riesgo moral puede hacer que una situación sea ineficaz (por ejemplo, un impuesto al alcohol puede mejorar pareto ya que reduce los accidentes automovilísticos [33].
Prueba del primer teorema fundamental
El primer teorema fundamental se cumple en condiciones generales. [34] Una declaración formal es la siguiente: Si las preferencias son localmente no saciadas, y si es un precio de equilibrio con transferencias, entonces la asignación es Pareto óptimo. En este sentido, un equilibrio se relaciona únicamente con una economía de intercambio o presupone que las empresas son asignativa y productivamente eficientes, lo que puede demostrarse que se deriva de mercados de producción y factores perfectamente competitivos. [34]
Dado un conjunto de los tipos de bienes con los que trabajamos en el espacio vectorial real sobre , y use negrita para las variables con valores vectoriales. Por ejemplo, si luego sería un espacio vectorial tridimensional y el vector representaría el paquete de productos que contiene una unidad de mantequilla, 2 unidades de galletas y 3 unidades de leche.
Supongamos que el consumidor i tiene riqueza tal que dónde es la dotación agregada de bienes (es decir, la suma de todas las dotaciones de los consumidores y productores) y es la producción de la empresa j .
La maximización de preferencias (de la definición de equilibrio de precios con transferencias) implica (utilizando para denotar la relación de preferencia para el consumidor i ):
- Si luego
En otras palabras, si se prefiere estrictamente un paquete de bienes a debe ser inasequible a precio . La no saciedad local implica además:
- Si luego
Para ver por qué, imagina que pero . Luego, mediante la no saciedad local, podríamos encontrar arbitrariamente cerca de (y por tanto todavía asequible) pero que se prefiere estrictamente a . Pero es el resultado de la maximización de preferencias, por lo que esto es una contradicción.
Una asignación es un par dónde y , es decir es la 'matriz' (que permite filas / columnas potencialmente infinitas) cuya i- ésima columna es el paquete de bienes asignados al consumidor i yes la 'matriz' cuya j- ésima columna es la producción de la empresa j . Restringimos nuestra atención a las asignaciones factibles, que son aquellas asignaciones en las que ningún consumidor vende o el productor consume bienes de los que carecen, es decir, para cada bien y cada consumidor, la dotación inicial de los consumidores más su demanda neta debe ser positiva de manera similar para los productores.
Ahora considere una asignación que domina Pareto . Esto significa quepor todo yo ypara algunos i . Por lo anterior, sabemospor todo yo ypara algunos i . Resumiendo, encontramos:
- .
Porque maximiza los beneficios, sabemos , entonces . Pero los bienes deben conservarse para. Por eso,no es factible. Dado que no todas las asignaciones dominantes en Pareto son factibles,debe ser en sí mismo Pareto óptimo. [34]
Tenga en cuenta que si bien el hecho de que Si la maximización de beneficios se asume simplemente en el enunciado del teorema, el resultado solo es útil / interesante en la medida en que sea posible una asignación de producción que maximice los beneficios. Afortunadamente, para cualquier restricción de la asignación de produccióny precio a un subconjunto cerrado en el que el precio marginal está acotado lejos de 0, por ejemplo, cualquier elección razonable de funciones continuas para parametrizar posibles producciones, tal máximo existe. Esto se deriva del hecho de que el precio marginal mínimo y la riqueza finita limitan la producción máxima factible (0 limita el mínimo) y el teorema de Tychonoff asegura que el producto de estos espacios compactos es compacto, lo que nos asegura un máximo de cualquier función continua que deseamos que exista.
Prueba del segundo teorema fundamental
El segundo teorema establece formalmente que, bajo el supuesto de que todo conjunto de producción es convexo y toda relación de preferenciaes convexa y localmente nonsatiated , cualquier asignación Pareto-eficiente deseado puede ser apoyado como un precio cuasi -equilibrium con transferencias. [34] Se necesitan más supuestos para probar esta afirmación para equilibrios de precios con transferencias.
La prueba se desarrolla en dos pasos: primero, probamos que cualquier asignación Pareto-eficiente puede sustentarse como un cuasi-equilibrio de precios con transferencias; luego, damos condiciones bajo las cuales un precio cuasi-equilibrio es también un precio de equilibrio.
Definamos un cuasi-equilibrio de precios con transferencias como una asignación , un vector de precios p , y un vector de niveles de riqueza w (logrado por transferencias de suma global) con (dónde es la dotación agregada de bienes y es la producción de la empresa j ) tal que:
- I. para todos (las empresas maximizan las ganancias produciendo )
- ii. Por todo yo , si luego (Si es estrictamente preferido a entonces no puede costar menos de )
- iii. (restricción presupuestaria satisfecha)
La única diferencia entre esta definición y la definición estándar de un equilibrio de precios con transferencias está en el enunciado ( ii ). La desigualdad es débil aquí () convirtiéndolo en un cuasi-equilibrio de precios. Posteriormente fortaleceremos esto para lograr un equilibrio de precios. [34] Definir ser el conjunto de todos los paquetes de consumo estrictamente preferidos a por el consumidor i , y sea V la suma de todos. es convexo debido a la convexidad de la relación de preferencia . V es convexa porque cadaes convexo. similar, la unión de todos los conjuntos de producción más la dotación agregada, es convexa porque cada es convexo. También sabemos que la intersección de V y debe estar vacío, porque si no lo fuera implicaría que existe un paquete que se prefiere estrictamente a por todo el mundo y también es asequible. Esto está descartado por la optimización de Pareto de.
Estos dos conjuntos convexos que no se cruzan nos permiten aplicar el teorema del hiperplano separador . Este teorema establece que existe un vector de preciosy un número r tal que para cada y para cada . En otras palabras, existe un vector de precios que define un hiperplano que separa perfectamente los dos conjuntos convexos.
A continuación, argumentamos que si para todos i luego. Esto se debe a la no saciedad local: debe haber un paquete arbitrariamente cerca de que es estrictamente preferido a y por lo tanto parte de , entonces . Tomando el límite como no cambia la desigualdad débil, por lo que también. En otras palabras,está en el cierre de V .
Usando esta relación vemos que para sí mismo . También sabemos que, entonces también. Combinando estos encontramos que. Podemos usar esta ecuación para demostrar que se ajusta a la definición de un cuasi-equilibrio de precios con transferencias.
Porque y sabemos que para cualquier empresa j:
- por
lo que implica . Del mismo modo sabemos:
- por
lo que implica . Estos dos enunciados, junto con la viabilidad de la asignación en el óptimo de Pareto, satisfacen las tres condiciones para un cuasi-equilibrio de precios con transferencias respaldadas por niveles de riqueza.por todo i .
Pasemos ahora a las condiciones bajo las cuales un cuasi-equilibrio de precios es también un equilibrio de precios, en otras palabras, condiciones bajo las cuales el enunciado "si luego "imples" si luego ". Para que esto sea cierto, debemos suponer ahora que el consumo establecido es convexo y la relación de preferencia es continuo . Entonces, si existe un vector de consumo tal que y , un cuasi-equilibrio de precios es un equilibrio de precios.
Para ver por qué, asume lo contrario y , y existe. Entonces por la convexidad de tenemos un paquete con . Por la continuidad de por cerca de 1 tenemos . Esto es una contradicción, porque se prefiere este paquete a y cuesta menos de .
Por tanto, para que los cuasiequilibrios de precios sean equilibrios de precios, es suficiente que el conjunto de consumo sea convexo, que la relación de preferencia sea continua y que siempre exista una cesta de consumo "más barata". . Una forma de garantizar la existencia de dicho paquete es exigir niveles de riquezaser estrictamente positivo para todos los consumidores i . [34]
Ver también
- Preferencias convexas
- Teoremas de Varian : un equilibrio competitivo es tanto Pareto-eficiente como libre de envidia .
- Teoría del equilibrio general
Referencias
- ^ http://web.stanford.edu/~hammond/effMktFail.pdf
- ^ Stiglitz, Joseph E. (1994), ¿Adónde el socialismo? , MIT Press, ISBN 978-0-262-69182-6
- ^ Véase la discusión en las págs. 556 y sig. De Mas-Colell et al.
- ^ 'La riqueza de las naciones' (1776), Libro IV, Capítulo II.
- ^ Parafraseado de Leçon 18 (primera ed.) De Éléments . 'L'échange de deux marchandises entre elles sur un marché régi par la libre concurrence est une opération par laquelle tous les porteurs soit de l'une des deux marchandises, soit de l'autre, soit de toutes les deux, obtiennent la plus grande Satisfacción de leurs besoins compatible avec cette condition de donner de la marchandise qu'ils vendent et de recevoir de la marchandise qu'ils achètent dans une ratio commune et identique. ' Según Wicksell, este pasaje se trasladó a Leçon 10 en la 4ª ed.
- ↑ Paul Samuelson lo respaldó, diciendo que el locus de los óptimos paretianos puede obtenerse bajo un monopolio multilateral. 'Fundamentos del análisis económico' (1947), pág. 214.
- ^ p. 21.
- ^ p. 25. Véase también John Creedy, 'Francis Ysidro Edgeworth and Philip Henry Wicksteed' (2010), https://core.ac.uk/reader/6561724 .
- ^ Manuale di Economia Politica con una Introduzione alla Scienza Sociale (1906) / Manuel d'Économie Politique (1909).
- ↑ Manuale / Manuel Chap III, §22.
- ^ §116.
- ^ §33.
- ^ §35.
- ^ K. Wicksell, 'Conferencias sobre economía política' I (1906), Ing. tr. (1934), págs. 82 y sig.
- ^ §35.
- ^ Manuel , §109 – final.
- ^ P. A. Samuelson, 'Fundamentos del análisis económico' (1947), p. 212.
- ^ Thomas M. Humphrey, 'Diagrama sagrado del teórico del comercio: su origen y desarrollo temprano' (1988).
- ↑ Esta cita y la anterior se han resumido de §53 y §55 del Cap. VI.
- ^ E. Barone, 'Il Ministro della Produzione nello Stato Colletivistica' (1908).
- ↑ De hecho, divide este valor por el precio de un artículo elegido arbitrariamente, pero como se supone que los precios son fijos, esto simplemente introduce una asimetría irrelevante.
- ^ P. A. Samuelson, "Fundamentos del análisis económico" (1947), págs. 214-217.
- ↑ A. Lerner, 'The Diagrammatical Representation of Cost conditions in International Trade' (1932), citado en Thomas M. Humphrey, 'The Trade Theorist's Sacred Diagram: its Origin and Early Development' (1988).
- ↑ Por ejemplo, "nada más que el costo primario [es decir, el costo marginal] entra necesaria y directamente en el precio de oferta durante períodos cortos": Alfred Marshall , "Principles of Economics", Vv6 (octava ed. Consultada). Y cf. La 'conclusión provisional de Knut Wicksell de que la libre competencia es normalmente una condición suficiente para asegurar la maximización de la producción', 'Lectures on Political Economy' I (1906), Ing. tr. (1934), pág. 141.
- ^ P. A. Samuelson, 'Fundamentos del análisis económico' (1947), p. 217.
- ^ H. Hotelling, 'El problema general de bienestar en relación con los problemas de impuestos y de tarifas de ferrocarril y servicios públicos' (1938), Econometrica, págs. 260, 267.
- ↑ «Toda esa parte de la teoría de las finanzas públicas que trata de la" utilidad social "va por el pizarrón»: L. Robbins, « An Essay on the Nature and Significance of Economic Science » (1932), p. 125. JA King comentó que "Esta defensa del privilegio requería un enfoque poco convincente del solipsismo al problema de comparar los estados mentales de diferentes individuos ..." ("Nicholas Kaldor" (2009), citado en una revisión de 2011 por Harvey Gram) .
- ^ P. A. Samuelson, "Fundamentos del análisis económico" (1947), págs. 219–249.
- ^ p. 245.
- ^ K. Arrow, 'Una extensión de los teoremas básicos de la economía clásica del bienestar' (1951); G. Debreu, 'El coeficiente de utilización de recursos' (1951).
- ^ Greenwald, Bruce C .; Stiglitz, Joseph E. (1986). "Externalidades en economías con información imperfecta y mercados incompletos" . The Quarterly Journal of Economics . 101 (2): 229–264. doi : 10.2307 / 1891114 . ISSN 0033-5533 . Consultado el 14 de noviembre de 2020 .
- ^ Avinash Dixit , '¿Adónde Greenwald-Stiglitz?' (2003).
- ^ Greenwald y Stiglitz (1986), p. 238.
- ^ a b c d e f Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael D .; Green, Jerry R. (1995), "Capítulo 16: El equilibrio y sus propiedades básicas de bienestar", Teoría microeconómica , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-510268-0