El cuerno de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli ) es una figura geométrica particular que tiene un área de superficie infinita pero un volumen finito . El nombre hace referencia a la tradición cristiana que identifica al arcángel Gabriel como el ángel que toca el cuerno para anunciar el Día del Juicio . Las propiedades de esta figura fueron estudiadas por primera vez por el físico y matemático italiano Evangelista Torricelli en el siglo XVII.
Definición matemática
El cuerno de Gabriel se forma tomando la gráfica de
con el dominio y rotándolo en tres dimensiones alrededor del eje x . El descubrimiento fue hecho usando el principio de Cavalieri antes de la invención de cálculo , pero hoy en día, el cálculo se puede usar para calcular el volumen y el área de superficie de la bocina entre x = 1 y x = un , donde una > 1 . Usando la integración (ver Sólido de revolución y Superficie de revolución para más detalles), es posible encontrar el volumen V y el área de la superficie A :
El valor de una puede ser tan grande como sea necesario, pero puede ser visto a partir de la ecuación que el volumen de la parte de la bocina entre x = 1 y x = un nunca excederá π ; Sin embargo, no dibujar gradualmente más cerca de π como unos aumentos. Matemáticamente, el volumen se acerca a π cuando a se acerca al infinito. Usando la notación límite de cálculo:
La fórmula del área de superficie anterior da un límite inferior para el área como 2 π veces el logaritmo natural de a . No hay límite superior para el logaritmo natural de a , ya que a se acerca al infinito. Eso significa, en este caso, que el cuerno tiene una superficie infinita. Es decir,
Paradoja aparente
Cuando se descubrieron las propiedades del cuerno de Gabriel, se consideró una paradoja el hecho de que la rotación de una sección infinitamente grande del plano xy alrededor del eje x genera un objeto de volumen finito . Mientras que la sección que se encuentra en el plano xy tiene un área infinita, cualquier otra sección paralela a ella tiene un área finita. Por tanto, el volumen, que se calcula a partir de la "suma ponderada" de las secciones, es finito.
Otro enfoque es tratar el cuerno como una pila de discos con radios decrecientes . La suma de los radios produce una serie armónica que llega al infinito. Sin embargo, el cálculo correcto es la suma de sus cuadrados. Cada disco tiene un radio r =1/Xy un área π r 2 oπ/x 2. Las series1/X diverge pero1/x 2 converge . En general, para cualquier ε > 0 real ,1/x 1+ ε converge.
La aparente paradoja formó parte de una disputa sobre la naturaleza del infinito que involucró a muchos de los pensadores clave de la época, incluidos Thomas Hobbes , John Wallis y Galileo Galilei . [1]
Existe un fenómeno similar que se aplica a longitudes y áreas en el plano. El área entre las curvas1/x 2 y −1/x 2 de 1 a infinito es finito, pero las longitudes de las dos curvas son claramente infinitas.
La paradoja del pintor
Dado que el cuerno tiene un volumen finito pero un área de superficie infinita, existe una aparente paradoja de que el cuerno podría llenarse con una cantidad finita de pintura y, sin embargo, esa pintura no sería suficiente para cubrir su superficie interior. La paradoja se resuelve al darse cuenta de que una cantidad finita de pintura puede, de hecho, cubrir un área de superficie infinita; simplemente necesita adelgazarse a una velocidad lo suficientemente rápida (al igual que la serie 1/2 Nse hace más pequeño lo suficientemente rápido como para que su suma sea finita). En el caso de que el cuerno esté lleno de pintura, este adelgazamiento se logra mediante la reducción creciente del diámetro de la garganta del cuerno.
Conversar
Lo contrario del cuerno de Gabriel, una superficie de revolución que tiene un área de superficie finita pero un volumen infinito , no puede ocurrir cuando gira una función continua en un conjunto cerrado:
Teorema
Sea f : [1, ∞) → [0, ∞) una función continuamente diferenciable. Escribe S para el sólido de revolución de la gráfica y = f ( x ) sobre el eje x . Si el área de la superficie de S es finita, entonces también lo es el volumen.
Prueba
Dado que el área de la superficie lateral A es finita, el límite superior :
Por lo tanto, existe un t 0 tal que el supremum sup { f ( x ) | x ≥ t 0 } es finito. Por eso,
- M = sup { f ( x ) | x ≥ 1 } debe ser finito ya que f es una función continua , lo que implica que f está acotada en el intervalo [1, ∞) .
Finalmente, el volumen:
Por tanto: si el área A es finita, entonces el volumen V también debe ser finito.
Ver también
- Hipérbola - Curva plana: sección cónica
- Copo de nieve de Koch - Curva matemática y fractal
- Cuerno de picard
- Pseudoesfera
- Forma del universo : la geometría local y global del universo
- Superficie de revolución - Término matemático
- Las paradojas de Zenón - Conjunto de problemas filosóficos
Referencias
- ^ Havil, Julian (2007). ¡Desconcertado !: prueba matemática de ideas inverosímiles . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 82–91 . ISBN 0-691-12056-0.
Otras lecturas
- Royer, Melvin (2012). "Otras posesiones de Gabriel". PRIMUS: Problemas, recursos y cuestiones en la carrera de Matemáticas . 22 (4): 338–351. doi : 10.1080 / 10511970.2010.517601 .
- Fleron, Julian F. "Pastel de bodas de Gabriel" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 13 de diciembre de 2016.
- Lynch, Mark. "Un cubo de pintura paradójico" .
- Con amor, William P. (enero de 1989). "Supersólidos: sólidos que tienen volumen finito y superficies infinitas". El profesor de matemáticas . 82 (1): 60–65. JSTOR 27966098 .
enlaces externos
- La trompeta de Torricelli en PlanetMath
- Weisstein, Eric W. "Cuerno de Gabriel" . MathWorld .
- "Gabriel's Horn" de John Snyder, Proyecto de demostraciones de Wolfram , 2007.
- Cuerno de Gabriel: una comprensión de un sólido con volumen finito y área de superficie infinita por Jean S. Joseph.