En matemáticas , en el área del análisis numérico , los métodos de Galerkin convierten un problema de operador continuo, como una ecuación diferencial , comúnmente en una formulación débil , en un problema discreto mediante la aplicación de restricciones lineales determinadas por conjuntos finitos de funciones de base.
A menudo, cuando se hace referencia a un método de Galerkin, también se da el nombre junto con los supuestos típicos y los métodos de aproximación utilizados:
- El método de Ritz-Galerkin (después de Walther Ritz ) generalmente asume una forma bilineal definida simétrica y positiva en la formulación débil , donde la ecuación diferencial para un sistema físico se puede formular mediante la minimización de una función cuadrática que representa la energía del sistemay la solución aproximada es lineal. combinación del conjunto dado de funciones básicas. [1]
- El método de Bubnov-Galerkin (después de Ivan Bubnov ) no requiere que la forma bilineal sea simétrica y sustituye la minimización de energía con restricciones de ortogonalidad determinadas por las mismas funciones básicas que se utilizan para aproximar la solución. En una formulación de operador de la ecuación diferencial , el método de Bubnov-Galerkin puede verse como la aplicación de una proyección ortogonal al operador.
- El método Petrov-Galerkin (después de Georgii I. Petrov [2] ) permite usar funciones de base para restricciones de ortogonalidad (llamadas funciones de base de prueba ) que son diferentes de las funciones de base usadas para aproximar la solución. El método de Petrov-Galerkin puede verse como una extensión del método de Bubnov-Galerkin, aplicando una proyección que no es necesariamente ortogonal en la formulación del operador de la ecuación diferencial .
Ejemplos de métodos de Galerkin son:
- el método de Galerkin de residuos ponderados , el método más común para calcular la matriz de rigidez global en el método de elementos finitos , [3] [4]
- el método del elemento de frontera para resolver ecuaciones integrales,
- Métodos subespaciales de Krylov . [5]
Introducción con un problema abstracto
Un problema de formulación débil
Introduzcamos el método de Galerkin con un problema abstracto planteado como una formulación débil en un espacio de Hilbert , a saber,
- encontrar tal que para todos .
Aquí, es una forma bilineal (los requisitos exactos en se especificará más adelante) y es un funcional lineal acotado en .
Reducción de la dimensión de Galerkin
Elige un subespacio de dimensión ny resolver el problema proyectado:
- Encontrar tal que para todos .
A esto lo llamamos la ecuación de Galerkin . Observe que la ecuación no ha cambiado y solo han cambiado los espacios. Reducir el problema a un subespacio vectorial de dimensión finita nos permite calcular numéricamente como una combinación lineal finita de los vectores base en .
Ortogonalidad Galerkin
La propiedad clave del enfoque de Galerkin es que el error es ortogonal a los subespacios elegidos. Desde, nosotros podemos usar como vector de prueba en la ecuación original. Restando los dos, obtenemos la relación de ortogonalidad de Galerkin para el error, que es el error entre la solución del problema original, , y la solución de la ecuación de Galerkin,
Forma de matriz
Dado que el objetivo del método de Galerkin es la producción de un sistema lineal de ecuaciones , construimos su forma matricial, que se puede usar para calcular la solución algorítmicamente.
Dejar ser una base para. Entonces, es suficiente usar estos a su vez para probar la ecuación de Galerkin, es decir: encontrar tal que
Nos expandimos con respecto a esta base, e insértelo en la ecuación anterior, para obtener
Esta ecuación anterior es en realidad un sistema lineal de ecuaciones. , dónde
Simetría de la matriz
Debido a la definición de las entradas de la matriz, la matriz de la ecuación de Galerkin es simétrica si y solo si la forma bilineal es simétrico.
Análisis de los métodos de Galerkin
Aquí, nos limitaremos a formas bilineales simétricas , es decir
Si bien esto no es realmente una restricción de los métodos de Galerkin, la aplicación de la teoría estándar se vuelve mucho más simple. Además, es posible que se requiera un método Petrov-Galerkin en el caso no simétrico.
El análisis de estos métodos se desarrolla en dos pasos. Primero, mostraremos que la ecuación de Galerkin es un problema bien planteado en el sentido de Hadamard y por lo tanto admite una solución única. En el segundo paso, estudiamos la calidad de aproximación de la solución de Galerkin.
El análisis se basará principalmente en dos propiedades de la forma bilineal , a saber
- Delimitación: para todos sostiene
- por alguna constante
- Elipticidad: para todos sostiene
- por alguna constante
Según el teorema de Lax-Milgram (ver formulación débil ), estas dos condiciones implican que el problema original está bien planteado en una formulación débil. Todas las normas de las siguientes secciones serán normas para las que se cumplen las desigualdades anteriores (estas normas a menudo se denominan norma energética).
Bien planteado de la ecuación de Galerkin
Desde , la delimitación y elipticidad de la forma bilineal se aplican a . Por lo tanto, lo bien planteado del problema de Galerkin en realidad se hereda de lo bien planteado del problema original.
Aproximación cuasi-mejor (lema de Céa)
El error entre el original y la solución de Galerkin admite la estimación
Esto significa que hasta la constante , la solución de Galerkin es lo más parecido a la solución original como cualquier otro vector en . En particular, bastará con estudiar la aproximación por espacios, olvidándose por completo de la ecuación que se está resolviendo.
Prueba
Dado que la demostración es muy simple y el principio básico detrás de todos los métodos de Galerkin, lo incluimos aquí: por elipticidad y acotación de la forma bilineal (desigualdades) y ortogonalidad de Galerkin (signo igual en el medio), tenemos para arbitrario :
Dividiendo por y tomando el infimum por encima de todo lo posible produce el lema.
Método de Galerkin para estructuras escalonadas
I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan y JN Reddy [6] [7] [8] [9] estudiaron la aplicación del método Galerkin a estructuras escalonadas. Demostraron que la función generalizada, es decir, la función de paso unitario, la función delta de Dirac y la función doblete son necesarias para obtener resultados precisos.
Historia
El enfoque generalmente se le atribuye a Boris Galerkin . [10] [11] El método fue explicado al lector occidental por Hencky [12] y Duncan [13] [14] entre otros. Su convergencia fue estudiada por Mikhlin [15] y Leipholz [16] [17] [18] [19] Su coincidencia con el método de Fourier fue ilustrada por Elishakoff et al. [20] [21] [22] Singer demostró su equivalencia con el método de Ritz para problemas conservadores. [23] Gander y Wanner [24] mostraron cómo los métodos de Ritz y Galerkin llevaron al método moderno de elementos finitos. Repin discutió los cien años de desarrollo del método. [25] Elishakoff, Kaplunov y Kaplunov [26] muestran que el método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a las declaraciones de Timoshenko.
Ver también
- Método Ritz
Referencias
- ^ A. Ern, JL Guermond, Teoría y práctica de elementos finitos , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
- ^ "Georgii Ivanovich Petrov (en su centésimo cumpleaños)", Fluid Dynamics, mayo de 2012, volumen 47, número 3, págs. 289-291, DOI 10.1134 / S0015462812030015
- ^ S. Brenner, RL Scott, La teoría matemática de los métodos de elementos finitos , 2da edición, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
- ^ PG Ciarlet, El método de elementos finitos para problemas elípticos , Holanda Septentrional, 1978, ISBN 0-444-85028-7
- ^ Y. Saad , Métodos iterativos para sistemas lineales dispersos , 2da edición, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2
- ^ Elishakoff I., Marco Amato, Prakash Ankitha Arvan y Alessandro Marzani, 2021 "La implementación rigurosa del método Galerkin para estructuras escalonadas necesita funciones generalizadas", Journal of Sound and Vibration, vol. 490, artículo 115708
- ^ Elishakoff I., Marco Amato y Alessandro Marzani, 2021, “El método de Galerkin revisado y corregido en el problema de Jaworski y Dowell”, Sistemas mecánicos y procesamiento de señales, vol. 156, artículo 107604
- ^ Elishakoff I. y Marco Amato, 2021, “Flutter of a beam in supersonic flow: versión truncada de la ecuación de Timoshenko-Ehrenfest es suficiente”, International Journal of Mechanics and Materials in Design, en prensa.
- ^ Marco Amato, Elishakoff I. y JN Reddy, 2021, "Flutter of a multi-component beam in a supersonic flow", AIAA Journal, en prensa.
- ^ Galerkin, BG, 1915, Varillas y placas, serie que se produce en diversas cuestiones relativas al equilibrio elástico de varillas y placas, Vestnik Inzhenerov i Tekhnikov, (Boletín de ingenieros y tecnólogos), vol. 19, 897-908 (en ruso), (Traducción al inglés: 63-18925, Clearinghouse Fed. Sci. Tech. Info. 1963).
- ^ "Le destin douloureux de Walther Ritz (1878-1909)", (Jean-Claude Pont, editor), Cahiers de Vallesia, 24, (2012), ISBN 978-2-9700636-5-0
- ↑ Hencky H., 1927, Eine wichtige Vereinfachung der Methode von Ritz zur angennäherten Behandlung von Variationproblemen, ZAMM: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik, vol. 7, 80-81 (en alemán).
- ^ Duncan, WJ, 1937, Método de Galerkin en mecánica y ecuaciones diferenciales, informes y memorandos del Comité de investigación aeronáutica, núm. 1798.
- ^ Duncan, WJ, 1938, Los principios del método Galerkin, Informe de investigación aeronáutica y memorandos, núm. 1894.
- ^ SG Mikhlin, "Métodos variacionales en física matemática", Pergamon Press, 1964
- ^ Leipholz HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, Recopilación de golpes y vibraciones, vol. 8, 3-18
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- ^ Leipholz, HHE, 1976, Uso del método de Galerkin para problemas de vibración, The Shock and Vibration Digest Vol. 8, 3-18, 1976.
- ^ Elishakoff, I., Lee, LHN, 1986, Sobre la equivalencia de los métodos de las series Galerkin y Fourier para una clase de problemas, Journal of Sound and Vibration, Vol. 109, 174-177.
- ^ Elishakoff, I., Zingales, M., 2003, Coincidencia de Bubnov-Galerkin y solución exacta en un problema de mecánica aplicada, Journal of Applied Mechanics, vol. 70, 777-779.
- ^ Elishakoff, I., Zingales M., 2004, Convergencia del método Bubnov-Galerkin ejemplificado, AIAA Journal, vol. 42 (9), 1931-1933.
- ^ Singer J., 1962, Sobre la equivalencia de los métodos Galerkin y Rayleigh-Ritz, Revista de la Royal Aeronautical Society, Vol. 66, núm. 621, pág. 592.
- ^ Gander, MJ, Wanner, G., 2012, De Euler, Ritz y Galerkin a la informática moderna, Revisión de SIAM, vol. 54 (4), 627-666.
- ^ ] Repin, S., 2017, Cien años del método Galerkin, Métodos computacionales y matemáticas aplicadas, Vol. 17 (3), 351-357.
- ^ .Elishakoff, I., Julius Kaplunov, Elizabeth Kaplunov, 2020, "El método de Galerkin no fue desarrollado por Ritz, contrariamente a la afirmación de Timoshenko", en Nonlinear Dynamics of Discrete and Continuous Systems (A. Abramyan, I. Andrianov y V. Gaiko, eds.), Págs.63-82, Springer, Berlín.
enlaces externos
- "Método Galerkin" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Método Galerkin de MathWorld