En matemáticas , especialmente en la teoría del orden , una conexión de Galois es una correspondencia particular (típicamente) entre dos conjuntos parcialmente ordenados (posets). La misma noción también se puede definir en conjuntos o clases preordenados ; este artículo presenta el caso común de posets. Las conexiones de Galois generalizan la correspondencia entre subgrupos y subcampos investigados en la teoría de Galois (llamada así por el matemático francés Évariste Galois ). Encuentran aplicaciones en varias teorías matemáticas.
Una conexión de Galois es bastante débil en comparación con un isomorfismo de orden entre los posets involucrados, pero cada conexión de Galois da lugar a un isomorfismo de ciertos subposets, como se explicará a continuación.
La literatura contiene dos nociones estrechamente relacionadas de "conexión de Galois". En este artículo, distinguiremos entre los dos refiriéndonos al primero como conexión de Galois (monótona) y al segundo como conexión de Galois antitono .
El término correspondencia de Galois se utiliza a veces para referirse a la conexión biyectiva de Galois ; esto es simplemente un isomorfismo de orden (o isomorfismo de orden dual, dependiendo de si tomamos conexiones de Galois monótonas o antitónicas).
Definiciones
(Monótono) Conexión de Galois
Sean ( A , ≤) y ( B , ≤) dos conjuntos parcialmente ordenados . Una conexión de Galois monótona entre estos conjuntos consta de dos funciones [1] monótonas : F : A → B y G : B → A , de modo que para todo a en A y b en B , tenemos
- F ( a ) ≤ b si y solo si a ≤ G ( b ) .
En esta situación, F se llama el adjunto inferior de G y G se llama el adjunto superior de F . De manera mnemónica, la terminología superior / inferior se refiere a dónde aparece la aplicación de la función en relación con ≤. [2] El término "adjunto" se refiere al hecho de que las conexiones de Galois monótonas son casos especiales de pares de functores adjuntos en la teoría de categorías, como se analiza más adelante. Otra terminología encontrada aquí es adjunto izquierdo (respectivamente adjunto derecho ) para el adjunto inferior (respectivamente superior).
Una propiedad esencial de una conexión de Galois es que un adjunto superior / inferior de una conexión de Galois determina de forma única el otro:
- F ( a ) es el elemento mínimo con un ≤ G () , y
- G ( b ) es el elemento más grande con F () ≤ b .
Una consecuencia de esto es que si F o G son invertibles , entonces cada uno es el inverso del otro, es decir, F = G −1 .
Dada una conexión de Galois con el adjunto inferior F y el adjunto superior G , podemos considerar las composiciones GF : A → A , conocido como el operador de cierre asociado , y FG : B → B , conocido como el operador del kernel asociado. Ambos son monótono y idempotente, y tenemos un ≤ GF ( una ) para todos una en A y FG ( b ) ≤ b para todos b en B .
Una inserción Galois de B en A es una conexión de Galois en la que el operador kernel FG es la identidad en B , y por lo tanto G es una orden-isomorfismo de B en el conjuntos cerrados GF [ A ] de A . [3]
Conexión Antitone Galois
La definición anterior es común en muchas aplicaciones hoy en día y es prominente en la teoría de celosía y dominio . Sin embargo, la noción original en la teoría de Galois es ligeramente diferente. En esta definición alternativa, una conexión de Galois es un par de funciones F : A → B y G : B → A antitono , es decir, de orden inverso , entre dos posets A y B , de manera que
- b ≤ F ( a ) si y solo si a ≤ G ( b ) .
La simetría de F y G en esta versión borra la distinción entre superior e inferior, y las dos funciones se denominan polaridades en lugar de adjuntas. [4] Cada polaridad determina de forma única a la otra, ya que
- F ( a ) es el elemento más grande b con a ≤ G ( b ) , y
- G ( b ) es el elemento más grande a con b ≤ F ( a ) .
Las composiciones GF : A → A y FG : B → B son los operadores de cierre asociados; que son idempotente monótona mapas con la propiedad de un ≤ GF ( una ) para todos una en A y b ≤ FG ( b ) para todos b en B .
Las implicaciones de las dos definiciones de las conexiones de Galois son muy similares, ya que una conexión de Galois antítona entre A y B es sólo una conexión monótona de Galois entre A y el orden dual B op de B . Todas las siguientes declaraciones sobre las conexiones de Galois se pueden convertir fácilmente en declaraciones sobre las conexiones antitono de Galois.
Ejemplos de
Conexiones monótonas de Galois
Set de poder; implicación y conjunción
Para un ejemplo de la teoría del orden, sea U un conjunto , y sean A y B el conjunto de potencias de U , ordenados por inclusión. Elija un subconjunto fijo L de U . Luego, los mapas F y G , donde F ( M ) = L ∩ M , y G ( N ) = N ∪ ( U \ L ) , forman una conexión de Galois monótona, siendo F el adjunto inferior. Una conexión de Galois similar cuyo adjunto inferior está dado por la operación meet (infimum) se puede encontrar en cualquier álgebra de Heyting . Especialmente, está presente en cualquier álgebra booleana , donde las dos asignaciones pueden describirse mediante F ( x ) = ( a ∧ x ) y G ( y ) = ( y ∨ ¬ a ) = ( a ⇒ y ) . En términos lógicos: "implicación de a " es el adjunto superior de "conjunción con a ".
Celosías
En el artículo sobre propiedades de completitud se describen más ejemplos interesantes de conexiones de Galois . En términos generales, resulta que las funciones habituales y ∨ y ∧ son adjoints inferior y superior a la diagonal mapa X → X × X . Los elementos menores y mayores de un orden parcial están dados por adjuntos inferior y superior a la función única X → {1}. Yendo más allá, incluso las celosías completas pueden caracterizarse por la existencia de anexos adecuados. Estas consideraciones dan alguna impresión de la ubicuidad de las conexiones de Galois en la teoría del orden.
Acciones de grupo transitivas
Deje que G actúa transitivamente en X y recoger algún punto x en X . Considerar
el conjunto de bloques que contiene x . Además, dejaconsisten en los subgrupos de G que contienen el estabilizador de x .
Entonces, la correspondencia :
es una conexión de Galois monótona e individualizada. [5] Como corolario, se puede establecer que las acciones doblemente transitivas no tienen otros bloques que los triviales (singletons o la totalidad de X ): esto se sigue de que los estabilizadores son máximos en G en ese caso. Ver grupo doblemente transitivo para mayor discusión.
Imagen e imagen inversa
Si f : X → Y es una función , entonces para cualquier subconjunto M de X podemos formar la imagen F ( M ) = f ( M ) = { f ( m ) | m ∈ M } y para cualquier subconjunto N de Y podemos formar la imagen inversa G ( N ) = f −1 ( N ) = { x ∈ X | f ( x ) ∈ N }. Entonces F y G forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto de potencias de X y el conjunto de potencias de Y , ambos ordenados por inclusión ⊆. Hay un par adjunto adicional en esta situación: para un subconjunto M de X , defina H ( M ) = { y ∈ Y | f −1 ({ y }) ⊆ M }. Entonces G y H forman una conexión de Galois monótona entre el conjunto potencia de Y y el conjunto potencia de X . En la primera conexión de Galois, G es el adjunto superior, mientras que en la segunda conexión de Galois sirve como adjunto inferior.
En el caso de un mapa de cocientes entre objetos algebraicos (como grupos), esta conexión se llama teorema de la red : los subgrupos de G se conectan a subgrupos de G / N , y el operador de cierre en subgrupos de G viene dado por H = HN .
Span y cierre
Elija algún objeto matemático X que tenga un conjunto subyacente, por ejemplo, un grupo , anillo , espacio vectorial , etc. Para cualquier subconjunto S de X , sea F ( S ) el subobjeto más pequeño de X que contiene S , es decir, el subgrupo , subanillo o subespacio generado por S . Para cualquier subobjeto U de X , deja G ( U ) el conjunto subyacente de U . (Incluso podemos tomar X como un espacio topológico , sea F ( S ) el cierre de S , y tomar como "subobjetos de X " los subconjuntos cerrados de X ). Ahora F y G forman una conexión de Galois monótona entre subconjuntos de X y subobjetos de X , si ambos están ordenados por inclusión. F es el adjunto inferior.
Sintaxis y semántica
Un comentario muy general de William Lawvere [6] es que la sintaxis y la semántica son adjuntas: tome A como el conjunto de todas las teorías lógicas (axiomatizaciones) y B como el conjunto de potencias del conjunto de todas las estructuras matemáticas. Para una teoría T ∈ A , sea F ( T ) el conjunto de todas las estructuras que satisfacen los axiomas T ; para un conjunto de estructuras matemáticas S ∈ B , deja G ( S ) sea el mínimo de los axiomatizaciones que se aproximan S . Entonces podemos decir que F ( T ) es un subconjunto de S si y solo si T implica lógicamente G ( S ) : el "functor semántico" F y el "functor sintáctico" G forman una conexión de Galois monótona, siendo la semántica la menor adjunto.
Conexiones Antitone Galois
Teoría de Galois
El ejemplo motivador proviene de la teoría de Galois: supongamos que L / K es una extensión de campo . Sea A el conjunto de todos los subcampos de L que contienen K , ordenados por inclusión ⊆. Si E es un subcampo de este tipo, escriba Gal ( L / E ) para el grupo de automorfismos de campo de L que mantienen E fijo. Sea B el conjunto de subgrupos de Gal ( L / K ) , ordenados por inclusión ⊆. Para tal un subgrupo G , definir Fix ( G ) para ser el campo que consiste en todos los elementos de L que se mantiene fijo por todos los elementos de G . Luego, los mapas E ↦ Gal ( L / E ) y G ↦ Fix ( G ) forman una conexión de Galois antitono.
Topología algebraica: cubriendo espacios
De manera análoga, dado un espacio topológico X conectado por una trayectoria , existe una conexión de Galois antitono entre los subgrupos del grupo fundamental π 1 ( X ) y los espacios de cobertura de X conectados por una trayectoria . En particular, si X está semilocalmente simplemente conectado , entonces para cada subgrupo G de π 1 ( X ) , hay un espacio de cobertura con G como su grupo fundamental.
Álgebra lineal: aniquiladores y complementos ortogonales
Dado un espacio con producto interno V , podemos formar el complemento ortogonal F ( X ) de cualquier subespacio X de V . Esto produce una conexión antitónica de Galois entre el conjunto de subespacios de V y él mismo, ordenados por inclusión; ambas polaridades son iguales a F .
Dado un espacio vectorial V y un subconjunto X de V podemos definir su aniquilador F ( X ) , que consiste en todos los elementos del espacio dual V * de V que se desvanecen en X . De manera similar, dado un subconjunto Y de V ∗ , definimos su aniquilador G ( Y ) = { x ∈ V | φ ( x ) = 0 ∀ φ ∈ Y }. Esto da una conexión de Galois antitono entre los subconjuntos de V y los subconjuntos de V ∗ .
Geometría algebraica
En geometría algebraica , la relación entre conjuntos de polinomios y sus conjuntos de ceros es una conexión de Galois antitono.
Fije un número natural n y un campo K y sea A el conjunto de todos los subconjuntos del anillo polinomial K [ X 1 , ..., X n ] ordenados por inclusión ⊆, y sea B el conjunto de todos los subconjuntos de K n ordenado por inclusión ⊆. Si S es un conjunto de polinomios, defina la variedad de ceros como
el conjunto de ceros comunes de los polinomios en S . Si U es un subconjunto de K n , defina I ( U ) como un ideal de polinomios que desaparecen en U , es decir
Entonces V y yo formamos una conexión antitono de Galois.
El cierre en K n es el cierre en la topología de Zariski , y si el campo K es algebraicamente cerrado , entonces el cierre en el anillo de polinomios es el radical de ideal generado por S .
De manera más general, dado un anillo conmutativo R (no necesariamente un anillo polinomial), existe una conexión de Galois antitónica entre los ideales radicales en el anillo y las subvariedades de la variedad afín Spec ( R ) .
De manera más general, existe una conexión antitónica de Galois entre los ideales en el anillo y los subesquemas de la variedad afín correspondiente .
Conexiones en conjuntos de poder que surgen de relaciones binarias
Supongamos que X y Y son conjuntos arbitrarios y una relación binaria R sobre X y Y es dado. Para cualquier subconjunto M de X , definimos F ( M ) = { y ∈ Y | mRy ∀ m ∈ M }. De manera similar, para cualquier subconjunto N de Y , defina G ( N ) = { x ∈ X | xRn ∀ n ∈ N }. Entonces F y G producen una conexión de Galois antitono entre los conjuntos de potencias de X e Y , ambos ordenados por inclusión ⊆. [7]
Hasta el isomorfismo, todas las conexiones de Galois antitono entre conjuntos de potencia surgen de esta manera. Esto se desprende del "Teorema básico de los entramados de conceptos". [8] La teoría y las aplicaciones de las conexiones de Galois que surgen de las relaciones binarias se estudian en el análisis formal de conceptos . Ese campo utiliza conexiones de Galois para el análisis de datos matemáticos. Se pueden encontrar muchos algoritmos para las conexiones de Galois en la literatura respectiva, por ejemplo, en. [9]
Propiedades
En lo siguiente, consideramos una conexión de Galois (monótona) f = ( f ∗ , f ∗ ) , donde f ∗ : A → B es el adjunto inferior como se introdujo anteriormente. Algunas propiedades básicas útiles e instructivas se pueden obtener de inmediato. Por la propiedad definitoria de las conexiones de Galois, f * ( x ) ≤ f * ( x ) es equivalente a x ≤ f * ( f * ( x )) , para todos los x en A . Por un razonamiento similar (o simplemente mediante la aplicación del principio de dualidad de teoría de la orden ), se encuentra que f * ( f * ( y )) ≤ y , para todos y en B . Estas propiedades pueden describirse diciendo que el compuesto f ∗ ∘ f ∗ es deflacionario , mientras que f ∗ ∘ f ∗ es inflacionario (o extensivo ).
Ahora considere x , y ∈ A tal que x ≤ y , luego usando el anterior se obtiene x ≤ f ∗ ( f ∗ ( y )) . Aplicando la propiedad básica de las conexiones de Galois, ahora se puede concluir que f ∗ ( x ) ≤ f ∗ ( y ) . Pero esto solo muestra que f ∗ conserva el orden de dos elementos cualesquiera, es decir, es monótono. Una vez más, un razonamiento similar produce la monotonicidad de f ∗ . Por tanto, la monotonicidad no tiene que incluirse explícitamente en la definición. Sin embargo, mencionar la monotonicidad ayuda a evitar confusiones sobre las dos nociones alternativas de las conexiones de Galois.
Otra propiedad básica de las conexiones de Galois es el hecho de que f * ( f * ( f * ( x ))) = f * ( x ) , para todo x en B . Claramente encontramos que
- f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( x ))) ≥ f ∗ ( x ) .
porque f ∗ ∘ f ∗ es inflacionario como se muestra arriba. Por otro lado, dado que f ∗ ∘ f ∗ es deflacionario, mientras que f ∗ es monótono, se encuentra que
- f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( x ))) ≤ f ∗ ( x ) .
Esto muestra la igualdad deseada. Además, podemos usar esta propiedad para concluir que
- f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( x )))) = f ∗ ( f ∗ ( x ))
y
- f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( f ∗ ( x )))) = f ∗ ( f ∗ ( x ))
es decir, f ∗ ∘ f ∗ y f ∗ ∘ f ∗ son idempotentes .
Se puede demostrar (ver Blyth o Erné para las pruebas) que una función f es un adjunto inferior (o superior) si y solo si f es un mapeo residuo (o mapeo residual). Por lo tanto, la noción de mapeo residual y conexión de Galois monótona son esencialmente la misma.
Operadores de cierre y conexiones Galois
Los hallazgos anteriores se pueden resumir de la siguiente manera: para una conexión de Galois, el compuesto f ∗ ∘ f ∗ es monótono (siendo el compuesto de funciones monótonas), inflacionario e idempotente. Esto indica que f * ∘ f * es, de hecho, un operador de cierre en una . Dualmente, f ∗ ∘ f ∗ es monótono, deflacionario e idempotente. A veces, estas asignaciones se denominan operadores del núcleo . En el contexto de marcos y locales , el compuesto f ∗ ∘ f ∗ se denomina núcleo inducido por f . Los núcleos inducen homomorfismos de marco; un subconjunto de una localidad se llama sublocale si está dado por un núcleo.
A la inversa, cualquier operador de cierre c en algún poset A da lugar a la conexión de Galois con el adjunto inferior f ∗ que es solo la corestricción de c a la imagen de c (es decir, como un mapeo sobreyectivo del sistema de cierre c ( A ) ). El adjunto superior f * viene dada entonces por la inclusión de c ( A ) en A , que mapea cada elemento cerrado a sí mismo, considerado como un elemento de A . De esta manera, se considera que los operadores de cierre y las conexiones de Galois están estrechamente relacionados, cada uno especificando una instancia del otro. Conclusiones similares son válidas para los operadores del núcleo.
Las consideraciones anteriores también muestran que los elementos cerrados de A (elementos x con f ∗ ( f ∗ ( x )) = x ) se asignan a elementos dentro del rango del operador del núcleo f ∗ ∘ f ∗ , y viceversa.
Existencia y singularidad de las conexiones de Galois
Otra propiedad importante de las conexiones de Galois es que los adjuntos inferiores conservan todos los supremos que existen dentro de su dominio . Dualmente, los adjuntos superiores conservan todos los infima existentes . De estas propiedades, también se puede concluir inmediatamente la monotonicidad de los adjuntos. El teorema del functor adjunto para la teoría del orden establece que la implicación inversa también es válida en ciertos casos: especialmente, cualquier mapeo entre retículas completas que conserve todo suprema es el adjunto inferior de una conexión de Galois.
En esta situación, una característica importante de las conexiones de Galois es que un contiguo determina de forma única al otro. Por lo tanto, se puede fortalecer la declaración anterior para garantizar que cualquier mapa de preservación superior entre celosías completas sea el adjunto inferior de una conexión de Galois única. La propiedad principal para derivar esta unicidad es la siguiente: Para cada x en A , f ∗ ( x ) es el elemento mínimo y de B tal que x ≤ f ∗ ( y ) . Dualmente, para cada y en B , f ∗ ( y ) es el mayor x en A tal que f ∗ ( x ) ≤ y . La existencia de una cierta conexión de Galois ahora implica la existencia de los respectivos elementos menores o mayores, sin importar si los correspondientes posets satisfacen alguna propiedad de completitud . Por lo tanto, cuando se proporciona un adjunto superior de una conexión de Galois, el otro adjunto superior se puede definir mediante esta misma propiedad.
Por otro lado, alguna función monótona f es un adjunto inferior si y solo si cada conjunto de la forma { x ∈ A | f ( x ) ≤ b }, para b en B , contiene un elemento mayor. Nuevamente, esto se puede dualizar para el adjunto superior.
Conexiones de Galois como morfismos
Las conexiones de Galois también proporcionan una clase interesante de mapeos entre posets que se pueden utilizar para obtener categorías de posets. Especialmente, es posible componer conexiones de Galois: dadas las conexiones de Galois ( f ∗ , f ∗ ) entre posets A y B y ( g ∗ , g ∗ ) entre B y C , el compuesto ( g ∗ ∘ f ∗ , f ∗ ∘ g ∗ ) también es una conexión de Galois. Al considerar categorías de celosías completas, esto se puede simplificar para considerar solo asignaciones que preservan todo suprema (o, alternativamente, infima). Al mapear rejillas completas a sus duales, estas categorías muestran auto- dualidad , que son bastante fundamentales para obtener otros teoremas de dualidad. Tipos más especiales de morfismos que inducen mapeos adjuntos en la otra dirección son los morfismos que generalmente se consideran para marcos (o lugares).
Conexión con la teoría de categorías
Cada conjunto parcialmente ordenado puede ser vista como una categoría de una manera natural: existe un único morfismo de x a y si y sólo si x ≤ y . Una conexión de Galois monótona no es más que un par de functores adjuntos entre dos categorías que surgen de conjuntos parcialmente ordenados. En este contexto, el adjunto superior es el adjunto derecho mientras que el adjunto inferior es el adjunto izquierdo . Sin embargo, esta terminología se evita para las conexiones de Galois, ya que hubo un tiempo en que los posets se transformaban en categorías de forma dual , es decir, con flechas apuntando en la dirección opuesta. Esto llevó a una notación complementaria relativa a los adjuntos izquierdo y derecho, que hoy en día es ambigua.
Aplicaciones en la teoría de la programación
Las conexiones de Galois se pueden utilizar para describir muchas formas de abstracción en la teoría de la interpretación abstracta de los lenguajes de programación . [10] [11]
Notas
- ^ La monotonicidad se deriva de la siguiente condición. Vea la discusión de las propiedades . Solo es explícito en la definición distinguirlo de ladefinición de antitono alternativa. También se pueden definir las conexiones de Galois como un par de funciones monótonas que satisfacen la condición más laxa de que para todo x en A , x ≤ g ( f ( x )) y para todo y en B, f (g (y)) ≤ y.
- ^ Gierz, pág. 23
- ^ Bistarelli, Stefano (2004). Semirings para programación y resolución de restricciones suaves . Apuntes de conferencias en Ciencias de la Computación. 2962 . Springer-Verlag . pag. 102. arXiv : cs / 0208008 . doi : 10.1007 / 978-3-540-25925-1_8 . ISBN 3-540-21181-0. ISSN 0302-9743 .
- ^ Galatos, p. 145
- ^ Ver Alperin, Bell, Grupos y representaciones (GTM 162), p. 32
- ^ William Lawvere , Adjointness in foundations, Dialectica, 1969, disponible aquí . La notación es diferente hoy en día; una introducción más sencilla de Peter Smith en estas notas de clase , que también atribuyen el concepto al artículo citado.
- ^ Birkhoff, primera edición (1940): §32, tercera edición (1967): Cap. V, §7 y §8
- ^ Ganter, B. y Wille, R. Análisis de concepto formal - Fundamentos matemáticos , Springer (1999), ISBN 978-3-540-627715
- ^ Ganter, B. y Obiedkov, S. Conceptual Exploration , Springer (2016), ISBN 978-3-662-49290-1
- ^ Patrick Cousot; Radhia Cousot (enero de 1977). "Interpretación abstracta: un modelo de celosía unificado para el análisis estático de programas por construcción o aproximación de puntos de fijación" (PDF) . Proc. 4th ACM Symp. sobre Principios de Lenguajes de Programación (POPL) . págs. 238-252.
Para ver un contraejemplo del falso teorema de la Sección 7 (página 243 arriba a la derecha), consulte: Jochen Burghardt; Florian Kammüller; Jeff W. Sanders (diciembre de 2000). Isomorfismo de las incrustaciones de Galois (informe técnico). GMD. pag. 73. ISSN 1435-2702 . 122. - ^ Patrick Cousot; Radhia Cousot (enero de 1979). "Diseño sistemático de marcos de análisis de programas" (PDF) . Proc. 6th ACM Symp. sobre Principios de Lenguajes de Programación (POPL) . Prensa ACM. págs. 269-282.
Referencias
Los siguientes libros y artículos de encuestas incluyen conexiones de Galois usando la definición monótona:
- Brian A. Davey y Hilary A. Priestley: Introducción a las celosías y el orden , Cambridge University Press, 2002.
- Gerhard Gierz, Karl H. Hofmann, Klaus Keimel, Jimmie D. Lawson, Michael W. Mislove, Dana S. Scott: Continuous Lattices and Domains , Cambridge University Press, 2003.
- Marcel Erné, Jürgen Koslowski, Austin Melton, George E. Strecker, Introducción a las conexiones de Galois , en: Actas de la Conferencia de verano de 1991 sobre topología general y aplicaciones en honor a Mary Ellen Rudin y su trabajo, Anales de la Academia de Nueva York de Ciencias, vol. 704, 1993, págs. 103-125. (Disponible gratuitamente en línea en varios formatos de archivo PS.GZ PS , presenta muchos ejemplos y resultados, así como notas sobre las diferentes notaciones y definiciones que surgieron en esta área).
Algunas publicaciones que utilizan la definición original (antitono):
- Mac Lane, Saunders (septiembre de 1998). Categorías para el matemático que trabaja (Segunda ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.
- Thomas Scott Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures , Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5 .
- Nikolaos Galatos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski e Hiroakira Ono (2007), Rejillas residuales. Un vistazo algebraico a la lógica subestructural , Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5 .
- Garrett Birkhoff: Teoría de celosía , Amer. Matemáticas. Soc. Coll. Pub., Vol.25, 1940
- Ore, Øystein (1944), "Galois Connexions", Transactions of the American Mathematical Society , 55 (3): 493–513, doi : 10.2307 / 1990305 , JSTOR 1990305