En matemáticas , en el área del álgebra abstracta conocida como teoría de Galois , el grupo de Galois de un cierto tipo de extensión de campo es un grupo específico asociado con la extensión de campo. El estudio de las extensiones de campo y su relación con los polinomios que las originan a través de los grupos de Galois se denomina teoría de Galois , así nombrada en honor a Évariste Galois, quien las descubrió por primera vez.
Para una discusión más elemental de los grupos de Galois en términos de grupos de permutación , vea el artículo sobre la teoría de Galois .
Definición
Suponer que es una extensión del campo (Escrito como y lea " E sobre F "). Un automorfismo de se define como un automorfismo de que arregla puntual. En otras palabras, un automorfismo dees un isomorfismo tal que para cada . El conjunto de todos los automorfismos deforma un grupo con la operación de composición de funciones . Este grupo a veces se denota por
Si es una extensión de Galois , entoncesse llama el grupo de Galois de, y generalmente se denota por . [1]
Si no es una extensión de Galois, entonces el grupo de Galois de a veces se define como , dónde es el cierre de Galois de.
Grupo de Galois de un polinomio
Otra definición del grupo de Galois proviene del grupo de Galois de un polinomio . Si hay un campo tal que factores como producto de polinomios lineales
sobre el campo , luego el grupo de Galois del polinomio se define como el grupo de Galois de dónde es mínimo entre todos esos campos.
Estructura de los grupos de Galois
Teorema fundamental de la teoría de Galois
Uno de los teoremas de estructura importantes de la teoría de Galois proviene del teorema fundamental de la teoría de Galois . Esto establece que dada una extensión finita de Galois, hay una biyección entre el conjunto de subcampos y los subgrupos Luego, viene dado por el conjunto de invariantes de bajo la acción de , entonces
Además, si es un subgrupo normal entonces. Y a la inversa, si es una extensión de campo normal, entonces el subgrupo asociado en es un grupo normal.
Estructura de celosía
Suponer son extensiones de Galois de con grupos de Galois El campo con el grupo Galois tiene una inyección que es un isomorfismo siempre que . [2]
Inducir
Como corolario, esto puede inducirse un número finito de veces. Dadas las extensiones de Galois dónde entonces hay un isomorfismo de los grupos de Galois correspondientes:
Ejemplos de
En los siguientes ejemplos es un campo, y son los campos de números complejos , reales y racionales , respectivamente. La notación F ( un ) indica la extensión de campo obtenido por contigua un elemento una al campo F .
Herramientas computacionales
Cardinalidad del grupo Galois y grado de extensión del campo
Una de las proposiciones básicas requeridas para determinar completamente los grupos de Galois [3] de una extensión de campo finito es la siguiente: Dado un polinomio, dejar sea su extensión de campo de división. Entonces, el orden del grupo de Galois es igual al grado de extensión del campo; es decir,
Criterio de Eisenstein
Una herramienta útil para determinar el grupo de Galois de un polinomio proviene del criterio de Eisenstein . Si un polinomio factores en polinomios irreducibles el grupo de Galois se puede determinar utilizando los grupos de Galois de cada ya que el grupo de Galois de contiene cada uno de los grupos de Galois del
Grupo trivial
Es el grupo trivial que tiene un solo elemento, a saber, el automorfismo de identidad.
Otro ejemplo de un grupo de Galois que es trivial es De hecho, se puede demostrar que cualquier automorfismo de debe preservar el orden de los números reales y por lo tanto debe ser la identidad.
Considere el campo El grupo contiene solo el automorfismo de identidad. Esto es porqueno es una extensión normal , ya que las otras dos raíces cúbicas de,
- y
faltan en la extensión; en otras palabras, K no es un campo de división .
Grupos abelianos finitos
El grupo Galois tiene dos elementos, el automorfismo de identidad y el automorfismo de conjugación compleja . [4]
Extensiones cuadráticas
La extensión de dos campos de grado tiene el grupo Galois con dos elementos, el automorfismo de identidad y el automorfismo que intercambia √ 2 y - √ 2 . Este ejemplo se generaliza para un número primo
Producto de extensiones cuadráticas
Usando la estructura de celosía de los grupos de Galois, para números primos no iguales el grupo de Galois es
Extensiones ciclotómicas
Otra clase útil de ejemplos proviene de los campos de división de polinomios ciclotómicos . Estos son polinomios definido como
cuyo grado es , Función totient de Euler en. Entonces, el campo de división sobre es y tiene automorfismos enviando por relativamente primo para . Dado que el grado del campo es igual al grado del polinomio, estos automorfismos generan el grupo de Galois. [5] Si luego
Si es un primo , entonces un corolario de esto es
De hecho, cualquier grupo abeliano finito se puede encontrar como el grupo de Galois de algún subcampo de una extensión de campo ciclotómico por el teorema de Kronecker-Weber .
Campos finitos
Otra clase útil de ejemplos de grupos de Galois con grupos abelianos finitos proviene de campos finitos. Si q es una potencia primaria, y si y denotar los campos de orden de Galois y respectivamente, entonces es cíclico de orden ny generado por el homomorfismo de Frobenius .
Ejemplos de grado 4
La extensión del campo es un ejemplo de un grado extensión de campo. [6] Esto tiene dos automorfismos dónde y Dado que estos dos generadores definen un grupo de orden , el grupo de cuatro de Klein , determinan todo el grupo de Galois. [3]
Otro ejemplo se da en el campo de división. del polinomio
Nota porque las raíces de están Hay automorfismos
generando un grupo de orden . Desde genera este grupo, el grupo de Galois es isomorfo a .
Grupos finitos no abelianos
Considere ahora dónde es una raíz cúbica primitiva de la unidad . El grupoes isomorfo a S 3 , el grupo diedro de orden 6 , y L es de hecho el campo de división de encima
Grupo de cuaterniones
El grupo Quaternion se puede encontrar como el grupo de Galois de una extensión de campo de. Por ejemplo, la extensión de campo
tiene el grupo de Galois prescrito. [7]
Grupo simétrico de primer orden
Si es un polinomio irreducible de grado primo con coeficientes racionales y exactamente dos raíces no reales, entonces el grupo de Galois de es el grupo simétrico completo [2]
Por ejemplo, es irreductible del criterio de Eisenstein. Trazar la gráfica de con software de gráficos o papel muestra que tiene tres raíces reales, por lo tanto, dos raíces complejas, mostrando que su grupo de Galois es .
Comparación de grupos de Galois de extensiones de campo de campos globales
Dada una extensión de campo global (como ) el y una clase de equivalencia de valoraciones sobre (tales como el -adic valoración ), y en de tal manera que sus terminaciones dan una extensión de campo de Galois
de campos locales . Entonces, hay una acción inducida del grupo de Galois
sobre el conjunto de clases de equivalencia de valoraciones de manera que las finalizaciones de los campos sean compatibles. Esto significa que si entonces hay un isomorfo inducido de campos locales
Dado que hemos tomado la hipótesis de que se acuesta (es decir, hay una extensión de campo de Galois ), el morfismo de campo es de hecho un isomorfismo de -álgebras. Si tomamos el subgrupo de isotropía de para la clase de valoración
luego hay una sobreyección del grupo de Galois global al grupo de Galois local de tal manera que hay un isomorfismo entre el grupo de Galois local y el subgrupo de isotropía. Diagramáticamente, esto significa
donde las flechas verticales son isomorfismos. [8] Esto proporciona una técnica para construir grupos de campos locales de Galois utilizando grupos de Galois globales.
Grupos infinitos
Un ejemplo básico de una extensión de campo con un grupo infinito de automorfismos es ya que contiene todas las extensiones de campo algebraico . Por ejemplo, las extensiones de campo para un elemento sin cuadrados cada uno tiene un título único automorfismo, induciendo un automorfismo en
Una de las clases más estudiadas de ejemplos de grupos infinitos de Galois proviene del grupo Absoluto de Galois , que son grupos profinitos . Estos son grupos infinitos definidos como el límite inverso de los grupos de Galois todas las extensiones finitas de Galoispara un campo fijo. El límite inverso se denota
dónde es el cierre separable de un campo. Tenga en cuenta que este grupo es un grupo topológico . [9] Algunos ejemplos básicos incluyen y
- [10] [11]
Otro ejemplo fácilmente computable proviene de la extensión de campo que contiene la raíz cuadrada de cada primo positivo. Tiene grupo Galois
que se puede deducir del límite de lucro cesante
y utilizando el cálculo de los grupos de Galois.
Propiedades
La importancia de que una extensión sea Galois es que obedece al teorema fundamental de la teoría de Galois : los subgrupos cerrados (con respecto a la topología de Krull ) del grupo de Galois corresponden a los campos intermedios de la extensión de campo.
Si es una extensión de Galois, entonces se le puede dar una topología , llamada topología Krull, que lo convierte en un grupo profinito .
Ver también
- Teorema fundamental de la teoría de Galois
- Absolute Galois group
- Representación de Galois
- Grupo Demushkin
- Grupo solucionable
Notas
- ^ Algunos autores se refieren a como el grupo de Galois para extensiones arbitrarias y use la notación correspondiente, por ejemplo, Jacobson 2009 .
- ^ a b Lang, Serge. Álgebra (Tercera ed. Revisada). págs. 263, 273.
- ^ a b "Álgebra abstracta" (PDF) . págs. 372–377.
- ^ Cooke, Roger L. (2008), Álgebra clásica: su naturaleza, orígenes y usos , John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.
- ^ Dummit; Foote. Álgebra abstracta . págs. 596, 14.5 Extensiones ciclotómicas.
- ^ Desde como un espacio vectorial.
- ^ Milne. Teoría de campo . pag. 46.
- ^ "Comparación de los grupos galois globales y locales de una extensión de campos numéricos" . Intercambio de pila de matemáticas . Consultado el 11 de noviembre de 2020 .
- ^ "9.22 Teoría infinita de Galois" . El proyecto Stacks .
- ^ Milne. "Teoría de campo" (PDF) . pag. 98.
- ^ "Teoría infinita de Galois" (PDF) . pag. 14. Archivado (PDF) desde el original el 6 de abril de 2020.
Referencias
- Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Álgebra básica I (2ª ed.). Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Señor 1878556
enlaces externos
- "Grupo Galois" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- El grupo Galois y el grupo Quaternion
- "Grupos de Galois" . MathPages.com .
- Comparación de los grupos galois globales y locales de una extensión de campos numéricos
- Representaciones de Galois - Richard Taylor