En física , la ley de la gravedad de Gauss , también conocida como teorema de flujo de la gravedad de Gauss , es una ley de la física que es equivalente a la ley de gravitación universal de Newton . Lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss . A menudo es más conveniente trabajar con la ley de Gauss para la gravedad que con la ley de Newton. [ cita requerida ]
La forma de la ley de Gauss para la gravedad es matemáticamente similar a la ley de Gauss para la electrostática , una de las ecuaciones de Maxwell . La ley de la gravedad de Gauss tiene la misma relación matemática con la ley de Newton que la ley de Gauss para la electrostática con la ley de Coulomb . Esto se debe a que tanto la ley de Newton como la ley de Coulomb describen la interacción del cuadrado inverso en un espacio tridimensional.
Declaración cualitativa de la ley
El campo gravitacional g (también llamado aceleración gravitacional ) es un campo vectorial, un vector en cada punto del espacio (y del tiempo). Se define de modo que la fuerza gravitacional experimentada por una partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por el campo gravitacional en ese punto.
El flujo gravitacional es una integral de superficie del campo gravitacional sobre una superficie cerrada, análoga a cómo el flujo magnético es una integral de superficie del campo magnético.
La ley de Gauss para la gravedad establece:
- El flujo gravitacional a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la masa encerrada .
Forma integral
La forma integral de la ley de Gauss para la gravedad establece:
dónde
- (también escrito ) denota una superficie integral sobre una superficie cerrada,
- ∂ V es cualquier superficie cerrada (el límite de un volumen arbitrario V ),
- d A es un vector , cuya magnitud es el área de una pieza infinitesimal de la superficie ∂ V , y cuya dirección es la normal de la superficie que apunta hacia afuera (ver integral de superficie para más detalles),
- g es el campo gravitacional ,
- G es la constante gravitacional universal y
- M es la masa total encerrada dentro de la superficie ∂ V .
El lado izquierdo de esta ecuación se llama flujo del campo gravitacional. Tenga en cuenta que, según la ley, siempre es negativo (o cero) y nunca positivo. Esto se puede contrastar con la ley de Gauss para la electricidad, donde el flujo puede ser positivo o negativo. La diferencia se debe a que la carga puede ser positiva o negativa, mientras que la masa solo puede ser positiva.
Forma diferencial
La forma diferencial de la ley de Gauss para estados de gravedad
dónde denota divergencia , G es la constante gravitacional universal y ρ es la densidad de masa en cada punto.
Relación con la forma integral
Las dos formas de la ley de la gravedad de Gauss son matemáticamente equivalentes. El teorema de la divergencia establece:
donde V es una región cerrada delimitada por una superficie orientada cerrada simple ∂ V y dV es una pieza infinitesimal del volumen V (ver integral de volumen para más detalles). El campo gravitacional g debe ser un continuamente diferenciable campo vectorial definida en una vecindad de V .
Dado también que
podemos aplicar el teorema de la divergencia a la forma integral de la ley de la gravedad de Gauss, que se convierte en:
que se puede reescribir:
Esto debe mantenerse simultáneamente para todos los posibles volúmenes V ; la única forma en que esto puede suceder es si los integrandos son iguales. De ahí llegamos a
que es la forma diferencial de la ley de la gravedad de Gauss.
Es posible derivar la forma integral de la forma diferencial usando el inverso de este método.
Aunque las dos formas son equivalentes, podría ser más conveniente utilizar una u otra en un cálculo en particular.
Relación con la ley de Newton
Derivando la ley de Gauss de la ley de Newton
La ley de la gravedad de Gauss se puede derivar de la ley de gravitación universal de Newton , que establece que el campo gravitacional debido a una masa puntual es:
dónde
- e r es el vector unitario radial ,
- r es el radio, | r |.
- M es la masa de la partícula, que se supone que es una masa puntual ubicada en el origen .
En el cuadro siguiente se muestra una prueba que usa cálculo vectorial. Es matemáticamente idéntico a la prueba de la ley de Gauss (en electrostática ) a partir de la ley de Coulomb . [1]
Esquema de la prueba: (Haga clic en el botón [mostrar] a la derecha). g ( r ), el campo gravitacional en r , se puede calcular sumando la contribución a g ( r ) debida a cada bit de masa en el universo (ver principio de superposición ). Para hacer esto, integramos todos los puntos s en el espacio, sumando la contribución ag ( r ) asociada con la masa (si la hubiera) en s , donde esta contribución se calcula mediante la ley de Newton. El resultado es: ( d 3 s representa ds x ds y ds z , cada uno de los cuales está integrado de −∞ a + ∞.) Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r , y usamos el teorema conocido [1]
donde δ ( r ) es la función delta de Dirac , el resultado es
Usando la "propiedad de cribado" de la función delta de Dirac, llegamos a
que es la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad, según se desee.
Derivando la ley de Newton de la ley de Gauss y la irrotacionalidad
Es imposible demostrar matemáticamente la ley de Newton de la ley de Gauss solos , porque la ley de Gauss especifica la divergencia de g , pero no contiene ninguna información con respecto a la curvatura de g (ver Helmholtz descomposición ). Además de la ley de Gauss, se utiliza la suposición de que g es irrotacional (tiene cero curvatura), ya que la gravedad es una fuerza conservadora :
Incluso esto no es suficiente: las condiciones de frontera en g también son necesarias para probar la ley de Newton, como la suposición de que el campo es cero infinitamente lejos de una masa.
La prueba de la ley de Newton a partir de estos supuestos es la siguiente:
Esquema de la prueba Comience con la forma integral de la ley de Gauss: Aplicar esta ley para la situación en la que el volumen V es una esfera de radio r centrado en un punto de masa M . Es razonable esperar que el campo gravitacional de una masa puntual sea esféricamente simétrico. (Omitimos la prueba por simplicidad). Al hacer esta suposición, g toma la siguiente forma:
(es decir, la dirección de g es paralela a la dirección de r , y la magnitud de g depende sólo de la magnitud, no de la dirección, de r ). Conectando esto, y usando el hecho de que ∂ V es una superficie esférica con constante r y área,
que es la ley de Newton.
Ecuación de Poisson y potencial gravitacional
Dado que el campo gravitacional tiene una curvatura cero (de manera equivalente, la gravedad es una fuerza conservadora ) como se mencionó anteriormente, se puede escribir como el gradiente de un potencial escalar , llamado potencial gravitacional :
Entonces, la forma diferencial de la ley de Gauss para la gravedad se convierte en la ecuación de Poisson :
Esto proporciona un medio alternativo para calcular el potencial gravitacional y el campo gravitacional. Aunque calcular g mediante la ecuación de Poisson es matemáticamente equivalente a calcular g directamente a partir de la ley de Gauss, uno u otro enfoque puede ser un cálculo más fácil en una situación dada.
En sistemas radialmente simétricos, el potencial gravitacional es función de una sola variable (a saber, ), y la ecuación de Poisson se convierte en (ver Del en coordenadas cilíndricas y esféricas ):
mientras que el campo gravitacional es:
Al resolver la ecuación se debe tener en cuenta que en el caso de densidades finitas ∂ ϕ / ∂ r tiene que ser continuo en los límites (discontinuidades de la densidad), y cero para r = 0 .
Aplicaciones
La ley de Gauss se puede utilizar para derivar fácilmente el campo gravitacional en ciertos casos en los que una aplicación directa de la ley de Newton sería más difícil (pero no imposible). Consulte el artículo Superficie gaussiana para obtener más detalles sobre cómo se realizan estas derivaciones. Tres de estas aplicaciones son las siguientes:
Plato Bouguer
Podemos concluir (usando un " pastillero gaussiano ") que para una placa plana infinita (placa de Bouguer ) de cualquier espesor finito, el campo gravitacional fuera de la placa es perpendicular a la placa, hacia ella, con magnitud 2 πG veces la masa por unidad de área, independientemente de la distancia a la placa [2] (ver también anomalías de la gravedad ).
De manera más general, para una distribución de masa con la densidad dependiendo de una coordenada cartesiana z solamente, la gravedad para cualquier z es 2 πG veces la diferencia de masa por unidad de área a cada lado de este valor z .
En particular, una combinación paralela de dos placas infinitas paralelas de igual masa por unidad de área no produce ningún campo gravitacional entre ellas.
Distribución de masa cilíndricamente simétrica
En el caso de una distribución de masa cilíndricamente simétrica uniforme infinita (en z ) podemos concluir (utilizando una superficie gaussiana cilíndrica ) que la intensidad de campo a una distancia r del centro es hacia adentro con una magnitud de 2 G / r veces el total masa por unidad de longitud a una distancia menor (desde el eje), independientemente de las masas a una distancia mayor.
Por ejemplo, dentro de un cilindro hueco uniforme infinito, el campo es cero.
Distribución de masa esféricamente simétrica
En el caso de una distribución de masa esféricamente simétrica, podemos concluir (utilizando una superficie esférica gaussiana ) que la intensidad de campo a una distancia r del centro es hacia adentro con una magnitud de G / r 2 veces solo la masa total dentro de una distancia menor. que r . Toda la masa a una distancia mayor que r del centro no tiene ningún efecto resultante.
Por ejemplo, una esfera hueca no produce ninguna gravedad neta en su interior. El campo gravitacional en el interior es el mismo que si la esfera hueca no estuviera allí (es decir, el campo resultante es el de todas las masas sin incluir la esfera, que puede estar dentro y fuera de la esfera).
Aunque esto sigue en una o dos líneas de álgebra de la ley de la gravedad de Gauss, Isaac Newton necesitó varias páginas de cálculos engorrosos para derivarlo directamente usando su ley de la gravedad; vea el teorema de shell del artículo para esta derivación directa.
Derivación del Lagrangiano
La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es
Aplicando el principio de Hamilton a este lagrangiano, el resultado es la ley de gravedad de Gauss:
Consulte Lagrangiano (teoría de campo) para obtener más detalles.
Ver también
- Carl Friedrich Gauss
- Teorema de divergencia
- Ley de Gauss para la electricidad
- Ley de Gauss para el magnetismo
- Cálculo vectorial
- Integral
- Flujo
- Superficie gaussiana
Referencias
- ^ a b Véase, por ejemplo, Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. pag. 50 . ISBN 0-13-805326-X.
- ^ El solucionador de problemas de mecánica, por Fogiel, págs. 535–536
Otras lecturas
- Para el uso del término "ley de la gravedad de Gauss", ver, por ejemplo, Moody, MV; Paik, HJ (1 de marzo de 1993). "Prueba de la ley de la gravedad de Gauss a corta distancia". Cartas de revisión física . 70 (9): 1195-1198. Código Bibliográfico : 1993PhRvL..70.1195M . doi : 10.1103 / PhysRevLett.70.1195 . PMID 10054315 .