El lema de Gauss en la teoría de números da una condición para que un número entero sea un residuo cuadrático . Aunque no es útil computacionalmente, tiene un significado teórico, al estar involucrado en algunas pruebas de reciprocidad cuadrática .
Hizo su primera aparición en la tercera prueba de Carl Friedrich Gauss (1808) [1] : 458–462 de reciprocidad cuadrática y lo volvió a demostrar en su quinta prueba (1818). [1] : 496–501
Declaración del lema
Para cualquier extraño primer p vamos a ser un número entero que es primos entre sí a p .
Considere los enteros
y sus residuos menos positivos módulo p . (Estos residuos son todos distintos, por lo que hay ( p - 1) / 2 de ellos).
Sea n el número de estos residuos que son mayores que p / 2 . Luego
dónde es el símbolo de Legendre .
Ejemplo
Tomando p = 11 y a = 7, la secuencia relevante de números enteros es
- 7, 14, 21, 28, 35.
Después de la reducción módulo 11, esta secuencia se convierte en
- 7, 3, 10, 6, 2.
Tres de estos números enteros son mayores que 11/2 (es decir, 6, 7 y 10), por lo que n = 3. En consecuencia, el lema de Gauss predice que
De hecho, esto es correcto, porque 7 no es un residuo cuadrático módulo 11.
La secuencia de residuos anterior
- 7, 3, 10, 6, 2
también puede estar escrito
- −4, 3, −1, −5, 2.
De esta forma, los números enteros mayores que 11/2 aparecen como números negativos. También es evidente que los valores absolutos de los residuos son una permutación de los residuos.
- 1, 2, 3, 4, 5.
Prueba
Una demostración bastante simple, [1] : 458–462 que recuerda una de las demostraciones más simples del pequeño teorema de Fermat , se puede obtener evaluando el producto
módulo p de dos formas diferentes. Por un lado es igual a
La segunda evaluación requiere más trabajo. Si x es un residuo módulo p distinto de cero , definamos el "valor absoluto" de x como
Dado que n cuenta los múltiplos ka que están en el último rango, y dado que para esos múltiplos, - ka está en el primer rango, tenemos
Ahora observe que los valores | ra | son distintos para r = 1, 2,…, ( p - 1) / 2 . De hecho, tenemos
porque a es coprimo de p .
Esto da r = s , ya que r y s son residuos mínimos positivos. Pero hay exactamente ( p - 1) / 2 de ellos, por lo que sus valores son una reordenación de los enteros 1, 2,…, ( p - 1) / 2 . Por lo tanto,
Comparando con nuestra primera evaluación, podemos cancelar el factor distinto de cero
y nos quedamos con
Este es el resultado deseado, porque según el criterio de Euler, el lado izquierdo es solo una expresión alternativa para el símbolo de Legendre.
Aplicaciones
El lema de Gauss se usa en muchos, [2] : Cap. 1 [2] : 9 pero de ninguna manera todas las pruebas conocidas de reciprocidad cuadrática.
Por ejemplo, Gotthold Eisenstein [2] : 236 usó el lema de Gauss para demostrar que si p es un primo impar, entonces
y usó esta fórmula para probar la reciprocidad cuadrática. Utilizando funciones elípticas en lugar de circulares , demostró las leyes de reciprocidad cúbica y cuártica . [2] : Cap. 8
Leopold Kronecker [2] : Ej. 1.34 usó el lema para demostrar que
Cambio de p y q da inmediatamente la reciprocidad cuadrática.
También se utiliza en las que probablemente sean las pruebas más sencillas de la "segunda ley suplementaria".
Poderes superiores
Las generalizaciones del lema de Gauss se pueden utilizar para calcular símbolos de residuos de mayor potencia. En su segunda monografía sobre reciprocidad bicuadrática, [3] : §§69-71 Gauss utilizó un lema de cuarta potencia para derivar la fórmula del carácter bicuadrático de 1 + i en Z [ i ] , el anillo de los enteros gaussianos . Posteriormente, Eisenstein utilizó versiones de tercera y cuarta potencia para probar la reciprocidad cúbica y cuártica . [2] : Cap. 8
n- ésimo símbolo de residuo de energía
Sea k un campo numérico algebraico con un anillo de enteros y deja ser un ideal primordial . La norma ideal de se define como la cardinalidad del anillo de clase de residuo. Desdees primo este es un campo finito , entonces la norma ideal es .
Suponga que una raíz n- ésima primitiva de unidad y que n yson coprime (es decir). Entonces no hay dos raíces n- ésimas distintas de la unidad que puedan ser congruentes módulo.
Esto puede demostrarse por contradicción, comenzando por suponer que modificación , 0 < r < s ≤ n . Sea t = s - r tal que modificación y 0 < t < n . De la definición de raíces de unidad,
y dividiendo por x - 1 da
Dejando x = 1 y tomando residuos mod,
Dado que n y son coprime, modificación pero bajo el supuesto, uno de los factores de la derecha debe ser cero. Por lo tanto, la suposición de que dos raíces distintas son congruentes es falsa.
Así, las clases de residuos de que contienen las potencias de ζ n son un subgrupo de orden n de su grupo (multiplicativo) de unidades, Por tanto, el orden de es un múltiplo de n , y
Hay un análogo del teorema de Fermat en . Si por , luego [2] : Cap. 4.1
y desde mod n ,
está bien definido y es congruente con una raíz n- ésima única de unidad ζ n s .
Esta raíz de la unidad se llama símbolo de residuo de n -ésimo poder para y se denota por
Se puede probar que [2] : Prop. 4.1
si y solo si hay un tal que α ≡ η n mod.
1 / n sistemas
Dejar ser el grupo multiplicativo de la n- ésima raíz de la unidad, y sea ser representantes de las clases sociales Entonces A se llama un mod de sistema 1 / n[2] : Cap. 4.2
En otras palabras, hay números en el conjunto y este conjunto constituye un conjunto representativo de
Los números 1, 2,… ( p - 1) / 2 , usados en la versión original del lema, son un sistema 1/2 (mod p ).
Construir un sistema 1 / n es sencillo: sea M un conjunto representativo para Elija cualquiera y eliminar los números congruentes con de M . Elija un 2 de M y elimine los números congruentes aRepita hasta que M se agote. Entonces { a 1 , a 2 ,… a m } es un mod de sistema 1 / n
El lema de los n- ésimos poderes
El lema de Gauss puede extenderse al n- ésimo símbolo de residuo de potencia de la siguiente manera. [2] : Prop. 4.3 Dejeser una raíz primitiva n -ésima de la unidad, un ideal primordial, (es decir es coprime tanto de γ como de n ) y sea A = { a 1 , a 2 ,…, a m } un mod del sistema 1 / n
Entonces, para cada i , 1 ≤ i ≤ m , hay enteros π ( i ) , único (mod m ) yb ( i ) , único (mod n ), de modo que
y el símbolo de residuo de n -ésima potencia viene dado por la fórmula
El lema clásico para el símbolo cuadrático de Legendre es el caso especial n = 2 , ζ 2 = −1 , A = {1, 2,…, ( p - 1) / 2} , b ( k ) = 1 si ak > p / 2 , b ( k ) = 0 si ak < p / 2 .
Prueba
La demostración del lema de n -ésima potencia utiliza las mismas ideas que se utilizaron en la demostración del lema cuadrático.
La existencia de los números enteros π ( i ) y b ( i ) , y su unicidad (mod m ) y (mod n ), respectivamente, provienen del hecho de que Aμ es un conjunto representativo.
Suponga que π ( i ) = π ( j ) = p , es decir
y
Luego
Porque γ yson coprime ambos lados se pueden dividir por γ , dando
lo cual, dado que A es un sistema 1 / n , implica s = r e i = j , mostrando que π es una permutación del conjunto {1, 2,…, m } .
Luego, por un lado, por la definición del símbolo de residuo de potencia,
y por otro lado, dado que π es una permutación,
entonces
y dado que para todo 1 ≤ i ≤ m , a i yson coprime, a 1 a 2 ... a m se puede cancelar desde ambos lados de la congruencia,
y el teorema se sigue del hecho de que no pueden ser congruentes dos raíces n- ésimas distintas de la unidad (mod).
Relación con la transferencia en la teoría de grupos
Sea G el grupo multiplicativo de clases de residuos distintas de cero en Z / p Z , y sea H el subgrupo {+1, −1}. Considere los siguientes representantes de clase lateral de H en G ,
Aplicando la maquinaria del transfer a esta colección de coset representantes, obtenemos el homomorfismo del transfer.
que resulta ser el mapa que envía una a (-1) n , donde una y n son como en la declaración del lema. El lema de Gauss puede verse entonces como un cálculo que identifica explícitamente este homomorfismo como el carácter de residuo cuadrático.
Ver también
Otras dos caracterizaciones de cuadrados módulo a primo son el criterio de Euler y el lema de Zolotarev .
Referencias
- ^ a b c Gauss, Carl Friedrich (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (en alemán), traducido por H. Maser (2.a ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
- ^ a b c d e f g h yo j Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
- ^ Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , 7 , Gotinga: comentario. Soc. regiae sci