Media generalizada

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En matemáticas , medios generalizadas (o potencia media , o Hölder media ) ^[1] son una familia de funciones para la agregación de conjuntos de números, que incluyen como casos especiales los medios de Pitágoras ( aritméticas , geométricas y armónicas medios ).

Definición

Si p es un número real distinto de cero y son números reales positivos, entonces la media generalizada o media de potencia con exponente p de estos números reales positivos es: ^[2]${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

(Ver p -norm ). Para p = 0 lo igualamos a la media geométrica (que es el límite de las medias con exponentes próximos a cero, como se demuestra a continuación):

${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}x_{i}}}}$

Además, para una secuencia de ponderaciones positivas w _i con suma , definimos la media de potencia ponderada como:${\displaystyle \textstyle {\sum _{i}w_{i}=1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\\M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})&=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\end{aligned}}}$

Las medias no ponderadas corresponden a establecer todo w _i = 1 / n .

Casos especiales

Una descripción visual de algunos de los casos especificados para n = 2 con a = x ₁ = M _∞ y b = x ₂ = M _−∞ :

  media armónica, H = M ₋₁ ( a , b ) ,

  media geométrica, G = M ₀ ( a , b )

  media aritmética, A = M ₁ ( a , b )

  media cuadrática, Q = M ₂ ( a , b )

Algunos valores particulares de rinden casos especiales con sus propios nombres: ^[3]${\displaystyle p}$

${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to -\infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	mínimo
${\displaystyle M_{-1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$	Significado armonico
${\displaystyle M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \dots \cdot x_{n}}}}$	significado geometrico
${\displaystyle M_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$	significado aritmetico
${\displaystyle M_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$	media cuadrática o media cuadrática [4] [5]
${\displaystyle M_{3}(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$	media cúbica
${\displaystyle M_{+\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$	máximo

Prueba de (media geométrica)${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to 0}M_{p}=M_{0}}$

Podemos reescribir la definición de M p usando la función exponencial ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left[\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}\right]}\right)}=\exp {\left({\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}\right)}}$ En el límite p → 0, podemos aplicar la regla de L'Hôpital al argumento de la función exponencial. Diferenciando el numerador y el denominador con respecto ap , tenemos ${\displaystyle \lim _{p\to 0}{\frac {\ln {\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}{1}}=\lim _{p\to 0}{\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\ln {x_{i}}}{\sum _{j=1}^{n}w_{j}x_{j}^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}\ln {x_{i}}}{\lim _{p\to 0}\sum _{j=1}^{n}w_{j}\left({\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right)^{p}}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\ln {x_{i}}=\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}}$ Por la continuidad de la función exponencial, podemos sustituir nuevamente en la relación anterior para obtener ${\displaystyle \lim _{p\to 0}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\exp {\left(\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\right)}\right)}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=M_{0}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ como se desee. [2]

Prueba de y${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to \infty }M_{p}=M_{\infty }}$${\displaystyle \textstyle \lim _{p\to -\infty }M_{p}=M_{-\infty }}$

Suponga (posiblemente después de volver a etiquetar y combinar términos) que . Luego${\displaystyle x_{1}\geq \dots \geq x_{n}}$ ${\displaystyle \lim _{p\to \infty }M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)^{1/p}=x_{1}\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\left({\frac {x_{i}}{x_{1}}}\right)^{p}\right)^{1/p}=x_{1}=M_{\infty }(x_{1},\dots ,x_{n}).}$ La fórmula para se sigue de${\displaystyle M_{-\infty }}$${\displaystyle M_{-\infty }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {1}{M_{\infty }(1/x_{1},\dots ,1/x_{n})}}.}$

Propiedades

Sea una secuencia de números reales positivos y un operador de permutación, entonces se cumplen las siguientes propiedades: ^[1]${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle P}$

1. ${\displaystyle \min(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq \max(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

   Cada media generalizada siempre se encuentra entre el menor y el mayor de los valores de x .

2. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=M_{p}(P(x_{1},\dots ,x_{n}))}$.

   Cada media generalizada es una función simétrica de sus argumentos; permutar los argumentos de una media generalizada no cambia su valor.

3. ${\displaystyle M_{p}(bx_{1},\dots ,bx_{n})=b\cdot M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})}$.

   Como la mayoría de las medias , la media generalizada es una función homogénea de sus argumentos x ₁ , ..., x _n . Es decir, si b es un número real positivo, entonces la media generalizada con exponente p de los números es igual ab multiplicada por la media generalizada de los números x ₁ ,…, x _n .${\displaystyle b\cdot x_{1},\dots ,b\cdot x_{n}}$

4. ${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{p}\left[M_{p}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{p}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{p}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k})\right]}$.

   Al igual que las medias cuasi aritméticas , el cálculo de la media se puede dividir en cálculos de subbloques de igual tamaño. Esto permite el uso de un algoritmo de divide y vencerás para calcular las medias, cuando sea conveniente.

Desigualdad media generalizada

Prueba geométrica sin palabras que max  ( a , b ) > media cuadrática ( RMS ) o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos a y b ^[6]

En general,

si p  <  q , entonces${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\leq M_{q}(x_{1},\dots ,x_{n})}$

y las dos medias son iguales si y solo si x ₁  =  x ₂  = ... =  x _n .

La desigualdad es cierto para los valores reales de p y q , así como los valores infinito positivo y negativo.

Se deduce del hecho de que, para todo p real ,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial p}}M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})\geq 0}$

que se puede probar usando la desigualdad de Jensen .

En particular, para p en {−1, 0, 1}, la desigualdad media generalizada implica la desigualdad de medias pitagórica así como la desigualdad de medias aritméticas y geométricas .

Prueba de poder significa desigualdad

Demostraremos potencia ponderada significa desigualdad, para el propósito de la prueba asumiremos lo siguiente sin pérdida de generalidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{i}\in [0,1]\\\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1\end{aligned}}}$

La prueba de las medias de potencia no ponderadas se obtiene fácilmente sustituyendo w _i = 1 / n .

Equivalencia de desigualdades entre medias de signos opuestos

Supongamos un promedio entre medios de potencia con exponentes p y q se tiene:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\geq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

aplicando esto, entonces:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\geq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}}$

Elevamos ambos lados a la potencia de -1 (función estrictamente decreciente en reales positivos):

${\displaystyle {\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\leq {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}}$

Obtenemos la desigualdad para las medias con exponentes - py - q , y podemos usar el mismo razonamiento al revés, probando así que las desigualdades son equivalentes, lo que se usará en algunas de las demostraciones posteriores.

Media geométrica

Para cualquier q > 0 y ponderaciones no negativas que sumen 1, se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle {\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}.}$

La demostración se deriva de la desigualdad de Jensen , haciendo uso del hecho de que el logaritmo es cóncavo:

${\displaystyle \log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log x_{i}\leq \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

Aplicando la función exponencial a ambos lados y observando que como función estrictamente creciente conserva el signo de la desigualdad, obtenemos

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.}$

Tomando q -ésimas potencias de x _i , terminamos para la desigualdad con q positivo ; el caso de los negativos es idéntico.

Desigualdad entre dos medios de poder

Debemos demostrar que para cualquier p < q se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

si p es negativo y q es positivo, la desigualdad es equivalente a la que se demostró anteriormente:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

La prueba para el positivo p y q es como sigue: Definir la siguiente función: f  : R ₊ → R ₊ . f es una función de potencia, por lo que tiene una segunda derivada:${\displaystyle f(x)=x^{\frac {q}{p}}}$

${\displaystyle f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2}}$

que es estrictamente positivo dentro del dominio de f , ya que q > p , entonces sabemos que f es convexa.

Usando esto, y la desigualdad de Jensen obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})\\[3pt]{\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}&\leq \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}\end{aligned}}}$

después de elevar ambos lados a la potencia de 1 / q (una función creciente, ya que 1 / q es positivo) obtenemos la desigualdad que debía ser probada:

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leq {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}}$

El uso de la equivalencia previamente demostrado que podemos probar la desigualdad para el negativo p y q reemplazándolos con - Q y - p , respectivamente.

Generalizada f -mean

Artículo principal: Generalizada f -mean

La media de poder podría generalizarse más a la media f generalizada :

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}$

Esto cubre la media geométrica sin usar un límite con f ( x ) = log ( x ). La potencia media se obtiene para f ( x ) = x ^p .

Aplicaciones

Procesamiento de señales

Una media de potencia sirve una media móvil no lineal que se desplaza hacia valores de señal pequeños para py pequeño y enfatiza valores de señal grandes para p grande . Dada una implementación eficiente de una media aritmética móvil llamada, smoothse puede implementar una media de potencia móvil de acuerdo con el siguiente código de Haskell .

 powerSmooth  ::  Flotante  a  =>  ([ a ]  ->  [ a ])  ->  a  ->  [ a ]  ->  [ a ]  powerSmooth  suave  p  =  mapa  ( **  recip  p )  .  suave  .  mapa  ( ** p )

• Para p grande , puede servir como detector de envolvente en una señal rectificada .
• Para p pequeño , puede servir como detector de línea de base en un espectro de masas .

Ver también

• Media aritmético-geométrica
• Promedio
• Media heroniana
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas.
• Lehmer mean - también un medio relacionado con los poderes
• Media cuadrática
• Distancia de Minkowski

Notas

1. Sýkora, Stanislav (2009). Medias y promedios matemáticos: propiedades básicas . 3 . Biblioteca de Stan: Castano Primo, Italia. doi : 10.3247 / SL3Math09.001 .
2. P. S. Bullen: Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, págs. 175-177
3. Weisstein, Eric W. "Poder medio" . MathWorld . (consultado el 17 de agosto de 2019)
4. Thompson, Sylvanus P. (1965). Cálculo simplificado . Macmillan International Higher Education. pag. 185. ISBN 9781349004874. Consultado el 5 de julio de 2020 .
5. Jones, Alan R. (2018). Probabilidad, estadística y otras cosas aterradoras . Routledge. pag. 48. ISBN 9781351661386. Consultado el 5 de julio de 2020 .
6. Si AC = una y BC = b . OC = AM de una y b , y el radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
   Usando triángulos similares ,HC/GC = GC/jefe ∴ HC = GC²/jefe= HM .

Referencias y lectura adicional

• PS Bullen: Manual de medios y sus desigualdades . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer, 2003, capítulo III (The Power Means), págs. 175-265

Enlaces externos

• Poder significa en MathWorld
• Ejemplos de media generalizada
• Una prueba de la media generalizada en PlanetMath