En matemáticas , un conjunto generador G de un módulo M sobre un anillo R es un subconjunto de M tal que el submódulo más pequeño de M que contiene G es el propio M (el submódulo más pequeño que contiene un subconjunto es la intersección de todos los submódulos que contienen el conjunto). El conjunto G entonces se dice para generar M . Por ejemplo, el anillo R es generado por el elemento de identidad 1 como un módulo R izquierdo sobre sí mismo. Si hay un grupo electrógeno finito, se dice que un módulo se genera de forma finita .
Esto se aplica a los ideales , que son los submódulos del propio anillo. En particular, un ideal principal es un ideal que tiene un grupo electrógeno formado por un solo elemento.
Explícitamente, si G es un conjunto generador de un módulo M , entonces cada elemento de M es una combinación lineal (finita) de R de algunos elementos de G ; es decir, para cada x en M , hay r 1 , ..., r m en R y g 1 , ..., g m en G tales que
Dicho de otra manera, hay una sobreyección
donde escribimos r g para un elemento en el g -ésimo componente de la suma directa. (Casualmente, dado que un grupo electrógeno siempre existe; por ejemplo, M mismo, esto muestra que un módulo es un cociente de un módulo libre, un hecho útil).
Se dice que un grupo electrógeno de un módulo es mínimo si ningún subconjunto adecuado del grupo genera el módulo. Si R es un campo , entonces un grupo electrógeno mínimo es lo mismo que una base . A menos que el módulo se genere de forma finita , es posible que no exista un grupo electrógeno mínimo. [1]
La cardinalidad de un grupo electrógeno mínimo no necesita ser una invariante del módulo; Z se genera como un ideal principal por 1, pero también es generado por, digamos, un conjunto generador mínimo {2, 3 }. Lo que está determinado de forma única por un módulo es el mínimo de los números de los generadores del módulo.
Deje que R sea un anillo local con ideal maximal m y el campo residuo k y M módulo finitamente generado. Entonces el lema de Nakayama dice que M tiene un conjunto generador mínimo cuya cardinalidad es. Si M es plano, entonces este grupo electrógeno mínimo es linealmente independiente (por lo que M es libre). Ver también: resolución mínima .
Se obtiene una información más refinada si se consideran las relaciones entre los generadores; cf. presentación gratuita de un módulo .
Ver también
Referencias
- Dummit, David; Foote, Richard. Álgebra abstracta .