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En geometría , una geodésica ( / ˌ i ə d ɛ s ɪ k , ˌ i -, - d i -, - z ɪ k / [1] [2] ) es comúnmente una curva representando en cierto sentido el camino más corto [a] ( arco ) entre dos puntos en una superficie , o más generalmente en una variedad de Riemann . El término también tiene significado en cualquier colector diferenciable con conexión . Es una generalización de la noción de " línea recta " a un escenario más general.

El sustantivo "geodésico" [b] y el adjetivo "geodésico" [c] provienen de la geodesia , la ciencia de medir el tamaño y la forma de la Tierra , mientras que muchos de los principios subyacentes se pueden aplicar a cualquier geometría elipsoidal . En el sentido original, una geodésica era la ruta más corta entre dos puntos de la superficie de la Tierra . Para una Tierra esférica , es un segmento de un gran círculo (ver también la distancia del gran círculo ). El término se ha generalizado para incluir mediciones en espacios matemáticos mucho más generales; por ejemplo, en teoría de grafos , uno podría considerar ungeodésico entre dos vértices / nodos de un gráfico .

En una variedad Riemanniana, las geodésicas se caracterizan por la propiedad de tener una curvatura geodésica que se desvanece . De manera más general, en presencia de una conexión afín , una geodésica se define como una curva cuyos vectores tangentes permanecen paralelos si se transportan a lo largo de ella. Aplicando esto a la conexión Levi-Civita de una métrica riemanniana se recupera la noción anterior.

Las geodésicas son de particular importancia en la relatividad general . Las geodésicas temporales en relatividad general describen el movimiento de las partículas de prueba en caída libre .

Introducción [ editar ]

El camino más corto entre dos puntos dados en un espacio curvo, que se supone que es una variedad diferencial , se puede definir usando la ecuación para la longitud de una curva (una función f desde un intervalo abierto de R al espacio), y luego minimizando esta longitud entre los puntos utilizando el cálculo de variaciones . Esto tiene algunos problemas técnicos menores, porque existe un espacio de dimensión infinita de diferentes formas de parametrizar el camino más corto. Es más sencillo restringir el conjunto de curvas a aquellas que están parametrizadas "con velocidad constante" 1, es decir que la distancia de f ( s ) af ( t ) a lo largo de la curva es igual a | s - t |. De manera equivalente, se puede utilizar una cantidad diferente, denominada energía de la curva; minimizar la energía conduce a las mismas ecuaciones para una geodésica (aquí "velocidad constante" es una consecuencia de la minimización). [ cita requerida ] Intuitivamente, uno puede entender esta segunda formulación al notar que una banda elástica estirada entre dos puntos contraerá su longitud y, al hacerlo, minimizará su energía. La forma resultante de la banda es geodésica.

Es posible que varias curvas diferentes entre dos puntos minimicen la distancia, como es el caso de dos puntos diametralmente opuestos en una esfera. En tal caso, cualquiera de estas curvas es una geodésica.

Un segmento contiguo de una geodésica es nuevamente una geodésica.

En general, las geodésicas no son lo mismo que las "curvas más cortas" entre dos puntos, aunque los dos conceptos están estrechamente relacionados. La diferencia es que las geodésicas son solo localmente la distancia más corta entre puntos y están parametrizadas con "velocidad constante". Hacer el "recorrido largo" en un gran círculo entre dos puntos en una esfera es una ruta geodésica, pero no es la más corta entre los puntos. El mapa del intervalo unitario en la recta numérica real a sí mismo da la ruta más corta entre 0 y 1, pero no es una geodésica porque la velocidad del movimiento correspondiente de un punto no es constante.

Las geodésicas se ven comúnmente en el estudio de la geometría de Riemann y, en general, la geometría métrica . En la relatividad general , las geodésicas en el espacio-tiempo describen el movimiento de partículas puntuales bajo la influencia de la gravedad solamente. En particular, el camino seguido por una roca que cae, un satélite en órbita o la forma de una órbita planetaria son todas geodésicas en el espacio-tiempo curvo. De manera más general, el tema de la geometría subriemanniana trata de los caminos que pueden tomar los objetos cuando no están libres y su movimiento está restringido de varias maneras.

Este artículo presenta el formalismo matemático involucrado en definir, encontrar y probar la existencia de geodésicas, en el caso de las variedades de Riemann . El artículo Conexión Levi-Civita discute el caso más general de una variedad pseudo-riemanniana y geodésica (relatividad general) discute el caso especial de la relatividad general con mayor detalle.

Ejemplos [ editar ]

Una geodésica en un elipsoide triaxial .
Si un insecto se coloca en una superficie y camina continuamente "hacia adelante", por definición trazará una geodésica.

Los ejemplos más familiares son las líneas rectas en la geometría euclidiana . En una esfera , las imágenes de las geodésicas son los grandes círculos . El camino más corto desde el punto A al punto B en una esfera está dado por la más corta de arco del gran círculo que pasa a través de A y B . Si A y B son puntos antípodas , entonces hay infinitos caminos más cortos entre ellos. Las geodésicas en un elipsoide se comportan de una manera más complicada que en una esfera; en particular, no están cerrados en general (ver figura).

triangulos[ editar ]

Un triángulo geodésico en la esfera.

Un triángulo geodésico está formado por las geodésicas que unen cada par de tres puntos en una superficie determinada. En la esfera, las geodésicas son grandes arcos de círculo , formando un triángulo esférico .

Triángulos geodésicos en espacios de curvatura positiva (superior), negativa (media) y cero (inferior).

Geometría métrica [ editar ]

En geometría métrica , una geodésica es una curva que es en todas partes localmente un minimizador de distancia . Más precisamente, una curva γ  : IM desde un intervalo I de los reales al espacio métrico M es una geodésica si hay una constante v ≥ 0 tal que para cualquier tI hay una vecindad J de t en I tal que para cualquier t 1 ,  t 2J tenemos

Esto generaliza la noción de geodésica para las variedades riemannianas. Sin embargo, en geometría métrica, la geodésica considerada a menudo está equipada con parametrización natural , es decir, en la identidad anterior v  = 1 y

Si se satisface la última igualdad para todo t 1 , t 2I , la geodésica se denomina geodésica minimizadora o ruta más corta .

En general, un espacio métrico puede no tener geodésicas, excepto curvas constantes. En el otro extremo, dos puntos cualesquiera en un espacio métrico de longitud están unidos por una secuencia minimizadora de trayectorias rectificables , aunque esta secuencia minimizadora no necesita converger en una geodésica.

Geometría de Riemann [ editar ]

En una variedad Riemanniana M con tensor métrico g , la longitud L de una curva continuamente diferenciable γ: [ a , b ] →  M está definida por

La distancia d ( p ,  q ) entre dos puntos p y q de M se define como la infimum de la longitud asumido todos, curvas a trozos continuamente diferenciables continuas γ: [ a , b ] →  M tal que γ ( un ) =  p y γ ( b ) =  q. En la geometría de Riemann, todas las geodésicas son rutas que minimizan la distancia a nivel local, pero lo contrario no es cierto. De hecho, solo las rutas que minimizan la distancia localmente y están parametrizadas proporcionalmente a la longitud del arco son geodésicas. Otra forma equivalente de definir las geodésicas en una variedad de Riemann es definirlas como los mínimos de la siguiente acción o energía funcional

Todos los mínimos de E también son mínimos de L , pero L es un conjunto más grande, ya que los caminos que son mínimos de L pueden volver a parametrizarse arbitrariamente (sin cambiar su longitud), mientras que los mínimos de E no. Para una curva por partes (más generalmente, una curva), la desigualdad de Cauchy-Schwarz da

con igualdad si y solo si es igual a una constante ae; el camino debe recorrerse a velocidad constante. Ocurre que los minimizadores de también minimizan , porque resultan estar afinadamente parametrizados, y la desigualdad es una igualdad. La utilidad de este enfoque es que el problema de buscar minimizadores de E es un problema variacional más robusto. De hecho, E es una "función convexa" de , de modo que dentro de cada clase de isotopía de "funciones razonables", uno debería esperar la existencia, unicidad y regularidad de los minimizadores. Por el contrario, los "minimizadores" de lo funcional generalmente no son muy regulares, porque se permiten reparametrizaciones arbitrarias.

Las ecuaciones de Euler-Lagrange de movimiento para la E funcional se dan en coordenadas locales por

¿Dónde están los símbolos de Christoffel de la métrica? Esta es la ecuación geodésica , que se analiza a continuación .

Cálculo de variaciones [ editar ]

Las técnicas de la clásica cálculo de variaciones se pueden aplicar para examinar el funcionamiento de la energía E . La primera variación de energía se define en coordenadas locales por

Los puntos críticos de la primera variación son precisamente las geodésicas. La segunda variación está definida por

En un sentido apropiado, los ceros de la segunda variación a lo largo de una γ geodésica surgen a lo largo de los campos de Jacobi . Por tanto, los campos de Jacobi se consideran variaciones a través de la geodésica.

Al aplicar técnicas variacionales de la mecánica clásica , también se puede considerar a las geodésicas como flujos hamiltonianos . Son soluciones de las ecuaciones de Hamilton asociadas , con la métrica (pseudo) riemanniana tomada como hamiltoniana .

Geodésicas afines [ editar ]

Una geodésica en una variedad suave M con una conexión afín ∇ se define como una curva γ ( t ) tal que el transporte paralelo a lo largo de la curva conserva el vector tangente a la curva, por lo que

en cada punto de la curva, donde es la derivada con respecto a . Más precisamente, para definir la derivada covariante de ella es necesario primero extender a un campo vectorial continuamente diferenciable en un conjunto abierto . Sin embargo, el valor resultante de ( 1 ) es independiente de la elección de extensión.

Usando coordenadas locales en M , podemos escribir la ecuación geodésica (usando la convención de suma ) como

donde están las coordenadas de la curva γ ( t ) y son los símbolos de Christoffel de la conexión ∇. Esta es una ecuación diferencial ordinaria para las coordenadas. Tiene una solución única, dada una posición inicial y una velocidad inicial. Por lo tanto, desde el punto de vista de la mecánica clásica , las geodésicas pueden considerarse como trayectorias de partículas libres en una variedad. De hecho, la ecuación significa que el vector de aceleraciónde la curva no tiene componentes en la dirección de la superficie (y por lo tanto es perpendicular al plano tangente de la superficie en cada punto de la curva). Entonces, el movimiento está completamente determinado por la flexión de la superficie. Esta es también la idea de la relatividad general donde las partículas se mueven sobre las geodésicas y la flexión es causada por la gravedad.

Existencia y singularidad [ editar ]

El teorema de existencia local y unicidad de las geodésicas establece que las geodésicas en una variedad suave con una conexión afín existen y son únicas. Más precisamente:

Para cualquier punto p en M y para cualquier vector V en T p M (el espacio tangente a M en p ) existe una geodésica única  : IM tal que
y
donde I es un intervalo abierto máximo en R que contiene 0.

La prueba de este teorema se deriva de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias , al observar que la ecuación geodésica es una EDO de segundo orden. La existencia y la unicidad se derivan del teorema de Picard-Lindelöf para las soluciones de EDO con condiciones iniciales prescritas. γ depende sin problemas en ambos pV .

En general, I pueden no estar todos de R como por ejemplo para un disco abierto en R 2 . Cualquier γ se extiende a todo si y solo si M es geodésicamente completo .

Flujo geodésico[ editar ]

Geodesic flujo es un local de R - acción sobre el fibrado tangente TM de un colector M se define de la manera siguiente

donde t  ∈  R , V  ∈  TM y denota la geodésica con datos iniciales . Por tanto, ( V ) = exp ( tV ) es el mapa exponencial del vector tV . Una órbita cerrada de los corresponde flujo geodésicas a un geodésica cerrado en  M .

En una variedad (pseudo) riemanniana, el flujo geodésico se identifica con un flujo hamiltoniano en el haz cotangente. El hamiltoniano viene dado por la inversa de la métrica (pseudo) riemanniana, evaluada frente a la forma canónica única . En particular, el flujo conserva la métrica (pseudo) riemanniana , es decir

En particular, cuando V es un vector unitario, permanece la velocidad unitaria en todo momento, por lo que el flujo geodésico es tangente al haz unitario tangente . El teorema de Liouville implica la invariancia de una medida cinemática en el paquete unitario tangente.

Spray geodésico [ editar ]

El flujo geodésico define una familia de curvas en el haz tangente . Las derivadas de estas curvas definen un campo vectorial en el espacio total del haz tangente, conocido como aerosol geodésico .

Más precisamente, una conexión afín da lugar a una división del haz tangente doble TT M en haces horizontales y verticales :

El aerosol geodésico es el campo vectorial horizontal único W que satisface

en cada punto v  ∈ T M ; aquí π  : TT M  → T M denota el empuje hacia adelante (diferencial) a lo largo de la proyección π: T M  →  M asociado al haz tangente.

De manera más general, la misma construcción permite construir un campo vectorial para cualquier conexión de Ehresmann en el haz tangente. Para que el campo vectorial resultante sea una pulverización (en el paquete tangente eliminado T M  \ {0}) es suficiente que la conexión sea equivariante en las recalificaciones positivas: no es necesario que sea lineal. Es decir, (cf. Conexión de Ehresmann # Paquetes de vectores y derivadas covariantes ) es suficiente que la distribución horizontal satisfaga

para cada X  ∈ T M  \ {0} y λ> 0. Aquí d ( S λ ) es el empuje hacia adelante a lo largo de la homotecia escalar. Un caso particular de una conexión no lineal que surge de esta manera es la asociada a una variedad de Finsler .

Geodésicas afines y proyectivas [ editar ]

La ecuación ( 1 ) es invariante bajo reparametrizaciones afines; es decir, parametrizaciones de la forma

donde un y b son números reales constantes. Por lo tanto, además de especificar una cierta clase de curvas integradas, la ecuación geodésica también determina una clase preferida de parametrizaciones en cada una de las curvas. En consecuencia, las soluciones de ( 1 ) se denominan geodésicas con parámetro afín .

Una conexión afín está determinada por su familia de geodésicas afinamente parametrizadas, hasta la torsión ( Spivak 1999 , Capítulo 6, Anexo I). La torsión en sí no afecta, de hecho, a la familia de geodésicas, ya que la ecuación geodésica depende solo de la parte simétrica de la conexión. Más precisamente, si hay dos conexiones tales que el tensor de diferencia

es simétrica sesgada , y tienen las mismas geodésicas, con las mismas parametrizaciones afines. Además, hay una conexión única que tiene las mismas geodésicas que , pero con torsión que se desvanece.

Las geodésicas sin una parametrización particular se describen mediante una conexión proyectiva .

Métodos computacionales [ editar ]

Kimmel y otros han propuesto solucionadores eficientes para el problema geodésico mínimo en superficies planteadas como ecuaciones eikonales . [3] [4]

Aplicaciones [ editar ]

Las geodésicas sirven de base para calcular:

  • fuselajes geodésicos; ver fuselaje geodésico o fuselaje geodésico
  • Estructuras geodésicas, por ejemplo, cúpulas geodésicas.
  • distancias horizontales en la Tierra o cerca de ella; ver geodésicas terrestres
  • mapeo de imágenes en superficies, para renderizar; ver mapeo UV
  • movimiento de partículas en simulaciones por ordenador de dinámica molecular (MD) [5]
  • planificación del movimiento del robot (por ejemplo, al pintar piezas de automóvil); ver problema del camino más corto

Ver también [ editar ]

  • Introducción a las matemáticas de la relatividad general.
  • Relación de Clairaut
  • Curva diferenciable  - Estudio de curvas desde un punto de vista diferencial
  • Geometría diferencial de superficies
  • Círculo geodésico
  • Teorema de Hopf-Rinow  : proporciona afirmaciones equivalentes sobre la completitud geodésica de las variedades de Riemann.
  • Métrica intrínseca
  • Línea isotrópica
  • Campo Jacobi
  • Teoría de Morse  : analiza la topología de una variedad mediante el estudio de funciones diferenciables en esa variedad
  • Superficie Zoll  : superficie homeomórfica a una esfera
  • El problema de la araña y la mosca  : un problema de geodésicas recreativas

Notas [ editar ]

  1. Para una variedad pseudo-riemanniana , por ejemplo, una variedad Lorentziana , la definición es más complicada.
  2. ^ La definición del diccionario de geodésica en Wiktionary
  3. ^ La definición del diccionario de geodésico en Wikcionario

Referencias [ editar ]

  1. ^ "geodésica - definición de geodésica en inglés del diccionario de Oxford" . OxfordDictionaries.com . Consultado el 20 de enero de 2016 .
  2. ^ "geodésico" . Diccionario Merriam-Webster .
  3. ^ Kimmel, R .; Amir, A .; Bruckstein, AM (1995). "Encontrar caminos más cortos en superficies mediante la propagación de conjuntos de niveles". Transacciones IEEE sobre análisis de patrones e inteligencia de máquinas . 17 (6): 635–640. doi : 10.1109 / 34.387512 .
  4. ^ Kimmel, R .; Sethian, JA (1998). "Computación de trayectorias geodésicas en colectores" (PDF) . Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 95 (15): 8431–8435. Código Bibliográfico : 1998PNAS ... 95.8431K . doi : 10.1073 / pnas.95.15.8431 . PMC 21092 . PMID 9671694 .   
  5. Ingebrigtsen, Trond S .; Toxvaerd, Søren; Heilmann, Ole J .; Schrøder, Thomas B .; Dyre, Jeppe C. (2011). "Dinámica de NVU. I. movimiento geodésico en la hipersuperficie de energía potencial constante" . La Revista de Física Química . 135 (10): 104101. doi : 10.1063 / 1.3623585 . ISSN 0021-9606 . PMID 21932870 . S2CID 16554305 .   
  • Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 2) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

Lectura adicional [ editar ]

  • Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Introducción a la relatividad general (2a ed.), Nueva York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Ver capítulo 2 .
  • Abraham, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de la mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Consulte la sección 2.7 .
  • Jost, Jürgen (2002), Geometría y análisis geométrico de Riemann , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Ver sección 1.4 .
  • Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 |volume= has extra text (help).
  • Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Teoría clásica de los campos , Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. Ver sección 87 .
  • Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
  • Ortín, Tomás (2004), Gravity and strings , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Tenga en cuenta especialmente las páginas 7 y 10.
  • Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Línea geodésica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press.
  • Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Ver capítulo 3 .

Enlaces externos [ editar ]

  • Geodesics Revisited - Introducción a la geodésica que incluye dos formas de derivar la ecuación de la geodésica con aplicaciones en geometría (geodésica en una esfera y en un toro ), mecánica ( braquistocrona ) y óptica (haz de luz en un medio no homogéneo).
  • Geodésicas en una superficie paramétrica - Sage interactúa - Hoja de trabajo interactiva SageMath para calcular e ilustrar geodésicas en superficies paramétricas.
  • Submanifold totalmente geodésico en Manifold Atlas