En matemáticas , la teoría de la medida geométrica ( GMT ) es el estudio de las propiedades geométricas de los conjuntos (típicamente en el espacio euclidiano ) a través de la teoría de la medida . Permite a los matemáticos extender herramientas desde la geometría diferencial a una clase mucho mayor de superficies que no son necesariamente lisas .
Historia
La teoría de la medida geométrica nació del deseo de resolver el problema de Plateau (llamado así por Joseph Plateau ) que pregunta si por cada curva cerrada suave enexiste una superficie de menor área entre todas las superficies cuyo límite es igual a la curva dada. Tales superficies imitan las películas de jabón .
El problema había permanecido abierto desde que lo planteó Lagrange en 1760 . Fue resuelto de forma independiente en la década de 1930 por Jesse Douglas y Tibor Radó bajo ciertas restricciones topológicas . En 1960, Herbert Federer y Wendell Fleming utilizaron la teoría de las corrientes con la que pudieron resolver analíticamente el problema de la meseta orientable sin restricciones topológicas, lo que dio lugar a la teoría de la medida geométrica. Más tarde, Jean Taylor, después de Fred Almgren, demostró las leyes de Plateau para el tipo de singularidades que pueden ocurrir en estas películas de jabón y grupos de pompas de jabón más generales.
Nociones importantes
Los siguientes objetos son centrales en la teoría de medidas geométricas:
- Conjuntos rectificables (o medidas de radón ), que son conjuntos con la menor regularidad posible requerida para admitir espacios tangentes aproximados .
- Corrientes , una generalización del concepto de variedades orientadas , posiblemente con límite .
- Cadenas planas, una generalización alternativa del concepto de variedades , posiblemente con límite .
- Conjuntos de Caccioppoli (también conocidos como conjuntos de perímetro localmente finito), una generalización del concepto de variedades sobre las que se aplica el teorema de la divergencia .
Los siguientes teoremas y conceptos también son fundamentales:
- La fórmula del área, que generaliza el concepto de cambio de variables en la integración.
- La fórmula de coarea , que generaliza y adapta el teorema de Fubini a la teoría de medidas geométricas.
- La desigualdad isoperimétrica , que establece que la circunferencia más pequeña posible para un área dada es la de un círculo redondo .
- Convergencia plana , que generaliza el concepto de convergencia múltiple.
Ejemplos de
La desigualdad de Brunn-Minkowski para los volúmenes n- dimensionales de los cuerpos convexos K y L ,
se puede probar en una sola página y rápidamente produce la desigualdad isoperimétrica clásica . La desigualdad de Brunn-Minkowski también conduce al teorema de Anderson en estadística. La prueba de la desigualdad de Brunn-Minkowski es anterior a la teoría de la medida moderna; el desarrollo de la teoría de la medida y la integración de Lebesgue permitieron establecer conexiones entre geometría y análisis, en la medida en que en una forma integral de la desigualdad de Brunn-Minkowski conocida como desigualdad de Prékopa-Leindler la geometría parece estar casi completamente ausente.
Ver también
- Conjunto Caccioppoli
- Fórmula Coarea
- Corrientes
- Herbert Federer
- Curva de Osgood
Referencias
- Federer, Herbert ; Fleming, Wendell H. (1960), "Corrientes normales e integrales", Annals of Mathematics , II, 72 (4): 458–520, doi : 10.2307 / 1970227 , JSTOR 1970227 , MR 0123260 , Zbl 0187.31301. El primer artículo de Federer y Fleming que ilustra su aproximación a la teoría de los perímetros basada en la teoría de las corrientes .
- Federer, Herbert (1969), Teoría de la medida geométrica , serie Die Grundlehren der mathischen Wissenschaften, Band 153, Nueva York: Springer-Verlag New York Inc., págs. Xiv + 676, ISBN 978-3-540-60656-7, MR 0257325
- Federer, H. (1978), "Coloquio de conferencias sobre la teoría de la medida geométrica", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 84 (3): 291–338, doi : 10.1090 / S0002-9904-1978-14462-0
- Fomenko, Anatoly T. (1990), Principios Variacionales en Topología (Teoría de la Superficie Mínima Multidimensional) , Matemáticas y sus Aplicaciones (Libro 42), Springer, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-0792302308
- Gardner, Richard J. (2002), "La desigualdad de Brunn-Minkowski", Bull. Amer. Matemáticas. Soc. (NS) , 39 (3): 355–405 (electrónico), doi : 10.1090 / S0273-0979-02-00941-2 , ISSN 0273-0979 , MR 1898210
- Mattila, Pertti (1999), Geometría de conjuntos y medidas en espacios euclidianos , Londres: Cambridge University Press, p. 356, ISBN 978-0-521-65595-8
- Morgan, Frank (2009), Teoría de la medida geométrica: una guía para principiantes (Cuarta ed.), San Diego, California: Academic Press Inc., págs. Viii + 249, ISBN 978-0-12-374444-9, MR 2455580
- Taylor, Jean E. (1976), "La estructura de las singularidades en superficies mínimas similares a pompas de jabón y películas de jabón", Annals of Mathematics , Second Series, 103 (3): 489-539, doi : 10.2307 / 1970949 , JSTOR 1970949 , MR 0428181.
- O'Neil, TC (2001) [1994], "Teoría de la medida geométrica" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
enlaces externos
- Página GMT de Peter Mörters [1]
- Página GMT de Toby O'Neil con referencias [2]