En matemáticas , una progresión geométrica , también conocida como secuencia geométrica , es una secuencia de números distintos de cero donde cada término después del primero se encuentra multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero llamado razón común . Por ejemplo, la secuencia 2, 6, 18, 54, ... es una progresión geométrica con una razón común 3. De manera similar, 10, 5, 2.5, 1.25, ... es una secuencia geométrica con una razón común 1/2.
Ejemplos de una secuencia geométrica son las potencias r k de un número fijo distinto de cero r , como 2 k y 3 k . La forma general de una secuencia geométrica es
donde r ≠ 0 es la razón común y a ≠ 0 es un factor de escala , igual al valor inicial de la secuencia.
La distinción entre una progresión y una serie es que una progresión es una secuencia, mientras que una serie es una suma.
Propiedades elementales
El n -ésimo término de una secuencia geométrica con valor inicial a = a 1 y razón común r viene dado por
Tal secuencia geométrica también sigue la relación recursiva
- por cada entero
Generalmente, para verificar si una secuencia dada es geométrica, uno simplemente verifica si las entradas sucesivas en la secuencia tienen todas la misma proporción.
La razón común de una secuencia geométrica puede ser negativa, lo que da como resultado una secuencia alterna, con números que alternan entre positivos y negativos. Por ejemplo
- 1, −3, 9, −27, 81, −243, ...
es una sucesión geométrica con una razón común de −3.
El comportamiento de una secuencia geométrica depende del valor de la razón común.
Si la razón común es:
- positivo, todos los términos tendrán el mismo signo que el término inicial.
- negativo, los términos alternarán entre positivo y negativo.
- mayor que 1, habrá un crecimiento exponencial hacia el infinito positivo o negativo (según el signo del término inicial).
- 1, la progresión es una secuencia constante .
- entre −1 y 1 pero no cero, habrá una caída exponencial hacia cero (→ 0).
- −1, el valor absoluto de cada término en la secuencia es constante y los términos se alternan en signo.
- menor que -1, para los valores absolutos hay un crecimiento exponencial hacia el infinito (sin signo) , debido al signo alterno.
Las secuencias geométricas (con una proporción común no igual a -1, 1 o 0) muestran un crecimiento exponencial o una disminución exponencial, a diferencia del crecimiento lineal (o disminución) de una progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48,… (con diferencia común 11). TR Malthus tomó este resultado como la base matemática de su Principio de población . Tenga en cuenta que los dos tipos de progresión están relacionados: exponenciar cada término de una progresión aritmética produce una progresión geométrica, mientras que tomar el logaritmo de cada término en una progresión geométrica con una proporción común positiva produce una progresión aritmética.
Un resultado interesante de la definición de la progresión geométrica es que cualquiera de los tres términos consecutivos de una , b y c satisfarán la siguiente ecuación:
donde b se considera que es la media geométrica entre una y c .
Series geométricas
2 | + | 10 | + | 50 | + | 250 | = | 312 | |||
- ( | 10 | + | 50 | + | 250 | + | 1250 | = | 5 × 312) | ||
2 | - | 1250 | = | (1 - 5) × 312 |
Una serie geométrica es la suma de los números en una progresión geométrica. Por ejemplo:
Si a es el primer término (aquí 2), n es el número de términos (aquí 4) y r es la constante por la que se multiplica cada término para obtener el siguiente término (aquí 5), la suma viene dada por:
En el ejemplo anterior, esto da:
La fórmula funciona para cualquier número real a y r (excepto r = 1, que da como resultado una división por cero). Por ejemplo:
Puesto que la derivación (abajo) no depende de una y r ser real, que tiene para los números complejos también.
Derivación
Para derivar esta fórmula, primero escriba una serie geométrica general como:
Podemos encontrar una fórmula más simple para esta suma multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 1 - r , y veremos que
ya que todos los demás términos se cancelan. Si r ≠ 1, podemos reorganizar lo anterior para obtener la fórmula conveniente para una serie geométrica que calcula la suma de n términos:
Fórmulas relacionadas
Si uno comenzara la suma no desde k = 1, sino desde un valor diferente, digamos m , entonces
previsto . Si entonces la suma es solo de la constante y asi es igual .
Diferenciar esta fórmula con respecto a r nos permite llegar a fórmulas para sumas de la forma
Por ejemplo:
Para una serie geométrica que contiene solo potencias pares de r, multiplique por 1 - r 2 :
Luego
De manera equivalente, tome r 2 como la razón común y use la formulación estándar.
Para una serie con poderes impares de r
y
Una fórmula exacta para la suma generalizada Cuándo se expande por los números de Stirling del segundo tipo como [1]
Serie geométrica infinita
Una serie geométrica infinita es una serie infinita cuyos términos sucesivos tienen una razón común. Tal serie converge si y solo si el valor absoluto de la razón común es menor que uno (| r | <1). Luego, su valor se puede calcular a partir de la fórmula de suma finita
Desde:
Luego:
Para una serie que contiene solo poderes pares de ,
y solo para poderes extraños,
En los casos en que la suma no comience en k = 0,
Las fórmulas dadas arriba son válidas solo para | r | <1. La última fórmula es válida en todo álgebra de Banach , siempre que la norma de r sea menor que uno, y también en el campo de los números p -ádicos si | r | p <1. Como en el caso de una suma finita, podemos diferenciar para calcular fórmulas para sumas relacionadas. Por ejemplo,
Esta fórmula solo funciona para | r | <1 también. De esto se sigue que, para | r | <1,
Además, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ es un ejemplo elemental de una serie que converge absolutamente .
Es una serie geométrica cuyo primer término es 1/2 y cuya razón común es 1/2, por lo que su suma es
La inversa de la serie anterior es 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ es un ejemplo simple de una serie alterna que converge absolutamente.
Es una serie geométrica cuyo primer término es 1/2 y cuya razón común es −1/2, por lo que su suma es
Números complejos
La fórmula de suma para series geométricas sigue siendo válida incluso cuando la razón común es un número complejo . En este caso, la condición de que el valor absoluto de r sea menor que 1 se convierte en que el módulo de r sea menor que 1. Es posible calcular las sumas de algunas series geométricas no obvias. Por ejemplo, considere la proposición
La prueba de esto proviene del hecho de que
que es una consecuencia de la fórmula de Euler . Sustituyendo esto en la serie original da
- .
Esta es la diferencia de dos series geométricas, por lo que es una aplicación sencilla de la fórmula para series geométricas infinitas que completa la demostración.
Producto
El producto de una progresión geométrica es el producto de todos los términos. Se puede calcular rápidamente tomando la media geométrica del primer y último término individual de la progresión, y elevando esa media a la potencia dada por el número de términos. (Esto es muy similar a la fórmula para la suma de términos de una secuencia aritmética : tome la media aritmética del primer y último término individual y multiplíquelo por el número de términos).
Como la media geométrica de dos números es igual a la raíz cuadrada de su producto, el producto de una progresión geométrica es:
- .
(Un aspecto interesante de esta fórmula es que, aunque implica sacar la raíz cuadrada de una potencia potencialmente impar de una r potencialmente negativa , no puede producir un resultado complejo si ni a ni r tienen una parte imaginaria. Es posible , debería ser r negativo yn impar, para que se tome la raíz cuadrada de un resultado intermedio negativo, lo que hace que un resultado intermedio posterior sea un número imaginario. Sin embargo, un intermedio imaginario formado de esa manera pronto se elevará a la el poder de, que debe ser un número par porque n en sí mismo es impar; por lo tanto, el resultado final del cálculo puede ser plausiblemente un número impar, pero nunca podría ser imaginario).
Prueba
Sea P el producto. Por definición, se calcula multiplicando explícitamente cada término individual. Escrito en su totalidad
- .
Realizando las multiplicaciones y reuniendo términos semejantes,
- .
El exponente de r es la suma de una secuencia aritmética. Sustituyendo la fórmula para ese cálculo,
- ,
que permite simplificar la expresión para
- .
Reescribiendo un como,
- ,
que concluye la prueba.
Historia
Una tablilla de arcilla del Período Dinástico Temprano en Mesopotamia , MS 3047, contiene una progresión geométrica con base 3 y multiplicador 1/2. Se ha sugerido que es sumerio , de la ciudad de Shuruppak . Es el único registro conocido de una progresión geométrica anterior a la época de las matemáticas babilónicas . [2]
Los libros VIII y IX de Euclid 's Elements analizan las progresiones geométricas (como las potencias de dos , ver el artículo para más detalles) y dan varias de sus propiedades. [3]
Ver también
- Progresión aritmética : secuencia de números con diferencias constantes entre números consecutivos
- Secuencia aritmético-geométrica
- Ecuación de diferencia lineal
- Función exponencial : clase de funciones matemáticas específicas
- Progresión armónica
- Serie armónica: serie infinita de los recíprocos de los enteros positivos
- Serie infinita - Suma infinita
- Número preferido : pautas estándar para elegir las dimensiones exactas del producto dentro de un conjunto determinado de restricciones
- Thomas Robert Malthus - economista político británico (1766-1834)
- Distribución geométrica - Distribución de probabilidad
Referencias
- ^ "Establecer particiones: números de Stirling" . Biblioteca digital de funciones matemáticas . Consultado el 24 de mayo de 2018 .
- ^ Friberg, Jöran (2007). "MS 3047: un antiguo texto de tabla matemática metro-sumeria". En Friberg, Jöran (ed.). Una notable colección de textos matemáticos babilónicos . Fuentes y estudios en Historia de las Matemáticas y Ciencias Físicas. Nueva York: Springer. págs. 150-153. doi : 10.1007 / 978-0-387-48977-3 . ISBN 978-0-387-34543-7. Señor 2333050 .
- ^ Heath, Thomas L. (1956). Los trece libros de los elementos de Euclides (2ª ed. [Facsímil. Publicación original: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover.
- Hall & Knight, Álgebra superior , pág. 39, ISBN 81-8116-000-2
enlaces externos
- "Progresión geométrica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Derivación de fórmulas para la suma de progresión geométrica finita e infinita en Mathalino.com
- Calculadora de progresión geométrica
- Buena prueba de una suma de progresión geométrica en sputsoft.com
- Weisstein, Eric W. "Serie geométrica" . MathWorld .