Geometría

Para otros usos, consulte Geometría (desambiguación) .

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Geometría
Proyectar una esfera a un plano
Esquema Historia
Sucursales Euclidiana No euclidiana Elíptico Esférico Hiperbólico Geometría no arquimediana Descriptivo Afín Sintético Analítico Algebraico Aritmética Diofantino Diferencial Riemanniano Simpléctico Diferencial discreto Complejo Finito Discreto / Combinatorio Digital Convexo Computacional Fractal Incidencia
Conceptos Características Dimensión Construcciones con regla y compás Ángulo Curva Diagonal Ortogonalidad ( perpendicular ) Paralela Vértice Congruencia Semejanza Simetría
Dimensión cero Punto
Unidimensional Línea segmento rayo Longitud
Bidimensional Plano Zona Polígono Triángulo Altitud Hipotenusa Teorema de pitágoras Paralelogramo Cuadrado Rectángulo Rombo Romboidal Cuadrilátero Trapezoide cometa Circulo Diámetro Circunferencia Zona
Tridimensional Volumen Cubo cuboides Cilindro Pirámide Esfera
Cuatro - / otras dimensiones Tesseract Hiperesfera
Geometros
por nombre Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apolonio Arquímedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclides Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pitágoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Lista de geómetras
por período AEC Ahmes Baudhayana Manava Pitágoras Euclides Arquímedes Apolonio 1-1400 Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400 a 1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700-1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter En la actualidad Atiyah Gromov
v t mi

Una ilustración del teorema de Desargues , un resultado en geometría euclidiana y proyectiva.

La geometría (del griego antiguo : γεωμετρία ; geo- "tierra", -metron "medida") es, con la aritmética , una de las ramas más antiguas de las matemáticas . Se ocupa de las propiedades del espacio relacionadas con la distancia, la forma, el tamaño y la posición relativa de las figuras. ^[1] Un matemático que trabaja en el campo de la geometría se llama geómetra .

Hasta el siglo XIX, la geometría se dedicó casi exclusivamente a la geometría euclidiana , ^[a] que incluye las nociones de punto , línea , plano , distancia , ángulo , superficie y curva , como conceptos fundamentales. ^[2]

Durante el siglo XIX, varios descubrimientos ampliaron drásticamente el alcance de la geometría. Uno de los descubrimientos más antiguos es el Theorema Egregium de Gauss (teorema notable) que afirma aproximadamente que la curvatura gaussiana de una superficie es independiente de cualquier incrustación específica en un espacio euclidiano . Esto implica que las superficies se pueden estudiar intrínsecamente , es decir, como espacios independientes, y se ha expandido a la teoría de las variedades y la geometría de Riemann .

Más tarde, en el siglo XIX, parece que las geometrías sin el postulado paralelo ( geometrías no euclidianas ) pueden desarrollarse sin introducir ninguna contradicción. La geometría que subyace a la relatividad general es una famosa aplicación de la geometría no euclidiana.

Desde entonces, el alcance de la geometría se ha ampliado enormemente y el campo se ha dividido en muchos subcampos que dependen de los métodos subyacentes: geometría diferencial , geometría algebraica , geometría computacional , topología algebraica , geometría discreta (también conocida como geometría combinatoria ), etc. —o sobre las propiedades de los espacios euclidianos que se descartan— geometría proyectiva que considera únicamente la alineación de puntos pero no la distancia y el paralelismo, geometría afín que omite el concepto de ángulo y distancia, geometría finita que omite la continuidad , etc.

A menudo desarrollada con el objetivo de modelar el mundo físico, la geometría tiene aplicaciones en casi todas las ciencias , y también en el arte , la arquitectura y otras actividades relacionadas con los gráficos . ^{[3] La} geometría también tiene aplicaciones en áreas de las matemáticas que aparentemente no están relacionadas. Por ejemplo, los métodos de geometría algebraica son fundamentales para la demostración de Wiles del último teorema de Fermat , un problema que se planteó en términos de aritmética elemental y que permaneció sin resolver durante varios siglos.

Historia

Artículo principal: Historia de la geometría

Un europeo y un árabe practicando la geometría en el siglo XV.

Los primeros comienzos registrados de la geometría se remontan a la antigua Mesopotamia y Egipto en el segundo milenio antes de Cristo. ^{[4] [5]} La geometría primitiva era una colección de principios descubiertos empíricamente sobre longitudes, ángulos, áreas y volúmenes, que se desarrollaron para satisfacer alguna necesidad práctica en topografía , construcción , astronomía y diversas artesanías. Los primeros textos conocidos sobre geometría son el papiro egipcio Rhind (2000-1800 a. C.) y el papiro de Moscú (c. 1890 a. C.), las tablillas de arcilla babilónicas como Plimpton 322(1900 aC). Por ejemplo, el Papiro de Moscú ofrece una fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada o frustum . ^[6] Tablas de arcilla posteriores (350-50 aC) demuestran que los astrónomos babilónicos implementaron procedimientos trapezoidales para calcular la posición y el movimiento de Júpiter dentro del espacio de tiempo-velocidad. Estos procedimientos geométricos anticiparon las calculadoras de Oxford , incluido el teorema de la velocidad media , en 14 siglos. ^{[7] Al} sur de Egipto, los antiguos nubios establecieron un sistema de geometría que incluía las primeras versiones de los relojes solares. ^{[8] [9]}

En el siglo VII a. C., el matemático griego Tales de Mileto utilizó la geometría para resolver problemas como el cálculo de la altura de las pirámides y la distancia de los barcos a la costa. Se le atribuye el primer uso del razonamiento deductivo aplicado a la geometría, al derivar cuatro corolarios del teorema de Tales . ^[10] Pitágoras estableció la Escuela de Pitágoras , a la que se le atribuye la primera prueba del teorema de Pitágoras , ^[11] aunque el enunciado del teorema tiene una larga historia. ^{[12] [13]} Eudoxo (408-c. 355 aC) desarrolló el método de agotamiento, que permitió el cálculo de áreas y volúmenes de figuras curvilíneas, ^[14] así como una teoría de razones que evitaba el problema de magnitudes inconmensurables , lo que permitió a los geómetras posteriores realizar avances significativos. Alrededor del 300 aC, la geometría fue revolucionada por Euclides, cuyos Elementos , ampliamente considerado el libro de texto más exitoso e influyente de todos los tiempos, ^[15] introdujeron el rigor matemático a través del método axiomático y es el primer ejemplo del formato que todavía se usa en las matemáticas hoy en día, que de definición, axioma, teorema y demostración. Aunque la mayor parte del contenido de los Elementosya se conocían, Euclides los organizó en un marco lógico único y coherente. ^[16] Los Elementos eran conocidos por todas las personas educadas en Occidente hasta mediados del siglo XX y sus contenidos todavía se enseñan en las clases de geometría en la actualidad. ^[17] Arquímedes (c. 287-212 a. C.) de Siracusa utilizó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita , y dio aproximaciones de Pi notablemente precisas . ^[18] También estudió la espiral que lleva su nombre y obtuvo fórmulas para lavolúmenes de superficies de revolución .

Mujer enseñando geometría . Ilustración al comienzo de una traducción medieval de Elementos de Euclides , (c. 1310).

Los matemáticos indios también hicieron muchas contribuciones importantes en geometría. El Satapatha Brahmana (siglo III a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras . ^[19] Según ( Hayashi 2005 , p. 363), los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del Teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios. Contienen listas de triples pitagóricos , ^[20] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . ^[21] En el manuscrito Bakhshali, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". ^[22] Aryabhata 's Aryabhatiya (499) incluye el cálculo de áreas y volúmenes. Brahmagupta escribió su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta en 628. El capítulo 12, que contiene 66 versos sánscritos , se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razón y proporción, y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezcla, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilamiento de grano). ^[23]En la última sección, estableció su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico . El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales). ^[23]

En la Edad Media , las matemáticas en el Islam medieval contribuyeron al desarrollo de la geometría, especialmente la geometría algebraica . ^{[24] [25]} Al-Mahani (n. 853) concibió la idea de reducir problemas geométricos como duplicar el cubo a problemas de álgebra. ^[26] Thābit ibn Qurra (conocido como Thebit en latín ) (836–901) se ocupó de las operaciones aritméticas aplicadas a proporciones de cantidades geométricas y contribuyó al desarrollo de la geometría analítica . ^[27] Omar Khayyám (1048-1131) encontró soluciones geométricas para ecuaciones cúbicas.. ^[28] Los teoremas de Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam y Nasir al-Din al-Tusi sobre cuadriláteros , incluido el cuadrilátero de Lambert y el cuadrilátero de Saccheri , fueron los primeros resultados en geometría hiperbólica , y junto con sus postulados alternativos, tales Como axioma de Playfair , estas obras tuvieron una influencia considerable en el desarrollo de la geometría no euclidiana entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo (c. 1230-c. 1314), Gersonides (1288-1344), Alfonso , John Wallis y Giovanni Girolamo. Saccheri. ^{[ dudoso - discutir ] [29]}

A principios del siglo XVII, hubo dos desarrollos importantes en geometría. El primero fue la creación de geometría analítica, o geometría con coordenadas y ecuaciones , por René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665). ^[30] Este fue un precursor necesario para el desarrollo del cálculo y una ciencia cuantitativa precisa de la física . ^[31] El segundo desarrollo geométrico de este período fue el estudio sistemático de la geometría proyectiva por Girard Desargues (1591-1661). ^[32] La geometría proyectiva estudia las propiedades de las formas que no se modifican enproyecciones y secciones , especialmente en lo que se refiere a la perspectiva artística . ^[33]

Dos desarrollos en geometría en el siglo XIX cambiaron la forma en que se había estudiado anteriormente. ^[34] Estos fueron el descubrimiento de geometrías no euclidianas por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai y Carl Friedrich Gauss y de la formulación de la simetría como consideración central en el Programa Erlangen de Felix Klein (que generalizó las geometrías euclidiana y no euclidiana ). Dos de los maestros geómetras de la época fueron Bernhard Riemann (1826-1866), que trabajó principalmente con herramientas del análisis matemático e introdujo la superficie de Riemann , y Henri Poincaré , el fundador detopología algebraica y teoría geométrica de sistemas dinámicos . Como consecuencia de estos importantes cambios en la concepción de la geometría, el concepto de "espacio" se convirtió en algo rico y variado, y en el trasfondo natural de teorías tan diferentes como el análisis complejo y la mecánica clásica . ^[35]

Conceptos importantes en geometría

Los siguientes son algunos de los conceptos más importantes en geometría. ^{[2] [36] [37]}

Axiomas

Una ilustración del postulado paralelo de Euclides

Ver también: geometría euclidiana y axioma

Euclides adoptó un enfoque abstracto de la geometría en sus Elementos , ^[38] uno de los libros más influyentes jamás escritos. ^[39] Euclides introdujo ciertos axiomas o postulados que expresan propiedades primarias o evidentes de puntos, líneas y planos. ^[40] Procedió a deducir rigurosamente otras propiedades mediante el razonamiento matemático. El rasgo característico de la aproximación de Euclides a la geometría fue su rigor, y ha llegado a conocerse como geometría axiomática o sintética . ^[41] A principios del siglo XIX, el descubrimiento de geometrías no euclidianas porNikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai (1802-1860), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) y otros ^[42] llevaron a un resurgimiento del interés por esta disciplina, y en el siglo XX, David Hilbert (1862 –1943) empleó el razonamiento axiomático en un intento de proporcionar una base moderna de la geometría. ^[43]

Puntos

Artículo principal: Punto (geometría)

Los puntos se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte" ^[44] y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados. ^[45] En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos. ^[46]

Líneas

Artículo principal: Línea (geometría)

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma". ^[44] En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica , una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada , ^[47] pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia , una línea puede ser un objeto independiente. , distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él. ^[48] En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de una línea aespacios curvos . ^[49]

Aviones

Artículo principal: Plano (geometría)

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. ^{[44] Los} planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos; ^[50] se puede estudiar como un espacio afín , donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias; ^[51] se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo ; ^[52] y así sucesivamente.

Anglos

Artículo principal: Ángulo

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. ^[44] En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos , llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo. ^[53]

Ángulos agudos (a), obtusos (b) y rectos (c). Los ángulos agudos y obtusos también se conocen como ángulos oblicuos.

En la geometría euclidiana , los ángulos se utilizan para estudiar polígonos y triángulos , además de formar un objeto de estudio por derecho propio. ^[44] El estudio de los ángulos de un triángulo o de los ángulos en un círculo unitario forma la base de la trigonometría . ^[54]

En geometría diferencial y cálculo , los ángulos entre curvas planas o curvas espaciales o superficies se pueden calcular utilizando la derivada . ^{[55] [56]}

Curvas

Artículo principal: Curva (geometría)

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales . ^[57]

En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. ^[50] En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable ^[58] La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas , que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno. ^[59]

Superficies

Artículo principal: Superficie (matemáticas)

Una esfera es una superficie que se puede definir paramétricamente (por x = r sin θ cos φ , y = r sin θ sin φ , z = r cos θ ) o implícitamente (por x ² + y ² + z ² - r ² = 0. )

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. ^[60] En geometría diferencial ^[58] y topología , ^{[50] las} superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades ) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos , respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas . ^[59]

Colectores

Artículo principal: Colector

Una variedad es una generalización de los conceptos de curva y superficie. En topología , una variedad es un espacio topológico donde cada punto tiene una vecindad que es homeomorfa al espacio euclidiano. ^[50] En geometría diferencial , una variedad diferenciable es un espacio donde cada vecindario es difeomórfico al espacio euclidiano. ^[58]

Los colectores se utilizan ampliamente en física, incluida la relatividad general y la teoría de cuerdas . ^[61]

Longitud, área y volumen

Artículos principales: Longitud , Área y Volumen

Ver también: Área § Lista de fórmulas y Volumen § Fórmulas de volumen

La longitud , el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente. ^[62]

En geometría euclidiana y geometría analítica , la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras . ^[63]

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. ^{[62] Los} matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo , el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales , como la integral de Riemann ^[64] o la integral de Lebesgue . ^{[sesenta y cinco]}

Métricas y medidas

Artículos principales: Métrica (matemáticas) y Medida (matemáticas)

Comprobación visual del teorema de Pitágoras para el triángulo (3, 4, 5) como en el Zhoubi Suanjing 500-200 AC. El teorema de Pitágoras es una consecuencia de la métrica euclidiana .

El concepto de longitud o distancia se puede generalizar, dando lugar a la idea de métricas . ^[66] Por ejemplo, la métrica euclidiana mide la distancia entre puntos en el plano euclidiano , mientras que la métrica hiperbólica mide la distancia en el plano hiperbólico . Otros ejemplos importantes de métricas incluyen la métrica de Lorentz de la relatividad especial y la métrica semi- riemanniana de la relatividad general . ^[67]

En otra dirección, los conceptos de longitud, área y volumen se amplían con la teoría de la medida , que estudia métodos de asignación de un tamaño o medida a conjuntos , donde las medidas siguen reglas similares a las del área y volumen clásicos. ^[68]

Congruencia y similitud

Artículos principales: Congruencia (geometría) y Similitud (geometría)

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. ^[69] En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. ^[70] Hilbert , en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas .

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación , que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones. ^[71]

Construcciones con brújula y regla

Artículo principal: Construcciones con brújula y regla

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en las construcciones geométricas son el compás y la regla . Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.

Dimensión

Artículo principal: Dimensión

El copo de nieve de Koch , con dimensión fractal = log4 / log3 y dimensión topológica = 1

Donde la geometría tradicional permitía las dimensiones 1 (una línea ), 2 (un plano ) y 3 (nuestro mundo ambiental concebido como un espacio tridimensional ), los matemáticos y físicos han utilizado dimensiones superiores durante casi dos siglos. ^[72] Un ejemplo de uso matemático para dimensiones superiores es el espacio de configuración de un sistema físico, que tiene una dimensión igual a los grados de libertad del sistema . Por ejemplo, la configuración de un tornillo se puede describir mediante cinco coordenadas. ^[73]

En topología general , el concepto de dimensión se ha extendido desde los números naturales hasta la dimensión infinita ( espacios de Hilbert , por ejemplo) y los números reales positivos (en geometría fractal ). ^[74] En geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica ha recibido varias definiciones aparentemente diferentes, que son todas equivalentes en los casos más comunes. ^[75]

Simetría

Artículo principal: Simetría

Un mosaico del plano hiperbólico

El tema de la simetría en geometría es casi tan antiguo como la ciencia de la geometría misma. ^[76] Las formas simétricas como el círculo , los polígonos regulares y los sólidos platónicos tenían un significado profundo para muchos filósofos antiguos ^[77] y fueron investigadas en detalle antes de la época de Euclides. ^[40] Los patrones simétricos ocurren en la naturaleza y fueron representados artísticamente en una multitud de formas, incluyendo los gráficos de Leonardo da Vinci , MC Escher y otros. ^[78] En la segunda mitad del siglo XIX, la relación entre simetría y geometría fue objeto de un intenso escrutinio.El programa Erlangen de Felix Klein proclamó que, en un sentido muy preciso, la simetría, expresada a través de la noción de un grupo de transformación , determina qué es la geometría . ^{[79] La} simetría en la geometría euclidiana clásica está representada por congruencias y movimientos rígidos, mientras que en la geometría proyectiva juegan un papel análogo las colinaciones , transformaciones geométricas que convierten las líneas rectas en líneas rectas. ^[80] Sin embargo, fue en las nuevas geometrías de Bolyai y Lobachevsky, Riemann, Clifford y Klein, y Sophus Lieque la idea de Klein de "definir una geometría a través de su grupo de simetría " encontró su inspiración. ^[81] Tanto las simetrías discretas como las continuas juegan un papel destacado en la geometría, la primera en la topología y la teoría de grupos geométricos , ^{[82] [83]} la última en la teoría de Lie y la geometría de Riemann . ^{[84] [85]}

Un tipo diferente de simetría es el principio de dualidad en la geometría proyectiva , entre otros campos. Este metafenómeno se puede describir aproximadamente de la siguiente manera: en cualquier teorema , intercambiar punto con plano , unirse con encuentro , se encuentra en con contiene , y el resultado es un teorema igualmente verdadero. ^[86] Existe una forma de dualidad similar y estrechamente relacionada entre un espacio vectorial y su espacio dual . ^[87]

Geometría contemporánea

Geometría euclidiana

Artículo principal: geometría euclidiana

La geometría euclidiana es geometría en su sentido clásico. ^[88] Como modela el espacio del mundo físico, se utiliza en muchas áreas científicas, como mecánica , astronomía , cristalografía , ^[89] y muchos campos técnicos, como ingeniería , ^[90] arquitectura , ^[91] geodesia. , ^[92] aerodinámica , ^[93] y navegación . ^[94] El plan de estudios educativo obligatorio de la mayoría de las naciones incluye el estudio de conceptos euclidianos como puntos , líneas, planos , ángulos , triángulos , congruencia , semejanza , figuras sólidas , círculos y geometría analítica . ^[36]

Geometría diferencial

La geometría diferencial usa herramientas de cálculo para estudiar problemas que involucran curvatura.

Artículo principal: geometría diferencial

La geometría diferencial usa técnicas de cálculo y álgebra lineal para estudiar problemas de geometría. ^[95] Tiene aplicaciones en física , ^[96] econometría , ^[97] y bioinformática , ^[98] entre otras.

En particular, la geometría diferencial es de importancia para la física matemática , debido a Albert Einstein 's relatividad general postulación de que el universo es curvo . ^[99] La geometría diferencial puede ser intrínseca (lo que significa que los espacios que considera son variedades suaves cuya estructura geométrica se rige por una métrica de Riemann , que determina cómo se miden las distancias cerca de cada punto) o extrínseca (donde el objeto en estudio es una parte de algún espacio euclidiano plano ambiental). ^[100]

Geometría no euclidiana

Artículo principal: geometría no euclidiana

La geometría euclidiana no fue la única forma histórica de geometría estudiada. La geometría esférica ha sido utilizada durante mucho tiempo por astrónomos, astrólogos y navegantes. ^[101]

Immanuel Kant argumentó que hay una sola geometría , absoluta , que se sabe que es verdadera a priori por una facultad interna de la mente: la geometría euclidiana era sintética a priori . ^[102] Este punto de vista fue al principio algo desafiado por pensadores como Saccheri , luego finalmente revocado por el descubrimiento revolucionario de la geometría no euclidiana en las obras de Bolyai, Lobachevsky y Gauss (que nunca publicó su teoría). ^[103] Demostraron que el espacio euclidiano ordinario es solo una posibilidad para el desarrollo de la geometría. Luego, Riemann expresó una visión amplia del tema de la geometría.en su conferencia inaugural de 1867 Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen ( Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría ), ^[104] publicado sólo después de su muerte. La nueva idea de Riemann del espacio resultó crucial en Albert Einstein 's teoría de la relatividad general . La geometría riemanniana , que considera espacios muy generales en los que se define la noción de longitud, es un pilar de la geometría moderna. ^[81]

Topología

Artículo principal: Topología

Un engrosamiento del nudo del trébol

La topología es el campo que se ocupa de las propiedades de las asignaciones continuas , ^[105] y puede considerarse una generalización de la geometría euclidiana. ^[106] En la práctica, la topología a menudo significa tratar con propiedades de espacios a gran escala, como la conectividad y la compacidad . ^[50]

El campo de la topología, que experimentó un desarrollo masivo en el siglo XX, es en un sentido técnico un tipo de geometría de transformación , en la que las transformaciones son homeomorfismos . ^[107] Esto se ha expresado a menudo en la forma del dicho "la topología es geometría de láminas de caucho". Los subcampos de la topología incluyen topología geométrica , topología diferencial , topología algebraica y topología general . ^[108]

Geometría algebraica

Artículo principal: geometría algebraica

Quintic Calabi – Yau triple

El campo de la geometría algebraica se desarrolló a partir de la geometría cartesiana de coordenadas . ^[109] Experimentó períodos periódicos de crecimiento, acompañados de la creación y estudio de geometría proyectiva , geometría biracional , variedades algebraicas y álgebra conmutativa , entre otros temas. ^[110] Desde finales de la década de 1950 hasta mediados de la de 1970 había experimentado un importante desarrollo fundamental, en gran parte debido al trabajo de Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck . ^[110] Esto condujo a la introducción de planes.y un mayor énfasis en los métodos topológicos , incluidas varias teorías de cohomología . Uno de los siete problemas del Millennium Prize , la conjetura de Hodge , es una cuestión de geometría algebraica. ^[111] La prueba de Wiles del último teorema de Fermat utiliza métodos avanzados de geometría algebraica para resolver un problema de larga data de la teoría de números .

En general, la geometría algebraica estudia la geometría mediante el uso de conceptos en álgebra conmutativa como polinomios multivariados . ^[112] Tiene aplicaciones en muchas áreas, incluida la criptografía ^[113] y la teoría de cuerdas . ^[114]

Geometría compleja

Artículo principal: geometría compleja

La geometría compleja estudia la naturaleza de las estructuras geométricas modeladas o que surgen del plano complejo . ^{[115] [116] [117] La} geometría compleja se encuentra en la intersección de la geometría diferencial, la geometría algebraica y el análisis de varias variables complejas , y ha encontrado aplicaciones a la teoría de cuerdas y la simetría especular . ^[118]

La geometría compleja apareció por primera vez como un área de estudio distinta en el trabajo de Bernhard Riemann en su estudio de las superficies de Riemann . ^{[119] [120] [121] El} trabajo en el espíritu de Riemann fue llevado a cabo por la escuela italiana de geometría algebraica a principios del siglo XX. El tratamiento contemporáneo de la geometría compleja comenzó con el trabajo de Jean-Pierre Serre , quien introdujo el concepto de gavillas al sujeto e iluminó las relaciones entre la geometría compleja y la geometría algebraica. ^{[122] [123]} Los principales objetos de estudio en geometría compleja son variedades complejas , variedades algebraicas complejasy variedades analíticas complejas , y haces de vectores holomórficos y haces coherentes sobre estos espacios. Ejemplos especiales de espacios estudiados en geometría compleja incluyen superficies de Riemann y variedades de Calabi-Yau , y estos espacios encuentran usos en la teoría de cuerdas. En particular, las hojas de mundos de cuerdas son modeladas por superficies de Riemann, y la teoría de supercuerdas predice que las 6 dimensiones adicionales del espacio -tiempo de 10 dimensiones pueden ser modeladas por variedades de Calabi-Yau.

Geometría discreta

Artículo principal: geometría discreta

La geometría discreta incluye el estudio de varios empaques de esferas .

La geometría discreta es un tema que tiene estrechas conexiones con la geometría convexa . ^{[124] [125] [126]} Se ocupa principalmente de cuestiones de posición relativa de objetos geométricos simples, como puntos, líneas y círculos. Los ejemplos incluyen el estudio de empaquetaduras de esferas , triangulaciones , la conjetura de Kneser-Poulsen, etc. ^{[127] [128]} Comparte muchos métodos y principios con la combinatoria .

Geometría Computacional

Artículo principal: geometría computacional

La geometría computacional se ocupa de los algoritmos y sus implementaciones para manipular objetos geométricos. Históricamente, los problemas importantes han incluido el problema del vendedor ambulante , los árboles de expansión mínimos , la eliminación de líneas ocultas y la programación lineal . ^[129]

Aunque es un área joven de la geometría, tiene muchas aplicaciones en visión por computadora , procesamiento de imágenes , diseño asistido por computadora , imágenes médicas , etc. ^[130]

Teoría de grupos geométricos

Artículo principal: Teoría de grupos geométricos

El gráfico de Cayley del grupo libre en dos generadores de una y b

La teoría de grupos geométricos utiliza técnicas geométricas a gran escala para estudiar grupos generados finitamente . ^[131] Está estrechamente relacionado con la topología de baja dimensión , como en la prueba de la conjetura de geometrización de Grigori Perelman , que incluía la prueba de la conjetura de Poincaré , un problema del premio Millennium . ^[132]

La teoría de grupos geométricos a menudo gira en torno al gráfico de Cayley , que es una representación geométrica de un grupo. Otros temas importantes son cuasi-isometrías , grupos Gromov-hiperbólicas , y grupos Artin en ángulo recto . ^{[131] [133]}

Geometría convexa

Artículo principal: geometría convexa

La geometría convexa investiga formas convexas en el espacio euclidiano y sus análogos más abstractos, a menudo utilizando técnicas de análisis real y matemáticas discretas . ^[134] Tiene estrechas conexiones con el análisis convexo , la optimización y el análisis funcional y aplicaciones importantes en la teoría de números .

La geometría convexa se remonta a la antigüedad. ^[134] Arquímedes dio la primera definición precisa conocida de convexidad. El problema isoperimétrico , un concepto recurrente en la geometría convexa, también fue estudiado por los griegos, incluido Zenodoro . Arquímedes, Platón , Euclides y más tarde Kepler y Coxeter estudiaron los politopos convexos y sus propiedades. A partir del siglo XIX, los matemáticos han estudiado otras áreas de las matemáticas convexas, incluidos los politopos de dimensiones superiores, el volumen y el área de superficie de los cuerpos convexos, la curvatura gaussiana , los algoritmos , los mosaicos.y celosías .

Aplicaciones

La geometría ha encontrado aplicaciones en muchos campos, algunos de los cuales se describen a continuación.

Arte

Artículo principal: Matemáticas y arte

Bou Inania Madrasa, Fes, Marruecos, mosaicos zellige formando elaborados mosaicos geométricos

Las matemáticas y el arte están relacionados de diversas formas. Por ejemplo, la teoría de la perspectiva mostró que la geometría es más que las propiedades métricas de las figuras: la perspectiva es el origen de la geometría proyectiva . ^[135]

Los artistas han utilizado durante mucho tiempo los conceptos de proporción en el diseño. Vitruvio desarrolló una complicada teoría de proporciones ideales para la figura humana. ^[136] Estos conceptos han sido utilizados y adaptados por artistas desde Miguel Ángel hasta artistas modernos de cómics. ^[137]

La proporción áurea es una proporción particular que ha tenido un papel controvertido en el arte. A menudo se dice que es la proporción de longitudes más agradable desde el punto de vista estético, pero con frecuencia se dice que se incorpora a obras de arte famosas, aunque los ejemplos más fiables e inequívocos fueron hechos deliberadamente por artistas conscientes de esta leyenda. ^[138]

Los mosaicos o mosaicos se han utilizado en el arte a lo largo de la historia. El arte islámico hace un uso frecuente de teselados, al igual que el arte de MC Escher . ^[139] El trabajo de Escher también hizo uso de la geometría hiperbólica .

Cézanne avanzó la teoría de que todas las imágenes se pueden construir a partir de la esfera , el cono y el cilindro . Esto todavía se usa en la teoría del arte hoy en día, aunque la lista exacta de formas varía de un autor a otro. ^{[140] [141]}

Arquitectura

Artículos principales: Matemáticas y arquitectura y geometría arquitectónica

La geometría tiene muchas aplicaciones en arquitectura. De hecho, se ha dicho que la geometría es el núcleo del diseño arquitectónico. ^{[142] [143]} Las aplicaciones de la geometría a la arquitectura incluyen el uso de geometría proyectiva para crear una perspectiva forzada , ^[144] el uso de secciones cónicas en la construcción de cúpulas y objetos similares, ^[91] el uso de teselados , ^[91] y el uso de la simetría. ^[91]

Física

Artículo principal: Física matemática

El campo de la astronomía , especialmente en lo que se refiere a mapear las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste y describir la relación entre los movimientos de los cuerpos celestes, ha servido como una fuente importante de problemas geométricos a lo largo de la historia. ^[145]

La geometría riemanniana y la geometría pseudo-riemanniana se utilizan en la relatividad general . ^[146] La teoría de cuerdas hace uso de varias variantes de geometría, ^{[147] al} igual que la teoría de la información cuántica . ^[148]

Otros campos de las matemáticas

Los pitagóricos descubrieron que los lados de un triángulo podían tener longitudes inconmensurables .

El cálculo estuvo fuertemente influenciado por la geometría. ^[30] Por ejemplo, la introducción de coordenadas por René Descartes y los desarrollos concurrentes del álgebra marcaron una nueva etapa para la geometría, ya que las figuras geométricas como las curvas planas ahora podrían representarse analíticamente en forma de funciones y ecuaciones. Esto jugó un papel clave en el surgimiento del cálculo infinitesimal en el siglo XVII. La geometría analítica sigue siendo un pilar del plan de estudios de precálculo y cálculo. ^{[149] [150]}

Otro campo de aplicación importante es la teoría de números . ^[151] En la antigua Grecia, los pitagóricos consideraban el papel de los números en la geometría. Sin embargo, el descubrimiento de longitudes inconmensurables contradecía sus puntos de vista filosóficos. ^[152] Desde el siglo XIX, la geometría se ha utilizado para resolver problemas en la teoría de números, por ejemplo a través de la geometría de números o, más recientemente, la teoría de esquemas , que se utiliza en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat . ^[153]

Ver también

Liza

• Lista de geómetras
  • Categoría: Geómetras algebraicos
  • Categoría: Geómetras diferenciales
  • Categoría: Geómetros
  • Categoría: Topólogos
• Lista de fórmulas en geometría elemental
• Lista de temas de geometría
• Lista de publicaciones importantes en geometría
• Listas de temas de matemáticas

Temas relacionados

• Geometría descriptiva
• Geometría finita
• Flatland , un libro escrito por Edwin Abbott Abbott sobre el espacio bidimensional y tridimensional , para comprender el concepto de cuatro dimensiones
• Lista de software de geometría interactiva

Otros campos

• Geometría molecular

Notas

1. Hasta el siglo XIX, la geometría estuvo dominada por el supuesto de que todas las construcciones geométricas eran euclidianas. En el siglo XIX y posteriormente, esto fue desafiado por el desarrollo de la geometría hiperbólica por Lobachevsky y otras geometrías no euclidianas por Gauss y otros. Luego se comprendió que la geometría implícitamente no euclidiana había aparecido a lo largo de la historia, incluido el trabajo de Desargues en el siglo XVII, hasta el uso implícito de la geometría esférica para comprender la geodesia de la Tierra y navegar por los océanos desde la antigüedad.

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20. Ternas pitagóricas son triples de números enteroscon la propiedad:. Por lo tanto,,,etc.${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}}$${\displaystyle 8^{2}+15^{2}=17^{2}}$${\displaystyle 12^{2}+35^{2}=37^{2}}$
21. ( Cooke 2005 , p. 198): "El contenido aritmético de los Śulva Sūtras consiste en reglas para encontrar triples pitagóricos como (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) , y (12, 35, 37). No es seguro qué uso práctico tenían estas reglas aritméticas. La mejor conjetura es que eran parte de un ritual religioso. Se requería que un hogar hindú tuviera tres fuegos encendidos en tres altares diferentes. tres altares debían tener diferentes formas, pero los tres debían tener la misma área. Estas condiciones llevaron a ciertos problemas "diofánticos", un caso particular de los cuales es la generación de triples pitagóricos, de modo que un entero cuadrado sea igual a la suma de otros dos ".
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    "Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tusi, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia llegó a ser completamente reconocida solo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadrángulos que consideraron, asumiendo que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos, encarnaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraban que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V. Es importante que estos eruditos establecieran la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero.Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de probar el postulado en líneas paralelas, realizado por Witelo, los científicos polacos del siglo XIII, mientras revisaba la teoría de Ibn al-Haytham.Libro de Óptica ( Kitab al-Manazir ) - fue indudablemente inspirado por fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson, que vivía en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la manifestación de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de J. Wallis y G. Saccheri sobre la teoría de las líneas paralelas ".

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Otras lecturas

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enlaces externos

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Recursos de la biblioteca sobre geometría

Recursos en su biblioteca

"Geometría"  . Encyclopædia Britannica . 11 (11ª ed.). 1911. págs. 675–736.

• Un curso de geometría de Wikiversity
• Problemas de geometría inusuales
• The Math Forum - Geometría
  • The Math Forum - Geometría K-12
  • The Math Forum - Geometría universitaria
  • The Math Forum - Geometría avanzada
• Precedencias de la naturaleza: geometría de clavijas y cuerdas en Stonehenge
• Atlas matemático : áreas geométricas de las matemáticas
• "4000 Years of Geometry" , conferencia de Robin Wilson impartida en Gresham College , 3 de octubre de 2007 (disponible para descarga MP3 y MP4, así como un archivo de texto)
  • Finitismo en geometría en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
• El depósito de chatarra de geometría
• Referencia de geometría interactiva con cientos de subprogramas
• Bocetos de geometría dinámica (con algunas exploraciones de los estudiantes)
• Clases de geometría en Khan Academy