Proporción áurea

Relación entre dos cantidades cuya suma está en la misma relación con la mayor

Este artículo trata sobre el número. Para el álbum Ace of Base, consulte The Golden Ratio (álbum) . Para conocer las fechas del calendario, consulte Número dorado (hora) .

Segmentos de línea en la proporción áurea

Un rectángulo de oro con el lado largo una y el lado corto b adyacente a un cuadrado con lados de longitud una produce una similares rectángulo de oro con lado largo a + b y el lado corto una . Esto ilustra la relación .${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi }$

En matemáticas , dos cantidades están en la proporción áurea si su proporción es la misma que la proporción entre su suma y la mayor de las dos cantidades. Expresado en forma algebraica, para cantidades de una y B con una  >  b  > 0,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi }$

donde la letra griega phi ( o ) representa la proporción áurea. ^{[1] [a]} Es un número irracional que es una solución a la ecuación cuadrática , con un valor de:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots }$^{[2] [3]}

La proporción áurea también se llama la media áurea o sección áurea ( latín : sectio aurea ). ^{[4] [5]} Otros nombres incluyen extrema y proporción media , ^[6] sección medial , divina proporción (latín: divina proportio ), ^[7] sección divina (latín: divina secció ), proporción de oro , corte de oro , ^[8] y número de oro . ^{[9] [10] [11]}

Los matemáticos desde Euclides han estudiado las propiedades de la proporción áurea, incluida su aparición en las dimensiones de un pentágono regular y en un rectángulo áureo , que se puede cortar en un cuadrado y un rectángulo más pequeño con la misma proporción . La proporción áurea también se ha utilizado para analizar las proporciones de objetos naturales, así como de sistemas creados por el hombre, como los mercados financieros , en algunos casos basados ​​en ajustes dudosos de los datos. ^[12] La proporción áurea aparece en algunos patrones de la naturaleza , incluida la disposición en espiral de las hojas y otras partes de la planta.

Algunos artistas y arquitectos del siglo XX , incluidos Le Corbusier y Salvador Dalí , han proporcionado sus obras para aproximarse a la proporción áurea, creyendo que esto es estéticamente agradable. A menudo aparecen en forma de rectángulo áureo , en el que la proporción del lado más largo al más corto es la proporción áurea.

Cálculo

Lista de números Numeros irracionales ζ (3) √ 2 √ 3 √ 5 φ mi π
Binario	1.1001111000110111011 ...
Decimal	1.6180339887498948482 ... [3]
Hexadecimal	1.9E3779B97F4A7C15F39 ...
Fracción continua	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$
Forma algebraica	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

La letra griega phi simboliza la proporción áurea. Por lo general, se usa la forma en minúsculas (φ o φ ). A veces, la forma mayúscula ( ) se usa para el recíproco de la proporción áurea, 1 / φ . ^[13]${\displaystyle \Phi }$

Dos cantidades a y b se dice que están en la proporción de oro φ si

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$^[1]

Un método para encontrar el valor de φ es comenzar con la fracción de la izquierda. Simplificando la fracción y sustituyendo en b / a = 1 / φ ,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Multiplicar por φ da

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

que se puede reorganizar para

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Usando la fórmula cuadrática , se obtienen dos soluciones:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\,033\,988\,7\dots }$ y ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618\,033\,988\,7\dots }$

Como φ es la relación entre cantidades positivas, φ es necesariamente positivo:

${\displaystyle \varphi =}$ 1.618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 818 902 449 707 207 204 189 391 1374 ....

Historia

Ver también: Matemáticas y arte y número de Fibonacci § Historia

Según Mario Livio ,

Algunas de las mentes matemáticas más grandes de todas las edades, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia , pasando por el matemático italiano medieval Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler , hasta figuras científicas actuales como el físico Roger Penrose de Oxford , han pasado horas interminables. sobre esta simple proporción y sus propiedades. ... Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han reflexionado y debatido las bases de su ubicuidad y atractivo. De hecho, probablemente sea justo decir que la Proporción Áurea ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas. ^[14]

-  La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo

Los matemáticos griegos antiguos estudiaron por primera vez lo que ahora llamamos la proporción áurea, debido a su frecuente aparición en geometría ; ^[15] la división de una línea en "proporción media y extrema" (la sección áurea) es importante en la geometría de pentagramas y pentágonos regulares . ^[16] Según una historia, el matemático Hippasus del siglo V a. C. descubrió que la proporción áurea no era ni un número entero ni una fracción (un número irracional ), lo que sorprendió a los pitagóricos . ^[17] Euclides 's Elementos ( c. 300 BC ) proporciona varias proposicionesy sus pruebas empleando la proporción áurea, ^{[18] [b]} y contiene su primera definición conocida que procede de la siguiente manera: ^[19]

Se dice que una línea recta se ha cortado en una proporción extrema y media cuando, como toda la línea corresponde al segmento mayor, lo mayor al menor. ^{[20] [c]}

Michael Maestlin , el primero en escribir una aproximación decimal de la razón

La proporción áurea se estudió periféricamente durante el próximo milenio. Abu Kamil (c. 850-930) lo empleó en sus cálculos geométricos de pentágonos y decágonos; sus escritos influyeron en los de Fibonacci (Leonardo de Pisa) (c. 1170-1250), quien usó la razón en problemas geométricos relacionados, aunque nunca la relacionó con la serie de números que lleva su nombre . ^[22]

Luca Pacioli nombró su libro Divina proporione ( 1509 ) después de la proporción y exploró sus propiedades, incluida su aparición en algunos de los sólidos platónicos . ^{[11] [23]} Leonardo da Vinci , quien ilustró el libro antes mencionado, llamó a la razón la sectio aurea ('sección áurea'). ^[24] Matemáticos del siglo XVI como Rafael Bombelli resolvieron problemas geométricos usando la razón. ^[25]

El matemático alemán Simon Jacob († 1564) señaló que los números de Fibonacci consecutivos convergen en la proporción áurea ; ^[26] esto fue redescubierto por Johannes Kepler en 1608. ^[27] La primera aproximación decimal conocida de la proporción áurea (inversa) fue declarada como "aproximadamente 0,6180340" en 1597 por Michael Maestlin de la Universidad de Tübingen en una carta a Kepler, su ex alumno. ^[28] El mismo año, Kepler le escribió a Maestlin sobre el triángulo de Kepler , que combina la proporción áurea con el teorema de Pitágoras . Kepler dijo de estos:

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras, el otro es la división de una línea en proporción media y extrema. El primero lo podemos comparar con una masa de oro, el segundo lo podemos llamar una joya preciosa. ^[7]

Los matemáticos del siglo XVIII Abraham de Moivre , Daniel Bernoulli y Leonhard Euler utilizaron una fórmula basada en la proporción áurea que encuentra el valor de un número de Fibonacci en función de su ubicación en la secuencia; en 1843, fue redescubierto por Jacques Philippe Marie Binet , para quien recibió el nombre de "fórmula de Binet". ^[29] Martin Ohm usó por primera vez el término alemán goldener Schnitt ('sección áurea') para describir la proporción en 1835. ^[30] James Sully usó el término inglés equivalente en 1875. ^[31]

En 1910, el matemático Mark Barr comenzó a usar la letra griega Phi ( φ ) como símbolo de la proporción áurea. ^{[32] [d]} También ha sido representada por tau ( τ ), la primera letra del griego antiguo τομή ('corte' o 'sección'). ^{[35] [36]}

Entre 1973 y 1974, Roger Penrose desarrolló el mosaico Penrose , un patrón relacionado con la proporción áurea tanto en la proporción de áreas de sus dos mosaicos rómbicos como en su frecuencia relativa dentro del patrón. ^[37] Esto llevó al descubrimiento de cuasicristales de Dan Shechtman a principios de la década de 1980 , ^{[38] [39]} algunos de los cuales exhiben simetría icosaédrica . ^{[40] [41]}

Aplicaciones y observaciones

Arquitectura

Más información: Matemáticas y arquitectura

El arquitecto suizo Le Corbusier , famoso por sus contribuciones al estilo internacional moderno , centró su filosofía de diseño en sistemas de armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y la serie de Fibonacci, que describió como "ritmos aparentes a la vista y claros en sus relaciones entre sí. Y estos ritmos están en la raíz misma de Actividades humanas. Resuenan en el hombre por una inevitabilidad orgánica, la misma fina inevitabilidad que provoca que los niños, los ancianos, los salvajes y los eruditos sigan el rastro de la Sección Áurea ". ^{[42] [43]}

Le Corbusier utilizó explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor para la escala de proporción arquitectónica . Vio este sistema como una continuación de la larga tradición de Vitruvio , el " Hombre de Vitruvio " de Leonardo da Vinci , la obra de Leon Battista Alberti y otros que utilizaron las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y función de la arquitectura .

Además de la proporción áurea, Le Corbusier basó el sistema en medidas humanas , números de Fibonacci y la unidad doble. Llevó la sugerencia de la proporción áurea en proporciones humanas al extremo: seccionó la altura de su cuerpo humano modelo en el ombligo con las dos secciones en proporción áurea, luego subdividió esas secciones en proporción áurea en las rodillas y la garganta; usó estas proporciones de proporción áurea en el sistema Modulor . La Villa Stein de 1927 de Le Corbusier en Garches ejemplificó la aplicación del sistema Modulor. La planta rectangular, la elevación y la estructura interior de la villa se aproximan mucho a los rectángulos dorados. ^[44]

Otro arquitecto suizo, Mario Botta , basa muchos de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas particulares que diseñó en Suiza se componen de cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que diseñó en Origlio , la proporción áurea es la proporción entre la sección central y las secciones laterales de la casa. ^[45]

Arte

Más información: Matemáticas y arte e Historia de la estética antes del siglo XX

Ilustración de Leonardo de un dodecaedro de la Divina proporione de Pacioli (1509)

La divina proporción ( proporción divina ), una obra en tres volúmenes por Luca Pacioli , fue publicado en 1509. Pacioli, un franciscano fraile , era conocido sobre todo como un matemático, sino que también fue entrenado y muy interesado en el arte. Divina provideione exploró las matemáticas de la proporción áurea. Aunque a menudo se dice que Pacioli defendía la aplicación de la proporción áurea para producir proporciones agradables y armoniosas, Livio señala que la interpretación se remonta a un error en 1799, y que Pacioli en realidad defendía elsistema de proporciones racionales de Vitruvio . ^[46] Pacioli también vio un significado religioso católico en la proporción, lo que llevó al título de su obra.

Las ilustraciones de Leonardo da Vinci de poliedros en Divina proporione ^[47] han llevado a algunos a especular que incorporó la proporción áurea en sus pinturas. Pero la sugerencia de que su Mona Lisa , por ejemplo, emplea proporciones áureas, no está respaldada por los propios escritos de Leonardo. ^[48] De manera similar, aunque el Hombre de Vitruvio se muestra a menudo en relación con la proporción áurea, las proporciones de la figura en realidad no coinciden con ella, y el texto solo menciona proporciones de números enteros. ^{[49] [50]}

Salvador Dalí , influenciado por las obras de Matila Ghyka , ^[51] utilizó explícitamente la proporción áurea en su obra maestra, El sacramento de la Última Cena . Las dimensiones del lienzo son un rectángulo dorado. Un enorme dodecaedro, en perspectiva, de modo que los bordes aparecen en proporción áurea entre sí, está suspendido por encima y detrás de Jesús y domina la composición. ^{[48] [52]}

Un estudio estadístico sobre 565 obras de arte de diferentes grandes pintores, realizado en 1999, encontró que estos artistas no habían utilizado la proporción áurea en el tamaño de sus lienzos. El estudio concluyó que la proporción promedio de los dos lados de las pinturas estudiadas es de 1,34, con promedios para artistas individuales que van desde 1,04 (Goya) a 1,46 (Bellini). ^[53] Por otro lado, Pablo Tosto enumeró más de 350 obras de artistas reconocidos, incluyendo más de 100 que tienen lienzos con rectángulo áureo y proporciones raíz-5, y otras con proporciones como raíz-2, 3, 4 y 6. ^[54]

Representación de las proporciones en un manuscrito medieval. Según Jan Tschichold : "Proporción de página 2: 3. Proporciones de margen 1: 1: 2: 3. Área de texto proporcionada en la Sección Áurea". ^[55]

Libros y diseño

Artículo principal: Cánones de construcción de páginas

Según Jan Tschichold ,

Hubo un tiempo en que las desviaciones de las proporciones de página verdaderamente hermosas 2: 3, 1: √3 y la Sección Dorada eran raras. Muchos libros producidos entre 1550 y 1770 muestran estas proporciones exactamente, con un margen de medio milímetro. ^[56]

Según algunas fuentes, la proporción áurea se utiliza en el diseño cotidiano, por ejemplo, en las proporciones de naipes, postales, carteles, placas de interruptores de luz y televisores de pantalla ancha. ^{[57] [58] [59] [60]}

Música

Ernő Lendvai analiza las obras de Béla Bartók como basadas en dos sistemas opuestos, el de la proporción áurea y la escala acústica , ^[61] aunque otros estudiosos de la música rechazan ese análisis. ^[62] El compositor francés Erik Satie utilizó la proporción áurea en varias de sus piezas, incluidas Sonneries de la Rose + Croix . El coeficiente de oro también es evidente en la organización de las secciones de la música de Debussy 's Reflets dans l'eau (reflejos en el agua) , a partir de Imágenes(1ª serie, 1905), en la que "la secuencia de teclas está marcada por los intervalos 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se sitúa en la posición phi". ^[63]

El musicólogo Roy Howat ha observado que los límites formales de La Mer de Debussy corresponden exactamente a la sección áurea. ^[64] Trezise encuentra la evidencia intrínseca "notable", pero advierte que ninguna evidencia escrita o reportada sugiere que Debussy buscó conscientemente tales proporciones. ^{[sesenta y cinco]}

Aunque Heinz Bohlen propuso la escala de 833 cents sin repetición de octava basada en tonos combinados , la afinación presenta relaciones basadas en la proporción áurea. Como intervalo musical, la proporción 1.618 ... es 833.090 ... centésimas ( Reproducir ( ayuda · info ) ). ^[66] 

Naturaleza

Detalle de la planta de platillo, Aeonium tabuliforme , que muestra la disposición en espiral múltiple ( parastichy )

Artículo principal: Patrones en la naturaleza.

Ver también: Número de Fibonacci § Naturaleza

Johannes Kepler escribió que "la imagen del hombre y la mujer proviene de la proporción divina. En mi opinión, la propagación de las plantas y los actos progenitores de los animales están en la misma proporción". ^[67]

El psicólogo Adolf Zeising notó que la proporción áurea apareció en la filotaxis y argumentó a partir de estos patrones en la naturaleza que la proporción áurea era una ley universal. ^{[68] [69]} Zeising escribió en 1854 sobre una ley ortogenética universal de "luchar por la belleza y la integridad en los reinos de la naturaleza y el arte". ^[70]

En 2010, la revista Science informó que la proporción áurea está presente a escala atómica en la resonancia magnética de los espines en los cristales de niobato de cobalto. ^[71]

Sin embargo, algunos han argumentado que muchas manifestaciones aparentes de la proporción áurea en la naturaleza, especialmente en lo que respecta a las dimensiones de los animales, son ficticias. ^[72]

Mejoramiento

La proporción áurea es clave para la búsqueda de la sección áurea .

Matemáticas

Irracionalidad

La proporción áurea es un número irracional . A continuación se presentan dos breves pruebas de irracionalidad:

Contradicción de una expresión en términos mínimos

Si φ fuera racional , entonces sería la razón de los lados de un rectángulo con lados enteros (el rectángulo que comprende todo el diagrama). Pero también sería una relación de los lados enteros del rectángulo más pequeño (la parte más a la derecha del diagrama) obtenida al eliminar un cuadrado. La secuencia de longitudes de lados de números enteros decrecientes formada al eliminar cuadrados no puede continuar indefinidamente porque los números enteros tienen un límite inferior, por lo que φ no puede ser racional.

Recordar que:

el conjunto es la parte más larga más la parte más corta;

el conjunto es para la parte más larga, mientras que la parte más larga es para la parte más corta.

Si llamamos a la n completa y la parte más larga m , entonces la segunda declaración anterior se convierte en

n es a m como m es a n  -  m ,

o, algebraicamente

${\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}$

Decir que la proporción de oro φ es medio racional que φ es una fracción n / m , donde n y m son números enteros. Podemos tomar n / m para estar en su mínima expresión y n y m a ser positivo. Pero si n / m está en términos más bajos, entonces la identidad etiquetada (*) arriba dice que m / ( n  -  m ) está en términos aún más bajos. Esa es una contradicción que se sigue del supuesto de que φ es racional.

Por irracionalidad de √ 5

Otra prueba breve —quizá más conocida— de la irracionalidad de la proporción áurea hace uso del cierre de los números racionales en la suma y la multiplicación. Si es racional, entonces también es racional, lo cual es una contradicción si ya se sabe que la raíz cuadrada de un número natural no cuadrado es irracional.${\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}}$

Polinomio mínimo

La proporción áurea también es un número algebraico e incluso un entero algebraico . Tiene polinomio mínimo

${\displaystyle x^{2}-x-1.}$

Al tener el grado 2, este polinomio en realidad tiene dos raíces, la otra es el conjugado de proporción áurea.

Conjugado de proporción áurea

La raíz conjugada al polinomio mínimo x ² - x - 1 es

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}$

El valor absoluto de esta cantidad (≈ 0,618) corresponde a la relación de longitud tomada en orden inverso (longitud de segmento más corta sobre longitud de segmento más largo, b / a ), y a veces se la denomina conjugado de proporción áurea ^[13] o proporción de plata . ^{[e] [73]} Aquí se denota con la mayúscula Phi ( ):${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}$

Alternativamente, se puede expresar como${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}$

Esto ilustra la propiedad única de la proporción áurea entre números positivos, que

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1,}$

o su inverso:

${\displaystyle {1 \over \Phi }=\Phi +1.}$

Esto significa 0,61803 ...: 1 = 1: 1,61803 ....

Formas alternativas

Aproximaciones a la proporción áurea recíproca por fracciones continuas finitas o proporciones de números de Fibonacci

La fórmula φ = 1 + 1 / φ se puede expandir de forma recursiva para obtener una fracción continua de la proporción áurea: ^[74]

${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

y su recíproco:

${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

Los convergentes de estas fracciones continuas (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ..., o 1/1, 1/2, 2/3, 3 / 5, 5/8, 8/13, ...) son proporciones de números de Fibonacci sucesivos .

La ecuación φ ² = 1 + φ igualmente produce la raíz cuadrada continua :

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}.}$

Se puede derivar una serie infinita para expresar φ : ^[75]

${\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}$

También:

${\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$

Estos corresponden al hecho de que la longitud de la diagonal de un pentágono regular es φ veces la longitud de su lado, y relaciones similares en un pentagrama .

Geometría

Espirales dorados aproximados y verdaderos . La espiral verde está formada por cuartos de círculo tangentes al interior de cada cuadrado, mientras que la espiral roja es una espiral dorada, un tipo especial de espiral logarítmica . Las porciones superpuestas aparecen amarillas . La longitud del lado de un cuadrado dividida por la del siguiente cuadrado más pequeño es la proporción áurea.

El número φ aparece con frecuencia en geometría , particularmente en figuras con simetría pentagonal . La longitud de la diagonal de un pentágono regular es φ veces su lado. Los vértices de un icosaedro regular son los de tres rectángulos áureos mutuamente ortogonales .

No existe un algoritmo general conocido para organizar un número dado de nodos de manera uniforme en una esfera, para cualquiera de las varias definiciones de distribución uniforme (ver, por ejemplo, el problema de Thomson ). Sin embargo, una aproximación útil resulta de dividir la esfera en bandas paralelas de igual área de superficie y colocar un nodo en cada banda en longitudes espaciadas por una sección dorada del círculo, es decir, 360 ° / φ ≅ 222.5 °. Este método se utilizó para disponer los 1500 espejos del satélite participativo estudiantil Starshine-3 . ^[76]

División de un segmento de línea por división interior

Dividir un segmento de línea por división interior según la proporción áurea

1. Teniendo un segmento de línea AB, construya un BC perpendicular en el punto B, con BC la mitad de la longitud de AB. Dibuja la hipotenusa AC.
2. Dibuja un arco con centro C y radio BC. Este arco se cruza con la hipotenusa AC en el punto D.
3. Dibuja un arco con centro A y radio AD. Este arco interseca el segmento de línea original AB en el punto S. El punto S divide el segmento de línea original AB en segmentos de línea AS y SB con longitudes en la proporción áurea.

División de un segmento de línea por división exterior

Dividir un segmento de línea por división exterior según la proporción áurea

1. Dibuje un segmento de línea AS y construya a partir del punto S un segmento SC perpendicular a AS y con la misma longitud que AS.
2. Biseca el segmento de línea AS con M.
3. Un arco circular alrededor de M con radio MC interseca en el punto B la línea recta que pasa por los puntos A y S (también conocida como la extensión de AS). La proporción de AS al segmento construido SB es la proporción áurea.

Los ejemplos de aplicación se pueden ver en los artículos Pentágono con una longitud de lado determinada , Decagon con circunferencia determinada y Decagon con una longitud de lado determinada .

Los dos algoritmos diferentes mostrados anteriormente producen construcciones geométricas que determinan dos segmentos de línea alineados donde la proporción del más largo al más corto es la proporción áurea.

Triángulo dorado, pentágono y pentagrama

Triángulo dorado . El ángulo de doble arco rojo es de 36 grados o radianes.${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$

Triangulo Dorado

El triángulo dorado se puede caracterizar como un triángulo isósceles ABC con la propiedad de que la bisección del ángulo C produce un nuevo triángulo CXB que es un triángulo similar al original.

Si el ángulo BCX = α, entonces XCA = α debido a la bisección y CAB = α debido a los triángulos similares; ABC = 2α de la simetría isósceles original y BXC = 2α por similitud. Los ángulos en un triángulo suman 180 °, entonces 5α = 180, dando α = 36 °. Entonces, los ángulos del triángulo dorado son 36 ° -72 ° -72 °. Los ángulos del triángulo isósceles obtuso restante AXC (a veces llamado gnomon dorado) son 36 ° -36 ° -108 °.

Supongamos que XB tiene una longitud de 1 y que llamamos a BC longitud φ . Debido a los triángulos isósceles XC = XA y BC = XC, estos también son de longitud φ. Longitud AC = AB, por lo tanto es igual a φ  + 1. Pero el triángulo ABC es similar al triángulo CXB, entonces AC / BC = BC / BX, AC / φ  = φ / 1, y entonces AC también es igual a φ ² . Por tanto, φ ² = φ + 1, lo que confirma que φ es de hecho la proporción áurea.

De manera similar, la razón entre el área del triángulo más grande AXC y el CXB más pequeño es igual a φ , mientras que la razón inversa es φ - 1.

Pentágono

En un pentágono regular, la proporción de una diagonal a un lado es la proporción áurea, mientras que las diagonales que se cruzan se seccionan entre sí en la proporción áurea. ^[11]

La construcción de Odom

Sean A y B los puntos medios de los lados EF y ED de un triángulo equilátero DEF. Extienda AB para encontrar la circunferencia de DEF en C.
${\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }$

George Odom ha dado una construcción notablemente simple para φ que involucra un triángulo equilátero: si un triángulo equilátero se inscribe en un círculo y el segmento de línea que une los puntos medios de dos lados se produce para intersecar el círculo en cualquiera de los dos puntos, entonces estos tres puntos están en proporción áurea. Este resultado es una consecuencia directa del teorema de los acordes que se cruzan y puede usarse para construir un pentágono regular, una construcción que atrajo la atención del célebre geómetra canadiense HSM Coxeter, quien lo publicó en nombre de Odom como un diagrama en el American Mathematical Monthly acompañado de la sola palabra "¡He aquí!" ^[77]

Pentagrama

Un pentagrama coloreado para distinguir sus segmentos de línea de diferentes longitudes. Las cuatro longitudes están en proporción áurea entre sí.

La proporción áurea juega un papel importante en la geometría de los pentagramas . Cada intersección de bordes secciona otros bordes en la proporción áurea. Además, la relación entre la longitud del segmento más corto y el segmento delimitado por los dos bordes que se cruzan (un lado del pentágono en el centro del pentagrama) es φ , como muestra la ilustración de cuatro colores.

El pentagrama incluye diez triángulos isósceles : cinco triángulos isósceles agudos y cinco obtusos . En todos ellos, la relación entre el lado más largo y el lado más corto es φ . Los triángulos agudos son triángulos dorados. Los triángulos obtusos isósceles son gnomones dorados.

Teorema de ptolomeo

La proporción áurea en un pentágono regular se puede calcular usando el teorema de Ptolomeo .

Las propiedades de proporción áurea de un pentágono regular se pueden confirmar aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero formado al eliminar uno de sus vértices. Si el borde largo y las diagonales del cuadrilátero son b , y los bordes cortos son a , entonces el teorema de Ptolomeo da b ²  =  a ²  +  ab, lo que produce

${\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

Escaledad de triángulos

Considere un triángulo con lados de longitudes a , b , y c en orden decreciente. Definir el "scalenity" del triángulo a ser la más pequeña de las dos relaciones de un / b y b / c . La escalabilidad es siempre menor que φ y se puede hacer tan cerca como se desee de φ . ^[78]

Triángulo cuyos lados forman una progresión geométrica

Si las longitudes de los lados de un triángulo forman una progresión geométrica y están en la razón 1: r  : r ² , donde r es la razón común, entonces r debe estar en el rango φ −1 < r < φ , que es una consecuencia de la desigualdad del triángulo (la suma de dos lados cualesquiera de un triángulo debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado). Si r = φ entonces los dos lados más cortos son 1 y φ pero su suma es φ ² , entonces r < φ . Un cálculo similar muestra quer > φ −1. Un triángulo cuyos lados están en la proporción 1: √ φ  : φ es un triángulo rectángulo (porque 1 + φ = φ ² ) conocido como triángulo de Kepler . ^[79]

Triacontaedro dorado, rombo y triacontaedro rómbico

Uno de los rombos del triacontaedro rómbico

Todas las caras del triacontaedro rómbico son rombos dorados.

Un rombo dorado es un rombo cuyas diagonales están en la proporción áurea. El triacontaedro rómbico es un politopo convexo que tiene una propiedad muy especial: todas sus caras son rombos dorados. En el triacontaedro rómbico, el ángulo diedro entre dos rombos adyacentes es 144 °, que es el doble del ángulo isósceles de un triángulo dorado y cuatro veces su ángulo más agudo. ^[80]

Relación con la secuencia de Fibonacci

Las matemáticas de la proporción áurea y de la secuencia de Fibonacci están íntimamente interconectadas. La secuencia de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Una expresión de forma cerrada para la secuencia de Fibonacci implica la proporción áurea:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}.}$

Una espiral de Fibonacci que se aproxima a la espiral dorada, usando la secuencia de Fibonacci de tamaños cuadrados hasta 34. La espiral se dibuja comenzando desde el cuadrado interno de 1 × 1 y continúa hacia afuera hasta los cuadrados sucesivamente más grandes.

La proporción áurea es el límite de las proporciones de términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci (o cualquier secuencia similar a Fibonacci), como lo muestra Kepler : ^[81]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$

En otras palabras, si un número de Fibonacci se divide por su predecesor inmediato en la secuencia, el cociente se aproxima a φ ; por ejemplo, 987/610  ≈  1,6180327868852. Estas aproximaciones son alternativamente más bajas y más altas que φ , y convergen a φ a medida que aumentan los números de Fibonacci, y:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}$

Más generalmente:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},}$

donde arriba, las proporciones de términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci, es un caso cuando ${\displaystyle a=1.}$

Además, los sucesivos poderes de φ obedecen a la recurrencia de Fibonacci :

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$

Esta identidad permite que cualquier polinomio en φ se reduzca a una expresión lineal. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\&=3[(\varphi +1)+\varphi ]-5(\varphi +1)+4\\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}}$

La reducción a una expresión lineal se puede lograr en un paso usando la relación

${\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}$

donde es el k- ésimo número de Fibonacci.${\displaystyle F_{k}}$

Sin embargo, esta no es una propiedad especial de φ , porque los polinomios en cualquier solución x a una ecuación cuadrática se pueden reducir de manera análoga, aplicando:

${\displaystyle x^{2}=ax+b}$

para coeficientes dados a , b tales que x satisface la ecuación. Incluso de manera más general, cualquier función racional (con coeficientes racionales) de la raíz de un polinomio de n -ésimo grado irreductible sobre los racionales puede reducirse a un polinomio de grado n - 1. Expresado en términos de teoría de campos , si α es una raíz de un polinomio irreductible de n -ésimo grado, luego tiene un grado n sobre , con base${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{1,\alpha ,\dots ,\alpha ^{n-1}\}.}$

Simetrías

La proporción áurea y la proporción áurea inversa tienen un conjunto de simetrías que las preservan e interrelacionan. Ambos se conservan mediante las transformaciones lineales fraccionarias ; este hecho corresponde a la identidad y la ecuación cuadrática de definición. Además, son intercambiados por los tres mapas : son recíprocos, simétricos en torno a 2 y (proyectivamente) simétricos en torno a 2.${\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}$${\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}$${\displaystyle 1/2}$

Más profundamente, estos mapas forman un subgrupo del grupo modular isomorfo al grupo simétrico en 3 letras, correspondiente al estabilizador del conjunto de 3 puntos estándar en la línea proyectiva , y las simetrías corresponden al mapa del cociente - el subgrupo que consiste en los 3 ciclos y la identidad fija los dos números, mientras que los 2 ciclos los intercambian, realizando así el mapa.${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle S_{3},}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle S_{3}\to S_{2}}$${\displaystyle C_{3}<S_{3}}$${\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}$

Otras propiedades

La proporción áurea tiene la expresión más simple (y la convergencia más lenta) como una expansión fraccionaria continua de cualquier número irracional (ver Formas alternativas arriba). Es, por esa razón, uno de los peores casos del teorema de aproximación de Lagrange y es un caso extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas . Esta puede ser la razón por la que los ángulos cercanos a la proporción áurea a menudo aparecen en la filotaxis (el crecimiento de las plantas). ^[82]

El polinomio cuadrático definitorio y la relación conjugada conducen a valores decimales que tienen su parte fraccionaria en común con φ :

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2.618\dots }$

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1=0.618\dots .}$

La secuencia de potencias de φ contiene estos valores 0.618 ..., 1.0, 1.618 ..., 2.618 ...; de manera más general, cualquier potencia de φ es igual a la suma de las dos potencias inmediatamente precedentes:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$

Como resultado, se puede descomponer fácilmente cualquier potencia de φ en un múltiplo de φ y una constante. El múltiplo y la constante son siempre números de Fibonacci adyacentes. Esto conduce a otra propiedad de los poderes positivos de φ :

Si , entonces:${\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}$

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}}$

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}=\varphi ^{n-2}.}$

Cuando la proporción áurea se usa como la base de un sistema numérico (consulte la base de proporción áurea , a veces denominada finaria o φ -naria ), cada entero tiene una representación de terminación, a pesar de que φ es irracional, pero cada fracción tiene una representación no terminante.

La proporción áurea es una unidad fundamental del campo numérico algebraico y es un número de Pisot-Vijayaraghavan . ^[83] En el campo tenemos , donde está el -ésimo número de Lucas .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n}$

La proporción áurea también aparece en geometría hiperbólica , como la distancia máxima desde un punto en un lado de un triángulo ideal al más cercano de los otros dos lados: esta distancia, la longitud del lado del triángulo equilátero formado por los puntos de tangencia de un triángulo. círculo inscrito dentro del triángulo ideal, es . ^[84]${\displaystyle 4\log(\varphi )}$

La proporción áurea también aparece en la teoría de funciones modulares . Dejar

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}$

Entonces

${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi {\sqrt {5}}})={\frac {\sqrt {5}}{1+\left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}$

También si y , entonces ^[85]${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}$

Expansión decimal

La expansión decimal de la proporción áurea se puede calcular directamente a partir de la expresión

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

con √ 5 ≈ 2,2360679774997896964 OEIS :  A002163 . La raíz cuadrada de 5 se puede calcular con el método babilónico , comenzando con una estimación inicial como x φ = 2 e iterando

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}}$

para n = 1, 2, 3, ..., hasta que la diferencia entre x _n y x _{n −1 se} convierta en cero, hasta el número deseado de dígitos.

El algoritmo babilónico para √ 5 es equivalente al método de Newton para resolver la ecuación x ²  - 5 = 0. En su forma más general, el método de Newton se puede aplicar directamente a cualquier ecuación algebraica , incluida la ecuación x ²  - x - 1 = 0 que define la proporción áurea. Esto da una iteración que converge a la proporción áurea en sí,

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}$

para una estimación inicial apropiada x φ como x φ = 1. Un método un poco más rápido es reescribir la ecuación como x  - 1 - 1 / x = 0, en cuyo caso la iteración de Newton se convierte en

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}$

Todas estas iteraciones convergen cuadráticamente ; es decir, cada paso duplica aproximadamente el número de dígitos correctos. Por tanto, la proporción áurea es relativamente fácil de calcular con precisión arbitraria . El tiempo necesario para calcular n dígitos de la proporción áurea es proporcional al tiempo necesario para dividir dos números de n dígitos. Esto es considerablemente más rápido que los algoritmos conocidos para los números trascendentales π y e .

Una alternativa fácil de programar usando solo aritmética de enteros es calcular dos grandes números de Fibonacci consecutivos y dividirlos. La proporción de los números de Fibonacci F ₂₅₀₀₁ y F ₂₅₀₀₀ , cada uno de más de 5000 dígitos, arroja más de 10,000 dígitos significativos de la proporción áurea.

La expansión decimal de la proporción áurea φ ^[3] se ha calculado con una precisión de dos billones (2 × 10 ¹² = 2,000,000,000,000) dígitos. ^[86]

Pirámides

Más información: Matemáticas y arte

Una pirámide cuadrada regular está determinada por su triángulo rectángulo medial, cuyos bordes son la apotema (a), la semi-base (b) y la altura (h) de la pirámide; también se marca el ángulo de inclinación de la cara. Las proporciones matemáticas b: h: a de y y son de particular interés en relación con las pirámides egipcias.${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$${\displaystyle 3:4:5}$${\displaystyle 1:4/\pi :1.61899}$

Tanto las pirámides egipcias como las pirámides cuadradas regulares que se asemejan a ellas se pueden analizar con respecto a la proporción áurea y otras proporciones.

Pirámides matemáticas

Una pirámide en la que la apotema (altura inclinada a lo largo de la bisectriz de una cara) es igual a φ veces la semibase ( la mitad del ancho de la base) a veces se denomina pirámide dorada . El triángulo isósceles que es la cara de dicha pirámide se puede construir a partir de las dos mitades de un rectángulo dorado dividido en diagonal (de tamaño semi-base por apotema), uniendo los bordes de longitud media para hacer la apotema. La altura de esta pirámide es multiplicada por la semi-base (es decir, la pendiente de la cara es ); el cuadrado de la altura es igual al área de una cara, φ veces el cuadrado de la semi-base.${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$

El triángulo rectángulo medial de esta pirámide "dorada" (ver diagrama), con lados es interesante por derecho propio, demostrando a través del teorema de Pitágoras la relación o . Este triángulo de Kepler ^[87] es la única proporción de triángulo rectángulo con longitudes de aristas en progresión geométrica , ^{[88] [79]} al igual que el triángulo 3–4–5 es la única proporción de triángulos rectángulos con longitudes de aristas en progresión aritmética . El ángulo con tangente corresponde al ángulo que forma el lado de la pirámide con respecto al suelo, 51,827 ... grados (51 ° 49 '38 "). ^[89]${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}={\sqrt {\varphi ^{2}-1}}}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$

Una forma de pirámide casi similar, pero con proporciones racionales, se describe en el Papiro Matemático Rhind (la fuente de una gran parte del conocimiento moderno de las matemáticas del antiguo Egipto ), basado en el triángulo 3: 4: 5; ^[90] la pendiente de la cara correspondiente al ángulo con tangente 4/3 es, con dos decimales, 53,13 grados (53 grados y 8 minutos). La altura inclinada o apotema es 5/3 o 1,666 ... veces la semibase. El papiro de Rhind también tiene otro problema de pirámide, nuevamente con pendiente racional (expresada como atropello). Las matemáticas egipcias no incluían la noción de números irracionales, ^[91]y la pendiente inversa racional (carrera / subida, multiplicada por un factor de 7 para convertir a sus unidades convencionales de palmas por codo) se utilizó en la construcción de pirámides. ^[90]

Otra pirámide matemática con proporciones casi idénticas a la "dorada" es la que tiene un perímetro igual a 2 π por la altura, o h: b = 4: π . Este triángulo tiene un ángulo de cara de 51,854 ° (51 ° 51 '), muy cercano a los 51,827 ° del triángulo de Kepler. Esta relación piramidal corresponde a la relación coincidente .${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}\approx 4/\pi }$

Se conocen pirámides egipcias muy próximas en proporción a estas pirámides matemáticas. ^{[92] [79]}

Pirámides egipcias

La Gran Pirámide de Giza

Una pirámide egipcia que está cerca de una "pirámide dorada" es la Gran Pirámide de Giza (también conocida como la Pirámide de Keops o Keops). Su pendiente de 51 ° 52 'está cerca de la inclinación de la pirámide "dorada" de 51 ° 50', e incluso más cercana a la inclinación de la pirámide basada en π de 51 ° 51 '. Sin embargo, se ha descubierto que varias otras teorías matemáticas de la forma de la gran pirámide, basadas en pendientes racionales, son explicaciones más precisas y plausibles de la pendiente de 51 ° 52 '. ^[79]

A mediados del siglo XIX, Friedrich Röber estudió varias pirámides egipcias, incluidas las de Khafre , Menkaure y algunos de los grupos de Giza , Saqqara y Abusir . No aplicó la proporción áurea a la Gran Pirámide de Giza, sino que estuvo de acuerdo con John Shae Perring en que su proporción de lado a altura es de 8: 5. Para todas las demás pirámides, aplicó medidas relacionadas con el triángulo de Kepler y afirmó que la longitud total o de la mitad de los lados está relacionada con sus alturas por la proporción áurea. ^[93]

En 1859, el piramidólogo John Taylor malinterpretó a Herodoto ( c. 440 a. C. ) como indicando que la altura al cuadrado de la Gran Pirámide es igual al área de uno de sus triángulos faciales. ^[f] Esto llevó a Taylor a afirmar que, en la Gran Pirámide, la proporción áurea está representada por la proporción entre la longitud de la cara (la altura de la pendiente, inclinada en un ángulo θ con respecto al suelo) y la mitad de la longitud del lado de la base cuadrada (equivalente a la secante del ángulo θ). ^[95] Las dos longitudes anteriores son aproximadamente 186,4 metros (612 pies) y 115,2 metros (378 pies), respectivamente. ^[94]La proporción de estas longitudes es la proporción áurea, con una precisión de más dígitos que cualquiera de las medidas originales. De manera similar, Howard Vyse informó que la gran altura de la pirámide es de 148,2 metros (486 pies) y la media base de 116,4 metros (382 pies), lo que arroja 1,6189 para la relación entre la altura inclinada y la media base, de nuevo más precisa que la variabilidad de los datos. ^[88]

Eric Temple Bell , matemático e historiador, afirmó en 1950 que las matemáticas egipcias no habrían apoyado la capacidad de calcular la altura inclinada de las pirámides, o la relación a la altura, excepto en el caso de la pirámide 3: 4: 5, ya que el triángulo 3: 4: 5 era el único triángulo rectángulo conocido por los egipcios y no conocían el teorema de Pitágoras, ni ninguna forma de razonar sobre irracionales como π o φ . ^[96] Ejemplos de problemas geométricos de diseño de pirámides en el papiro de Rhind corresponden a varias pendientes racionales. ^[79]

Michael Rice ^[97] afirma que las principales autoridades en la historia de la arquitectura egipcia han argumentado que los egipcios conocían bien la proporción áurea y que es parte de las matemáticas de las pirámides, citando a Giedon (1957). ^{[98] Los} historiadores de la ciencia han debatido durante mucho tiempo si los egipcios tenían tal conocimiento, afirmando que su aparición en la Gran Pirámide es el resultado de la casualidad. ^[99]

Observaciones controvertidas

Ejemplos de observaciones controvertidas de la proporción áurea incluyen los siguientes:

A menudo se afirma erróneamente que las conchas de Nautilus tienen proporciones áureas.

• Algunas proporciones específicas en los cuerpos de muchos animales (incluidos los humanos) ^{[100] [101]} y partes de las conchas de los moluscos ^{[5] a} menudo se afirma que están en la proporción áurea. Sin embargo, existe una gran variación en las medidas reales de estos elementos en individuos específicos, y la proporción en cuestión es a menudo significativamente diferente de la proporción áurea. ^[100] Se ha dicho que la proporción de huesos sucesivos de la falange de los dedos y el hueso metacarpiano se aproxima a la proporción áurea. ^[101] La concha de nautilus , cuya construcción procede en una espiral logarítmica., se cita a menudo, generalmente con la idea de que cualquier espiral logarítmica está relacionada con la proporción áurea, pero a veces con la afirmación de que cada nueva cámara tiene una proporción áurea en relación con la anterior. ^[102] Sin embargo, las medidas de las conchas de nautilus no respaldan esta afirmación. ^[103]
• El historiador John Man afirma que tanto las páginas como el área de texto de la Biblia de Gutenberg estaban "basadas en la forma de la sección dorada". Sin embargo, según sus propias medidas, la relación entre el alto y el ancho de las páginas es de 1,45. ^[104]
• Estudios de psicólogos, comenzando por Gustav Fechner c. 1876, ^[105] han sido ideados para probar la idea de que la proporción áurea juega un papel en la percepción humana de la belleza . Si bien Fechner encontró una preferencia por las proporciones rectangulares centradas en la proporción áurea, los intentos posteriores de probar cuidadosamente tal hipótesis no han sido, en el mejor de los casos, concluyentes. ^{[106] [48]}
• Al invertir, algunos profesionales del análisis técnico utilizan la proporción áurea para indicar el apoyo de un nivel de precios, o la resistencia a los aumentos de precios, de una acción o un producto básico; después de cambios significativos en el precio hacia arriba o hacia abajo, supuestamente se encuentran nuevos niveles de soporte y resistencia en o cerca de los precios relacionados con el precio inicial a través de la proporción áurea. ^[107] El uso de la proporción áurea en la inversión también está relacionado con patrones más complicados descritos por los números de Fibonacci (por ejemplo, el principio de onda de Elliott y el retroceso de Fibonacci ). Sin embargo, otros analistas de mercado han publicado análisis que sugieren que estos porcentajes y patrones no están respaldados por los datos. ^[108]

El Partenón

Se alega que muchas de las proporciones del Partenón exhiben la proporción áurea, pero esto ha sido desacreditado en gran medida. ^[109]

El Parthenon 's fachada (c. 432 BC), así como elementos de la fachada y en otros lugares se dice por algunos como circunscrito por rectángulos de oro. ^[110] Otros estudiosos niegan que los griegos tuvieran alguna asociación estética con la proporción áurea. Por ejemplo, Keith Devlin dice: "Ciertamente, la afirmación a menudo repetida de que el Partenón de Atenas se basa en la proporción áurea no está respaldada por medidas reales. De hecho, toda la historia sobre los griegos y la proporción áurea parece carecer de fundamento. " ^[111] Midhat J. Gazalé afirma que "No fue hasta Euclides ... que se estudiaron las propiedades matemáticas de la proporción áurea". ^[112]

A partir de las medidas de 15 templos, 18 tumbas monumentales, 8 sarcófagos y 58 estelas de tumbas desde el siglo V a. C. hasta el siglo II d. C., un investigador concluyó que la proporción áurea estaba totalmente ausente en la arquitectura griega del siglo V a. ausente durante los siguientes seis siglos. ^[113] Fuentes posteriores como Vitruvio (siglo I a. C.) discuten exclusivamente proporciones que pueden expresarse en números enteros, es decir, proporciones proporcionales en oposición a proporciones irracionales.

Arte Moderno

Albert Gleizes , Les Baigneuses (1912)

La Section d'Or ('Sección áurea') fue un colectivo de pintores , escultores, poetas y críticos asociados con el cubismo y el orfismo . ^[114] Activo desde 1911 hasta alrededor de 1914, adoptaron el nombre tanto para resaltar que el cubismo representaba la continuación de una gran tradición, en lugar de ser un movimiento aislado, como en homenaje a la armonía matemática asociada con Georges Seurat . ^[115] Los cubistas observaron en sus armonías, la estructuración geométrica del movimiento y la forma, la primacía de la idea sobre la naturaleza, una absoluta claridad científica de concepción. ^[116]Sin embargo, a pesar de este interés general en la armonía matemática, es más difícil determinar si las pinturas que aparecen en el célebre Salón de la Sección de Oro de 1912 utilizaron la proporción áurea en alguna composición. Livio, por ejemplo, afirma que no, ^[117] y Marcel Duchamp dijo lo mismo en una entrevista. ^[118] Por otro lado, un análisis sugiere que Juan Gris hizo uso de la proporción áurea para componer obras que probablemente, pero no definitivamente, se mostraron en la exposición. ^{[118] [119] [120]} Historiador del arte Daniel Robbinsha argumentado que, además de hacer referencia al término matemático, el nombre de la exposición también se refiere al grupo anterior Bandeaux d'Or , con el que participaron Albert Gleizes y otros ex miembros de la Abbaye de Créteil . ^[121]

Se ha dicho que Piet Mondrian utilizó ampliamente la sección áurea en sus pinturas geométricas, ^[122] aunque otros expertos (incluido el crítico Yve-Alain Bois ) han desacreditado estas afirmaciones. ^{[48] [123]}

Ver también

• Ángulo dorado
• Lista de obras diseñadas con la proporción áurea
• Media metálica
• Número de plástico
• Geometría sagrada
• Proporción superdorada

Referencias

Notas explicativas a pie de página

1. Si se la restricción de que ayb sea mayor que cero, entonces en realidad hay dos soluciones, una positiva y otra negativa, para esta ecuación. ϕ se define como la solución positiva. La solución negativa se puede escribir como. La suma de las dos soluciones es uno y el producto de las dos soluciones es uno negativo.${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$
2. Euclides, Elementos , Libro II, Proposición 11; Libro IV, Proposiciones 10-11; Libro VI, Proposición 30; Libro XIII, Proposiciones 1 a 6, 8 a 11, 16 a 18.
3. "῎Ακρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸρεμα, οὕτως τὸρεταν πρὕ. ^[21]
4. Según el escultor griego clásico Fidias (c. 490–430 a. C.); ^[33] Barr escribió más tarde que pensaba que era poco probable que Fidias realmente usara la proporción áurea. ^[34]
5. No debe confundirse con la media de plata , también conocida como proporción de plata .
6. Taylor tradujo Herodoto: "esta pirámide, que tiene cuatro lados, cada cara tiene, en cada lado, 8 pletra , y la altura es igual". Interpretó esto con imaginación, y en 1860, John Herschel fue el primero de muchos autores en repetir su falsa afirmación. En 2000, Roger Herz-Fischler rastreó el error hasta Taylor. ^[94]

Citas

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Trabajos citados

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Otras lecturas

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la proporción áurea .

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• El mito que no desaparecerá , de Keith Devlin , que aborda múltiples acusaciones sobre el uso de la proporción áurea en la cultura.