Gráfica de una función

Representation of a function as the set of pairs (x, f(x))

Para obtener una representación gráfica, consulte Trazado (gráficos) . Para la estructura combinatoria, vea Graph (matemáticas discretas) . Para la representación de la teoría gráfica de una función de un conjunto a sí misma, consulte Gráfico funcional .

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Gráfica de la función f ( x ) = x ³ - 9 x

En matemáticas , la gráfica de una función f es el conjunto de pares ordenados ( x , y ) , donde f ( x ) = y . En el caso común donde x y f ( x ) son números reales , estos pares son las coordenadas cartesianas de puntos en el espacio de dos dimensiones y por lo tanto forman un subconjunto de este plano.

En el caso de funciones de dos variables, es decir, funciones cuyo dominio consta de pares ( x , y ) , la gráfica generalmente se refiere al conjunto de triples ordenados ( x , y , z ) donde f ( x , y ) = z , en lugar de los pares (( x , y ), z ) como en la definición anterior. Este conjunto es un subconjunto del espacio tridimensional ; para una función continua de valor real de dos variables reales, es una superficie.

La gráfica de una función es un caso especial de relación .

En ciencia , ingeniería , tecnología , finanzas y otras áreas, los gráficos son herramientas que se utilizan para muchos propósitos. En el caso más simple, una variable se traza en función de otra, por lo general utilizando ejes rectangulares ; consulte Trazado (gráficos) para obtener más detalles.

En los fundamentos modernos de las matemáticas y, típicamente, en la teoría de conjuntos , una función es en realidad igual a su gráfica. ^[1] Sin embargo, a menudo es útil ver las funciones como asignaciones , ^[2] que consisten no sólo en la relación entre entrada y salida, sino también qué conjunto es el dominio y qué conjunto es el codominio . Por ejemplo, para decir que una función es sobre ( sobreyectiva ) o no, se debe tener en cuenta el codominio. El gráfico de una función por sí solo no determina el codominio. Es común ^[3] usar ambos términos función y gráfica de una función ya que incluso si se consideran el mismo objeto, indican verlo desde una perspectiva diferente.

Gráfica de la función f ( x ) = x ⁴ - 4 ^x sobre el intervalo [−2, + 3]. También se muestran las dos raíces reales y el mínimo local que están en el intervalo.

Definición

Dado un mapeo , en otras palabras una función junto con su dominio y codominio , el gráfico del mapeo es ^[4] el conjunto ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x))\mid x\in X\}}$,

que es un subconjunto de . En la definición abstracta de una función, en realidad es igual a .${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle f}$

Se puede observar que, si ,, entonces el gráfico es un subconjunto de (estrictamente hablando lo es , pero se puede incrustar con el isomorfismo natural).${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle G(f)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}}$

Ejemplos

Funciones de una variable

Gráfica de la función f ( x , y ) = sin ( x ² ) · cos ( y ² ) .

La gráfica de la función definida por${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$

es el subconjunto del conjunto ${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.\,}$

A partir del gráfico, el dominio se recupera como el conjunto del primer componente de cada par en el gráfico . De manera similar, el rango se puede recuperar como . Sin embargo, el codominio no se puede determinar solo a partir del gráfico.${\displaystyle \{1,2,3\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ {\text{there exists }}y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:{\text{there exists }}x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

La gráfica del polinomio cúbico en la recta real.

${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x\,}$

es

${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.\,}$

Si este conjunto se traza en un plano cartesiano , el resultado es una curva (ver figura).

Funciones de dos variables

Trace la gráfica de f ( x , y ) = - (cos ( x ² ) + cos ( y ² )) ² , mostrando también su gradiente proyectado en el plano inferior.

La gráfica de la función trigonométrica

${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})\,}$

es

${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$

Si este conjunto se traza en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional , el resultado es una superficie (ver figura).

A menudo es útil mostrar con el gráfico, el gradiente de la función y varias curvas de nivel. Las curvas de nivel se pueden mapear en la superficie funcional o se pueden proyectar en el plano inferior. La segunda figura muestra un dibujo de la gráfica de la función:

${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}\,}$

Generalizaciones

La gráfica de una función está contenida en un producto cartesiano de conjuntos. Un plano X – Y es un producto cartesiano de dos líneas, llamadas X e Y, mientras que un cilindro es un producto cartesiano de una línea y un círculo, cuya altura, radio y ángulo asignan ubicaciones precisas de los puntos. Los haces de fibras no son productos cartesianos, pero parecen estar de cerca. Existe una noción correspondiente de un gráfico en un haz de fibras llamado sección .

Ver también

• Asíntota
• Gráfico
• Función cóncava
• Función convexa
• Dibujo de contorno
• Punto crítico
• Derivado
• Epígrafe
• Normal a un gráfico
• Pendiente
• Punto estacionario
• Tetraview
• Traslación vertical
• intersección con el eje y

Referencias

1. Charles C Pinter (2014) [1971]. Un libro de teoría de conjuntos . Publicaciones de Dover. pag. 49. ISBN 978-0-486-79549-2.
2. TM Apostol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pag. 35.
3. PR Halmos (1982). Un libro de problemas espaciales de Hilbert . Springer-Verlag. pag. 31 . ISBN 0-387-90685-1.
4. Puentes de DS (1991). Fundamentos del análisis real y abstracto . Saltador. pag. 285 . ISBN 0-387-98239-6.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con diagramas de funciones .

• Weisstein, Eric W. " Gráfico de funciones ". De MathWorld — Un recurso web de Wolfram.