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Un gran círculo divide la esfera en dos hemisferios iguales.

Un gran círculo , también conocido como ortodromo , de una esfera es la intersección de la esfera y un plano que pasa por el punto central de la esfera. Un círculo máximo es el círculo más grande que se puede dibujar en una esfera determinada. Cualquier diámetro de cualquier gran círculo coincide con un diámetro de la esfera y, por lo tanto, todos los grandes círculos tienen el mismo centro y circunferencia entre sí. Este caso especial de un círculo de una esfera está en oposición a un círculo pequeño , es decir, la intersección de la esfera y un plano que no pasa por el centro. Cada círculo enEl espacio tridimensional euclidiano es un gran círculo de exactamente una esfera.

Para la mayoría de los pares de puntos distintos en la superficie de una esfera, existe un gran círculo único a través de los dos puntos. La excepción es un par de puntos antípodas , para los cuales hay infinitos círculos grandes. El arco menor de un gran círculo entre dos puntos es el camino de superficie más corto entre ellos. En este sentido, el arco menor es análogo a las "líneas rectas" en la geometría euclidiana . La longitud del arco menor de un gran círculo se toma como la distancia entre dos puntos en la superficie de una esfera en la geometría de Riemann, donde tales grandes círculos se denominan círculos de Riemann . Estos grandes círculos son las geodésicas de la esfera.

El disco delimitado por un gran círculo se llama gran disco : es la intersección de una bola y un plano que pasa por su centro. En dimensiones superiores, los grandes círculos en la n -esfera son la intersección de la n -esfera con 2-planos que pasan por el origen en el espacio euclidiano R n + 1 .

Derivación de caminos más cortos [ editar ]

Para probar que el arco menor de un gran círculo es el camino más corto que conecta dos puntos en la superficie de una esfera, se le puede aplicar el cálculo de variaciones .

Considere la clase de todas las rutas regulares de un punto a otro . Introduce coordenadas esféricas para que coincidan con el polo norte. Cualquier curva en la esfera que no interseque ninguno de los polos, excepto posiblemente en los extremos, puede parametrizarse mediante

siempre que permitamos tomar valores reales arbitrarios. La longitud del arco infinitesimal en estas coordenadas es

Entonces, la longitud de una curva de a es una función de la curva dada por

Según la ecuación de Euler-Lagrange , se minimiza si y solo si

,

donde es una constante independiente, y

De la primera ecuación de estas dos, se puede obtener que

.

Integrando ambos lados y considerando la condición de contorno, la solución real de es cero. Por lo tanto, y puede ser cualquier valor entre 0 y , lo que indica que la curva debe estar en un meridiano de la esfera. En coordenadas cartesianas, esto es

que es un plano que pasa por el origen, es decir, el centro de la esfera.

Aplicaciones [ editar ]

Algunos ejemplos de grandes círculos en la esfera celeste incluyen el horizonte celeste , el ecuador celeste y la eclíptica . Los grandes círculos también se utilizan como aproximaciones bastante precisas de geodésicas en la superficie de la Tierra para la navegación aérea o marítima (aunque no es una esfera perfecta ), así como en cuerpos celestes esferoidales .

El ecuador de la tierra idealizada es un gran círculo y cualquier meridiano y su meridiano opuesto forman un gran círculo. Otro gran círculo es el que divide los hemisferios de tierra y agua . Un gran círculo divide la tierra en dos hemisferios y si un gran círculo pasa por un punto, debe pasar por su punto antípoda .

La transformación Funk integra una función a lo largo de todos los grandes círculos de la esfera.

Ver también [ editar ]

  • Distancia del gran círculo
  • Navegación de gran círculo
  • Línea de rumbo

Enlaces externos [ editar ]

  • Great Circle: de la descripción, figuras y ecuaciones de MathWorld Great Circle. Mathworld, Wolfram Research, Inc. c1999
  • Great Circles on Mercator's Chart por John Snyder con contribuciones adicionales de Jeff Bryant, Pratik Desai y Carl Woll, Wolfram Demonstrations Project .
  • Documento sobre algoritmos de navegación : las travesías.
  • Chart Work - Algoritmos de navegación Chart Work software gratuito: Línea de rumbo, Gran círculo, Navegación compuesta, Partes meridionales. Líneas de posición Pilotaje - corrientes y arreglos costeros.