En matemáticas , especialmente en la teoría del orden , el elemento más grande de un subconjuntode un conjunto parcialmente ordenado (poset) es un elemento de que es mayor que cualquier otro elemento de . El término elemento mínimo se define dualmente , es decir, es un elemento de que es más pequeño que cualquier otro elemento de
Definiciones
Dejar ser un conjunto preordenado y dejar Un elemento se dice que es un elemento mayor de Si y si además satisface:
- para todos
Mediante el uso en vez de en la definición anterior, la definición de un elemento mínimo de es obtenido. Explícitamente, un elementose dice que es un elemento mínimo de Si y si además satisface:
- para todos
Si es un conjunto parcialmente ordenado, entoncespuede tener como máximo un elemento mayor y puede tener como máximo un elemento mínimo. Siempre que un elemento más grande deexiste y es único, entonces este elemento se llama el elemento más grande de. La terminología el elemento menor de se define de manera similar.
Si tiene un elemento más grande (resp. un elemento mínimo) entonces este elemento también se llama una parte superior (resp. una parte inferior ) de
Relación con los límites superior / inferior
Los elementos más grandes están estrechamente relacionados con los límites superiores .
Dejar ser un conjunto preordenado y dejarUn límite superior de en es un elemento tal que y para todos Es importante destacar que un límite superior de en no es necesario que sea un elemento de
Si luego es un elemento más grande de si y solo si es un límite superior de en y En particular, cualquier elemento mayor de es también un límite superior de (en ) pero un límite superior de en es un elemento más grande de si y solo si pertenece a En el caso particular donde la definición de " es un límite superior de en "se convierte en: es un elemento tal que y para todos que es completamente idéntica a la definición de un elemento mayor dada anteriormente. Por lo tanto es un elemento más grande de si y solo si es un límite superior de en .
Si es un límite superior de en que no es un límite superior de en (lo que puede suceder si y solo si ) luego no puede ser un elemento mayor de(Sin embargo, es posible que algún otro elemento sea un elemento mayor de). En particular, es posiblesimultáneamente no tener un elemento más grande y que exista algún límite superior de en .
Incluso si un conjunto tiene algunos límites superiores, no es necesario que tenga un elemento mayor, como se muestra en el ejemplo de los números reales negativos . Este ejemplo también demuestra que la existencia de un límite superior mínimo (el número 0 en este caso) tampoco implica la existencia de un elemento mayor.
Contraste con elementos máximos y máximos locales / absolutos
Un elemento mayor de un subconjunto de un conjunto preordenado no debe confundirse con un elemento máximo del conjunto, que son elementos que no son estrictamente más pequeños que cualquier otro elemento del conjunto.
Dejar ser un conjunto preordenado y dejar Un elemento se dice que es un elemento máximo de si se cumple la siguiente condición:
- cuando sea satisface entonces necesariamente
Si es un conjunto parcialmente ordenado, entonces es un elemento máximo de si y solo si no existe tal que y Un elemento máximo de se define como un elemento máximo del subconjunto
Un conjunto puede tener varios elementos máximos sin tener un elemento mayor. Al igual que los límites superiores y los elementos máximos, los elementos mayores pueden no existir.
En un conjunto totalmente ordenado, el elemento máximo y el elemento mayor coinciden; y también se le llama máximo ; en el caso de valores de función también se le llama máximo absoluto , para evitar confusiones con un máximo local . [1] Los términos duales son mínimo y mínimo absoluto . Juntos se denominan extremos absolutos . Conclusiones similares son válidas para los elementos mínimos.
- Papel de la (in) comparabilidad en la distinción de elementos máximos frente a elementos máximos
Una de las diferencias más importantes entre un elemento más grande y un elemento máximo de un set pre-pedido tiene que ver con qué elementos son comparables. Dos elementosse dice que son comparables si o ; se les llama incomparables si no son comparables. Porque los pedidos anticipados son reflexivos (lo que significa que es cierto para todos los elementos ), cada elemento siempre es comparable a sí mismo. En consecuencia, los únicos pares de elementos que posiblemente podrían ser incomparables son pares distintos . Sin embargo, en general, los conjuntos preordenados (e incluso los conjuntos parcialmente ordenados dirigidos ) pueden tener elementos que son incomparables.
Por definición, un elemento es un elemento más grande de Si para cada ; así que por su propia definición, un elemento más grande dedebe ser, en particular, comparable a todos los elementos enEsto no se requiere de elementos máximos. Elementos máximos deson no requiere que sea comparable a cada elemento enEsto se debe a que, a diferencia de la definición de "elemento máximo", la definición de "elemento máximo" incluye una declaración if importante . La condición definitoria para ser un elemento máximo de se puede reformular como:
- Para todos SI (por lo que elementos que son incomparables a son ignorados) entonces
- Ejemplo donde todos los elementos son máximos pero ninguno es mayor
Suponer que es un conjunto que contiene al menos dos elementos (distintos) y define un orden parcial en declarando que si y solo si Si pertenece a entonces tampoco ni tiene, lo que muestra que todos los pares de elementos distintos (es decir, no iguales) en están en comparables. Como consecuencia, posiblemente no puede tener un elemento más grande (porque un elemento más grande de en particular, tendría que ser comparable a todos los elementos de pero no tiene tal elemento). Sin embargo, cada elemento es un elemento máximo de porque hay exactamente un elemento en que es comparable a y ese elemento es sí mismo (que por supuesto, es ). [nota 1]
Por el contrario, si un conjunto reservado tiene un elemento más grande luego será necesariamente un elemento máximo de y además, como consecuencia del mayor elemento siendo comparable a cada elemento de Si también está parcialmente ordenado, entonces es posible concluir que es el único elemento máximo de Sin embargo, la conclusión de unicidad ya no está garantizada si el conjunto preordenado tampoco está parcialmente ordenado. Por ejemplo, suponga que es un conjunto no vacío y define un pedido anticipado en declarando que siempre vale para todosEl conjunto preordenado dirigido se ordena parcialmente si y solo si tiene exactamente un elemento. Todos los pares de elementos deson comparables y cada elemento de es un elemento mayor (y por lo tanto también un elemento máximo) de Entonces, en particular, si tiene al menos dos elementos entonces tiene múltiples elementos más grandes distintos .
Propiedades
A lo largo, deja ser un conjunto parcialmente ordenado y dejar
- Un conjunto puede tener como máximo un elemento mayor. [nota 2] Por lo tanto, si un conjunto tiene un elemento mayor, entonces es necesariamente único.
- Si existe, entonces el mayor elemento de es un límite superior de que también está contenido en
- Si es el mayor elemento de luego es también un elemento máximo de [nota 3] y además, cualquier otro elemento máximo de será necesariamente igual a [nota 4]
- Por tanto, si un conjunto tiene varios elementos máximos, entonces no puede tener un elemento mayor.
- Si satisface la condición de cadena ascendente , un subconjunto de tiene un elemento máximo si, y solo si , tiene un elemento máximo. [nota 5]
- Cuando la restricción de a es un orden total (en la imagen superior es un ejemplo), entonces las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden. [nota 6]
- Sin embargo, esta no es una condición necesaria para tiene un elemento mayor, las nociones coinciden también, como se dijo anteriormente.
- Si las nociones de elemento máximo y elemento mayor coinciden en cada subconjunto de dos elementos de luego es un pedido total en [nota 7]
Condiciones suficientes
- Una cadena finita siempre tiene un elemento mayor y uno menor.
Arriba y abajo
El elemento menor y mayor de todo el conjunto parcialmente ordenado desempeña un papel especial y también se denominan inferior (⊥) y superior (⊤), o cero (0) y unidad (1), respectivamente. Si ambos existen, el poset se llama poset acotado . La notación de 0 y 1 se usa preferiblemente cuando el poset es una celosía complementada y cuando no es probable que haya confusión, es decir, cuando no se está hablando de órdenes parciales de números que ya contienen elementos 0 y 1 diferentes de bottom y top. La existencia de elementos mínimos y mayores es una propiedad de completitud especial de un orden parcial.
Se encuentra más información introductoria en el artículo sobre teoría del orden .
Ejemplos de
- El subconjunto de enteros no tiene límite superior en el conjuntode números reales .
- Deja que la relación en ser dado por El conjunto tiene límites superiores y pero no es el límite superior ni el elemento más grande (cf. imagen).
- En los números racionales , el conjunto de números con su cuadrado menor que 2 tiene límites superiores pero ningún elemento mayor ni límite superior mínimo.
- En el conjunto de números menores que 1 tiene un límite superior mínimo, a saber. 1, pero no el elemento más importante.
- En el conjunto de números menores o iguales a 1 tiene un elemento mayor, a saber. 1, que también es su límite superior mínimo.
- En con el pedido del producto , el conjunto de pares con no tiene límite superior.
- En con el orden lexicográfico , este conjunto tiene límites superiores, por ejemplo No tiene límite superior.
Ver también
- Supremum esencial e infimum esencial
- Objetos iniciales y terminales
- Elementos máximos y mínimos
- Límite superior y límite inferior (límite mínimo)
- Límites superior e inferior
Notas
- ^ Por supuesto, en este ejemplo particular, solo existe un elemento en que es comparable a que es necesariamente en sí, por lo que la segunda condición "y "fue redundante.
- ^ Si y son los dos mejores, entonces y y por lo tanto por antisimetría .
- ^ Si es el mayor elemento de y luego Por antisimetría , esto hace ( y ) imposible.
- ^ Si es un elemento máximo, entonces desde es mayor, por lo tanto desde es máxima.
- ^ Solo si: ver arriba. - Si: Suponga por contradicción que tiene solo un elemento máximo, pero ningún elemento mayor. Desde no es el mejor, algunos debe existir que sea incomparable a Por eso no puede ser máximo, es decir, debe aguantar para algunos Este último debe ser incomparable a también, ya que contradice máxima mientras contradice la incomparabilidad de y Repitiendo este argumento, una cadena ascendente infinita se puede encontrar (de modo que cada es incomparable a y no máxima). Esto contradice la condición de la cadena ascendente.
- ^ Deje ser un elemento máximo, para cualquier ya sea o En el segundo caso, la definición de elemento máximo requiere que entonces se sigue que En otras palabras, es un elemento más grande.
- ^ Si eran incomparables, entonces tendría dos elementos máximos, pero ningún elemento mayor, contradiciendo la coincidencia.
Referencias
- ^ La noción de localidad requiere que el dominio de la función sea al menos un espacio topológico .
- Davey, BA; Priestley, HA (2002). Introducción a las celosías y el orden (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-78451-1.