En matemáticas , un grupo es un conjunto equipado con una operación que combina dos elementos cualesquiera para formar un tercer elemento, siendo asociativo , además de tener un elemento de identidad y elementos inversos . Estas tres condiciones, llamadas axiomas de grupo, válido para sistemas numéricos y muchas otras estructuras matemáticas. Por ejemplo, los números enteros junto con la operación de suma forman un grupo. Sin embargo, la formulación de los axiomas está desvinculada de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. Esto le permite a uno manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, conservando los aspectos estructurales esenciales de muchos objetos en álgebra abstracta y más allá. La ubicuidad de los grupos en numerosas áreas, tanto dentro como fuera de las matemáticas, los convierte en un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. [1] [2]
Los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría . Por ejemplo, un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico : el grupo consiste en el conjunto de transformaciones que dejan el objeto sin cambios y la operación de combinar dos de tales transformaciones realizando una tras otra. Los grupos de mentiras surgen como grupos de simetría en geometría, pero también aparecen en el modelo estándar de física de partículas . El grupo de Poincaré es un grupo de Lie que consiste en las simetrías del espacio-tiempo en relatividad especial . Los grupos de puntos describen la simetría en química molecular .
El concepto de grupo surgió del estudio de las ecuaciones polinomiales , comenzando con Évariste Galois en la década de 1830, quien introdujo el término de grupo ( groupe , en francés) para el grupo de simetría de las raíces de una ecuación, ahora llamado grupo de Galois . Después de contribuciones de otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna —una disciplina matemática activa— estudia los grupos por derecho propio. Para explorar los grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en partes más pequeñas y más comprensibles, como subgrupos , grupos de cocientes y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupos también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse concretamente, tanto desde el punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría computacional de grupos . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. Desde mediados de la década de 1980, la teoría de grupos geométricos , que estudia los grupos generados finitamente como objetos geométricos, se ha convertido en un área activa en la teoría de grupos. .
Definición e ilustración
Primer ejemplo: los enteros
Uno de los grupos más familiares es el conjunto de números enteros.
- Para todos los enteros , y , uno tiene . Expresado en palabras, sumando a primero, y luego agregando el resultado a da el mismo resultado final que agregar a la suma de y . Esta propiedad se conoce como asociatividad .
- Si es cualquier número entero, entonces y . El cero se denomina elemento de identidad de la suma porque sumarlo a cualquier número entero devuelve el mismo número entero.
- Por cada entero , hay un entero tal que y . El enterose llama el elemento inverso del entero y se denota .
Los enteros, junto con la operación , forman un objeto matemático que pertenece a una clase amplia que comparte aspectos estructurales similares. Para entender adecuadamente estas estructuras como colectivo, se desarrolla la siguiente definición .
Definición
Richard Borcherds en Matemáticos: una visión exterior del mundo interior [4]
Un grupo es un conjunto junto con una operación binaria en, aquí denotado "", que combina dos elementos y para formar un elemento de , denotado , de modo que se satisfagan los siguientes tres requisitos, conocidos como axiomas de grupo : [5] [6] [7] [a]
- Asociatividad
- Para todos , , en , uno tiene .
- Elemento de identidad
- Existe un elemento en tal que, por cada en , uno tiene y .
- Tal elemento es único ( ver más abajo ). Se llama elemento de identidad del grupo.
- Elemento inverso
- Para cada en , existe un elemento en tal que y , dónde es el elemento de identidad.
- Para cada , el elemento es único ( ver más abajo ); se llama el inverso de y se denota comúnmente .
Notación y terminología
Formalmente, el grupo es el par ordenado de un conjunto y una operación binaria en este conjunto que satisface los axiomas del grupo . El conjunto se denomina conjunto subyacente del grupo y la operación se denomina operación de grupo o ley de grupo .
Por tanto, un grupo y su conjunto subyacente son dos objetos matemáticos diferentes . Para evitar una notación engorrosa, es común abusar de la notación usando el mismo símbolo para denotar ambos. Esto refleja también una forma informal de pensar: que el grupo es el mismo que el conjunto, excepto que se ha enriquecido con una estructura adicional proporcionada por la operación.
Por ejemplo, considere el conjunto de números reales , que tiene las operaciones de suma y multiplicacion . Formalmente, es un conjunto, es un grupo, y es un campo . Pero es común escribir para denotar cualquiera de estos tres objetos.
El grupo aditivo del campo es el grupo cuyo conjunto subyacente es y cuya operación es la suma. El grupo multiplicativo del campo es el grupo cuyo conjunto subyacente es el conjunto de números reales distintos de cero y cuya operación es la multiplicación.
De manera más general, se habla de un grupo aditivo siempre que la operación de grupo se anota como suma; en este caso, la identidad se denota típicamentey la inversa de un elemento se denota . De manera similar, se habla de un grupo multiplicativo siempre que la operación de grupo se anota como multiplicación; en este caso, la identidad se denota típicamentey la inversa de un elemento se denota . En un grupo multiplicativo, el símbolo de la operación generalmente se omite por completo, de modo que la operación se denota por yuxtaposición, en vez de .
La definición de grupo no requiere que para todos los elementos y en . Si se cumple esta condición adicional, entonces se dice que la operación es conmutativa y el grupo se denomina grupo abeliano . Es una convención común que para un grupo abeliano se puede usar notación aditiva o multiplicativa, pero para un grupo no beliano solo se usa notación multiplicativa.
Varias otras notaciones se utilizan comúnmente para grupos cuyos elementos no son números. Para un grupo cuyos elementos son funciones , la operación suele ser composición de funciones ; entonces la identidad puede denotarse id. En los casos más específicos de grupos de transformación geométrica , grupos de simetría , grupos de permutación y grupos de automorfismo , el símbolose omite a menudo, como para los grupos multiplicativos. Pueden encontrarse muchas otras variantes de notación.
Segundo ejemplo: un grupo de simetría
Dos figuras en el plano son congruentes si una se puede convertir en la otra usando una combinación de rotaciones , reflejos y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes entre sí en más de una forma, y estas congruencias adicionales se denominan simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estos son:
(manteniéndolo como está) | (rotación de 90 ° en el sentido de las agujas del reloj) | (rotación de 180 °) | (rotación de 270 ° en el sentido de las agujas del reloj) |
(reflexión vertical) | | | |
- la operación de identidad dejando todo sin cambios, denotado id;
- rotaciones del cuadrado alrededor de su centro en 90 °, 180 ° y 270 ° en el sentido de las agujas del reloj, denotado por , y , respectivamente;
- reflexiones sobre la línea media horizontal y vertical ( y ), oa través de las dos diagonales ( y ).
Estas simetrías son funciones . Cada uno envía un punto en el cuadrado al punto correspondiente debajo de la simetría. Por ejemplo, envía un punto a su rotación 90 ° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado, y envía un punto a su reflejo a través de la línea central vertical del cuadrado. La composición de dos de estas simetrías da otra simetría. Estas simetrías determinan un grupo llamado grupo diedro de grado cuatro, denotado. El conjunto subyacente del grupo es el conjunto de simetrías anterior, y la operación del grupo es la composición de funciones. [8] Se combinan dos simetrías componiéndolas como funciones, es decir, aplicando la primera al cuadrado y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar primero y entonces está escrito simbólicamente de derecha a izquierda como ("aplica la simetría después de realizar la simetría "). Esta es la notación habitual para la composición de funciones.
La tabla de grupos enumera los resultados de todas estas composiciones posibles. Por ejemplo, girando 270 ° en el sentido de las agujas del reloj () y luego reflejándose horizontalmente () es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal (). Usando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de grupos:
Los elementos , , , y Forme un subgrupo cuya tabla de grupo esté resaltada en rojo (región superior izquierda). Una clase lateral izquierda y derecha de este subgrupo se resalta en verde (en la última fila) y amarillo (última columna), respectivamente. |
Dado este conjunto de simetrías y el funcionamiento descrito, los axiomas de grupo se pueden entender de la siguiente manera.
Operación binaria : la composición es una operación binaria. Es decir, es una simetría para dos simetrías cualesquiera y . Por ejemplo,
Asociatividad : El axioma de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: Comenzando con tres elementos, y de , hay dos formas posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas formas es componer primero y en una sola simetría, luego para componer esa simetría con . La otra forma es componer primero y , luego para componer la simetría resultante con . Estas dos formas deben dar siempre el mismo resultado, es decir,
Elemento de identidad : El elemento de identidad es, ya que no cambia ninguna simetría cuando se compone con él, ya sea a la izquierda o a la derecha.
Elemento inverso : cada simetría tiene una inversa:, los reflejos , , , y la rotación de 180 ° son sus propios inversos, porque al realizarlos dos veces, el cuadrado vuelve a su orientación original. Las rotaciones y son inversas entre sí, porque girar 90 ° y luego 270 ° (o viceversa) produce una rotación de 360 ° que deja el cuadrado sin cambios. Esto se verifica fácilmente sobre la mesa.
En contraste con el grupo de enteros anterior, donde el orden de la operación es irrelevante, sí importa en , como por ejemplo, pero . En otras palabras, no es abeliano.
Historia
El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a partir de varios campos de las matemáticas. [9] [10] [11] La motivación original de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , ampliando el trabajo anterior de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange , dio un criterio para la solubilidad de una ecuación polinomial particular en términos del grupo de simetría de sus raíces (soluciones). Los elementos de tal grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y se publicaron solo póstumamente. [12] [13] Grupos de permutación más generales fueron investigados en particular por Augustin Louis Cauchy . Arthur Cayley 's en la teoría de grupos, ya que dependiendo de la ecuación simbólica(1854) da la primera definición abstracta de un grupo finito . [14]
La geometría fue un segundo campo en el que los grupos se utilizaron sistemáticamente, especialmente los grupos de simetría como parte del programa Erlangen de 1872 de Felix Klein . [15] Después de que surgieran geometrías novedosas como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para organizarlas de una manera más coherente. Avanzando más en estas ideas, Sophus Lie fundó el estudio de los grupos de Lie en 1884. [16]
El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían utilizado implícitamente en la obra de teoría numérica Disquisitiones Arithmeticae (1798) de Carl Friedrich Gauss , y más explícitamente por Leopold Kronecker . [17] En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos de probar el último teorema de Fermat desarrollando grupos que describían la factorización en números primos . [18]
La convergencia de estas diversas fuentes en una teoría uniforme de grupos comenzaron con Camille Jordan 's Traité des sustituciones et des ecuaciones algébriques (1870). [19] Walther von Dyck (1882) introdujo la idea de especificar un grupo mediante generadores y relaciones, y fue también el primero en dar una definición axiomática de un "grupo abstracto", en la terminología de la época. [20] A partir del siglo 20, los grupos logrado un amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside , quien trabajó en la teoría de representaciones de grupos finitos, Richard Brauer 's teoría de representación modular y Issai Schur ' s papeles. [21] Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros estudiaron la teoría de los grupos de Lie y, de manera más general, los grupos compactos localmente . [22] Su contraparte algebraica, la teoría de grupos algebraicos , fue moldeada primero por Claude Chevalley (desde finales de la década de 1930) y más tarde por el trabajo de Armand Borel y Jacques Tits . [23]
El año de teoría de grupos 1960-1961 de la Universidad de Chicago reunió a teóricos de grupos como Daniel Gorenstein , John G. Thompson y Walter Feit , sentando las bases de una colaboración que, con aportes de muchos otros matemáticos, llevó a la clasificación de grupos finitos. grupos simples , con el paso final dado por Aschbacher y Smith en 2004. Este proyecto superó los esfuerzos matemáticos anteriores por su gran tamaño, tanto en longitud de prueba como en número de investigadores. La investigación sobre esta prueba de clasificación está en curso. [24] En estos días, la teoría de grupos sigue siendo una rama matemática muy activa, [b] que afecta a muchos otros campos, como ilustran los ejemplos siguientes .
Consecuencias elementales de los axiomas grupales
Los hechos básicos sobre todos los grupos que pueden obtenerse directamente de los axiomas de grupo se incluyen comúnmente en la teoría de grupos elemental . [25] Por ejemplo, las aplicaciones repetidas del axioma de asociatividad muestran que la falta de ambigüedad de
Los axiomas individuales pueden "debilitarse" para afirmar sólo la existencia de una identidad de izquierda e inversas de izquierda . A partir de estos axiomas unilaterales , se puede probar que la identidad de la izquierda es también una identidad de la derecha y una inversa de la izquierda también es una inversa de la derecha para el mismo elemento. Dado que definen exactamente las mismas estructuras que los grupos, colectivamente los axiomas no son más débiles. [27]
Unicidad del elemento de identidad
Los axiomas de grupo implican que el elemento de identidad es único: si y son elementos de identidad de un grupo, entonces . Por lo tanto, es habitual hablar de la identidad. [28]
Unicidad de los inversos
Los axiomas de grupo también implican que la inversa de cada elemento es única: si un elemento de grupo tiene ambos y como inversos, entonces
desde es el elemento de identidad | ||||
desde es una inversa de , entonces | ||||
por asociatividad, lo que permite reordenar los paréntesis | ||||
desde es una inversa de , entonces | ||||
desde es el elemento de identidad. |
Por tanto, se acostumbra hablar de la inversa de un elemento. [28]
División
Elementos dados y de un grupo , hay una solución única en a la ecuación , a saber . (Por lo general, se evita usar la notación fraccionaria a no ser que es abeliano, debido a la ambigüedad de si significa o .) [29] De ello se deduce que para cada en , la función que mapea cada uno a es una biyección ; se llama multiplicación por la izquierda poro traducción izquierda por.
Del mismo modo, dado y , la solución única para es . Para cada, la función que mapea cada uno a es una biyección llamada multiplicación a la derecha poro traducción correcta por.
Conceptos básicos
Cuando se estudian conjuntos, se utilizan conceptos como subconjunto , función y cociente mediante una relación de equivalencia . Al estudiar grupos, uno en lugar de subgrupos , homomorfismos y grupos de cocientes . Estos son los análogos apropiados que tienen en cuenta la existencia de la estructura del grupo. [C]
Homomorfismos de grupo
Los homomorfismos de grupo [d] son funciones que respetan la estructura del grupo; pueden usarse para relacionar dos grupos. Un homomorfismo de un grupo a un grupo es una función tal que
Sería natural exigir también que respetar las identidades, , e inversas, para todos en . Sin embargo, estos requisitos adicionales no necesitan incluirse en la definición de homomorfismos, porque ya están implícitos en el requisito de respetar el funcionamiento del grupo. [30]
El homomorfismo de identidad de un grupo es el homomorfismo que mapea cada elemento de a sí mismo. Un homomorfismo inverso de un homomorfismo es un homomorfismo tal que y , es decir, tal que para todos en y tal que para todos en . Un isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; de manera equivalente, es un homomorfismo biyectivo . Grupos y se llaman isomorfos si existe un isomorfismo. En este caso, se puede obtener de simplemente cambiando el nombre de sus elementos de acuerdo con la función ; entonces cualquier afirmación es verdadera para es cierto para , siempre que también se cambie el nombre de los elementos específicos mencionados en la declaración.
La colección de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría , la categoría de grupos . [31]
Subgrupos
De manera informal, un subgrupo es un grupo contenido dentro de uno más grande, : tiene un subconjunto de los elementos de , con la misma operación. [32] Concretamente, esto significa que el elemento identitario de debe estar contenido en y cuando sea y ambos están en , entonces también lo son y , entonces los elementos de , equipado con la operación de grupo en prohibido para , de hecho, forman un grupo.
En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo , resaltado en rojo en la tabla de grupos del ejemplo: dos rotaciones cualesquiera compuestas siguen siendo una rotación, y una rotación se puede deshacer (es decir, es inversa a) las rotaciones complementarias 270 ° para 90 °, 180 ° para 180 °, y 90 ° para 270 °. La prueba de subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto H no vacío de un grupo G sea un subgrupo: es suficiente comprobar que para todos los elementos y en . Conocer los subgrupos de un grupo es importante para comprender al grupo como un todo. [mi]
Dado cualquier subconjunto de un grupo , el subgrupo generado por Consiste en productos de elementos de y sus inversas. Es el subgrupo más pequeño de conteniendo . [33] En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por y consta de estos dos elementos, el elemento de identidad , y el elemento . Nuevamente, este es un subgrupo, porque la combinación de dos de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo.
Cosets
En muchas situaciones, es deseable considerar dos elementos del grupo iguales si difieren en un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar en las posiciones reflejadas del cuadrado como equivalentes entre sí y no equivalentes. a las posiciones no reflejadas; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Los Cosets se utilizan para formalizar esta información: un subgrupo determina las clases laterales izquierda y derecha, que se pueden considerar como traducciones de por un elemento de grupo arbitrario . En términos simbólicos, las clases laterales izquierda y derecha de, que contiene un elemento , están
Las clases laterales izquierdas de cualquier subgrupo formar una partición de; es decir, la unión de todas las clases laterales izquierdas es igual ay dos clases laterales izquierdas son iguales o tienen una intersección vacía . [35] El primer casosucede precisamente cuando , es decir, cuando los dos elementos difieren en un elemento de . Se aplican consideraciones similares a las clases laterales derechas de. Las clases laterales izquierdas depuede o no ser igual a sus clases laterales derechas. Si lo son (es decir, si todos en satisfacer ), luego se dice que es un subgrupo normal .
En , el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo de rotaciones, las clases laterales izquierdas son iguales a , Si es un elemento de sí mismo, o igual a (resaltado en verde en la tabla de grupo de ). El subgrupo es normal, porque y lo mismo para los demás elementos del grupo. (De hecho, en el caso de, las clases laterales generadas por las reflexiones son todas iguales: .)
Grupos de cocientes
En algunas situaciones, el conjunto de clases sociales de un subgrupo puede estar dotado de una ley de grupo, dando un grupo cociente o un grupo de factores . Para que esto sea posible, el subgrupo tiene que ser normal . Dado cualquier subgrupo normal N , el grupo del cociente se define por
Los elementos del grupo cociente están sí mismo, que representa la identidad, y . La operación de grupo sobre el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo,. Tanto el subgrupo, así como el cociente correspondiente son abelianos, mientras que no es abeliano. Construir grupos más grandes por grupos más pequeños, como de su subgrupo y el cociente se abstrae mediante una noción llamada producto semidirecto .
Los grupos de cocientes y los subgrupos juntos forman una forma de describir cada grupo por su presentación : cualquier grupo es el cociente del grupo libre sobre los generadores del grupo, coorientado por el subgrupo de relaciones . El grupo diedro, por ejemplo, puede ser generado por dos elementos y (por ejemplo, , la rotación correcta y el reflejo vertical (o cualquier otro), lo que significa que cada simetría del cuadrado es una composición finita de estas dos simetrías o sus inversas. Junto con las relaciones
Los subgrupos y cocientes se relacionan de la siguiente manera: un subgrupo de corresponde a un mapa inyectivo, para el cual cualquier elemento del objetivo tiene como máximo un elemento que se asigna a él . La contraparte de los mapas inyectables son los mapas sobreyectivos (cada elemento del objetivo está mapeado), como el mapa canónico.. [g] La interpretación de subgrupos y cocientes a la luz de estos homomorfismos enfatiza el concepto estructural inherente a estas definiciones. En general, los homomorfismos no son inyectivos ni sobreyectivos. El núcleo y la imagen de los homomorfismos de grupo y el primer teorema del isomorfismo abordan este fenómeno.
Ejemplos y aplicaciones
Abundan los ejemplos y aplicaciones de grupos. Un punto de partida es el grupode enteros con la suma como operación de grupo, presentada anteriormente. Si en lugar de la suma se considera la multiplicación, se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de importantes construcciones en álgebra abstracta .
Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos a menudo se examinan asociándoles grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental . [39] Mediante esta conexión, propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. [h] Por ejemplo, los elementos del grupo fundamental están representados por bucles. La segunda imagen muestra algunos bucles en un plano menos un punto. El bucle azul se considera nulo-homotópico (y por lo tanto irrelevante), porque se puede reducir continuamente a un punto. La presencia del agujero evita que el lazo naranja se encoja hasta un punto. El grupo fundamental del plano con un punto eliminado resulta ser cíclico infinito, generado por el bucle naranja (o cualquier otro bucle que se enrolle una vez alrededor del agujero). De esta forma, el grupo fundamental detecta el agujero.
En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha revertido para motivar construcciones geométricas mediante un trasfondo teórico de grupo. [i] En una línea similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo, en el estudio de grupos hiperbólicos . [40] Otras ramas que aplican grupos de manera crucial incluyen la geometría algebraica y la teoría de números. [41]
Además de las aplicaciones teóricas anteriores, existen muchas aplicaciones prácticas de grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría de grupos abstracta junto con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría de grupos computacional , en particular cuando se implementa para grupos finitos. [42] Las aplicaciones de la teoría de grupos no se limitan a las matemáticas; las ciencias como la física , la química y la informática se benefician del concepto.
Números
Muchos sistemas numéricos, como los números enteros y los racionales, disfrutan de una estructura de grupo dada naturalmente. En algunos casos, como en el caso de los racionales, tanto las operaciones de suma como de multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos sistemas numéricos son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y campos . Otros conceptos algebraicos abstractos como módulos , espacios vectoriales y álgebras también forman grupos.
Enteros
El grupo de enteros debajo de la adición, denotado , se ha descrito anteriormente. Los enteros, con la operación de multiplicación en lugar de suma,no no formar un grupo. Se satisfacen los axiomas de asociatividad e identidad, pero no existen inversos: por ejemplo, es un número entero, pero la única solución a la ecuación en este caso es , que es un número racional, pero no un número entero. Por tanto, no todos los elementos detiene una inversa (multiplicativa). [j]
Racionales
El deseo de la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar fracciones
Sin embargo, el conjunto de todos los números racionales distintos de cero forma un grupo abeliano bajo la multiplicación, también denotado . [l] La asociatividad y los axiomas de elementos de identidad se derivan de las propiedades de los números enteros. El requisito de cierre sigue siendo válido después de eliminar el cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, la inversa de es , por lo tanto, se satisface el axioma del elemento inverso.
Los números racionales (incluido el cero) también forman un grupo bajo la suma. Entrelazar operaciones de suma y multiplicación produce estructuras más complicadas llamadas anillos y, si es posible la división por otro que no sea cero, como en- campos , que ocupan una posición central en el álgebra abstracta . Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos subyacen en partes de la teoría de esas entidades. [metro]
Aritmética modular
Aritmética modular para un módulo define dos elementos cualesquiera y que difieren en un múltiplo de para ser equivalente, denotado por . Cada entero es equivalente a uno de los enteros de a , y las operaciones de la aritmética modular modifican la aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente. Suma modular, definida de esta manera para los enteros de a , forma un grupo, denotado como o , con como elemento de identidad y como el elemento inverso de .
Un ejemplo familiar es la suma de horas en la esfera de un reloj , donde se elige 12 en lugar de 0 como el representante de la identidad. Si la manecilla de la hora está encendida y es avanzado horas, termina en , como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que es congruente con "módulo "o, en símbolos,
Para cualquier número primo , también existe el grupo multiplicativo de enteros módulo. [43] Sus elementos se pueden representar mediante a . La operación de grupo, módulo de multiplicación, sustituye el producto habitual por su representante, el resto de la división por . Por ejemplo, para, los cuatro elementos del grupo se pueden representar mediante . En este grupo,, porque el producto habitual es equivalente a : cuando se divide por produce un resto de . La primordialidad de asegura que el producto habitual de dos representantes no sea divisible por y, por lo tanto, el producto modular es distinto de cero. [n] El elemento de identidad está representado por, y la asociatividad se deriva de la propiedad correspondiente de los números enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que dado un entero no divisible por , existe un entero tal que
Grupos cíclicos
Un grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento en particular.. [46] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son
En los grupos introducido anteriormente, el elemento es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento se puede expresar como una suma, todos cuyos términos son. Cualquier grupo cíclico conelementos es isomorfo a este grupo. Un segundo ejemplo de grupos cíclicos es el grupo deth raíces complejas de la unidad , dadas por números complejos satisfactorio . Estos números se pueden visualizar como los vértices de forma regular.-gon, como se muestra en azul en la imagen para . La operación de grupo es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicando concorresponde a una rotación en sentido antihorario de 60 °. [47] De la teoría de campo , el grupo es cíclico para primo : por ejemplo, si , es un generador desde , , , y .
Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, para cada elemento distinto de cero, todos los poderes de son distintos; a pesar del nombre "grupo cíclico", las potencias de los elementos no ciclan. Un grupo cíclico infinito es isomorfo a, el grupo de números enteros bajo adición introducido anteriormente. [48] Como estos dos prototipos son abelianos, también lo son todos los grupos cíclicos.
El estudio de grupos abelianos generados finitamente es bastante maduro, incluido el teorema fundamental de los grupos abelianos generados finitamente ; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con el grupo, como centro y conmutador , describen hasta qué punto un grupo dado no es abeliano. [49]
Grupos de simetría
Los grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como el grupo de simetría del cuadrado dado como ejemplo introductorio arriba, aunque también surgen en álgebra como las simetrías entre las raíces de ecuaciones polinómicas tratadas en Teoría de Galois (ver más abajo). [50] Conceptualmente, la teoría de grupos puede considerarse como el estudio de la simetría. [q] Las simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático X si cada elemento del grupo puede asociarse a alguna operación sobre X y la composición de estas operaciones sigue la ley del grupo. Por ejemplo, un elemento del grupo de triángulos (2,3,7) actúa sobre un mosaico triangular del plano hiperbólico al permutar los triángulos. [51] Mediante una acción de grupo, el patrón de grupo se conecta a la estructura del objeto sobre el que se actúa.
En campos químicos, como la cristalografía , los grupos espaciales y los grupos de puntos describen simetrías moleculares y simetrías cristalinas. Estas simetrías subyacen al comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis mecánico cuántico de estas propiedades. [52] Por ejemplo, la teoría de grupos se usa para mostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados. [53]
Los grupos no solo son útiles para evaluar las implicaciones de las simetrías en las moléculas, sino que sorprendentemente también predicen que las moléculas a veces pueden cambiar de simetría. El efecto Jahn-Teller es una distorsión de una molécula de alta simetría cuando adopta un estado fundamental particular de menor simetría de un conjunto de posibles estados fundamentales que están relacionados entre sí por las operaciones de simetría de la molécula. [54] [55]
Asimismo, la teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material experimenta una transición de fase , por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio de un estado paraeléctrico a ferroeléctrico ocurre a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio del estado paraeléctrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de menor simetría, acompañado por un llamado modo de fonón suave . , un modo de celosía vibratoria que va a frecuencia cero en la transición. [56]
Esta ruptura espontánea de la simetría ha encontrado una aplicación adicional en la física de partículas elementales, donde su aparición está relacionada con la aparición de los bosones de Goldstone . [57]
Buckminsterfullereno muestra simetría icosaédrica [58] | Amoníaco , NH 3 . Su grupo de simetría es de orden 6, generado por una rotación de 120 ° y una reflexión. [59] | Cubane C 8 H 8 presenta simetría octaédrica . [60] | El ion complejo hexaaquacopper (II) , [Cu (O H 2 ) 6 ] 2+ se distorsiona desde una forma perfectamente simétrica debido al efecto Jahn-Teller. [61] | El grupo de triángulos (2, 3, 7), un grupo hiperbólico, actúa sobre este mosaico del plano hiperbólico . [51] |
Los grupos de simetría finita, como los grupos de Mathieu, se utilizan en la teoría de la codificación , que a su vez se aplica en la corrección de errores de los datos transmitidos y en los reproductores de CD . [62] Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza funciones que tienen antiderivadas de una forma prescrita, dando criterios de teoría de grupo para cuando las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan bien. [r] Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo se investigan en la teoría (geométrica) invariante . [63]
Teoría general de grupos lineales y representaciones
Los grupos de matrices constan de matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general consta de todo invertible -por-matrices con entradas reales . [64] Sus subgrupos se denominan grupos de matriz o grupos lineales . El ejemplo del grupo diedro mencionado anteriormente puede verse como un grupo de matriz (muy pequeño). Otro grupo de matriz importante es el grupo ortogonal especial . Describe todas las posibles rotaciones endimensiones. Las matrices de rotación de este grupo se utilizan en gráficos por computadora . [sesenta y cinco]
La teoría de la representación es tanto una aplicación del concepto de grupo como importante para una comprensión más profunda de los grupos. [66] [67] Estudia al grupo por sus acciones grupales en otros espacios. Una amplia clase de representaciones de grupo son representaciones lineales en las que el grupo actúa sobre un espacio vectorial , como el espacio euclidiano tridimensional. . Una representación de un grupo en una - el espacio vectorial real dimensional es simplemente un homomorfismo de grupodel grupo al grupo lineal general. De esta forma, la operación de grupo, que puede darse de forma abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices haciéndola accesible a cálculos explícitos. [s]
Una acción de grupo proporciona más medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. [t] Por otro lado, también proporciona información sobre el grupo. Las representaciones de grupo son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupos compactos (localmente) . [66] [68]
Grupos de Galois
Los grupos de Galois se desarrollaron para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas al capturar sus características de simetría. [69] [70] Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática son dadas por
La teoría moderna de Galois generaliza el tipo anterior de grupos de Galois cambiando a la teoría de campo y considerando las extensiones de campo formadas como el campo de división de un polinomio. Esta teoría establece, a través del teorema fundamental de la teoría de Galois , una relación precisa entre campos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en las matemáticas. [73]
Grupos finitos
Un grupo se llama finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se llama orden del grupo. [74] Una clase importante son los grupos simétricos , los grupos de permutaciones deobjetos. Por ejemplo, el grupo simétrico de 3 letras es el grupo de todos los posibles reordenamientos de los objetos. Las tres letras ABC se pueden reordenar en ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, formando en total 6 ( factorial de 3) elementos. La operación de grupo es la composición de estos reordenamientos, y el elemento de identidad es la operación de reordenamiento que deja el orden sin cambios. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito puede expresarse como un subgrupo de un grupo simétrico. para un entero adecuado , según el teorema de Cayley . Paralelamente al grupo de simetrías del cuadrado de arriba,también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero .
El orden de un elemento en un grupo es el número entero menos positivo tal que , dónde representa
Técnicas de conteo más sofisticadas, por ejemplo, contar clases, producen enunciados más precisos sobre grupos finitos: el teorema de Lagrange establece que para un grupo finito el orden de cualquier subgrupo finito divide el orden de. Los teoremas de Sylow dan una recíproca parcial.
El grupo diedro de simetrías de un cuadrado es un grupo finito de orden 8. En este grupo, el orden de es 4, como es el orden del subgrupo que genera este elemento. El orden de los elementos de reflexión.etc. es 2. Ambos órdenes dividen 8, como predice el teorema de Lagrange. Los grupos de multiplicación módulo un primo tener orden .
Clasificación de grupos simples finitos
Los matemáticos a menudo se esfuerzan por obtener una clasificación (o lista) completa de una noción matemática. En el contexto de grupos finitos, este objetivo conduce a matemáticas difíciles. Según el teorema de Lagrange, los grupos finitos de orden, un número primo, son necesariamente grupos cíclicos y por tanto también abeliano. Grupos de orden También se puede demostrar que es abeliano, una declaración que no se generaliza para ordenar , como el grupo no abeliano de orden muestra arriba. [75] Los sistemas informáticos de álgebra se pueden utilizar para enumerar grupos pequeños , pero no existe una clasificación de todos los grupos finitos. [u] Un paso intermedio es la clasificación de grupos simples finitos. [v] Un grupo no trivial se llama simple si sus únicos subgrupos normales son el grupo trivial y el grupo mismo. [w] El teorema de Jordan-Hölder exhibe grupos simples finitos como bloques de construcción para todos los grupos finitos. [76] Enumerar todos los grupos simples finitos fue un logro importante en la teoría de grupos contemporánea. El ganador de la medalla Fields de 1998 , Richard Borcherds, logró demostrar las monstruosas conjeturas de la luz de la luna , una relación sorprendente y profunda entre el grupo esporádico simple finito más grande (el " grupo de monstruos ") y ciertas funciones modulares , una pieza de análisis complejo clásico y la teoría de cuerdas , un teoría que se supone unifica la descripción de muchos fenómenos físicos. [77]
Grupos con estructura adicional
Una definición equivalente de grupo consiste en reemplazar la parte "existe" de los axiomas del grupo por operaciones cuyo resultado es el elemento que debe existir. Entonces, un grupo es un conjuntoequipado con una operación binaria (la operación grupal), una operación unaria (que proporciona la inversa) y una operación nula , que no tiene operando y da como resultado el elemento de identidad. De lo contrario, los axiomas de grupo son exactamente los mismos. Esta variante de la definición evita los cuantificadores existenciales y se usa en computación con grupos y para pruebas asistidas por computadora .
Esta forma de definir grupos se presta a generalizaciones como la noción de un grupo de objetos en una categoría . Brevemente, este es un objeto (es decir, ejemplos de otra estructura matemática) que viene con transformaciones (llamadas morfismos ) que imitan los axiomas de grupo. [78]
Grupos topológicos
Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una ley de grupo. Para que la ley de grupo y la topología se entrelacen bien, las operaciones de grupo deben ser funciones continuas ; informalmente y no debe variar enormemente si y varían solo un poco. Estos grupos se denominan grupos topológicos y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . [79] Los ejemplos más básicos son el grupo de números reales bajo suma y el grupo de números reales distintos de cero bajo multiplicación. Se pueden formar ejemplos similares a partir de cualquier otro campo topológico , como el campo de números complejos o el campo de números p -ádicos . Estos ejemplos son localmente compactos , por lo que tienen medidas de Haar y se pueden estudiar mediante análisis de armónicos . Otros grupos topológicos localmente compactos incluyen el grupo de puntos de un grupo algebraico sobre un campo local o anillo adele ; estos son básicos para la teoría de números [80] Los grupos de Galois de extensiones infinitas de campo algebraico están equipados con la topología de Krull , que juega un papel en la teoría de Galois infinita . [81] Una generalización utilizada en geometría algebraica es el grupo fundamental étale . [82]
Grupos de mentiras
Un grupo de Lie es un grupo que también tiene la estructura de una variedad diferenciable ; informalmente, esto significa que localmente se ve como un espacio euclidiano de alguna dimensión fija. [83] Nuevamente, la definición requiere que la estructura adicional, aquí la estructura múltiple, sea compatible: se requiere que la multiplicación y los mapas inversos sean suaves .
Un ejemplo estándar es el grupo lineal general presentado anteriormente: es un subconjunto abierto del espacio de todos-por- matrices, porque viene dada por la desigualdad
Los grupos de mentiras son de fundamental importancia en la física moderna: el teorema de Noether vincula las simetrías continuas con las cantidades conservadas . [85] La rotación , así como las traslaciones en el espacio y el tiempo son simetrías básicas de las leyes de la mecánica . Pueden, por ejemplo, usarse para construir modelos simples; imponer, digamos, simetría axial en una situación, típicamente conducirá a una simplificación significativa en las ecuaciones que uno necesita resolver para proporcionar una descripción física. [x] Otro ejemplo es el grupo de transformaciones de Lorentz , que relacionan medidas de tiempo y velocidad de dos observadores en movimiento entre sí. Pueden deducirse de una manera puramente teórica de grupos, expresando las transformaciones como una simetría rotacional del espacio de Minkowski . Este último sirve, en ausencia de una gravitación significativa, como modelo del espacio-tiempo en la relatividad especial . [86] El grupo de simetría completo del espacio de Minkowski, es decir, incluidas las traducciones, se conoce como el grupo de Poincaré . Por lo anterior, juega un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, para las teorías cuánticas de campos . [87] Las simetrías que varían con la ubicación son fundamentales para la descripción moderna de las interacciones físicas con la ayuda de la teoría de gauge . Un ejemplo importante de una teoría de gauge es el modelo estándar , que describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas y clasifica todas las partículas elementales conocidas . [88]
Generalizaciones
Estructuras de tipo grupal | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalidad α | Asociatividad | Identidad | Invertibilidad | Conmutatividad | |
Semigropoide | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Categoría pequeña | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Groupoid | Innecesario | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Magma | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Cuasigrupo | Requerido | Innecesario | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Magma unital | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Círculo | Requerido | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario |
Semigroup | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Semigroup inverso | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Monoide | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Monoide conmutativo | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido |
Grupo | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Grupo abeliano | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido |
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente. |
En álgebra abstracta , las estructuras más generales se definen relajando algunos de los axiomas que definen a un grupo. [31] [89] [90] Por ejemplo, si se elimina el requisito de que cada elemento tenga una inversa, la estructura algebraica resultante se denomina monoide . Los números naturales (incluyendo cero) bajo suma forman un monoide, al igual que los enteros distintos de cero bajo multiplicación , véase más arriba. Existe un método general para agregar formalmente inversos a elementos a cualquier monoide (abeliano), de la misma manera que se deriva de , conocido como el grupo Grothendieck . Los grupoides son similares a los grupos, excepto que la composición no necesita ser definido para todos y . Surgen en el estudio de formas más complicadas de simetría, a menudo en estructuras topológicas y analíticas , como el grupoide fundamental o las pilas . Finalmente, es posible generalizar cualquiera de estos conceptos reemplazando la operación binaria con una n -aria arbitraria (es decir, una operación que toma n argumentos). Con la generalización adecuada de los axiomas de grupo, esto da lugar a un grupo n -ario [91]. La tabla da una lista de varias estructuras que generalizan grupos.
Ver también
- Lista de temas de teoría de grupos
Notas
- ^ Algunos autores incluyen un axioma adicional denominado cierre de la operación "", Lo que significa que es un elemento de para cada y en . Esta condición se subsume al requerir ""para ser una operación binaria en . Ver Lang 2002 .
- ^ Labase de datos MathSciNet de publicaciones de matemáticas enumera 1779 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos solo en 2020. Consulte MathSciNet 2021 .
- ^ Ver, por ejemplo, Lang 2002 , Lang 2005 , Herstein 1996 y Herstein 1975 .
- ↑ La palabra homomorfismo deriva del griego ὁμός, el mismo y μορφή, estructura. Véase Schwartzman 1994 , pág. 108.
- ^ Sin embargo, un grupo no está determinado por su entramado de subgrupos. Ver Suzuki 1951 .
- ^ El hecho de que la operación de grupo se extienda canónicamente es una instancia de una propiedad universal .
- ^ Los mapas inyectivos y sobreyectivos corresponden a mono y epimorfismos , respectivamente. Se intercambian al pasar a la categoría dual .
- ^ Consulte el teorema de Seifert-Van Kampen para ver un ejemplo.
- ^ Un ejemplo es la cohomología de grupo de un grupo que es igual a la cohomología singular de su espacio de clasificación , ver Weibel 1994 , §8.2.
- ↑ Los elementos que tienen inversos multiplicativos se denominan unidades , véase Lang 2002 , p. 84, §II.1 .
- ^ La transición de los números enteros a los racionales mediante la inclusión de fracciones es generalizada por el campo de fracciones .
- ^ Lo mismo es cierto para cualquier campo F en lugar de. Véase Lang 2005 , pág. 86, §III.1.
- ^ Por ejemplo, un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un campo es necesariamente cíclico. Véase Lang 2002 , Teorema IV.1.9. . Las nociones de torsión de un módulo y álgebras simples son otros ejemplos de este principio.
- ^ La propiedad indicada es una posible definición de números primos. Ver elemento Prime .
- ^ Por ejemplo, el protocolo Diffie-Hellman utiliza el logaritmo discreto . Ver Gollmann 2011 , §15.3.2.
- ^ La notación aditiva para elementos de un grupo cíclico sería, dónde es en .
- ^ Más rigurosamente, cada grupo es el grupo de simetría de algún gráfico ; véase el teorema de Frucht , Frucht 1939 .
- ^ Más precisamente, se considera laacción dela monodromía sobre el espacio vectorial de soluciones de las ecuaciones diferenciales. Véase Kuga 1993 , págs. 105-113.
- ^ Esto fue crucial para la clasificación de grupos simples finitos, por ejemplo. Ver Aschbacher 2004 .
- ^ Ver, por ejemplo, el Lema de Schur para el impacto de una acción de grupo en módulos simples . Un ejemplo más complicado es la acción de un grupo absoluto de Galois sobre la cohomología étale .
- ↑ Se han tabulado los grupos de orden a lo sumo 2000: hasta el isomorfismo, hay alrededor de 49 mil millones. Ver Besche, Eick & O'Brien 2001 .
- ^ La brecha entre la clasificación de grupos simples y la de todos los grupos radica en el problema de la extensión , un problema demasiado difícil de resolver en general. Ver Aschbacher 2004 , p. 737.
- ^ De manera equivalente, un grupo no trivial es simple si sus únicos grupos cocientes son el grupo trivial y el grupo mismo. Ver Michler 2006 , Carter 1989 .
- ^ Consulte la métrica de Schwarzschild para ver un ejemplo en el que la simetría reduce en gran medida la complejidad de los sistemas físicos.
Citas
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- ↑ Lang 2002 , Capítulo VI (ver en particular la p. 273 para ejemplos concretos).
- ^ Lang 2002 , p. 292, (Teorema VI.7.2).
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Referencias
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enlaces externos
- Weisstein, Eric W. , "Grupo" , MathWorld