En álgebra , un anillo de grupo es un módulo libre y al mismo tiempo un anillo , construido de forma natural a partir de cualquier anillo y grupo determinados . Como módulo libre, su anillo de escalares es el anillo dado, y su base es uno a uno con el grupo dado. Como anillo, su ley de adición es la del módulo libre y su multiplicación extiende "por linealidad" la ley de grupo dada sobre la base. De manera menos formal, un anillo de grupo es una generalización de un grupo dado, al adjuntar a cada elemento del grupo un "factor de ponderación" de un anillo dado.
Si el anillo es conmutativo, el anillo de grupo también se denomina álgebra de grupo , ya que de hecho es un álgebra sobre el anillo dado. Un álgebra de grupo sobre un campo tiene una estructura adicional de un álgebra de Hopf ; en este caso, se denomina álgebra de Hopf grupal .
El aparato de anillos de grupo es especialmente útil en la teoría de representaciones de grupo .
Definición
Sea G un grupo, escrito de forma multiplicativa, y sea R un anillo. El anillo de grupo de G sobre R , que denotaremos por R [ G ] (o simplemente RG ), es el conjunto de asignaciones f : G → R de soporte finito , [1] donde el producto escalar del módulo αf de un α escalar en R y un vector (o mapeo) f se define como el vector, y la suma del grupo de módulos de dos vectores f y g se define como el vector. Para activar el grupo aditivo R [ G ] en un anillo, definimos el producto de f y g para ser el vector
La suma es legítima porque f y g son de soporte finito, y los axiomas de anillo son verificadas fácilmente.
Se utilizan algunas variaciones en la notación y la terminología. En particular, las asignaciones como f : G → R a veces se escriben como lo que se llama "combinaciones lineales formales de elementos de G , con coeficientes en R ": [2]
o simplemente
donde esto no cause confusión. [1]
Ejemplos de
1. Sea G = C 3 , el grupo cíclico de orden 3, con generadory elemento de identidad 1 G . Un elemento r de C [ G ] se puede escribir como
donde z 0 , z 1 y z 2 están en C , los números complejos . Esto es lo mismo que un anillo polinomial en variable tal que es decir, C [ G ] es isomorfo al anillo C [] /.
Escribir un elemento diferente s como, su suma es
y su producto es
Observe que el elemento de identidad 1 G de G induce una incrustación canónica del anillo de coeficientes (en este caso C ) en C [ G ]; sin embargo estrictamente hablando el elemento de identidad multiplicativa de C [ G ] es 1⋅1 G en el que el primero 1 proviene de C y el segundo de G . El elemento de identidad aditivo es cero.
Cuando G es un grupo no conmutativo, se debe tener cuidado de preservar el orden de los elementos del grupo (y no conmutarlos accidentalmente) al multiplicar los términos.
2. Un ejemplo diferente es el de los polinomios de Laurent sobre un anillo R : estos son nada más y nada menos que el anillo de grupo del grupo infinito cíclico Z sobre R .
3. Sea Q el grupo de cuaterniones con elementos. Considere el anillo de grupo R Q , donde R es el conjunto de números reales. Un elemento arbitrario de este anillo de grupo tiene la forma
dónde es un número real.
La multiplicación, como en cualquier otro anillo de grupo, se define en función de la operación del grupo. Por ejemplo,
Tenga en cuenta que R Q no es la misma que la de Hamilton cuaterniones más de R . Esto se debe a que los cuaterniones de Hamilton satisfacen relaciones adicionales en el anillo, como, mientras que en el grupo anillo R Q , no es igual a . Para ser más específicos, R Q tiene dimensión 8 como espacio vectorial real , mientras que los cuaterniones de Hamilton tienen dimensión 4 como espacio vectorial real .
4. Otro ejemplo de un anillo de grupo no abeliano es dónde es el grupo simétrico de 3 letras. Este no es un dominio integral ya que tenemos donde el elemento es una transposición, una permutación que solo intercambia 1 y 2. Por lo tanto, el anillo de grupo no necesita ser un dominio integral incluso cuando el anillo subyacente es un dominio integral.
Algunas propiedades básicas
Usando 1 para denotar la identidad multiplicativa del anillo R , y que denota la unidad de grupo por 1 G , el anillo R [ G ] contiene un subanillo isomorfo a R , y su grupo de elementos invertibles contiene un subgrupo isomorfo a G . Para considerar la función indicadora de {1 G }, que es el vector f definido por
el conjunto de todos los múltiplos escalares de f es un subanillo de R [ G ] isomorfo a R . Y si asignamos cada elemento s de G a la función indicadora de { s }, que es el vector f definido por
el mapeo resultante es un homomorfismo de grupo inyectivo (con respecto a la multiplicación, no a la suma, en R [ G ]).
Si R y G son conmutativos (es decir, R es conmutativo y G es un grupo abeliano ), R [ G ] es conmutativo.
Si H es un subgrupo de G , entonces R [ H ] es un subanillo de R [ G ]. De manera similar, si S es un subanillo de R , S [ G ] es un subanillo de R [ G ].
Si G es un grupo finito de orden mayor que 1, entonces R [ G ] siempre tiene cero divisores . Por ejemplo, considere un elemento g de G de orden | g | = m> 1. Entonces 1 - g es un divisor de cero:
Por ejemplo, considere el anillo de grupo Z [ S 3 ] y el elemento de orden 3 g = (123). En este caso,
Un resultado relacionado: si el grupo suena es primo , entonces G no tiene un subgrupo normal finito sin identidad (en particular, G debe ser infinito).
Prueba: Considerando lo contrapositivo , suponga es un subgrupo normal finito sin identidad de . Llevar. Desde para cualquier , sabemos , por lo tanto . Tomando, tenemos . Por normalidad de, conmuta con una base de , y por lo tanto
- .
Y vemos eso no son cero, lo que muestra no es primo. Esto muestra la declaración original.
Álgebra de grupos sobre un grupo finito
Las álgebras de grupo ocurren naturalmente en la teoría de representaciones grupales de grupos finitos . El álgebra de grupo K [ G ] sobre un campo K es esencialmente el anillo de grupo, y el campo K ocupa el lugar del anillo. Como un conjunto y el espacio vectorial, es el espacio de vector libre en G sobre el campo K . Es decir, para x en K [ G ],
La estructura del álgebra en el espacio vectorial se define mediante la multiplicación en el grupo:
donde a la izquierda, g y h indican elementos del álgebra de grupo, mientras que la multiplicación de la derecha es la operación del grupo (indicado por yuxtaposición).
Debido a que la multiplicación anterior puede ser confusa, también se pueden escribir los vectores base de K [ G ] como e g (en lugar de g ), en cuyo caso la multiplicación se escribe como:
Interpretación como funciones
Pensando en el espacio vectorial libre como funciones con valor K en G , la multiplicación del álgebra es la convolución de funciones.
Mientras que el álgebra de grupo de un grupo finito se puede identificar con el espacio de funciones en el grupo, para un grupo infinito estas son diferentes. El álgebra de grupos, que consta de sumas finitas , corresponde a funciones en el grupo que se desvanecen por muchos puntos cofinítimos ; topológicamente (usando la topología discreta ), estos corresponden a funciones con soporte compacto .
Sin embargo, el álgebra de grupo K [ G ] y el espacio de funciones K G : = Hom ( G , K ) son duales: dado un elemento del álgebra de grupo
y una función en el grupo f : G → K estos pares para dar un elemento de K vía
que es una suma bien definida porque es finita.
Representaciones de un álgebra de grupo
Tomando K [ G ] como un álgebra abstracta, se pueden pedir representaciones del álgebra que actúan sobre un espacio vectorial K- V de dimensión d . Tal representación
es un homomorfismo de álgebra del álgebra de grupos al álgebra de endomorfismos de V , que es isomorfo al anillo de matrices d × d :. De manera equivalente, se trata de una izquierda K [ G ] -module sobre el grupo abeliano V .
En consecuencia, una representación de grupo
es un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos lineales de V , que es isomorfo al grupo lineal general de matrices invertibles:. Cualquier representación de este tipo induce una representación de álgebra
simplemente dejando y extendiéndose linealmente. Por tanto, las representaciones del grupo corresponden exactamente a representaciones del álgebra y las dos teorías son esencialmente equivalentes.
Representación regular
El álgebra de grupo es un álgebra sobre sí mismo; bajo la correspondencia de representaciones sobre los módulos R y R [ G ], es la representación regular del grupo.
Escrito como una representación, es la representación g ↦ ρ g con la acción dada por, o
Descomposición semisimple
La dimensión del espacio vectorial K [ G ] es igual al número de elementos del grupo. El campo K se toma comúnmente como los números complejos C o los reales R , de modo que se discuten las álgebras de grupo C [ G ] o R [ G ].
El álgebra de grupo C [ G ] de un grupo finito sobre los números complejos es un anillo semisimple . Este resultado, el teorema de Maschke , nos permite entender C [ G ] como un finito producto de anillos de matriz con entradas en C . De hecho, si enumeramos las representaciones complejas irreducibles de G como V k para k = 1,. . . , m , corresponden a homomorfismos de grupo y de ahí a los homomorfismos del álgebra . El ensamblaje de estas asignaciones da un isomorfismo de álgebra.
donde d k es la dimensión de V k . La subálgebra de C [ G ] correspondiente a Fin ( V k ) es el ideal bilateral generado por el idempotente
dónde es el carácter de V k . Estos forman un sistema completo de idempotentes ortogonales, de modo que, para j ≠ k , y. El isomorfismoestá estrechamente relacionado con la transformada de Fourier en grupos finitos .
Para un campo más general K, siempre que la característica de K no divide el orden del grupo G , entonces K [ G ] es semisimple. Cuando G es un grupo abeliano finito , el anillo de grupo K [G] es conmutativo y su estructura es fácil de expresar en términos de raíces de unidad .
Cuando K es un campo de característica p que divide el orden de G , el anillo de grupo no es semisimple: tiene un radical de Jacobson distinto de cero , y esto le da al sujeto correspondiente de la teoría de la representación modular su propio carácter más profundo.
Centro de un álgebra de grupo
El centro del álgebra de grupo es el conjunto de elementos que conmuta con todos los elementos del álgebra de grupo:
El centro es igual al conjunto de funciones de clase , que es el conjunto de elementos que son constantes en cada clase de conjugación.
Si K = C , el conjunto de caracteres irreducibles de G forma una base ortonormal de Z ( K [ G ]) con respecto al producto interno
El grupo suena sobre un grupo infinito
Se sabe mucho menos en el caso de que G sea infinito o incontable, y esta es un área de investigación activa. [3] El caso en el que R es el campo de los números complejos es probablemente el mejor estudiado. En este caso, Irving Kaplansky demostró que si un y b son elementos de C [ G ] con ab = 1 , entonces ba = 1 . Se desconoce si esto es cierto si R es un campo de característica positiva.
Una conjetura de larga data de Kaplansky (~ 1940) dice que si G es un grupo libre de torsión y K es un campo, entonces el anillo de grupo K [ G ] no tiene divisores de cero no triviales . Esta conjetura es equivalente a K [ G ] que no tiene no triviales nilpotents en las mismas hipótesis para K y G .
De hecho, la condición de que K sea un campo se puede relajar a cualquier anillo que se pueda incrustar en un dominio integral .
La conjetura permanece abierta en total generalidad, sin embargo, se ha demostrado que algunos casos especiales de grupos sin torsión satisfacen la conjetura del divisor cero. Éstas incluyen:
- Grupos de productos únicos (por ejemplo , grupos que se pueden solicitar , en particular, grupos gratuitos )
- Grupos elementales susceptibles (por ejemplo, grupos virtualmente abelianos )
- Grupos difusos - en particular, los grupos que actúan libremente isométricamente sobre árboles R , y los grupos fundamentales de grupos superficiales excepto los grupos fundamentales de sumas directas de una, dos o tres copias del plano proyectivo.
El caso de que G sea un grupo topológico se discute con mayor detalle en el artículo álgebra de grupo de un grupo localmente compacto .
Teoría de categorías
Adjunto
Categóricamente , la construcción del anillo de grupo se deja adjunta al " grupo de unidades "; los siguientes functores son un par adjunto :
dónde lleva un grupo a su anillo de grupo sobre R , ylleva un álgebra R a su grupo de unidades.
Cuando R = Z , esto da una adjunción entre la categoría de grupos y la categoría de anillos , y la unidad de la adjunción lleva un grupo G a un grupo que contiene unidades triviales: G × {± 1} = {± g }. En general, los anillos de grupo contienen unidades no triviales. Si G contiene elementos un y b tales quey b no lo hace normalizar luego el cuadrado de
es cero, por lo tanto . El elemento 1 + x es una unidad de orden infinito.
Propiedad Universal
El adjunto anterior expresa una propiedad universal de los anillos de grupo. [1] [4] Sea R un anillo (conmutativo), sea G un grupo y sea S una R -álgebra. Para cualquier homomorfismo de grupo, existe un homomorfismo único de R -algebra tal que donde yo es la inclusión
En otras palabras, es el homomorfismo único que hace conmutar el siguiente diagrama:
Cualquier otro anillo que satisfaga esta propiedad es canónicamente isomórfico al anillo de grupo.
Álgebra de Hopf
El álgebra de grupo K [ G ] tiene una estructura natural de un álgebra de Hopf . La multiplicación se define por, extendido linealmente, y la antípoda es , again extended linearly.
Generalizations
The group algebra generalizes to the monoid ring and thence to the category algebra, of which another example is the incidence algebra.
Filtración
If a group has a length function – for example, if there is a choice of generators and one takes the word metric, as in Coxeter groups – then the group ring becomes a filtered algebra.
Ver también
- Group algebra of a locally compact group
- Monoid ring
Representation theory
- Group representation
- Regular representation
Category theory
- Categorical algebra
- Group of units
- Incidence algebra
- Quiver algebra
Notas
- ^ a b c Polcino & Sehgal (2002), p. 131.
- ^ Polcino & Sehgal (2002), p. 129 and 131.
- ^ Passman, Donald S. (1976). "What is a group ring?". Amer. Math. Monthly. 83: 173–185. doi:10.2307/2977018.
- ^ "group algebra in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2017-11-01.
Referencias
- A. A. Bovdi (2001) [1994], "Group algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
- Charles W. Curtis, Irving Reiner. Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
- D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)