Teoría de grupos

Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los grupos.

Este artículo cubre nociones avanzadas. Para temas básicos, consulte Grupo (matemáticas) .

Para la teoría de grupos en ciencias sociales, consulte Grupo social .

El popular rompecabezas del cubo de Rubik, inventado en 1974 por Ernő Rubik, se ha utilizado como ilustración de los grupos de permutación . Ver el grupo Cubo de Rubik .

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas y álgebra abstracta , la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos . El concepto de grupo es fundamental para el álgebra abstracta: otras estructuras algebraicas bien conocidas, como anillos , campos y espacios vectoriales , pueden verse como grupos dotados de operaciones y axiomas adicionales . Los grupos se repiten a lo largo de las matemáticas y los métodos de la teoría de grupos han influido en muchas partes del álgebra. Grupos algebraicos lineales y grupos de Lie son dos ramas de la teoría de grupos que han experimentado avances y se han convertido en áreas temáticas por derecho propio.

Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno , pueden modelarse mediante grupos de simetría . Por tanto, la teoría de grupos y la teoría de la representación estrechamente relacionada tienen muchas aplicaciones importantes en la física , la química y la ciencia de los materiales . La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública .

La historia temprana de la teoría de grupos se remonta al siglo XIX. Uno de los logros matemáticos más importantes del siglo XX ^[1] fue el esfuerzo colaborativo, que ocupó más de 10.000 páginas de revistas y se publicó en su mayoría entre 1960 y 1980, que culminó en una clasificación completa de grupos finitos simples .

Clases principales de grupos

Artículo principal: Grupo (matemáticas)

La gama de grupos que se están considerando se ha expandido gradualmente desde grupos de permutación finitos y ejemplos especiales de grupos matriciales hasta grupos abstractos que pueden especificarse mediante una presentación por generadores y relaciones .

Grupos de permutación

La primera clase de grupos que se sometió a un estudio sistemático fueron los grupos de permutación . Dado cualquier conjunto X y una colección G de biyecciones de X en sí mismo (conocido como permutaciones ) que se cierra en virtud de composiciones y inversas, G es un grupo que actúa en X . Si X consta de n elementos y G consta de todas las permutaciones, G es el grupo simétrico S _n ; en general, cualquier grupo de permutación G es unsubgrupo del grupo simétrico de X . Una construcción temprana debida a Cayley exhibía cualquier grupo como un grupo de permutación, actuando sobre sí mismo ( X = G ) mediante la representación regular izquierda .

En muchos casos, la estructura de un grupo de permutación se puede estudiar utilizando las propiedades de su acción sobre el conjunto correspondiente. Por ejemplo, de esta manera se demuestra que para n ≥ 5 , el grupo alterno A _n es simple , es decir, no admite subgrupos normales propios . Este hecho juega un papel clave en la imposibilidad de resolver una ecuación algebraica general de grado n ≥ 5 en radicales .

Grupos de matriz

La siguiente clase importante de grupos viene dada por grupos matriciales o grupos lineales . Aquí G es un conjunto que consta de matrices invertibles de orden dado n sobre un campo K que está cerrado bajo los productos e inversos. Tal grupo actúa sobre el espacio vectorial n- dimensional K ⁿ mediante transformaciones lineales . Esta acción hace que los grupos de matriz conceptualmente similar a los grupos de permutaciones, y la geometría de la acción puede ser explotado de manera útil para establecer propiedades del grupo G .

Grupos de transformación

Los grupos de permutación y los grupos de matriz son casos especiales de grupos de transformación : grupos que actúan sobre un determinado espacio X conservando su estructura inherente. En el caso de los grupos de permutación, X es un conjunto; para grupos de matrices, X es un espacio vectorial . El concepto de grupo de transformación está estrechamente relacionado con el concepto de grupo de simetría : los grupos de transformación suelen estar formados por todas las transformaciones que conservan una determinada estructura.

La teoría de los grupos de transformación forma un puente que conecta la teoría de grupos con la geometría diferencial . Una larga línea de investigación, originada con Lie y Klein , considera acciones grupales sobre variedades por homeomorfismos o difeomorfismos . Los propios grupos pueden ser discretos o continuos .

Grupos abstractos

La mayoría de los grupos considerados en la primera etapa del desarrollo de la teoría de grupos eran "concretos", habiéndose realizado mediante números, permutaciones o matrices. No fue hasta finales del siglo XIX cuando comenzó a afianzarse la idea de un grupo abstracto como un conjunto con operaciones que satisfacían un determinado sistema de axiomas. Una forma típica de especificar un grupo abstracto es a través de una presentación por generadores y relaciones ,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Una fuente significativa de grupos abstractos está dada por la construcción de un grupo de factor , o grupo cociente , G / H , de un grupo G por un subgrupo normal H . Los grupos de clases de campos numéricos algebraicos se encontraban entre los primeros ejemplos de grupos de factores, de mucho interés en la teoría de números . Si un grupo G es un grupo de permutación en un conjunto X , el grupo de factores G / H ya no actúa sobre X ; pero la idea de un grupo abstracto permite no preocuparse por esta discrepancia.

El cambio de perspectiva de grupos concretos a abstractos hace que sea natural considerar propiedades de grupos que son independientes de una realización particular, o en el lenguaje moderno, invariantes bajo isomorfismo , así como las clases de grupo con una propiedad determinada: grupos finitos , grupos periódicas , grupos simples , grupos que tienen solución , y así sucesivamente. En lugar de explorar las propiedades de un grupo individual, se busca establecer resultados que se apliquen a toda una clase de grupos. El nuevo paradigma fue de suma importancia para el desarrollo de las matemáticas: presagió la creación del álgebra abstracta en las obras de Hilbert , Emil Artin, Emmy Noether y matemáticos de su escuela. ^{[ cita requerida ]}

Grupos con estructura adicional

Una elaboración importante del concepto de grupo ocurre si G está dotado de estructura adicional, en particular, de un espacio topológico , variedad diferenciable o variedad algebraica . Si el grupo de operaciones m (multiplicación) ei (inversión),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

son compatibles con esta estructura, es decir, son mapas continuos , suaves o regulares (en el sentido de la geometría algebraica), entonces G es un grupo topológico , un grupo de Lie o un grupo algebraico . ^[2]

La presencia de estructura extra relaciona este tipo de grupos con otras disciplinas matemáticas y significa que hay más herramientas disponibles en su estudio. Los grupos topológicos forman un dominio natural para el análisis armónico abstracto , mientras que los grupos de Lie (frecuentemente realizados como grupos de transformación) son los pilares de la geometría diferencial y la teoría de la representación unitaria . Ciertas cuestiones de clasificación que no se pueden resolver en general pueden abordarse y resolverse para subclases especiales de grupos. Por lo tanto, los grupos de Lie compactos conectados se han clasificado completamente. Existe una fructífera relación entre infinitos grupos abstractos y grupos topológicos: siempre que un grupo Γpuede realizarse como una red en un grupo topológico G , la geometría y el análisis pertenecientes a G arrojan resultados importantes sobre Γ . Una tendencia relativamente reciente en la teoría de grupos finitos explota sus conexiones con grupos topológicos compactos (grupos profinitos ): por ejemplo, un solo grupo analítico p -ádico G tiene una familia de cocientes que son grupos p finitos de varios órdenes y propiedades de G se traducen en las propiedades de sus cocientes finitos.

Ramas de la teoría de grupos

Teoría de grupos finitos

Artículo principal: grupo finito

Durante el siglo XX, los matemáticos investigaron con gran profundidad algunos aspectos de la teoría de grupos finitos, especialmente la teoría local de grupos finitos y la teoría de grupos solubles y nilpotentes . ^{[ cita requerida ]} Como consecuencia, se logró la clasificación completa de los grupos simples finitos , lo que significa que ahora se conocen todos esos grupos simples a partir de los cuales se pueden construir todos los grupos finitos.

Durante la segunda mitad del siglo XX, matemáticos como Chevalley y Steinberg también aumentaron nuestra comprensión de los análogos finitos de los grupos clásicos y otros grupos relacionados. Una de esas familias de grupos es la familia de grupos lineales generales sobre campos finitos . Los grupos finitos a menudo ocurren cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten solo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie , que puede considerarse que trata de una " simetría continua ", está fuertemente influenciada por los grupos de Weyl asociados.. Se trata de grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclidiano de dimensión finita . Por tanto, las propiedades de los grupos finitos pueden desempeñar un papel en materias como la física teórica y la química .

Representación de grupos

Artículo principal: teoría de la representación

Decir que un grupo G actúa sobre un conjunto X significa que cada elemento de G define un mapa biyectivo sobre el conjunto X de una manera compatible con la estructura del grupo. Cuando X tiene más estructura, es útil restringir aún más esta noción: una representación de G en un espacio vectorial V es un homomorfismo de grupo :

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V),}$

donde GL ( V ) se compone de los invertibles transformaciones lineales de V . En otras palabras, a cada elemento del grupo g se le asigna un automorphism ρ ( g ) tal que ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( GH ) para cualquier h en G .

Esta definición puede entenderse en dos direcciones, las cuales dan lugar a dominios completamente nuevos de las matemáticas. ^[3] Por un lado, puede dar nueva información sobre el grupo G : a menudo, la operación del grupo en G se da de forma abstracta, pero a través de ρ , corresponde a la multiplicación de matrices , que es muy explícita. ^[4] Por otro lado, dado un grupo bien entendido que actúa sobre un objeto complicado, esto simplifica el estudio del objeto en cuestión. Por ejemplo, si G es finito, se sabe que V anterior se descompone en partes irreducibles.. Estas partes, a su vez, son mucho más fáciles de manejar que la V completa (a través del lema de Schur ).

Dado un grupo G , la teoría de la representación pregunta qué representaciones de G existen. Hay varios escenarios, y los métodos empleados y los resultados obtenidos son bastante diferentes en cada caso: la teoría de la representación de grupos finitos y las representaciones de grupos de Lie son dos subdominios principales de la teoría. La totalidad de las representaciones está regida por los personajes del grupo . Por ejemplo, los polinomios de Fourier se pueden interpretar como los caracteres de U (1) , el grupo de números complejos de valor absoluto 1 , que actúan sobre el L 2-espacio de funciones periódicas.

Teoría de la mentira

Artículo principal: teoría de la mentira

Un grupo de Lie es un grupo que también es una variedad diferenciable , con la propiedad de que las operaciones del grupo son compatibles con la estructura suave . Los grupos de mentiras llevan el nombre de Sophus Lie , quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del estudiante de Lie Arthur Tresse , página 3. ^[5]

Los grupos de mentiras representan la teoría mejor desarrollada de simetría continua de objetos y estructuras matemáticas , lo que los convierte en herramientas indispensables para muchas partes de las matemáticas contemporáneas, así como para la física teórica moderna . Proporcionan un marco natural para analizar las simetrías continuas de ecuaciones diferenciales ( teoría diferencial de Galois ), de la misma manera que los grupos de permutación se utilizan en la teoría de Galois para analizar las simetrías discretas de ecuaciones algebraicas . Una extensión de la teoría de Galois al caso de los grupos de simetría continua fue una de las principales motivaciones de Lie.

Teoría de grupos combinatoria y geométrica

Artículo principal: Teoría de grupos geométricos

Los grupos se pueden describir de diferentes formas. Los grupos finitos se pueden describir escribiendo la tabla de grupos que consta de todas las multiplicaciones posibles g • h . Una forma más compacta de definir un grupo es mediante generadores y relaciones , también llamada presentación de un grupo. Dado cualquier conjunto F de generadores , el grupo libre generado por F surjects sobre el grupo G . El núcleo de este mapa se llama el subgrupo de las relaciones, generada por algún subconjunto D . La presentación generalmente se denota por Por ejemplo, la presentación grupal${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$describe un grupo que es isomorfo a Una cadena que consta de símbolos generadores y sus inversos se llama palabra .${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

La teoría combinatoria de grupos estudia los grupos desde la perspectiva de los generadores y las relaciones. ^[6] Es particularmente útil cuando se satisfacen los supuestos de finitud, por ejemplo, grupos generados finitamente o grupos presentados finitamente (es decir, además, las relaciones son finitas). El área hace uso de la conexión de gráficos a través de sus grupos fundamentales . Por ejemplo, se puede demostrar que todos los subgrupos de un grupo libre son libres.

Hay varias preguntas naturales que surgen de dar un grupo por su presentación. El problema verbal pregunta si dos palabras son efectivamente el mismo elemento de grupo. Al relacionar el problema con las máquinas de Turing , se puede demostrar que, en general, no existe un algoritmo que resuelva esta tarea. Otro problema, generalmente más difícil e insoluble algorítmicamente es el problema del isomorfismo de grupo , que pregunta si dos grupos dados por presentaciones diferentes son en realidad isomorfos. Por ejemplo, el grupo con presentación es isomorfo al grupo aditivo Z de números enteros, aunque esto puede no ser evidente de inmediato. ^[7]${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$

La gráfica de Cayley de ⟨x, y ∣⟩, el grupo libre de rango 2.

La teoría de grupos geométricos ataca estos problemas desde un punto de vista geométrico, ya sea viendo los grupos como objetos geométricos o encontrando objetos geométricos adecuados sobre los que actúa un grupo. ^[8] La primera idea se concreta mediante el gráfico de Cayley , cuyos vértices corresponden a elementos de grupo y aristas a multiplicación por la derecha en el grupo. Dados dos elementos, uno construye la palabra métrica dada por la longitud de la ruta mínima entre los elementos. Un teorema de Milnor y Svarc dice que dado un grupo G que actúa de manera razonable en un espacio métrico X , por ejemplo, una variedad compacta , entonces G escuasi-isométrica (es decir, tiene una apariencia similar a la distancia) para el espacio X .

Conexión de grupos y simetría

Artículo principal: Grupo de simetría

Dado un objeto X estructurado de cualquier tipo, una simetría es un mapeo del objeto sobre sí mismo que conserva la estructura. Esto ocurre en muchos casos, por ejemplo

1. Si X es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es un mapa biyectivo del conjunto a sí mismo, dando lugar a grupos de permutación .
2. Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano con su estructura métrica o cualquier otro espacio métrico , una simetría es una biyección del conjunto a sí mismo que conserva la distancia entre cada par de puntos (una isometría ). El grupo correspondiente se denomina grupo de isometría de X .
3. Si en cambio se conservan los ángulos , se habla de mapas conformes . Los mapas conformales dan lugar a grupos kleinianos , por ejemplo.
4. Las simetrías no están restringidas a objetos geométricos, sino que también incluyen objetos algebraicos. Por ejemplo, la ecuación tiene dos soluciones y . En este caso, el grupo que intercambia las dos raíces es el grupo de Galois que pertenece a la ecuación. Cada ecuación polinomial en una variable tiene un grupo de Galois, es decir, un cierto grupo de permutación en sus raíces.${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

Los axiomas de un grupo formalizan los aspectos esenciales de la simetría . Las simetrías forman un grupo: están cerradas porque si tomas una simetría de un objeto y luego aplicas otra simetría, el resultado seguirá siendo una simetría. La identidad que mantiene el objeto fijo es siempre una simetría de un objeto. La existencia de inversas se garantiza deshaciendo la simetría y la asociatividad proviene del hecho de que las simetrías son funciones en un espacio y la composición de funciones es asociativa.

El teorema de Frucht dice que cada grupo es el grupo de simetría de algún gráfico . Entonces, cada grupo abstracto es en realidad las simetrías de algún objeto explícito.

El dicho de "preservar la estructura" de un objeto se puede precisar trabajando en una categoría . Los mapas que conservan la estructura son entonces los morfismos , y el grupo de simetría es el grupo de automorfismos del objeto en cuestión.

Aplicaciones de la teoría de grupos

Abundan las aplicaciones de la teoría de grupos. Casi todas las estructuras del álgebra abstracta son casos especiales de grupos. Los anillos , por ejemplo, pueden verse como grupos abelianos (correspondientes a la suma) junto con una segunda operación (correspondiente a la multiplicación). Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos son la base de gran parte de la teoría de esas entidades.

Teoría de Galois

Artículo principal: teoría de Galois

La teoría de Galois usa grupos para describir las simetrías de las raíces de un polinomio (o más precisamente los automorfismos de las álgebras generadas por estas raíces). El teorema fundamental de la teoría de Galois proporciona un vínculo entre las extensiones de campo algebraico y la teoría de grupos. Proporciona un criterio eficaz para la solubilidad de ecuaciones polinomiales en términos de la solubilidad del grupo de Galois correspondiente . Por ejemplo, S ₅ , el grupo simétrico en 5 elementos, no se puede resolver, lo que implica que la ecuación quíntica generalno puede resolverse mediante radicales de la forma en que lo hacen las ecuaciones de menor grado. La teoría, que es una de las raíces históricas de la teoría de grupos, todavía se aplica de manera fructífera para producir nuevos resultados en áreas como la teoría de campos de clases .

Topología algebraica

Artículo principal: topología algebraica

La topología algebraica es otro dominio que asocia de manera prominente grupos a los objetos que interesan a la teoría. Allí, los grupos se utilizan para describir ciertas invariantes de espacios topológicos . Se denominan "invariantes" porque se definen de tal manera que no cambian si el espacio se somete a alguna deformación . Por ejemplo, el grupo fundamental "cuenta" cuántos caminos en el espacio son esencialmente diferentes. La conjetura de Poincaré , probada en 2002/2003 por Grigori Perelman , es una aplicación destacada de esta idea. Sin embargo, la influencia no es unidireccional. Por ejemplo, la topología algebraica utiliza espacios de Eilenberg-MacLaneque son espacios con grupos de homotopía prescritos . De manera similar, la teoría K algebraica se basa en cierto modo en la clasificación de espacios de grupos. Finalmente, el nombre del subgrupo de torsión de un grupo infinito muestra el legado de la topología en la teoría de grupos.

Un toro. Su estructura de grupo abeliano se induce a partir del mapa C → C / ( Z + τ Z ) , donde τ es un parámetro que vive en el semiplano superior .

Geometría algebraica

Artículo principal: geometría algebraica

La geometría algebraica también usa la teoría de grupos de muchas maneras. Las variedades abelianas se han introducido anteriormente. La presencia de la operación grupal proporciona información adicional que hace que estas variedades sean particularmente accesibles. También suelen servir como prueba para nuevas conjeturas. ^[9] El caso unidimensional, a saber, las curvas elípticas, se estudia con particular detalle. Son teórica y prácticamente intrigantes. ^[10] En otra dirección, las variedades tóricas son variedades algebraicas sobre las que actúa un toro . Las incrustaciones toroidales han conducido recientemente a avances en la geometría algebraica , en particularresolución de singularidades . ^[11]

Teoría algebraica de números

Artículo principal: Teoría algebraica de números

La teoría algebraica de números utiliza grupos para algunas aplicaciones importantes. Por ejemplo, la fórmula del producto de Euler ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

captura el hecho de que cualquier número entero se descompone de una manera única en números primos . El fracaso de esta afirmación para anillos más generales da lugar a grupos de clases y números primos regulares , que aparecen en el tratamiento de Kummer del último teorema de Fermat .

Análisis armónico

Artículo principal: análisis armónico

El análisis de grupos de Lie y ciertos otros grupos se denomina análisis armónico . Las medidas de Haar , es decir, integrales invariantes bajo la traducción en un grupo de Lie, se utilizan para el reconocimiento de patrones y otras técnicas de procesamiento de imágenes . ^[12]

Combinatoria

En combinatoria , la noción de grupo de permutación y el concepto de acción grupal se utilizan a menudo para simplificar el conteo de un conjunto de objetos; véase en particular el lema de Burnside .

El círculo de quintas puede estar dotado de una estructura de grupo cíclico

Música

La presencia de la periodicidad 12 en el círculo de quintas produce aplicaciones de la teoría de grupos elemental en la teoría de conjuntos musicales . La teoría de la transformación modela las transformaciones musicales como elementos de un grupo matemático.

Física

En física , los grupos son importantes porque describen las simetrías a las que parecen obedecer las leyes de la física. Según el teorema de Noether , toda simetría continua de un sistema físico corresponde a una ley de conservación del sistema. Los físicos están muy interesados ​​en las representaciones grupales, especialmente de los grupos de Lie, ya que estas representaciones a menudo señalan el camino hacia las teorías físicas "posibles". Ejemplos del uso de grupos en física incluyen el modelo estándar , la teoría de gauge , el grupo de Lorentz y el grupo de Poincaré .

Química y ciencia de los materiales

En química y ciencia de materiales , los grupos de puntos se utilizan para clasificar poliedros regulares y las simetrías de moléculas , y los grupos espaciales para clasificar estructuras cristalinas . Los grupos asignados se pueden usar para determinar propiedades físicas (como polaridad química y quiralidad ), propiedades espectroscópicas (particularmente útiles para espectroscopía Raman , espectroscopía infrarroja , espectroscopía de dicroísmo circular, espectroscopía de dicroísmo circular magnético, espectroscopía de UV / Vis y espectroscopía de fluorescencia) y para construir orbitales moleculares .

La simetría molecular es responsable de muchas propiedades físicas y espectroscópicas de los compuestos y proporciona información relevante sobre cómo ocurren las reacciones químicas. Para asignar un grupo de puntos para cualquier molécula dada, es necesario encontrar el conjunto de operaciones de simetría presentes en él. La operación de simetría es una acción, como una rotación alrededor de un eje o una reflexión a través de un plano de espejo. En otras palabras, es una operación que mueve la molécula de tal manera que no se puede distinguir de la configuración original. En la teoría de grupos, los ejes de rotación y los planos de espejo se denominan "elementos de simetría". Estos elementos pueden ser un punto, línea o plano con respecto al cual se realiza la operación de simetría. Las operaciones de simetría de una molécula determinan el grupo de puntos específico para esta molécula.

Molécula de agua con eje de simetría.

En química , hay cinco operaciones de simetría importantes. Son operación de identidad ( E) , operación de rotación o rotación adecuada ( C _n ), operación de reflexión ( σ ), inversión ( i ) y operación de reflexión de rotación o rotación incorrecta ( S _n ). La operación de identidad ( E ) consiste en dejar la molécula como está. Esto es equivalente a cualquier número de rotaciones completas alrededor de cualquier eje. Esta es una simetría de todas las moléculas, mientras que el grupo de simetría de un quiralmolécula consta únicamente de la operación de identidad. Una operación de identidad es una característica de cada molécula, incluso si no tiene simetría. La rotación alrededor de un eje ( C _n ) consiste en rotar la molécula alrededor de un eje específico en un ángulo específico. Es la rotación a través del ángulo 360 ° / n , donde n es un número entero, alrededor de un eje de rotación. Por ejemplo, si una molécula de agua gira 180 ° alrededor del eje que pasa a través del átomo de oxígeno y entre los átomos de hidrógeno , está en la misma configuración en la que comenzó. En este caso, n = 2, ya que aplicarlo dos veces produce la operación de identidad. En moléculas con más de un eje de rotación, el eje Cn que tiene el valor más grande de n es el eje de rotación de orden más alto o eje principal. Por ejemplo, Borane (BH3), el eje de rotación de orden más alto es C ₃ , por lo que el eje principal de rotación del eje es C ₃ .

En la operación de reflexión ( σ ), muchas moléculas tienen planos espejo, aunque pueden no ser obvios. La operación de reflexión cambia de izquierda a derecha, como si cada punto se hubiera movido perpendicularmente a través del plano a una posición exactamente tan alejada del plano como cuando comenzó. Cuando el plano es perpendicular al eje principal de rotación, se denomina σ _h (horizontal). Otros planos, que contienen el eje principal de rotación, se denominan vertical ( σ _v ) o diedro ( σ _d ).

La inversión (i) es una operación más compleja. Cada punto se mueve a través del centro de la molécula a una posición opuesta a la posición original y tan lejos del punto central como donde comenzó. Muchas moléculas que a primera vista parecen tener un centro de inversión no lo tienen; por ejemplo, metano y otros tetraédricoslas moléculas carecen de simetría de inversión. Para ver esto, sostenga un modelo de metano con dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la izquierda. La inversión da como resultado dos átomos de hidrógeno en el plano horizontal a la derecha y dos átomos de hidrógeno en el plano vertical a la izquierda. Por tanto, la inversión no es una operación de simetría del metano, porque la orientación de la molécula que sigue a la operación de inversión difiere de la orientación original. Y la última operación es la rotación incorrecta o la operación de reflexión de rotación ( S _n ) requiere una rotación de 360 ​​° / n , seguida de una reflexión a través de un plano perpendicular al eje de rotación.

Mecánica estadística

La teoría de grupos se puede utilizar para resolver el carácter incompleto de las interpretaciones estadísticas de la mecánica desarrolladas por Willard Gibbs , relacionadas con la suma de un número infinito de probabilidades para obtener una solución significativa. ^[13]

Criptografía

Grupos muy grandes de orden primario construidos en criptografía de curva elíptica sirven para criptografía de clave pública . Los métodos criptográficos de este tipo se benefician de la flexibilidad de los objetos geométricos, de ahí sus estructuras de grupo, junto con la estructura complicada de estos grupos, que hacen que el logaritmo discreto sea muy difícil de calcular. Uno de los primeros protocolos de cifrado, el cifrado de Caesar , también puede interpretarse como una operación de grupo (muy fácil). La mayoría de los esquemas criptográficos usan grupos de alguna manera. En particular, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza grupos cíclicos finitos. Por tanto, el término criptografía basada en grupos se refiere principalmente a protocolos criptográficos que utilizan infinitos grupos no belianos, como un grupo trenzado.

El grupo cíclico Z ₂₆ subyace en el cifrado de César .

Historia

Artículo principal: Historia de la teoría de grupos

La teoría de grupos tiene tres fuentes históricas principales: teoría de números , teoría de ecuaciones algebraicas y geometría . Leonhard Euler comenzó la rama de la teoría de números y la desarrolló con el trabajo de Gauss sobre aritmética modular y grupos aditivos y multiplicativos relacionados con campos cuadráticos . Los primeros resultados sobre los grupos de permutación fueron obtenidos por Lagrange , Ruffini y Abel en su búsqueda de soluciones generales de ecuaciones polinómicas de alto grado. Évariste Galois acuñó el término "grupo" y estableció una conexión, ahora conocida comoTeoría de Galois , entre la naciente teoría de grupos y la teoría de campos . En geometría, los grupos se volvieron importantes primero en geometría proyectiva y, más tarde, en geometría no euclidiana . El programa Erlangen de Felix Klein proclamó que la teoría de grupos es el principio organizador de la geometría.

Galois , en la década de 1830, fue el primero en emplear grupos para determinar la solubilidad de ecuaciones polinómicas . Arthur Cayley y Augustin Louis Cauchy impulsaron estas investigaciones más allá al crear la teoría de los grupos de permutación . La segunda fuente histórica de grupos proviene de situaciones geométricas . En un intento por abordar posibles geometrías (como la euclidiana , hiperbólica o proyectiva ) utilizando la teoría de grupos, Felix Klein inició el programa Erlangen . Sophus Lie , en 1884, comenzó a usar grupos (ahora llamadosGrupos de mentiras ) apegados a problemas analíticos . En tercer lugar, los grupos fueron, al principio implícita y luego explícitamente, utilizados en la teoría algebraica de números .

El alcance diferente de estas fuentes tempranas dio como resultado diferentes nociones de grupos. La teoría de grupos se unificó a partir de 1880. Desde entonces, el impacto de la teoría de grupos ha ido en aumento, dando lugar al nacimiento del álgebra abstracta a principios del siglo XX, la teoría de la representación y muchos dominios derivados más influyentes. La clasificación de grupos simples finitos es un vasto cuerpo de trabajo de mediados del siglo XX, que clasifica todos los grupos simples finitos .

Ver también

• Lista de temas de teoría de grupos
• Ejemplos de grupos

Notas

1. Elwes, Richard (diciembre de 2006), "Un teorema enorme: la clasificación de grupos simples finitos" , Plus Magazine (41)
2. Este proceso de imposición de una estructura extra se ha formalizado mediante la noción de un objeto grupal en una categoría adecuada. Así, los grupos de Lie son objetos de grupo en la categoría de variedades diferenciables y los grupos algebraicos afines son objetos de grupo en la categoría de variedades algebraicas afines.
3. Como cohomología de grupo o teoría K equivariante .
4. En particular, si la representación es fiel .
5. Arthur Tresse (1893). "Sur les invariants différentiels des groupes continus de transformations" (PDF) . Acta Mathematica . 18 : 1-88. doi : 10.1007 / bf02418270 .
6. Schupp y Lyndon 2001
7. Escribiendo, uno tiene${\displaystyle z=xy}$${\displaystyle G\cong \langle z,y\mid z^{3}=y\rangle \cong \langle z\rangle .}$
8. La Harpe 2000
9. Por ejemplo, la conjetura de Hodge (en ciertos casos).
10. Ver la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer , uno de los problemas del milenio
11. Abramovich, Dan; Karu, Kalle; Matsuki, Kenji; Wlodarczyk, Jaroslaw (2002), "Torificación y factorización de mapas biracionales", Journal of the American Mathematical Society , 15 (3): 531–572, arXiv : math / 9904135 , doi : 10.1090 / S0894-0347-02-00396- X , MR 1896232 
12. Lenz, Reiner (1990), Métodos teóricos de grupo en el procesamiento de imágenes , Lecture Notes in Computer Science, 413 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 3-540-52290-5 , ISBN 978-0-387-52290-6
13. Norbert Wiener , Cibernética: o control y comunicación en el animal y la máquina, ISBN 978-0262730099 , Ch 2 

Referencias

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• Historia del concepto de grupo abstracto
• Teoría de grupos de dimensiones superiores Presenta una visión de la teoría de grupos como el nivel uno de una teoría que se extiende en todas las dimensiones y tiene aplicaciones en la teoría de la homotopía y en métodos no belianos de dimensiones superiores para problemas locales a globales.
• Paquete Plus para profesores y estudiantes: Teoría de grupos Este paquete reúne todos los artículos sobre teoría de grupos de Plus , la revista de matemáticas en línea producida por Millennium Mathematics Project en la Universidad de Cambridge, explorando aplicaciones y avances recientes, y brindando definiciones explícitas y ejemplos de grupos.
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